压轴题03 幂指对函数四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（沪教版2020必修第一册）

压轴题03幂指对函数四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 5 题型一、利用幂指对函数的性质比较大小 5 题型二、幂指对函数的运算 8 题型三、幂指对函数的图象 20 题型四、利用幂指对函数的性质确定参数的值或范围 26 压轴能力测评（11题） 33 一、五个常用幂函数的图象 （1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝； （5）y＝x﹣1 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x﹣1 定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0} 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，+∞）时，增 x∈（﹣∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减 x∈（﹣∞，0）时，减 公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1） 二、幂函数的性质 所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）． （1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）（0，0）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大； c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右； d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数． （2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上； c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴． （3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线． 三、指数函数的图像 0<a<1时图象 a>1时图象 图象 四、指数函数的性质 性质 ①定义域R，值域 （0，+∞） ②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③ax=a，即x=1时，y等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，ax>1 x>0时，0<ax<1 ⑤x<0时，0<ax<1 x>0时，ax>1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。 （2）当时，；当时。 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。 （3）指数函数与的图象关于轴对称。 五、指数函数的应用 1.指数函数底数变化与图像分布规律 （1） 1 ② ③ ④ 则：0＜b＜a＜1＜d＜c 又即：x∈(0,+∞)时， （底大幂大） x∈(－∞,0)时， （2）特殊函数 的图像： 2.指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若；；； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可． 六、对数函数的图像 a＞1 0＜a＜1 图 象 七、对数函数的性质 性 质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x＜1时，y＜0， 当x≥1时，y≥0 当0＜x＜1时，y＞0， 当x≥1时，y≤0 要点诠释： 关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0. 八、对数函数的应用 1．底数制约着图象的升降． 如图 要点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2．底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见下图) 题型一、利用幂指对函数的性质比较大小 一、单选题 1．（22-23高一上·上海松江·期末）若满足时，恒有，则不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知，则下列命题中正确的个数为（    ） （1）若，则；（2）若，则； （3）若，则；（4）若，则. A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（23-24高一上·上海·期中）有四个命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④若且，则．其中真命题的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，且，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·上海徐汇·期末）如果，那么，，的大小顺序为（    ）． A． B． C． D． 6．（23-24高一上·上海·期中）若对任意，都有成立，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 7．（21-22高一上·上海徐汇·期末）若定义域为的函数满足对任意能构成三角形三边长的实数a，b，cI，均有f(a)，f(b)，f(c)也能够成三角形三边长，则m最大值为 . 8．（2023高一·上海·专题练习）已知，，则m，n之间的大小关系是 题型二、幂指对函数的运算 一、单选题 1．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知，，对于实数a、b，给出以下命题： 命题①：若，则. 命题②：若，则. 则以下判断正确的是（   ） A．①为真命题；②为真命题. B．①为真命题；②为假命题. C．①为假命题；②为真命题. D．①为假命题；②为假命题. 2．（22-23高一上·上海宝山·期末）已知函数，定义域为，值域为.则以下选项正确的是（    ） A．存在实数使得 B．存在实数使得 C．对任意实数 D．对任意实数 3．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知函数（是自然对数的底数）的最小值为0，关于有如下4个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则；     ④若，则. 其中真命题的个数为（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，且函数与的图象若有1个交点，则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点，则满足条件的不同集合A有 个． 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数中，表示达到某一英文打字水平（字/分）所需的学习时间（时），表示每分钟打出的字数（字/分）． （1）当达到20字/分水平时， 时，当达到40字/分水平时， 时； （2）若某同学学习时间为12时，每分钟打出 字/分． （参考数据：，，．结果取整数．） 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数，与时的的值相等，且，则的最小值为 ． 7．（24-25高一上·上海·课后作业）定义域为的关于轴对称的函数在上是严格增函数，且时，，则满足取时，的的取值范围是 ． 8．（24-25高一上·上海·课后作业）若函数的定义域为，则实数的范围为 ． 9．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ． 10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，，且，下列结论正确的有 ．（填序号） ①；②；③；④． 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）幂函数的图像经过点，则该幂函数的定义域为 ． 三、解答题 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量．能量小于时，人听不见声音．强度大于60分贝时属于噪音，其中70分贝开始损害听力神经，90分贝以上就会使听力受损，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪． (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当能量达到多少时，人会暂时性失聪？ 13．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知当时，；当时，．解不等式． 14．（23-24高一上·上海·期末）对于定义在区间上的函数，若． (1)已知，，试写出、的表达式； (2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； (3)若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由． 15．（23-24高一上·上海·期末）（1）是定义在正整数集上的函数，并且满足 ①当为正整数时，； ②当为非负整数时，. 求的值. （2）函数定义在有序正整数对的集合上，且满足下列性质： ①；②；③. 求. 题型三、幂指对函数的图象 一、单选题 1．（22-23高一·全国·课堂例题）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（24-25高一上·上海·单元测试）对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·上海·期末）记号表示不超过实数的最大整数，若，则的值为（    ） A．4898 B．4899 C．4900 D．4901 二、解答题 4．（2023高一上·上海·专题练习）已知，试确定和的大小关系. 5．（23-24高一上·上海·假期作业）已知函数，其中. (1)求，并计算的值； (2)作出该函数的图象，并求函数的值域. 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）在同一坐标系中，作出下列函数的图像，并观察两个图像有何联系： (1)； (2)． 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）作出下列函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（24-25高一上·上海·单元测试）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立． (1)函数，其中，判断是否属于集合？说明理由； (2)设函数，其中（且），若函数的图像与的图像有公共点，证明：． (3)求证函数（且）不属于集合． 题型四、利用幂指对函数的性质确定参数的值或范围 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）对数中的实数的取值范围与下列哪个不等式的解相同（    ）. A．且 B． C． D．且 二、填空题 2．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，总存在一个三角形且其边长为，，，则实数的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）若，且，则实数的取值范围为 ． 4．（24-25高一上·上海·单元测试）函数（且）的定义域为，则 ． 5．（23-24高一上·海南·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 6．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 7．（23-24高一上·上海·期末）已知定义在的严格增函数与.若对任意实数，存在实数和，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 三、解答题 8．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的定义域为. (1)若非空集合满足，求实数a的取值范围； (2)若，用定义证明：是定义域上的严格增函数. 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数． (1)若该函数的定义域为，求实数的范围； (2)若该函数的值域为，求实数的范围． 10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求的值； (2)若，求函数的最小值． 1．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若函数. (1)讨论函数的奇偶性，说明理由； (2)若函数在上为减函数，求实数a的取值范围. 2．（22-23高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数的表达式为，其中、为实数. (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若方程有一个根为，且、为正数，求的最小值； (3)若函数在区间上是严格减函数，试确定实数的取值范围，并证明你的结论. 3．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）若函数满足：对于任意正数s、t，都有，，，则称函数为“L函数”． (1)试判断函数是否是“L函数”； (2)若函数为“L函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数为“L函数”，且，求证：对任意，都有． 4．（21-22高一上·上海杨浦·期末）设是一个定义域为的函数.若是的一个非空子集，且对于任意的，都有，则称是关联的. (1)判断函数和函数是否是关联的，无需说明理由.（表示不超过的最大整数） (2)若函数是关联的，且在上，，解不等式. (3)已知正实数满足，且函数是关联的，求的解析式. 5．（22-23高一上·上海闵行·阶段练习）已知函数为奇函数 (1)判断并用定义证明函数的单调性； (2)求不等式的解集； (3)若在上的最小值为，求的值. 6．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知函数. (1)求证：函数是偶函数； (2)设，求关于的函数在时的最小值的表达式； (3)若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围. 7．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数，的最大值和最小值． 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为． (1)设，求的取值范围； (2)若恒成立，求的范围． 9．（21-22高一上·上海嘉定·期末）对于函数，函数图象上任意一点A关于点P的对称点仍在函数图象上，那么称点P为函数图象的对称中心.如果足够大时，图象上的点到直线的距离比任意给定的正数还要小，那么称函数图象无限趋近于该直线，也称直线是函数图象的非垂直渐近线. (1)研究函数的性质，填表但无需过程： 值域 单调性 奇偶性 图象对称中心 图象非垂直渐近线 (2)根据（1），在所给的坐标系中，画出大致图象，如有对称中心，则在图象中标为点P，如有非垂直渐近线，用虚线画出; (3)由（1）（2），选择以下两个问题之一来答题. ①如果函数的图象有对称中心，请根据题设的定义来证明，如果没有，请说明理由； ②请根据题设的定义，证明：函数的图象在x轴上方，且无限趋近于x轴，但永不相交. 10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知幂函数经过点． (1)当时，求函数的值； (2)是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 11．（22-23高一上·上海浦东新·期末）若函数对定义域内的任意x都满足，则称具有性质． (1)判断是否具有性质M，并证明在上是严格减函数； (2)已知函数，点，直线与的图象相交于两点（在左边），验证函数具有性质并证明； (3)已知函数，是否存在正数，当的定义域为时，其值域为，若存在，求的范围，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题03幂指对函数四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 5 题型一、利用幂指对函数的性质比较大小 5 题型二、幂指对函数的运算 8 题型三、幂指对函数的图象 20 题型四、利用幂指对函数的性质确定参数的值或范围 26 压轴能力测评（11题） 33 一、五个常用幂函数的图象 （1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝； （5）y＝x﹣1 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x﹣1 定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0} 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，+∞）时，增 x∈（﹣∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减 x∈（﹣∞，0）时，减 公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1） 二、幂函数的性质 所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）． （1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）（0，0）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大； c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右； d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数． （2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上； c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴． （3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线． 三、指数函数的图像 0<a<1时图象 a>1时图象 图象 四、指数函数的性质 性质 ①定义域R，值域 （0，+∞） ②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③ax=a，即x=1时，y等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，ax>1 x>0时，0<ax<1 ⑤x<0时，0<ax<1 x>0时，ax>1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。 （2）当时，；当时。 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。 （3）指数函数与的图象关于轴对称。 五、指数函数的应用 1.指数函数底数变化与图像分布规律 （1） 1 ② ③ ④ 则：0＜b＜a＜1＜d＜c 又即：x∈(0,+∞)时， （底大幂大） x∈(－∞,0)时， （2）特殊函数 的图像： 2.指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若；；； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可． 六、对数函数的图像 a＞1 0＜a＜1 图 象 七、对数函数的性质 性 质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x＜1时，y＜0， 当x≥1时，y≥0 当0＜x＜1时，y＞0， 当x≥1时，y≤0 要点诠释： 关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0. 八、对数函数的应用 1．底数制约着图象的升降． 如图 要点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2．底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见下图) 题型一、利用幂指对函数的性质比较大小 一、单选题 1．（22-23高一上·上海松江·期末）若满足时，恒有，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的不等式关系，结合均值不等式逐项判断作答. 【详解】对于A，取，，， 而，此时有，A不可能； 对于B，，于是，B可能； 对于C，，C可能； 对于D，，D可能. 故选：A 2．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知，则下列命题中正确的个数为（    ） （1）若，则；（2）若，则； （3）若，则；（4）若，则. A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】举例判断命题（1）（3）（4）；利用对数函数性质判断（2）. 【详解】对于（1），取，则，（1）错误； 对于（2），，函数在上单调递减，则，（2）正确； 对于（3），取，则，，即不成立，（3）错误； 对于（4），，当中至少一个为负数时，不等式无意义，（4）错误， 所以命题正确的个数为1. 故选：C 3．（23-24高一上·上海·期中）有四个命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④若且，则．其中真命题的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】对于①，直接作差结合立方差公式变形即可判断；对于②，由对数函数单调性、换底公式即可判断；对于③，作商比较大小即可；对于④，直接根据不等式的性质，同向不等式相加即可判断. 【详解】对于①，若，则，故命题①是真命题； 对于②，若，则，故命题②是假命题； 对于③，若，，则，故命题③是真命题； 对于④，若且，则，故命题④是真命题； 综上所述：真命题有①③④. 故选：C. 4．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，且，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数单调性比较大小即得. 【详解】且，函数在上单调递增，，A错误； 函数在R上单调递减，则，B错误； 函数在上单调递减，则，C正确； 由选项C知，，即，则，D错误. 故选：C 5．（22-23高一上·上海徐汇·期末）如果，那么，，的大小顺序为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助指数函数和对数函数的性质确定范围，即可解决. 【详解】设，由指数函数图像性质可知， 当时，函数值大于1，所以， 设，由指数函数图像性质可知， 当时，时函数值小于1，所以， 设，由对数函数图像性质可知， 当时，时函数值小于0，所以， 所以. 故选：C 6．（23-24高一上·上海·期中）若对任意，都有成立，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质判断． 【详解】显然当或时，，则，不满足题意， 若，则也不满足题意， 只有适合，实际上，此时， ，， 故选：A． 二、填空题 7．（21-22高一上·上海徐汇·期末）若定义域为的函数满足对任意能构成三角形三边长的实数a，b，cI，均有f(a)，f(b)，f(c)也能够成三角形三边长，则m最大值为 . 【答案】/ 【分析】不妨设三边的大小关系为：，利用函数的单调性，得出，，的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出的最大值即可. 【详解】在上严格增，所以 ，不妨设， 对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，也能构成三角形三边长， 所以， 因为，所以，对任意都成立， 所以，所以，所以， 所以，所以m的最大值为． 故答案为：. 8．（2023高一·上海·专题练习）已知，，则m，n之间的大小关系是 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及指数函数性质，借助媒介数比较大小即可. 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号， 而当时，，又在上单调递增，因此， 所以. 故选： 题型二、幂指对函数的运算 一、单选题 1．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知，，对于实数a、b，给出以下命题： 命题①：若，则. 命题②：若，则. 则以下判断正确的是（   ） A．①为真命题；②为真命题. B．①为真命题；②为假命题. C．①为假命题；②为真命题. D．①为假命题；②为假命题. 【答案】A 【分析】令，，在R上分别讨论函数的奇偶性和单调性，从而结合函数的基本性质逐项判断命题的真假. 【详解】令，. 因为，所以是奇函数， 易知幂函数在R上增函数，因此也在R上增函数； 又因为，所以是偶函数， 令，假设任意且， 则 ， 由且知，， 所以， 即函数在上单调递增函数， 从而结合复合函数单调性可知，偶函数在上单调递增，在上单调递减，又. 对一命题①：当时，，故，又，所以， 所以，则 ， 即成立，故命题①真命题； 对于命题②：当 ，即时，，， （i）当时，则，所以， 又，所以， 所以，则， 即成立； （ii）当时，， 因为也在R上增函数, 在上单调递增, 所以在上单调递增，又， 所以在上， 又当时，，，所以在上恒成立， 故当时，成立； 综上所述，时，均有成立，故命题②真命题. 故选：A. 【点睛】本题关键是将函数拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考查对函数基本性质的掌握与熟练应用. 2．（22-23高一上·上海宝山·期末）已知函数，定义域为，值域为.则以下选项正确的是（    ） A．存在实数使得 B．存在实数使得 C．对任意实数 D．对任意实数 【答案】D 【分析】设，考虑，，，，，几种情况，分别计算集合和，再对比选项得到答案.. 【详解】设，当，即时， 设对应方程的两根为，，不妨取， 当时，，，且； 当时，，； 当时，，，； 当时，，； 当时，，，，故； 当时，函数无意义. 对选项A：根据以上情况知不存在的情况，错误； 对选项B：根据以上情况知不存在的情况，错误； 对选项C：假设任意实数，， 取，解得，则， 对于，有， 此时应满足，解得， 易得不在此范围内，假设不成立，此时，错误； 对选项D：根据以上情况知对任意实数，正确； 故选：D 【点睛】关键点睛：本题考查了对数型复合函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据二次函数的开口方向和的正负讨论的范围，进而计算集合和是解题的关键，分类讨论的方法是常考方法，需要熟练掌握. 3．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知函数（是自然对数的底数）的最小值为0，关于有如下4个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则；     ④若，则. 其中真命题的个数为（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先得到当时，，从而只需当时，的值域为的子集，即，考虑，由的单调递减得到，①正确，②错误；考虑，由对勾函数的性质，分与两种情况，结合单调性得到的取值范围. 【详解】因为的最小值为0， 当时，，即， 故当时，的值域为的子集，即， 当时，为上的减函数，又， 则，即，①正确，②错误； 当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 对于③，当时，对勾函数在上单调递增， 则在上单调递减，结合①中所求可知：，故③正确； 对于④，时，对勾函数在上单调递减， 则在上单调递增，故， 故，④正确. 综上：真命题的个数为3. 故选：C 二、填空题 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，且函数与的图象若有1个交点，则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点，则满足条件的不同集合A有 个． 【答案】 （答案不唯一） 4 【分析】作出五个函数图象，根据图象即可得解. 【详解】作出五个函数图象，如图： 由图可知： 图像与、、、的图象有1个、1个，2个、2个交点； 图像与、、的图像有1个、1个，1个交点； 图像与、的图像有2个、2个交点； 图像与的图像有3个交点. 综上可得，函数与的图象若有1个交点， 则，，，，； 满足函数与的图像恰有两个交点的集合有4个： ，，，． 故答案为：（答案不唯一）；4. 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数中，表示达到某一英文打字水平（字/分）所需的学习时间（时），表示每分钟打出的字数（字/分）． （1）当达到20字/分水平时， 时，当达到40字/分水平时， 时； （2）若某同学学习时间为12时，每分钟打出 字/分． （参考数据：，，．结果取整数．） 【答案】 16 37 16 【分析】（1）分别令和，代入函数，求解即可；（2）令，代入函数求解即可. 【详解】（1）令，可得， 令，可得； （2）令，可得，即，解得 故答案为：(1)16，37；(2)16 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数，与时的的值相等，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意分析可得，，，整理可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：，且， 则，即， 由，解得，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·课后作业）定义域为的关于轴对称的函数在上是严格增函数，且时，，则满足取时，的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用给定条件得到，再利用对数函数的单调性求解范围即可. 【详解】设函数为，由题意得，而关于轴对称， 故是偶函数，又在上是严格增函数， 故在上是减函数，而题目要求即为求解的解集， 故得，或， 解得. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·课后作业）若函数的定义域为，则实数的范围为 ． 【答案】 【分析】由已知可将问题转化为不等式对任意的恒成立，满足方程没有实数根，求解即可. 【详解】由题意，知不等式对任意的恒成立， 所以方程没有实数根， 所以， 解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用二次函数和对数函数的性质得到与的单调性，再利用复合函数单调性的求法得到，再求解最值即可. 【详解】令，， 则由与复合而成， 首先令，解得， 则定义域为， 而对称轴为，其开口向下， 由二次函数性质得在单调递增，在单调递减， 由对数函数性质得在上单调递减， 由复合函数单调性得在单调递减， 在单调递增，所以当时，取得最小值， 此时最小值为. 故答案为： 10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，，且，下列结论正确的有 ．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③④ 【分析】首先判断函数的单调性，依题意可得，且，从而得到，再对各选项一一分析即可. 【详解】因为， 则在上单调递增，在上单调递减， 又，且，所以，且，则，故，故①错误； 对于②，，而， 又函数在上单调递增，且当时，所以，故②错误； 对于③，，故③正确； 对于④，，故④正确． 故答案为：③④ 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）幂函数的图像经过点，则该幂函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法，结合代入法进行求解得函数的解析式，再根据定义域求法求得答案. 【详解】设，因为幂函数的图像经过点， 所以，即， 所以该幂函数的定义域为， 故答案为：. 三、解答题 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量．能量小于时，人听不见声音．强度大于60分贝时属于噪音，其中70分贝开始损害听力神经，90分贝以上就会使听力受损，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪． (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当能量达到多少时，人会暂时性失聪？ 【答案】(1)30（分贝） (2) (3) 【分析】（1）令，代入求出声音强度； （2）根据题意，得到，解出； （3）令，，解得即可 【详解】（1）当时，代入公式，可得（分贝）． （2）噪音的强度大于60分贝，代入公式可得， 解得． 故噪音的能量范围为． （3）人在100分贝至120分贝的空间内会暂时失聪．令， 解得，令，解得， 所以当能量达到时会暂时失聪． 13．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知当时，；当时，．解不等式． 【答案】或． 【分析】利用对数函数的性质转化为等价不等式组，求解即可. 【详解】由题意知，原不等式等价于或 解得或，则原不等式解集为或. 14．（23-24高一上·上海·期末）对于定义在区间上的函数，若． (1)已知，，试写出、的表达式； (2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； (3)若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)、 (2) (3)是， 【分析】（1）根据函数、在上的单调性可得出、的表达式； （2）若与恰好为同一函数，只须在上是单调递减，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解； （3）根据函数在上的值域，写出、的解析式，再由求出的范围得到答案． 【详解】（1）解：因为函数在上单调递减， 则， 因为函数在上单调递增，则. （2）解：若与恰好为同一函数，只须在上是单调递增， 当时，令，则， 由，则，对称轴， 根据复合函数的单调性，函数显然在为单调递减，故成立． 当时，令，由，则，只需， 化简得，解得， 综上所述的取值范围为 （3）解：因为函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 所以，， 当时，，，； 当时，，， 因为函数在上单调递减，所以，； 当时，，， 因为函数在上单调递增， 所以，. 综上所述： 故是上的“阶收缩函数”，且小正整数. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解. 15．（23-24高一上·上海·期末）（1）是定义在正整数集上的函数，并且满足 ①当为正整数时，； ②当为非负整数时，. 求的值. （2）函数定义在有序正整数对的集合上，且满足下列性质： ①；②；③. 求. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由可得，后续迭代计算即可得； （2）结合所给性质逐个计算即可得. 【详解】（1）由，则， 又，故， ，故， ，故， ，故， ，故， 当时，有， 即，，， ，； （2）由，故， ， ， ， 由，故， ， ， ， ， 由，故， 即有 . 【点睛】关键点睛：第一小问关键在于能借助得到；第二小问关键在于能借助性质得到，并通过该性质不断计算化简. 题型三、幂指对函数的图象 一、单选题 1．（22-23高一·全国·课堂例题）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·单元测试）对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象，分别讨论和时，的单调性和的开口方向以及根的位置即可求解. 【详解】选项A、B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为， 选项A中，由图象得，从而，选项A可能； 选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能； 选项D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，选项D不可能； 选项C中，由图象与轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能. 故选：A. 3．（22-23高一上·上海·期末）记号表示不超过实数的最大整数，若，则的值为（    ） A．4898 B．4899 C．4900 D．4901 【答案】D 【分析】根据题意，由和互为反函数，其图象关于对称，把函数的值转化为边长为的正方形内整点的个数，结合有两个，即可求解. 【详解】根据题意，可得表示轴，及函数所成围成区域的整点的个数， 设函数和，可得函数和互为反函数， 两个函数的图象关于对称， 由函数对称性，可得轴，，与函数围成的区域 所以轴，及围成的区域所包含的整数点一样多， 如图所示，把和分别看成横轴和纵轴， 则函数表示边长为的正方形内整点的个数的之和， 其中有两个，所以整点的个数为， 即. 故选：D. 二、解答题 4．（2023高一上·上海·专题练习）已知，试确定和的大小关系. 【答案】答案见解析 【分析】利用图像在第一象限的分布规律求解. 【详解】解法一：分三种情况，令，. （1）当时，如图（1）有. （2）当时，如图（2）有. （3）当时，如图（3）有. 注意： 解法二： （1）当时，则，所以. （2）当时，则，所以 . （3）当时，则有. 5．（23-24高一上·上海·假期作业）已知函数，其中. (1)求，并计算的值； (2)作出该函数的图象，并求函数的值域. 【答案】(1)；0； (2)作图见解析， 【分析】（1）直接代入式子计算、即可； （2）结合指数函数性质分离常数法求函数值域，结合函数的单调性作出的图象. 【详解】（1）， ； （2）由（1）知，，， 所以为奇函数，图象关于原点对称，且， 为增函数， 因为，所以， 得函数的值域为. 的图象如下图， 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）在同一坐标系中，作出下列函数的图像，并观察两个图像有何联系： (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】结合指数函数图像作图即可. 【详解】（1）由题可得： 联系：底数互为倒数，图像关于轴对称 （2）由题可得 联系：底数互为倒数，图像关于轴对称 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）作出下列函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析. 【分析】（1）应用对数函数图像结合关于轴得出对称的图像； （2）应用对数函数图像结合关于轴得出对称的图像； （3）应用对数函数图像将轴下方的图像翻折到轴上方； （4）应用对数函数图像结合关于轴得出对称的图像； 【详解】（1）作出关于轴对称的图像，可得的图像，如图（1）． （2）作出关于轴对称的图像，可得的图像，如图（2）． （3）作出，将轴下方的图像翻折到轴上方，可得的图像，如图（3）． （4）作出的图像，再作出关于轴对称的图像，即得到另外一半图像，可得的图像，如图（4）． 8．（24-25高一上·上海·单元测试）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立． (1)函数，其中，判断是否属于集合？说明理由； (2)设函数，其中（且），若函数的图像与的图像有公共点，证明：． (3)求证函数（且）不属于集合． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合的定义及性质直接判断； （2）根据集合的定义直接证明； （3）根据集合的定义直接证明. 【详解】（1）对于非零常数， ，， 因为对任意，不能恒成立， 所以. （2）因为函数（且）的图像与函数的图像有公共点， 所以方程组：有解， 消去得， 显然不是方程的解， 所以存在非零常数，使． 于是对于有， 故； （3）假设属于集合，则存在非零常数使得对一切，恒成立 取时， 此时矛盾，所以假设错误，原结论成立． 题型四、利用幂指对函数的性质确定参数的值或范围 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）对数中的实数的取值范围与下列哪个不等式的解相同（    ）. A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】首先根据对数中的实数a和b的取值要求求出a和b取值范围，再解不等式分析下面选项中的a和b取值范围，看是否一致即可. 【详解】对数中的实数a的取值要求为：且，， A：本选项显然不符合题意； B：或， 显然不符合题意； C：或， 显然不符合题意； D：且且， 所以有且，，显然符合题意， 故选：D. 二、填空题 2．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，总存在一个三角形且其边长为，，，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，对，，，总有恒成立，转化为，根据单调性求函数最值即可. 【详解】由题意可得：对，，，总有恒成立，只需， ， ①当时，，满足题意； ②当时，在上单调递减，，故需，即； ③当时，在上单调递增，，故只需，即， 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：原问题对任意，，，总有，，为某一个三角形的边长，转化为对，，，总有恒成立，是解题的关键. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）若，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】合理构造指数函数，利用给定条件判断指数函数的单调性，求解参数范围即可. 【详解】令，又，， 由题意得，故， 而，故是减函数，故. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·单元测试）函数（且）的定义域为，则 ． 【答案】/ 【分析】根据函数的定义域列不等式，结合指数函数和对数运算等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 当时，，与已知矛盾. 当时，， 函数的定义域为， 所以，，两边平方得. 故答案为： 5．（23-24高一上·海南·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值范围,跟值域对比求实数的取值范围. 【详解】因为，值域为,所以对于时的函数值范围应包含，若函数值含有正数则正数部分不超过，根据图像可知 故答案为： 6．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别讨论当时，的值域和当时，的值域，根据分段函数的值域取二者的并集，结合集合的并集运算即可求解. 【详解】当时，在上单调递增， 所以时，； 当时，， ①若，则在上单调递增，在上单调递减， 则时，，即时，， 又时，， 此时，函数的值域为，不满足题意，舍去； ②当时，函数此时值域为，不满足题意，舍去； ③当时，在上单调递减， 则时，，即时，， 因为函数的值域为， 又时，； 则时，且， 不等式解得：， 不等式等价于时，， 设（）， 因为在上单调递增，在上是增函数， 所以在上单调递增，又， 所以时，等价于，即， 则不等式解得：， 所以时，的解集为， 综上：实数的取值范围是， 故答案为：. 7．（23-24高一上·上海·期末）已知定义在的严格增函数与.若对任意实数，存在实数和，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由的单调性转化得恒成立，从而求得；再由与的相关恒成立条件转化得恒成立，从而利用绝对值不等式求得；由此得解. 【详解】因为在上是严格增函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 而，故； 因为对任意实数，存在实数和，不等式恒成立， 又，所以，即， 则，且在上恒成立， 令，则，恒成立， 若，则存在使得在恒成立， 故存在使得成立，故，故， 当且仅当时等号成立, 若，不妨设， 若即，则存在，使得成立即， 故， 而，故即. 此时，可使得等号成立， 若，则存在，使得成立， 故，故， 综上：. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是取特殊值，利用绝对值不等式求得的最小值，从而得解. 三、解答题 8．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的定义域为. (1)若非空集合满足，求实数a的取值范围； (2)若，用定义证明：是定义域上的严格增函数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由的解析式可求出其定义域，由可知，由此列出相应不等式，即可求得答案； （2）由题意确定的表达式，根据函数单调性的定义，即可证明结论. 【详解】（1）由题意知函数，令， 即的定义域为， 又非空集合满足，则, 故，解得， 即实数a的取值范围为； （2），定义域为， 任取，且设， 则， 由于，且，则，， 故，即， 故是定义域上的严格增函数. 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数． (1)若该函数的定义域为，求实数的范围； (2)若该函数的值域为，求实数的范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）转化为恒成立，求解即可； （2）转化为，计算即可. 【详解】（1）由题意知需使恒成立，只要，得； （2）要使函数的值域是，需真数能取尽一切正数，只要，得或． 10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求的值； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，则在定义域内为减函数，再根据已知条件列方程可求出的值； （2）由得，对函数化简后换元得，然后利用二次函数的性质可求出其最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以在上为严格减函数， 因为函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，即，解得． （2）因为，所以， 所以， 令，则，， 所以当，即时，取最小值为． 1．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若函数. (1)讨论函数的奇偶性，说明理由； (2)若函数在上为减函数，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析，理由见解析； (2). 【分析】（1）.根据，可得当时，为奇函数；根据，可得当时，为偶函数； （2），且.由已知可得，进而可推出，根据的范围可得. 【详解】（1）解：由已知可得，函数的定义域为R， 对于，有， 因为， 当时，有，即，此时函数为R上的奇函数； 当时，，即，此时函数不是奇函数， 因为， 当时，有，即，此时函数为R上的偶函数； 当时，，即，此时函数不是偶函数. 综上所述，当时，为R上的奇函数；当时，为R上的偶函数；当时，既不是奇函数，也不是偶函数； （2）解：，且. 因为函数在上为减函数，所以，即， 因为， 因为，所以，所以， 则由可得，即， 因为，，且，所以，则， 所以， 所以实数a的取值范围为. 2．（22-23高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数的表达式为，其中、为实数. (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若方程有一个根为，且、为正数，求的最小值； (3)若函数在区间上是严格减函数，试确定实数的取值范围，并证明你的结论. 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）分析可知关于的方程的两根分别为、，根据韦达定理可求得、的值，即可求得的值； （2）由可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （3）令，任取、且，作差，由函数单调性的定义可得出，可得出，求出的取值范围，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为不等式的解集是， 所以，关于的方程的两根分别为、， 所以，，解得，，因此，. （2）解：由题意可得，， 又因为、均为正数，则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. （3）解：因为， 令，其中，由题意可知，函数在上为减函数， 任取、且，则，且， 所以， ， 所以，，可得， 而，则，. 因此，当函数函数在区间上是严格减函数，. 3．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）若函数满足：对于任意正数s、t，都有，，，则称函数为“L函数”． (1)试判断函数是否是“L函数”； (2)若函数为“L函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数为“L函数”，且，求证：对任意，都有． 【答案】(1)是“L函数” (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“L函数”的定义，利用作差法即可得出结论； （2）根据“L函数”的定义，可得当时，，，转化为函数不等式恒成立问题，利用分离参数法求解即可； （3）根据“L函数”的定义，令，可得，从而可得，再结合即可得证. 【详解】（1）对于，当时，，， 因为， 所以， 所以是“L函数”； （2）当时，由是“L函数”， 得，即对一切正数恒成立， 因为，所以对一切正数恒成立， 又因为，所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 由对一切正数恒成立，， 所以，即， 综上可知，实数a的取值范围为； （3）因为函数f（x）为“L函数”， 所以对于任意正数都有，，且， 令，可知，即， 所以对于正整数与正数都有， 对任意，可得， 因为， 所以. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于理解“L函数”的定义，考查了不等式恒成立问题及转化思想. 4．（21-22高一上·上海杨浦·期末）设是一个定义域为的函数.若是的一个非空子集，且对于任意的，都有，则称是关联的. (1)判断函数和函数是否是关联的，无需说明理由.（表示不超过的最大整数） (2)若函数是关联的，且在上，，解不等式. (3)已知正实数满足，且函数是关联的，求的解析式. 【答案】(1)函数不是关联的，函数是关联的； (2) (3) 【分析】（1）根据是关联的定义逐个判断可得结果； （2）根据函数是关联的定义求出在上的解析式，将代入可解得结果； （3）根据，得，令，得对任意恒成立，由此推出为常数函数，可得，. 【详解】（1）若满足关联，则需满足恒成立. 对于函数，不恒等于， 故不是关联的； 对于函数，恒成立， 故是关联的. （2）由题意得函数满足恒成立， 当时，，当时，， 所以. 得，或， 解得， 所以不等式的解集为. （3）由题意得对任意，， 则， 即对任意，，其中. 任取，则， ， 又对任意，，一定存在正整数使得， 此时， 因此存在实常数，使得，所以. 【点睛】关键点点睛：第（3）问中，根据，推出，再换元得，据此推出函数为常数函数是解题关键. 5．（22-23高一上·上海闵行·阶段练习）已知函数为奇函数 (1)判断并用定义证明函数的单调性； (2)求不等式的解集； (3)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)单调递增；证明见解析 (2)； (3). 【分析】（1）用作差法证明即可； （2）根据函数是单调递增的奇函数，运用函数的性质去掉 “”可解； （3）运用换元法，令转化为一个二次函数在一段区间上的最值问题可得的值. 【详解】（1）任取 单调递增， 又所以单调递增； （2）为奇函数 所以， 又单调递增，所以，解得或， 所以不等式的解集为； （3）令 单调递增， 此时对称轴为 当时，（舍） 当时， 【点睛】思路点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 6．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知函数. (1)求证：函数是偶函数； (2)设，求关于的函数在时的最小值的表达式； (3)若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先说明定义域关于原点对称，再证明即可证明函数为偶函数. （2）换元令，将函数表示为关于t的二次函数，分类讨论a的取值，求出相应最小值. （3）独立参数m，换元令，将问题转化为求函数的最小值，求得m的取值范围. 【详解】（1）证明：的定义域为，关于原点对称， 又因为，所以为偶函数. （2）令，因为，所以， 则可化为，， 若，函数在上单调递增，当时函数取最小值， 若，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时函数取最小值， . （3）由题，在上恒成立， 当时，， 即在上恒成立， 令，因为，， 即在上恒成立， 因为，，当且仅当时等号成立， 所以. 【点睛】使用换元法可以简化函数，不论是单调性问题，还是最值问题都可以更容易解决，换元要注意新未知数的取值范围. 7．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数，的最大值和最小值． 【答案】的最大值为0，最小值为． 【分析】对函数化简变形得，令，则，，然后利用二次函数的性质可求出函数的最值. 【详解】解： ． ∵，∴．令， 那么，， 函数为二次函数，开口向上，对称轴为， 则函数在上递减，在上递增． 当时，取得最小值，当或2时，取最大值0． 综上所述，的最大值为0，最小值为． 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为． (1)设，求的取值范围； (2)若恒成立，求的范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据指数函数的单调性求出函数的值域； （2）依题意在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）∵，，在上单调递增， ∴当时，取最小值为，当时，取最大值为2， ∴的取值范围为． （2）∵在上恒成立， 又，当且仅当即时取等号， ∴的最小值为，∴． 9．（21-22高一上·上海嘉定·期末）对于函数，函数图象上任意一点A关于点P的对称点仍在函数图象上，那么称点P为函数图象的对称中心.如果足够大时，图象上的点到直线的距离比任意给定的正数还要小，那么称函数图象无限趋近于该直线，也称直线是函数图象的非垂直渐近线. (1)研究函数的性质，填表但无需过程： 值域 单调性 奇偶性 图象对称中心 图象非垂直渐近线 (2)根据（1），在所给的坐标系中，画出大致图象，如有对称中心，则在图象中标为点P，如有非垂直渐近线，用虚线画出; (3)由（1）（2），选择以下两个问题之一来答题. ①如果函数的图象有对称中心，请根据题设的定义来证明，如果没有，请说明理由； ②请根据题设的定义，证明：函数的图象在x轴上方，且无限趋近于x轴，但永不相交. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据的解析式以及相关定义直接分析表中的各个性质； （2）根据（1）的结果作出的大致图象即可； （3）若选①：根据定义以及相关点法完成对称中心的证明；若选②：先分析函数取值，然后根据定义证明的图象与轴的关系. 【详解】（1） 值域 单调性 单调递减 奇偶性 非奇非偶函数 图象对称中心 图象非垂直渐近线 ， 因为时，，，，所以的值域为； 因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以在上单调递减； 因为，所以，所以是非奇非偶函数； 因为， 所以图象的对称中心为； 当时，，当时，， 所以的非垂直渐近线为和； （2）如下图所示： （3）若选①：的对称中心为， 证明：设上任意一点为，其关于的对称点为， 所以，且， 所以，所以， 所以也在的图象上， 所以为的对称中心； 若选②：因为，所以，所以的图象在轴上方； 要证明：的图象无限趋近于x轴，但永不相交， 只要证明：，时（*）， 当时，此时显然成立， 当时，只需取，此时成立， 由上可知，（*）成立，所以的图象无限趋近于直线，但不相交， 综上所述，函数的图象在x轴上方，且无限趋近于x轴，但永不相交. 【点睛】关键点点睛：本题考查指数型函数图象与性质的综合运用，要求学生熟练掌握用函数性质研究函数图象，难度较大.解答本题第三问的证明问题，关键是把握好题设的定义，对称中心的证明可以借助对称点坐标以及相关点法来完成，而非垂直渐近线的证明可以通过证明，时来完成. 10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知幂函数经过点． (1)当时，求函数的值； (2)是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）由待定系数法求出幂函数的表达式，再代入即可求解； （2）首先得出，进一步结合函数单调性列出方程组即可求解. 【详解】（1）设幂函数为，∴，∴， ∴，∴当时，． （2）存在． 理由：由（1）得，∴，∴． 因为函数在上是严格增函数， 所以函数在上是严格增函数， 所以当时，函数取最小值，当时，函数取最大值， 解得，． 故存在，满足题意． 11．（22-23高一上·上海浦东新·期末）若函数对定义域内的任意x都满足，则称具有性质． (1)判断是否具有性质M，并证明在上是严格减函数； (2)已知函数，点，直线与的图象相交于两点（在左边），验证函数具有性质并证明； (3)已知函数，是否存在正数，当的定义域为时，其值域为，若存在，求的范围，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)具有，证明见解析； (2)证明见解析； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据具有性质的定义判断即可，结合单调性的定义证明即可； （2）根据具有性质的定义判断即可，再根据得，进而根据两点间的距离公式作差法比较即可； （3）根据题意，分或，结合函数单调性讨论求解即可. 【详解】（1）解：因为，所以函数具有性质， 任取， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以，在区间上单调递减. （2）解：因为，所以具有性质， 由性质得或，解得或， 因为，，所以， 所以，， 所以， 当，，当且仅当时取等号，且， 所以， 所以，即. （3）解：注意到，由于均为正整数， 所以，要使存在正数，当的定义域为时，其值域为，则或， 当， 因为为单调递减函数， 所以，其值域为， 所以， 所以，即，整理得，即，与定义域为矛盾； 当时， 因为为增函数， 所以，其值域为， 所以，即 所以，即，与定义域为矛盾； 综上，不存在正数满足条件. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于结合函数，均为正整数得到或，进而分类讨论求解即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$