1.1 正数与负数（基础篇） 讲义 2025-2026学年北京版数学七年级上册

本讲义聚焦初中数学“整数和负数”核心知识点，系统梳理正数负数的定义、表示方法及应用场景，相反意义的量的构成要素与相对性，0的多重意义（分界点、基准等），以及有理数的概念与分类，搭建“概念理解-实际应用-体系构建”的学习支架。 资料含思维导图辅助知识梳理，通过台风水位、运动方向等生活实例设计练习题，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力与符号意识。逻辑清晰的概念讲解（如相反意义的量构成要素）发展数学思维的推理意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

1.1整数和负数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 正数和负数 1. 定义：大于0的数叫做正数，在正数前面加上“-”（负号）的数叫做负数。例如，+3（可省略“+”写作3）是正数，-5是负数。 2. 表示方法：正数的“+”号通常可省略不写，负数的“-”号必须保留，以区分于正数。 3. 与0的关系：正数都大于0，负数都小于0，0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点。 4. 应用场景：在实际生活中，正数和负数常用来表示具有相反意义的量，如收入与支出、上升与下降、零上温度与零下温度等。 相反意义的量 1. 定义：两种具有完全相反含义的量，它们不仅意义相反，还具有数量属性。例如，向东走5米和向西走5米，其中“向东”和“向西”是相反的方向，“5米”是数量，二者构成相反意义的量。 2. 构成要素：包含两个要素，一是意义相反，二是具有数量（可以是具体数值）。如果只有意义相反而没有数量，则不是相反意义的量，如“左”和“右”本身不是相反意义的量，但若加上数量“左走3步”和“右走3步”则是。 3. 表示方法：通常用正数表示其中一种意义的量，用负数表示与其相反意义的量。例如，规定收入为正，则支出为负；规定海平面以上为正，则海平面以下为负。 4. 相对性：相反意义的量是相对的，取决于事先规定的正方向。例如，若规定向西走为正，则向东走就为负，具体正负需根据实际设定的标准来确定。 0的意义 1. 作为数的基本属性：0是整数，也是有理数，它既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点，大于0的数是正数，小于0的数是负数。 2. 表示“没有”：在数量上，0可以表示“没有”。例如，教室里有0个学生，表示教室里没有学生；口袋里有0元钱，表示没有钱。 3. 表示基准或起点：在实际情境中，0常作为基准或起点。例如，温度计上的0℃不是表示没有温度，而是零上温度和零下温度的分界点；海拔高度为0米表示海平面的高度，是计算某地高于或低于海平面高度的基准。 4. 表示特定状态：在一些计数或计量中，0表示一种特定状态。例如，电话号码、门牌号中的0是数字编码的一部分，用于区分不同的号码；在计时中，0点表示一天的开始（午夜12点）。 5. 数学运算中的作用：在数学运算中，0是重要的数。例如，任何数加0仍得原数（a+0=a）；任何数减0仍得原数（a-0=a）；0乘任何数都得0（a×0=0）；0除以任何非0的数都得0（0÷a=0，a≠0），但0不能作为除数（因为0作除数无意义）。 有理数 (1)凡能写成p, q为整数且p ≠ 0) 形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数． 注意：0 即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； 不是有理数； 有理数的分类: (3)注意：有理数中，1 、0 、-1 是三个特殊的数，它们有自己的特性； 这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； 型 习 练 题 相反意义的量 1．受台风“博罗依”影响，某市大部分地区出现强降雨，该地区某水库发生建成以来最大洪水．水库水位快速升高，逼近防洪高水位．如果水位上升，记作，那么水位下降，应记作（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正负数的应用，根据“正负数表示相反意义的量”，上升记为正，则下降记为负即可得出答案． 【详解】解：∵水位上升记作， ∴水位下降应记作． 故选：D． 2．如果一个物体向东运动4，记为；那么该物体向西运动5，记为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的意义． 根据正负数的意义，规定向东运动为正方向，则向西运动为负方向，据此求解即可． 【详解】解：因为向东运动4记为， 所以向西运动方向应记为负值． 所以向西运动5，记为． 故选：A． 3．在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失2个球记作（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数的意义，正数和负数表示具有相反意义的量．已知进球记为正，则失球应记为负，据此作答即可． 【详解】解：由题意，进球为正，则失球为负， 故失2个球记作个； 故选C． 4．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北走米记作米，则向南走米可记作（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查正负数的意义，向北记为正，则向南记为负，直接根据相反意义的量即可得出答案． 【详解】解：∵向北走100米记作米， ∴向南走为相反方向，应记为负． 又∵向南走米， ∴记作米． 故选：A． 5．“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句俗语描绘出了我国某些地区温差大的现象，若某地区一天内上午温度上升记作，则傍晚温度下降记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是用正负数表示具有相反意义的量，温度变化中，上升记为正，下降记为负，因此下降应记作负数即可． 【详解】解：∵上午温度上升记作，表示增加为正， ∴傍晚温度下降应记作负数，即， 故选：B． 正负数的实际应用 6．2025年5月，我国某深海探测器下潜深度记为米．这个“－”号表示（    ） A．零下温度 B．低于海平面 C．方向向西 D．探测误差 【答案】B 【分析】此题考查正负数的实际应用，在深度测量中，“”号表示低于海平面，即可求解． 【详解】解：∵在深度测量中，通常以海平面为基准，正数表示高于海平面，负数表示低于海平面； ∴ “”表示低于海平面7068米； 故选：B． 7．如果向东走，记作，那么表示（      ） A．向东走 B．向南走 C．向西走 D．向北走 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的意义．根据向东走记为正，则向西走就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：如果向东走，记作，那么表示向西走． 故选：C． 8．若国庆假期西宝高速某时间段驶入武功服务区86辆车记作辆，则该时间段驶出65辆车记作（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】C 【分析】本题考查正负数的意义．根据正负数的意义，驶入车辆记为正数，则驶出车辆应记为负数，据此即可解题． 【详解】解：因为驶入武功服务区86辆车记作辆，即驶入车辆记作正数， 则驶出车辆应记作负数． 即驶出65辆车，应记作辆． 故选：C． 9．大米包装袋上标着“净重（）”，表示这种大米标准的质量是，实际每袋大米的质量最少不能低于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的应用，解题的关键是理解题意；根据净重标识“”表示实际质量在标准质量基础上允许有的误差，因此最小质量是标准质量减去误差即可． 【详解】解：∵标准质量为，误差为， ∴最小质量； 故选B． 10．2025年1月27日受强冷空气和辐射降温影响，我市市区最低温度为记作，平天山作为高寒山区最低温度为零下，记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，解题的关键是掌握正负数的实际意义． 零下温度用负数表示，因此零下应记作负值． 【详解】解：∵ 市区温度记作， ∴ 零下应记作负数，即， 故选：A． 0的意义 11．下面关于0的说法，正确的个数是（    ） ①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了零的意义、有理数的分类，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：∵0既不是正数也不是负数，∴①正确； ∵自然数包括0和正整数，且0是最小的自然数，∴②正确； ∵正数大于0，0不是正数，∴③错误； ∵非负数包括0和正数，0是最小的非负数，∴④正确； ∵0能被2整除，属于偶数，∴⑤错误． 综上，正确说法为①、②、④，共3个． 故选：B． 12．关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【答案】D 【分析】本题考查了关于0的认识，0是整数，自然数，是有理数，但不是正数，也不是负数，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 0是整数，也是有理数，故原选项正确，不合题意； B. 0既不是正数，也不是负数，故原选项正确，不合题意； C. 0是整数，也是自然数故原选项正确，不合题意； D. 0既是自然数，也是有理数，故原选项错误，符合题意﹒ 故选：D 13．下列说法：①0既不是正数也不是负数；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，“0”的意义，0既不是正数也不是负数，整数分为正整数，负整数和0，有理数分为整数和分数，有理数也分为正有理数，负有理数和0，据此逐一判断即可． 【详解】解： ①0既不是正数也不是负数，原说法正确； ②整数包括正整数、负整数和0，原说法错误； ③有理数是整数和分数的统称，原说法错误； ④整数中有负整数小于0，原说法错误； ⑤负分数是有理数，原说法正确； ∴ 正确的有①⑤，共2个， 故选：B． 14．下列说法错误的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．1和2之间没有有理数 C．0.5是正有理数 D．既是整数，也是负数 【答案】B 【分析】本题考查有理数、整数等基本概念．通过逐一判断各选项是否符合数学定义，即可找出错误说法． 【详解】解：∵ 0既不是正数也不是负数，符合定义，∴ A正确； ∵ 1和2之间存在无数有理数，如1.5（即），∴ B错误； ∵且可表示为分数，∴ C正确； ∵是负整数，∴ D正确． 故选：B． 15．下列各数中，既不是正数，也不是负数的是（   ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的分类，根据有理数的分类，零既不是正数也不是负数． 【详解】∵ 正数是大于0的数，负数是小于0的数，而0既不是正数也不是负数， ∴ 选项D正确． 故选：D． 有理数的分类 16．在有理数，，0，，5，3.14，10中，属于整数的有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了整数的概念，整数包括正整数、负整数和零．从给定的有理数中识别出整数即可． 【详解】∵整数包括正整数、负整数和零， ∴在数3， ， 0， ， ， ， 中， 整数有：， 0， 5， 10，共4个． 故选B． 17．在有理数，，0，，11 中，非负整数有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3  个 D．4  个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数相关的定义，解题的关键是掌握非负整数的定义． 非负整数是指大于或等于零的整数，从给定的有理数中筛选出整数且非负的数． 【详解】解：非负整数的有0和11，共2个， 故选：B． 18．下列各数中，负有理数的个数是（    ） ，， ， 0，，130，， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了有理数分类，解题关键是掌握负有理数包括负整数和负分数．根据负有理数的分为负整数和负分数，逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：负有理数有，，，共3个， 故选：C． 19．下列说法中，错误的有（    ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类和概念，熟练掌握有理数概念是解题的关键． 根据有理数的定义判断各说法的正误即可． 【详解】解：∵ 有理数包括整数和分数，非负有理数是指大于或等于零的有理数， ∴ ① 是负分数，正确； ② 是分数，不是整数，正确； ③ 非负有理数包括，故错误； ④ 是有限小数，是有理数，故错误； ⑤ 有理数没有最小值，故错误； ⑥ 整数和分数统称有理数，故错误。 综上所述，错误的有③、④、⑤、⑥，共 个． 故选：D． 20．下列四个有理数中，既是整数又是负数的是（  ） A．2 B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类．根据有理数的分类，即可求解． 【详解】解：A、2是整数又是正数，故该选项不符合题意； B、是分数又是负数，故该选项不符合题意； C、是整数又是负数，故该选项符合题意； D、0是整数不是负数，故该选项不符合题意； 故选：C． 带“非”字的有理数 21．在，，，，中，非负数个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了非负数的识别，解答本题的难点是正确理解“非负数”的含义．非负数包括正数和零，因此需要判断每个数是否大于或等于零，据此可得答案． 【详解】解：∵ 非负数是指大于或等于0的数， ∴，是非负数； ，不是非负数； ，是非负数； ，是非负数； ，不是非负数。 ∴ 非负数有2、1.5、0，共3个， 故选：C． 22．在，，，，五个数中，非正有理数共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数，根据非正有理数是指小于或等于零的有理数逐一分析即可，熟练掌握非正有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据非正有理数是指小于或等于零的有理数可得， 非正有理数为，，，共个， 故选：． 23．下列各有理数：中（   ） A．只有是整数 B．只有是负分数 C．非负数有 D．其中有三个数是正整数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正整数、整数（正整数、零和负整数）、非负数和负分数的定义进行解答即可． 【详解】解：A、整数包括：，故本选项错误； B、负分数包括，故本选项正确； C、非负数包括，故本选项错误； D、正整数只有两个，即和，故本选项错误． 故选：B． 24．下列关于有理数的说法正确的是（    ） A．有限小数和无限循环小数不是有理数 B．正整数与负整数统称为整数 C．正有理数、0、负有理数统称为有理数 D．非负整数即为正整数 【答案】C 【分析】本题考查有理数的定义和分类．有理数包括整数和分数，其中分数可化为有限小数或无限循环小数；整数包括正整数、0、负整数；非负整数包括正整数和0．根据这些概念依次判断即可． 【详解】因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，属于有理数， 所以选项A错误； 因为整数包括正整数、0、负整数，选项B遗漏了0， 所以选项B错误； 因为有理数按符号分为正有理数、0、负有理数， 所以选项C正确； 因为非负整数包括正整数和0，选项D忽略了0， 所以选项D错误． 故选：C． 25．在中，非负有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负有理数的定义，解题的关键是熟练掌握非负有理数的定义．利用非负有理数即正有理数和0，一一判断即可． 【详解】解：非负有理数有， 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1整数和负数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 正数和负数 1. 定义：大于0的数叫做正数，在正数前面加上“-”（负号）的数叫做负数。例如，+3（可省略“+”写作3）是正数，-5是负数。 2. 表示方法：正数的“+”号通常可省略不写，负数的“-”号必须保留，以区分于正数。 3. 与0的关系：正数都大于0，负数都小于0，0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点。 4. 应用场景：在实际生活中，正数和负数常用来表示具有相反意义的量，如收入与支出、上升与下降、零上温度与零下温度等。 相反意义的量 1. 定义：两种具有完全相反含义的量，它们不仅意义相反，还具有数量属性。例如，向东走5米和向西走5米，其中“向东”和“向西”是相反的方向，“5米”是数量，二者构成相反意义的量。 2. 构成要素：包含两个要素，一是意义相反，二是具有数量（可以是具体数值）。如果只有意义相反而没有数量，则不是相反意义的量，如“左”和“右”本身不是相反意义的量，但若加上数量“左走3步”和“右走3步”则是。 3. 表示方法：通常用正数表示其中一种意义的量，用负数表示与其相反意义的量。例如，规定收入为正，则支出为负；规定海平面以上为正，则海平面以下为负。 4. 相对性：相反意义的量是相对的，取决于事先规定的正方向。例如，若规定向西走为正，则向东走就为负，具体正负需根据实际设定的标准来确定。 0的意义 1. 作为数的基本属性：0是整数，也是有理数，它既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点，大于0的数是正数，小于0的数是负数。 2. 表示“没有”：在数量上，0可以表示“没有”。例如，教室里有0个学生，表示教室里没有学生；口袋里有0元钱，表示没有钱。 3. 表示基准或起点：在实际情境中，0常作为基准或起点。例如，温度计上的0℃不是表示没有温度，而是零上温度和零下温度的分界点；海拔高度为0米表示海平面的高度，是计算某地高于或低于海平面高度的基准。 4. 表示特定状态：在一些计数或计量中，0表示一种特定状态。例如，电话号码、门牌号中的0是数字编码的一部分，用于区分不同的号码；在计时中，0点表示一天的开始（午夜12点）。 5. 数学运算中的作用：在数学运算中，0是重要的数。例如，任何数加0仍得原数（a+0=a）；任何数减0仍得原数（a-0=a）；0乘任何数都得0（a×0=0）；0除以任何非0的数都得0（0÷a=0，a≠0），但0不能作为除数（因为0作除数无意义）。 有理数 (1)凡能写成p, q为整数且p ≠ 0) 形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数． 注意：0 即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； 不是有理数； 有理数的分类: (3)注意：有理数中，1 、0 、-1 是三个特殊的数，它们有自己的特性； 这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； 型 习 练 题 相反意义的量 1．受台风“博罗依”影响，某市大部分地区出现强降雨，该地区某水库发生建成以来最大洪水．水库水位快速升高，逼近防洪高水位．如果水位上升，记作，那么水位下降，应记作（  ） A． B． C． D． 2．如果一个物体向东运动4，记为；那么该物体向西运动5，记为（   ） A． B． C． D． 3．在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失2个球记作（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北走米记作米，则向南走米可记作（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句俗语描绘出了我国某些地区温差大的现象，若某地区一天内上午温度上升记作，则傍晚温度下降记作（    ） A． B． C． D． 正负数的实际应用 6．2025年5月，我国某深海探测器下潜深度记为米．这个“－”号表示（    ） A．零下温度 B．低于海平面 C．方向向西 D．探测误差 7．如果向东走，记作，那么表示（      ） A．向东走 B．向南走 C．向西走 D．向北走 8．若国庆假期西宝高速某时间段驶入武功服务区86辆车记作辆，则该时间段驶出65辆车记作（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 9．大米包装袋上标着“净重（）”，表示这种大米标准的质量是，实际每袋大米的质量最少不能低于（   ） A． B． C． D． 10．2025年1月27日受强冷空气和辐射降温影响，我市市区最低温度为记作，平天山作为高寒山区最低温度为零下，记作（   ） A． B． C． D． 0的意义 11．下面关于0的说法，正确的个数是（    ） ①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数． A．4 B．3 C．2 D．1 12．关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 13．下列说法：①0既不是正数也不是负数；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 14．下列说法错误的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．1和2之间没有有理数 C．0.5是正有理数 D．既是整数，也是负数 15．下列各数中，既不是正数，也不是负数的是（   ） A． B．2 C．1 D．0 有理数的分类 16．在有理数，，0，，5，3.14，10中，属于整数的有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 17．在有理数，，0，，11 中，非负整数有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3  个 D．4  个 18．下列各数中，负有理数的个数是（    ） ，， ， 0，，130，， A．1 B．2 C．3 D．4 19．下列说法中，错误的有（    ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 20．下列四个有理数中，既是整数又是负数的是（  ） A．2 B． C． D．0 带“非”字的有理数 21．在，，，，中，非负数个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．在，，，，五个数中，非正有理数共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 23．下列各有理数：中（   ） A．只有是整数 B．只有是负分数 C．非负数有 D．其中有三个数是正整数 24．下列关于有理数的说法正确的是（    ） A．有限小数和无限循环小数不是有理数 B．正整数与负整数统称为整数 C．正有理数、0、负有理数统称为有理数 D．非负整数即为正整数 25．在中，非负有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 学科网（北京）股份有限公司 $