专题01 有理数及其概念 13个题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材北京版

专题01有理数及其概念 题型1 正负数的定义 题型8 数轴上两点之间的距离（易错点） 题型2 相反意义的量 题型9 相反数的定义 题型3 正负数的实际应用 题型10 求一个数的绝对值 题型4 有理数的定义 题型11 绝对值的几何意义（重点） 题型5 有理数的分类（常考点） 题型12 有理数大小比较 题型6 用数轴上的点表示有理数 题型13 绝对值非负性（重点） 题型7 利用数轴比较有理数的大小 题型一 正负数的定义（共3小题） 1．下列各数：中，正有理数的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．在游乐场的“旋转茶杯”项目中，游客可以通过转动茶杯的方向盘自主控制茶杯的旋转方向．如果把逆时针旋转两圈记作，那么顺时针旋转三圈可以记作 ． 3．如果将收入500元记作500元，那么元表示 ． 题型二 相反意义的量（共3小题） 4．下列不具有相反意义的量的是（ ） A．前进米和后退米 B．身高增加厘米和体重减少千克 C．超过克和不足克 D．节约吨水和浪费吨水 5．2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．若火箭点火前10秒记为秒，那么火箭点火后5秒应记为（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 6．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果钟表的分针逆时针方向旋转，记作，则顺时针方向旋转，记作 °． 题型三 正负数的实际应用（共3小题） 7．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如图是某微信用户的零钱明细，按这种表示方法，“”表示的是（    ） 零钱明细     （元） 扫二维码付款   微信红包收入   微信红包发出   A．微信红包发出60元 B．微信红包收入60元 C．微信余额60元 D．微信扫描二维码付款60元 8．中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，第三题中明确提出了正负术．刘徽在该术的注文里实质上给出了正、负数的定义：“两算得失相反，要令‘正’、‘负’以名之”．译文是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若零上记作，则表示（    ） A．零下 B．零上 C．零上 D．零下 9．如果水位升高时，水位变化记作，那么水位下降时，水位变化记作 ． 10．下列说法： ①整数包括正整数和负整数； ②分数包括正分数和负分数； ③既是负数也是整数，但不是自然数； ④0既是正整数也是负整数． 其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型四 有理数的定义（共2小题） 11．下列各数：，其中有理数有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 12．在四个数中，有理数有 个． 题型五 有理数的分类（共3小题） 13．在，，0，，2024中，负数有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．在，0.12，5，0，，这5个有理数中，整数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．在，，0，，，0.016中，是正分数的有 ． 题型六 用数轴上的点表示有理数（共3小题） 16．在数轴上表示下列有理数：，，，，，并用“”连接． 17．画出数轴，把下列各数表示在数轴上，并用“”号连接起来． ，，0，，． 18．如图，观察数轴，解答下列问题： (1)A点表示的有理数是______，表示有理数的点是______； (2)用数轴上的点分别表示有理数和6； (3)将这五个数，6，，0，用“”连接的结果是：______． 题型七 利用数轴比较有理数的大小（共3小题） 19．在数轴上表示出下列各数，并用“＜”连接起来 3，，，0，， 20．数轴上的点、、、分别表示，，，． (1)在如图所示的数轴上画出点、、、； (2)比较这四个点所表示的数的大小，用“”号连接起来． 21．在数轴上表示下列各数，并用“”连接． ． 题型八 数轴上两点之间的距离（共3小题） 22．已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为，则点表示的数为 ． 23．点 A在数轴上表示3，若点A到点B的距离为4，则点B表示的数是 ． 24．点为数轴上表示的点，则距点个单位长度的点所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．不同于以上答案 题型九 相反数的定义（共4小题） 25．的相反数是（   ） A．2024 B． C． D． 26．下列各数中，互为相反数的是（     ） A． 与2 B． 与 C． 与 D．与 27．的相反数是 28．的相反数是（   ） A． B． C． D． 题型十 求一个数的绝对值（共3小题） 29．比较大小： ．（填“”“”或“”） 30．比较大小： 填“”或“号”． 31．化简： 题型十一 绝对值的几何意义（共4小题） 32．有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（   ）．    A． B． C． D． 33．若成立，那么x的取值范围是 ． 34．一个整数具有下列特征：①它到原点的距离小于2；②它小于它的绝对值，则这个整数是 ． 35．若，则的值为 ；若，则是 数． 题型十二 有理数大小比较（共3小题） 36．比较大小： （填“”，“”或“”）． 37．比较大小： ． 38．写出一个比大的负有理数，这个数可以是 ． 题型十三 绝对值非负性（共5小题） 39．已知实数a，b满足则 ． 40．下列说法：①若是正有理数，则；②若是有理数，则；③若，是有理数且，则．其中正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 41．若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 42．如果有理数x、y满足，那么的值为（   ）． A． B．2 C．2或 D．或2 43．若，则 的值为（    ） A． B．4 C．0或4 D．0或 5 / 5zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01有理数及其概念 题型1 正负数的定义 题型8 数轴上两点之间的距离（易错点） 题型2 相反意义的量 题型9 相反数的定义 题型3 正负数的实际应用 题型10 求一个数的绝对值 题型4 有理数的定义 题型11 绝对值的几何意义（重点） 题型5 有理数的分类（常考点） 题型12 有理数大小比较 题型6 用数轴上的点表示有理数 题型13 绝对值非负性（重点） 题型7 利用数轴比较有理数的大小 题型一 正负数的定义（共3小题） 1．下列各数：中，正有理数的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的定义、正数的定义等知识点，掌握有理数的定义是解题的关键． 根据有理数的定义和正数这个判定即可． 【详解】解：在数中，其中正有理数的有：、、、，共4个． 故选：B． 2．在游乐场的“旋转茶杯”项目中，游客可以通过转动茶杯的方向盘自主控制茶杯的旋转方向．如果把逆时针旋转两圈记作，那么顺时针旋转三圈可以记作 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．根据正数与负数的意义可直接求解． 【详解】解：逆时针旋转两圈记作， 顺时针旋转三圈可以记作， 故答案为：． 3．如果将收入500元记作500元，那么元表示 ． 【答案】支出元 【分析】本题考查了正数和负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，如果收入用正数表示，那么支出就用负数表示，据此求解即可． 【详解】解：如果将收入500元记作500元，那么元表示支出元， 故答案为：支出元． 题型二 相反意义的量（共3小题） 4．下列不具有相反意义的量的是（ ） A．前进米和后退米 B．身高增加厘米和体重减少千克 C．超过克和不足克 D．节约吨水和浪费吨水 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键．根据两个量是否具有相反意义逐项判定即可． 【详解】解：A、前进米和后退米是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； B、身高增加厘米和体重减少千克不是具有相反意义的量，故此选项符合题意； C、超过克和不足克是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； D、节约吨水和浪费吨水是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； 故选：B． 5．2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．若火箭点火前10秒记为秒，那么火箭点火后5秒应记为（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反意义的量，解题的关键是理解正负数的意义．根据正负数的意义求解即可． 【详解】解：火箭点火前10秒记为秒， 火箭点火后5秒应记为秒． 故选：C． 6．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果钟表的分针逆时针方向旋转，记作，则顺时针方向旋转，记作 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反意义的量，掌握相反意义的量的定义是解题关键． 根据相反意义的量的定义即可解答． 【详解】解：∵因为顺时针旋转和逆时针旋转是一对相反意义的量， ∴钟表的分针逆时针方向旋转，记作，顺时针方向旋转，记作． 故答案为：． 题型三 正负数的实际应用（共3小题） 7．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如图是某微信用户的零钱明细，按这种表示方法，“”表示的是（    ） 零钱明细     （元） 扫二维码付款   微信红包收入   微信红包发出   A．微信红包发出60元 B．微信红包收入60元 C．微信余额60元 D．微信扫描二维码付款60元 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的意义，掌握有理数正负的意义成为解题的关键． 直接根据有理数加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意可知：“”表示的是微信红包收入元． 故选B． 8．中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，第三题中明确提出了正负术．刘徽在该术的注文里实质上给出了正、负数的定义：“两算得失相反，要令‘正’、‘负’以名之”．译文是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若零上记作，则表示（    ） A．零下 B．零上 C．零上 D．零下 【答案】A 【分析】此题主要考查正负数的意义，关键是理解正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可． 【详解】若零上记作，则表示零下． 故选：A． 9．如果水位升高时，水位变化记作，那么水位下降时，水位变化记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：∵水位升高时，水位变化记作， ∴水位下降时，水位变化记作． 故答案为：． 10．下列说法： ①整数包括正整数和负整数； ②分数包括正分数和负分数； ③既是负数也是整数，但不是自然数； ④0既是正整数也是负整数． 其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数，解题的关键是掌握有理数的概念和有理数的分类．利用有理数的概念和分类解答． 【详解】解：①整数包括正整数、负整数和0，选项说法错误； ②分数包括正分数和负分数，选项说法正确； ③既是负数也是整数，但不是自然数，选项说法正确； ④0既不是正数也不是负数，选项说法错误，． ∴正确的有②③，共计2个． 故选：C． 题型四 有理数的定义（共2小题） 11．下列各数：，其中有理数有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的定义，有限小数和无限循环小数是有理数，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义即可求解． 【详解】解：解：根据有理数的定义知：，，，，是有理数，共5个， 故选：C． 12．在四个数中，有理数有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查有理数的定义，熟练掌握“整数和分数统称为有理数”是解决本题的关键． 【详解】解：在四个数中，有理数有，共3个． 故答案为：3． 题型五 有理数的分类（共3小题） 13．在，，0，，2024中，负数有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了负数的定义，理解负数的定义是解题的关键．根据负数的定义来求解即可． 【详解】解∶ 在，，0，，2024中，负数有，，共2个， 故选∶B． 14．在，0.12，5，0，，这5个有理数中，整数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类，根据整数的概念求解即可．整数包括正整数，0和负整数． 【详解】解：在，0.12，5，0，，这5个有理数中， 整数有，5，0，共3个． 故选：C． 15．在，，0，，，0.016中，是正分数的有 ． 【答案】，，0.016 【分析】此题主要考查有理数的分类， 准确理解正分数的意义是解题的关键 ．根据正分数的意义进行分析判断即可 ． 【详解】解：在，，0，，，0.016中，是正分数的有，，0.016， 故答案为：，，0.016． 题型六 用数轴上的点表示有理数（共3小题） 16．在数轴上表示下列有理数：，，，，，并用“”连接． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】此题主要考查了在数轴上表示有理数、借助数轴比较有理数大小等知识． 先把各数表示在数轴上，然后根据数轴上右边的数总比左边的大求解即可． 【详解】如图所示， 由数轴可得，． 17．画出数轴，把下列各数表示在数轴上，并用“”号连接起来． ，，0，，． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小． 先化简各数，再把各个数表示在数轴上，根据“数轴上右边的点表示的数总比左边的大”进行比较大小即可． 【详解】解：，，0，，， 数轴表示如图： 根据数轴可得：． 18．如图，观察数轴，解答下列问题： (1)A点表示的有理数是______，表示有理数的点是______； (2)用数轴上的点分别表示有理数和6； (3)将这五个数，6，，0，用“”连接的结果是：______． 【答案】(1)，B (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、比较有理数的大小等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接观察数轴即可解答； （2）在数轴上用点分别表示有理数和6即可； （3）根据数轴上的数右边的比左边的大比较大小即可解答． 【详解】（1）解：由数轴可知，A点表示的有理数是，表示有理数的点是B． 故答案为：，B． （2）解：用数轴上的点分别表示有理数和6如下： （3）解：根据（2）的数轴可知：将，6，，0，用“”连接的结果是：． 故答案为：． 题型七 利用数轴比较有理数的大小（共3小题） 19．在数轴上表示出下列各数，并用“＜”连接起来 3，，，0，， 【答案】见解析， 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数大小，在数轴上正确表示出有理数是解题的关键．先在数轴上正确表示出各数，再结合数轴比较有理数的大小即可解答． 【详解】解：在数轴上表示出各数如下： 由数轴可得，． 20．数轴上的点、、、分别表示，，，． (1)在如图所示的数轴上画出点、、、； (2)比较这四个点所表示的数的大小，用“”号连接起来． 【答案】(1)数轴见解析 (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数大小等知识，熟记利用数轴比较有理数大小法则是解题的关键． （1）根据表示的数，在数轴上表示出来即可； （2）在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大，据此比较大小即可． 【详解】（1）解：在数轴上画出点，如下图所示； （2）解：由数轴得：． 21．在数轴上表示下列各数，并用“”连接． ． 【答案】在数轴上表示各数见解析， 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，在数轴上表示出各数，再根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解： 数轴表示如下所示： ∴． 题型八 数轴上两点之间的距离（共3小题） 22．已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点之间距离求法、数轴上的点表示有理数等知识，由数轴上点表示的数，再根据数轴上两点之间的距离，计算即可得到答案．掌握数轴上两点之间距离的求法是解决问题的关键． 【详解】解：已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为，则点表示的数为或者， 故答案为：或． 23．点 A在数轴上表示3，若点A到点B的距离为4，则点B表示的数是 ． 【答案】或7 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，以及数轴上两点之间的距离，根据点A在数轴上表示3，点A到点B的距离为4，得出或，即可作答． 【详解】解：∵点 A在数轴上表示3，且点A到点B的距离为4， ∴当点B在点A的左边时，则； ∴当点B在点A的右边时，则； 综上点B表示的数是或7， 故答案为：或7． 24．点为数轴上表示的点，则距点个单位长度的点所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．不同于以上答案 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据两点间距离公式计算即可求解，掌握两点间距离公式是解题的关键． 【详解】解：∵点为数轴上表示的点， ∴距点个单位长度的点所表示的数为或， 故选：． 题型九 相反数的定义（共4小题） 25．的相反数是（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义．根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可． 【详解】解：的相反数是2024． 故选：A． 26．下列各数中，互为相反数的是（     ） A． 与2 B． 与 C． 与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了相反数、绝对值以及去括号等知识，解题关键是熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义，并结合去括号法则、绝对值的性质，逐项分析，即可获得答案． 【详解】解：A. 与2互为相反数，本选项符合题意； B. 与不是相反数，本选项不符合题意； C. 与不是相反数，本选项不符合题意； D. ，，所以与不是相反数，本选项不符合题意． 故选：A． 27．的相反数是 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 28．的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 题型十 求一个数的绝对值（共3小题） 29．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 根据有理数大小比较的法则：两个负数比较大小，绝对值越大的值反而越小． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 30．比较大小： 填“”或“号”． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较．根据正数大于负数、负数都小于0、两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴； ∵，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 31．化简： 【答案】 / 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的化简，根据多重符号的化简方法及绝对值的定义化简即可． 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：，，，． 题型十一 绝对值的几何意义（共4小题） 32．有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（   ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值表示数轴上的点到原点的距离，距离越大，绝对值越大，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，表示数的点到原点的距离最大， ∴绝对值最大的是； 故选A． 33．若成立，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的性质，根据题意得出，得到或，然后分情况验证即可． 【详解】∵成立， ∴ ∴或 ∴当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立； 综上所述，x的取值范围是． 故答案为：． 34．一个整数具有下列特征：①它到原点的距离小于2；②它小于它的绝对值，则这个整数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值、到原点的距离等知识点，掌握绝对值的意义成为解题的关键． 由该整数的小于它的绝对值，即其为负整数；再根据它到原点的距离小于2确定其取值范围，进而完成解答． 【详解】解：∵一个整数小于它的绝对值， ∴这个整数是一个负整数． 又∵它到原点的距离小于2， ∴这个数的取值范围为 ∴这个整数是． 故答案为：． 35．若，则的值为 ；若，则是 数． 【答案】 非正 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解决此题的关键，根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解： 若，则的值为， 若，则是非正数， 故答案为：，非正． 题型十二 有理数大小比较（共3小题） 36．比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可进行判断． 【详解】解：，，， ， ， 故答案为：． 37．比较大小： ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解本题的关键．利用两个负数比较大小的方法判断即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， 故答案为：． 38．写出一个比大的负有理数，这个数可以是 ． 【答案】（不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的比较大小，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键．根据有理数的大小比较以及负有理数的定义即可得到答案． 【详解】解：比大的负有理数，这个数可以是， 故答案为：（不唯一）． 题型十三 绝对值非负性（共5小题） 39．已知实数a，b满足则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据得，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：1 40．下列说法：①若是正有理数，则；②若是有理数，则；③若，是有理数且，则．其中正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，绝对值的非负性，根据当时，可判断①；根据当时，可判断②；根据，可得，可判断③． 【详解】解：①若是正有理数，则不一定成立，例如当时，，原结论错误； ②若是有理数，则不一定成立，例如时，，原结论错误； ③若，是有理数且，则，原结论正确； ∴正确的只有1个， 故选：B． 41．若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法运算，绝对值的意义，根据个数中有个正数，则有个负数，进而推出中，有个1，个，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：个数中有个负数， ∴中，有个1，个， ∴； 故选：D． 42．如果有理数x、y满足，那么的值为（   ）． A． B．2 C．2或 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘除法，化简绝对值，掌握有理数的乘法法则是解题关键．根据有理数的乘法法则和，即得出，或，．分类讨论化简绝对值求解即可． 【详解】解：因为， 所以，或，． 当，时，； 当，时，． 故选C． 43．若，则 的值为（    ） A． B．4 C．0或4 D．0或 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的四则运算，根据乘法计算法则得到中负数的个数为奇数个，则可分两种情况：当三个数都为奇数时，当中有一个负数，两个正数时，不妨设是负数，两种情况分别化简绝对值后计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴中负数的个数为奇数个， 当三个数都为奇数时， 则； 当中有一个负数，两个正数时，不妨设是负数， 则， 综上所述，的值为0或， 故选：D． 22 / 23zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $