精品解析：吉林省长春市第五中学2025-2026学年高二上学期第一学程考试数学试题

2025—2026学年度高二年级上学期 第一学程考试数学学科试题 满分：150 考试时间：120分钟 第I部分 客观题（11小题，1—8每小题5分，9—11每小题6分，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程得斜率，再根据斜率和倾斜角的关系，即可求得倾斜角. 【详解】直线的斜率是， 设倾斜角为，则， ∴. 故选：C. 2. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程写出，利用公式即可求得. 【详解】由可得，则椭圆的长半轴长为短半轴长为， 则其焦距为. 故选：B. 3. 若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A. ±2 B. C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由直线和圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为， 所以， 化简得，解得. 故选：A. 4. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的方程，求得长短半轴长及半焦距、离心率，即可判断. 【详解】对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为， 对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为， 所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等. 故选：D 5. 设是椭圆上一点，、是椭圆的焦点，则三角形的周长等于（　　） A. 26 B. 36 C. 50 D. 52 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可知三角形的周长为，再由椭圆的方程可得. 【详解】 由得，， 所以，， 三角形的周长为， 故选：B 6. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两圆的方程整理成一般式，化简后相减得到一个二元一次方程即得. 【详解】将两个圆的方程化为一般式，分别为和， 作差整理得，即为所求． 故选：B. 7. 某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（ ）（参考数据，）. A. 2.5米 B. 2.7米 C. 2.6米 D. 3.1米 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.5（米）， 故选：A. 8. 若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知圆与圆相交，故，所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）.分析可得代表点到直线的距离的5倍.根据圆内点到直线距离最值的求法即可求解. 【详解】由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交，∴， ∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）. 又，∴代表点到直线的距离的5倍. ∵圆心到直线的距离为1， ∴圆环内的点到直线的距离， ∴的取值范围为. 故选：C. 二、多选题.（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为 C. |MN|最大值为6 D. |MN|最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意可得：所以，，计算可得A，B选项，设圆心C到直线的距离为,结合图形可知：当为直径时，，当时，,结合弦长公式即可求出的最小值和最大值. 【详解】由于P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点,所以点在圆内， 所以，故A正确；所以，故B正确； 设圆心C到直线的距离为,则,当为直径时，，所以,故C正确； 由于时,所以,故D不正确； 故选：ABC 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为1 B. 若//，则这两条直线间的距离是 C. 若，则 D. 与连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于直线，令，即可判断A，由两直线平行列出方程，再由两平行直线的距离公式即可判断B，由两直线垂直列出方程，即可判断C，通过数形结合，找到直线斜率的取值范围，再得到倾斜角的取值范围，即可判断D. 【详解】对于A，由，令，可得， 即在轴上的截距为，故A错误； 对于B，由//可得，解得， 此时，， 则两条直线间的距离是，故B正确； 对于C，由可得，解得，故C正确； 对于D，因为直线过定点， 由题意可以作图如下： ，，由图可知斜率， 则，则，故D正确； 故选：BCD 11. 已知圆与圆相交于两个不同的点， 下列说法正确的是（ ） A. 实数的取值范围为 B. 时，两圆的公共弦长 C. 若，则 D. 时，两圆的公切线的夹角的正弦值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：由题意可得两圆相交，结合两圆圆心距离及其半径关系计算即可得；对B：联立两圆方程，解出即可得两交点坐标，即可得解；对C：联立两圆方程，解出即可得两交点坐标，即可得公共弦方程，结合题意可得点到直线的距离是点到直线的距离的一半，即可借助点到直线距离公式计算求解；对D：求出两圆公切线方程，再结合倾斜角定义计算即可得. 【详解】对A：由可得，半径， 由，有，即， 可得，半径，则， 由圆与圆相交于两个不同的点，则两圆相交， 故有，即， 则，即， 解得，故A错误； 对B：当时，， 联立，解得， 则，故B正确； 对C：联立，解得，则， 若，则点到直线的距离是点到直线的距离的一半， 即，化简得， 即或，分别解得、，故C错误； 对D：当时，， 由两圆相交，则两圆的公切线有两条，若其存在交点，设该点为， 由，，则点在轴上，设， 设公切线方程为，即， 有，则有，即， 即或，分别解得、， 当时，，无解，故舍去， 当时，，解得， 则公切线为，， 设的倾斜角为，则， 的倾斜角为， 则两圆的公切线的夹角的正弦值为： ，故D正确. 故选：BD. 第Ⅱ部分主观题（填空题3小题，解答题共5题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 13. 曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】在曲线上任取一点，求出点关于直线的对称点的坐标，将点的坐标代入曲线的方程，化简可得出曲线的方程. 【详解】在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为， 因为点在曲线上，则有， 即为. 故曲线的方程为. 故答案为：. 14. 直线过圆与圆的公共弦中点，且与两坐标轴围成面积为2的三角形，则的方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】由解出公共弦的交点，求出中点坐标，设直线的方程为，得解出即可. 【详解】由，又或， 设公共弦的中点为，所以，即中点为， 设直线的方程为， 则或， 代入化简整理有： 或， 故答案为：或 四、解答题（共5题，依次分值13，15，15，17，17共77分） 15. 已知直线，，其中为实数． （1）当时，求的值； （2）当时，求过直线的交点，且垂直于直线的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，列出关于m的方程，即可求得答案； （2）解方程组求出直线的交点，再根据直线的垂直关系，利用直线的点斜式，即可求得答案. 【小问1详解】 由得，解得，经检验，符合题意, 故； 【小问2详解】 当时，，联立，解得， 即直线的交点为， 又直线的斜率为， 故过直线的交点，且垂直于直线的直线方程为，即． 16. 求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点； （2）焦点在轴上，且经过两个点和， （3）经过点； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，即可求得椭圆的标准方程. 【小问1详解】 解：因为两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点， 设椭圆的方程为，其中，则， 所以所求椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：因为椭圆的焦点在轴上，可设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两个点和，可得， 所以所求椭圆的方程为. 【小问3详解】 解：因为椭圆经过点，可得所求椭圆的焦点在轴上，且， 所以所求椭圆的方程为. 17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由边上的高所在直线的斜率可求直线的斜率，已知点，由点斜式方程可得直线方程，又点也在边的中线上，联立方程组求解交点的坐标即可； （2）设点，则中点在已知中线上，又点在已知边的高线上，则联立方程组可得，再由两点式可得直线的方程. 【小问1详解】 因为边上的高所在直线方程为， 设线的斜率为，则，解得， 又因为直线过点， 则直线的方程为,， 又边上的中线所在直线方程为，且该直线过点， 所以联立， 解得的坐标为． 【小问2详解】 设，因为边上的中线所在直线方程为， 所以的中点在直线上， 且边上的高所在直线过顶点， 所以，解得，即的坐标为． 由（1）知，由两点式方程得， 化简得. 即直线的方程为． 18. 已知圆. （1）求过点M（2，1）的圆的切线方程； （2）直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程； （3）已知圆的圆心在直线y=1上，与y轴相切，且与圆相外切，求圆的标准方程. 【答案】（1）y=1； （2）x+y-2=0； （3）. 【解析】 【分析】(1)将圆的一般方程化为圆的标准方程，结合图形即可求出结果； (2)根据题意可知直线过圆心，利用直线的两点式方程计算即可得出结果； (3)设圆E的圆心E（a，1），根据题意可得圆E的半径为，结合圆与圆的位置关系和两点距离公式计算求出，进而得出圆的标准方程. 【小问1详解】 圆， 即， 其圆心为，半径为1. 因为点（2，1）在圆上，如图， 所以切线方程为y=1； 【小问2详解】 由题意得，圆的直径为2， 所以直线过圆心， 由直线的两点式方程，得， 即直线的方程为x+y-2=0； 【小问3详解】 因为圆E的圆心在直线y=1上，设圆E的圆心E（a，1）， 由圆E与y轴相切，得R=a() 又圆E与圆相外切，所以， 由两点距离公式得， 所以，解得， 所以圆心，， 所以圆E的方程为. 19. 已知圆为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点， （1）求圆的方程； （2）求直线的方程； （3）求四边形的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出圆的圆心和半径，进而求出圆的圆心和半径即可得解. （2）把圆与圆的方程相减即可得直线的方程. （3）求出两圆的公共弦长，再结合相交两圆的性质求出四边形面积. 【小问1详解】 圆可化为， 则其圆心为，半径， 则中点，， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，圆与圆相交，将两个方程相减得：， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 点到直线的距离，则， 而，所以四边形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高二年级上学期 第一学程考试数学学科试题 满分：150 考试时间：120分钟 第I部分 客观题（11小题，1—8每小题5分，9—11每小题6分，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A. ±2 B. C. 2 D. 2 4. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 5. 设是椭圆上一点，、是椭圆的焦点，则三角形的周长等于（　　） A. 26 B. 36 C. 50 D. 52 6. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（ ）（参考数据，）. A. 2.5米 B. 2.7米 C. 2.6米 D. 3.1米 8. 若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题.（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为 C. |MN|最大值为6 D. |MN|最小值为2 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为1 B. 若//，则这两条直线间的距离是 C. 若，则 D. 与连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为 11. 已知圆与圆相交于两个不同的点， 下列说法正确的是（ ） A. 实数的取值范围为 B. 时，两圆的公共弦长 C. 若，则 D. 时，两圆的公切线的夹角的正弦值为 第Ⅱ部分主观题（填空题3小题，解答题共5题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 13. 曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为______． 14. 直线过圆与圆的公共弦中点，且与两坐标轴围成面积为2的三角形，则的方程为______. 四、解答题（共5题，依次分值13，15，15，17，17共77分） 15. 已知直线，，其中为实数． （1）当时，求的值； （2）当时，求过直线的交点，且垂直于直线的直线方程． 16. 求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点； （2）焦点在轴上，且经过两个点和， （3）经过点； 17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程． 18. 已知圆. （1）求过点M（2，1）的圆的切线方程； （2）直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程； （3）已知圆的圆心在直线y=1上，与y轴相切，且与圆相外切，求圆的标准方程. 19. 已知圆为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点， （1）求圆的方程； （2）求直线的方程； （3）求四边形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $