第一章 有理数（复习讲义）数学北京版2024七年级上册

第一章 有理数（复习讲义） ①掌握正数、负数的概念，理解有理数的概念和分类； ②理解并应用数轴、相反数、绝对值等相关概念，学会用数形结合的方法解决问题； ③熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，并能在混合运算中选择合适的运算律简化运算； ④能利用有理数的加、减、乘、除、乘方运算解决简单的生活实际问题； ⑤掌握科学记数法的相关概念；理解并运用近似数的概念； 知识点 重点归纳 常见易错点 正数 负数 正数、负数可以表示生活中具有相反意义的量 通常表示上升、盈利等用正数表示； 通常表示下降、亏损等用负数表示； 这只是一种规定，可以根据实际需要改变 数轴 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度； 2.利用数轴比较两个有理数的大小：左<右 单位长度可以根据实际需要选择 绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 4.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即。 1.化简含有字母的绝对值时，要借助分类讨论数学思想，对绝对值内的东西分三种情况讨论，然后利用 将绝对值符号去掉化简； 2.绝对值的几何意义非常重要，要灵活使用这一点解决问题。 3.绝对值的非负性最常见的应用： 由得出 有理数的加法 1. 有理数加法法则：（分类讨论思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 2.加法运算律：(作用：简化计算) 交换律： 结合律： 1.有理数加法法则是最基本的，符号弄错是最常见的错误。 法则理解记忆方法： 可以把两个相加的数想象成打仗时的敌我双方，数的符号表示双方的旗子，数的绝对值代表双方的人数力量。 有理数的减法 减去一个数，等于加这个数的相反数 将减法转化成加法做，做熟练后就可以不转化了 有理数的乘法 1. 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 2.有理数乘法运算律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 1.有理数乘法法则简单好记，但写结果时，不要忘记符号，更不要与加法法则符号混淆！ 灵活利用有理数的乘法运算律，可以简化计算，减少计算错误。 有理数的除法 除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 乘除互为逆运算，可以相互转化 有理数的乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数；指数：n叫做指数. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 3.科学记数法：把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 1.乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 2.当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 3.一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 4.底数为-1的幂规律要理解记忆，这个最常考。 有理数的混合运算 有理数的混合运算解题步骤： 1.审题：包含哪些运算，能否使用运算律简化运算； 2.计算：按运算律和运算法则进行计算； 3.检查：注意检查符号。 1.有理数的混合运算主要是运算顺序的问题，每一步都要注意查看运算顺序该做哪一步； 2.另外还要注意使用运算法则时的符号问题。 近似数 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0. 对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 题型一 正数和负数的相关概念 【例1】在这些数中，是负数的是（    ） A． B．0 C． D．4 【答案】A 【详解】本题考查负数的概念，负数是指小于0的数． 根据负数的概念判断即可． 【分析】解：在这些数中，是负数的是， 故选：A． 【变式1-1】史料证明：追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并应用于生产和生活中．我国古代的《九章算术》，是世界数学史上首次正式引入负数的文献．若收入50元可记作元，则支出30元可记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量． 根据题意，收入与支出为相反意义的量，收入用正数表示，则支出用负数表示，据此作答即可． 【详解】解：∵收入50元可记作元， ∴支出30元可记作元， 故选：B． 【变式1-2】在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有 个，负数有 个． 【答案】 5 2 【分析】本题考查正数与负数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据正数与负数的定义，直接作答即可． 【详解】解：正数有35，，，，，共5个； 负数有，共2个． 故答案为：5：2． 【变式1-3】找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米． 【答案】具有相反意义的量分别为：①与⑨；②与⑥；③与⑩；④与⑦；⑤与⑧ 【分析】具有相反意义的量必须是同类量，且只具有相反意义，量不一定相同，所以要先看它们是否是同一类量，再看它们是否意义相反，据此进行逐个分析即可作答．本题考查了正负数的意义． 【详解】解：依题意，具有相反意义的量分别为：①与⑨；②与⑥；③与⑩；④与⑦；⑤与⑧． 题型二 有理数的概念与分类 【例2】下列7个数，，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的概念，解题的关键是根据有理数的定义（整数和分数，即有限小数或无限循环小数），逐一判断各数是否属于有理数． 【详解】解：，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6）中， ：分数形式，属于有理数． 1.010010001：有限小数，属于有理数． ：分数形式，化为小数是无限循环小数，属于有理数． 0：整数，属于有理数． ：整数，属于有理数． ：有限小数，属于有理数． （每两个2之间依次多一个6）：虽然有一定规律，但无限不循环，属于无理数． 综上，前6个数均为有理数，共， 故选：D． 【变式2-1】下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．整数和分数统称为有理数 C．有理数分为正数，负数和零 D．正整数和负整数统称为整数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的基本概念． 根据有理数的基本概念逐一分析即可． 【详解】解：A：当为负数时，为正数，故原说法错误； B：根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，故原说法正确； C：有理数分为正有理数、负有理数和零，而非笼统的“正数、负数和零”，故原说法错误； D：整数包括正整数、负整数和零，选项中遗漏了零，故原说法错误； 故选：B． 【变式2-2】在中有理数有个，自然数有个，分数有个，负数有个，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数，自然数，分数，负数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据有理数，自然数，分数，负数的定义判断解答即可． 【详解】解：由 有理数有个，自然数有2个，分数有2个，负数有3个， 故， 故． 故答案为：6． 【变式2-3】把下列各数填在相应的括号内： ． 正有理数集合{              ．．．}； 负有理数集合{             ．．．}； 整数集合{                ．．．}； 正分数集合{               ．．．}． 【答案】见详解 【分析】此题考查了有理数的分类．根据有理数的分类方法进行解答即可． 【详解】解：， 正有理数集合{．．．}； 负有理数集合{．．．}； 整数集合{．．．}； 正分数集合{．．．}． 题型三 数轴 【例3】下列所画数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．根据数轴的三要素进行判定即可． 【详解】解：A、缺少单位长度，本选项不符合题意； B、缺少正方向，本选项不符合题意； C、三要素具备，本选项符合题意； D、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，本选项不符合题意． 故选：C． 【变式3-1】已知数轴上A点为，点B由点A向右移动6个单位长度，点C距离点B两个单位，则点C在数轴上对应的数为 ． 【答案】5或1 【分析】本题考查了数轴，掌握平移的关键在于点对应的数的大小变化和平移的规律． 数轴上的点平移时和数的大小变化规律：左减右加． 【详解】解：∵A点为，点B由点A向右移动6个单位长度， ∴B 是， ∵点C距离点B两个单位， ∴①当点C在点B的右边时：； ②当点C在点B的左边时：； ∴点C在数轴上对应的数为5或1， 故答案为：5或1. 【变式3-2】如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要查了数轴上两点间的距离．根据数轴上两点间的距离解答即可． 【详解】解：根据题意得：点表示的数是3，， ∴点B表示的数是， 故答案为： 【变式3-3】给出下列9个有理数，按下列要求解答： 3，，0，，0.45，，，， (1)把上面的9个数用“”排列起来； (2)把数3，0，，，表示在数轴上． 【答案】(1) (2)见详解； 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较．熟知相关定义是正确解题的关键． （1）根据“正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数”的法则即可结果； （2）根据数轴是用直线上的点表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来； 【详解】（1）解：将3，，0，，，，，，用“”排列如下： ； （2）解：把数3，0，，，表示在数轴上，如下： 题型四 数轴上点的运动 【例4】将1在数轴上对应的点向右平移2024个单位，则此时该点对应的数是（   ） A．2023 B．2025 C．2026 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，正确理解有理数所表示的点左右移动后得到的点所表示的数是解题的关键．将在数轴上对应的点向右平移2024个单位，在数轴上找到这个点，即得这个点所表示的数． 【详解】解：根据题意：数轴上所对应的点向右平移2024个单位，则此时该点对应的数是． 故选：B． 【变式4-1】数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B，若点B到原点的距离为6，点C到点A和点B距离相等，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或10 C．2或10 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数，结合点C到点A和点B距离相等，列式计算，即可作答．即可． 【详解】解：∵点B到原点的距离为6， ∴点B表示的数是：和6， ∵数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B， ∴或 ∴点A表示的数是2或， ∵点C到点A和点B距离相等， ∴或， ∴点C表示的数是或10 故选：B． 【变式4-2】点在数轴上距原点2个单位长度，一个点从点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点，点表示的数为 ． 【答案】0或4 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，利用数轴上的点左移减，右移加是解题关键． 先确定点A表示的数，再分别求出两次移动后表示的有理数即可得出答案． 【详解】解：点在数轴上距原点2个单位长度， 点表示的数为2或， 当点表示2时：向右移动3个单位得，再向左移动1个单位，， 当点表示时：向右移动3个单位得，再向左移动1个单位，， 综上，点表示的数为0或4． 【变式4-3】已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)；1 (2)①；②1或9秒 【分析】（1）由已知得，则，因为点 B在原点左边，即可求出； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是，计算即可求出； （2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则，然后解方程得到，得到点P运动距离为，再根据和P点在负半轴，即可求出；②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则；超过Q，则；由此求得答案即可． 此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是 故答案为：，1； （2）①点P运动t秒时追上点Q，根据题意得， 解得， ∴当点P运动5秒时，点P追上点Q； ∴点P运动距离为 ∴ ∵此时P点在负半轴， ∴当点P追上点Q时，点P所表示的数是； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度 当P不超过Q，则，解得； 当P超过Q，则，解得； 答：当点1秒或9秒点P与点Q间的距离为8个单位长度． 题型五 相反数 【例5】下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了化简多重符号，相反数的定义，根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，，两数相等，不是相反数； B、，，两数相等，不是相反数； C、与不满足相反数的定义，不是相反数； D、，，满足相反数的定义，与互为相反数； 故选：D 【变式5-1】给出下列各数：．其中负数有（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查化简多重符号，解题关键是熟练掌握符号的运算法则．结合“负负得正”，将各数逐一化简后，根据负数（小于0的数）的个数进行判断． 【详解】解：化简各数： ， ， ， ， ， 则化简后的数中，负数有、、，共3个． 故选：C． 【变式5-2】下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题主要考查了相反数和多重符号化简，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可．正确使用相反数的意义对每个数字进行化简是解题的关键． 【详解】解：①和互为相反数； ②，，和互为相反数，和互为相反数； ③，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ④，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ⑤，和互为相反数，和互为相反数； ⑥，和互为相反数，和互为相反数． 互为相反数的是①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥． 【变式5-3】（1）如图，在数轴上点表示的数是_____，点表示的数是_____； （2）请在数轴上用点表示数的相反数； （3）如果该数轴上点与点之间的距离是，那么点表示的数是______． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）或 【分析】本题主要考查了数轴，相反数，两点间的距离，熟知数轴上的点所表示数的特征及相反数的定义是解题的关键． （1）根据所给数轴即可得到答案； （2）根据题意将点击在数轴上表示出来即可和； （3）根据数轴上点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：（1）由数轴可知， 点表示的数是，点表示的数是； 故答案为：，； （2）的相反数是， 如图，点即为所求； （3）点与点之间的距离是， ，， 点表示的数是或， 故答案为：或． 题型六 绝对值及其性质 【例6】若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值，在数轴上表示有理数，由绝对值的意义确定m的值，再根据数轴上两点间距离相等的条件建立方程进行求解，即可作答． 【详解】解：∵， ∴得或， 根据题意，这个点表示的数为x， x到m的距离等于x到的距离， 即， 当时，则， 即或， ∴无解或， 当时，则， 即或， ∴无解或， 故选：D 【变式6-1】如果，则m，n的关系是（    ） A．互为相反数 B．，且 C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值，根据绝对值的非负性，结合等式，分析m与n的关系． 【详解】解：∵， ∴，且， 故选：B． 【变式6-2】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握绝对值和平方数的非负性，即绝对值一定大于等于0，一个数的平方也一定大于等于0． 因为两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，据此列出方程求解的值． 【详解】解：已知 根据非负数的性质：绝对值，一个数的平方， 当两个非负数的和为0时，只能是且， 对于，解方程可得：，移项得， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是，，． (1)求线段的中点D所表示的数． (2)求线段（O为原点）的长． (3)若，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)或11 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义， （1）根据数轴上两点中点公式求解即可； （2）根据绝对值的意义求解即可； （3）根据数轴上两点之间的距离分点C在点A左边和点C在点A右边两种情况讨论，然后分别列式求解即可． 【详解】（1）∵数轴上点A，B，所表示的数分别是，， ∴线段的中点D所表示的数为； （2）∵点D所表示的数为 ∴； （3）当点C在点A左边时，； 当点C在点A右边时，； 综上所述，x的值为或11． 题型七 绝对值的化简问题 【例7】如图所示，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a，b，c，化简（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由数轴判断式子的大小． 由数轴可知：，进而判断出，，，化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴， 故选：A． 【变式7-1】已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据的取值范围，结合绝对值的性质，可得，整理得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】已知、在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】先判断，后化简计算即可． 本题考查了数轴上字母表示数，绝对值的化简，熟练掌握实数的大小比较，绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解：由已知图形可知：， ∴， ∴ ， ． 【变式7-3】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查带有字母的绝对值化简，熟练掌握是解答本题的关键． 根据，判断出，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，得出，，的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】解：， ，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①，，都是负数，即时， 则， ②当，，中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设， 则， 综上所述，值为或． 题型八 有理数的运算 【例8】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的运算，解题关键在于熟练掌握各个运算的分式方法. （1）根据有理数加减法原则，去括号，再运算； （2）根据有理数乘除法原则，除以一个等于乘以这个数的倒数，再确定符合，然后再运算； （3）根据乘法分配律运算，再用加减运算即可； （4）先乘法，先算括号内的，然后再去运算即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 【变式8-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)简便方法计算：． 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式根据有理数的加减法则进行计算即可得出答案； （2）原式用乘法分配律计算即可求出值； （3）原式先计算乘除，再计算加减，即可求出值； （4）原式先算括号中的减法运算，再算除法运算，最后算加减运算即可求出值； （5）原式先算括号中的乘方，乘法，以及加减运算，再算除法运算即可求出值； （6）原式先化为，再运用乘法分配律即可求出值． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ； （3）解：原式， ， ； （4）解：原式， ， ， 【变式8-2】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算； （1）先把减法化为加法，再计算即可； （2）先把除法化为乘法，再计算即可； （3）把分母相同的两数先加，再进一步的计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式8-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)0 (2) (3)23 (4) (5)7 (6) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． （1）先去括号，再利用有理数的加减法则进行计算即可； （2）先去括号，再利用有理数的加减法则进行计算即可； （3）先把除法化为乘法，再利用乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，括号里面的，再算乘除，最后算加减即可； （5）先算乘方，去绝对值符号，再算乘除，最后算加减即可； （6）先算括号里面的乘方，乘法，再算减法，最后算括号外面的即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． （6）解： ． 题型九 有理数的简便计算 【例9】用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及乘法分配律，正确掌握有理数乘法运算法则是关键． （1）先将化为，再利用乘法分配律计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 【变式9-1】怎样算简便就怎样算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)63 【分析】本题考查有理数的混合运算及简便计算，掌握运算法则是解题的关键． （1）将原式变形为，再逆用乘法分配律，即可求解； （2）先计算小括号内加法，再计算中括号内减法，最后计算除法； （3）逆用乘法分配律，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式9-2】用简便方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先将除法化为乘法，再利用乘法分配律简便计算即可； （2）先利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式9-3】计算下面各题，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)9 (2)6 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据减法的性质把原式化为进行简算； （2）根据乘法分配律：，把化为，再根据加法结合律化为进行简算； （3）先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法； （4）根据分数的拆分把原式化为，通过消项简算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十 有理数的规律计算 【例10】阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现：①；②；③． (1)观察上面的三个算式，直接写出算式：_________． (2)运用你观察到的规律，计算的值． (3)探究上述的运算规律，试计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了裂项法在有理数的混合运算中的应用，明确裂项法的形式是解题的关键． （1）观察①②③三个算式，可知分母中两个乘数的差为1，分子的差也为1，直接写出一个类似的算式即可； （2）根据上述规律得原式，计算即可得出答案； （3）所给算式分母中两个乘数的差为2，但分子的差为1，故前面乘以，则可以用裂项法进行计算． 【详解】（1）解：； ； ； ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式10-1】阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道， (1)那么  =________； (2)用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律_____________________________； (3)求式子的值． 【答案】(1) (2)，（n为正整数） (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，找到式子的规律，裂项相减是解题的关键． （1）根据规律拆为两个分数的差即可求解． （2）根据（1）的运算，总结规律即可求解． （3）根据规律化简式子，然后根据有理数的加减进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：由（1）归纳可得： ，（n为正整数） （3）解： ． 【变式10-2】观察下列各式： … (1)猜想_______ (2)根据上面的规律，解答下列问题： ① ②将减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 【答案】(1) (2)①，② 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （2）①根据材料提示，以及有理数的乘法运算法则即可求解；②有理数的乘法运算法则，材料提示信息进行计算即可． 【详解】（1）解：∵ … ∴ 故答案为：； （2）解：① ；                                  ②由题意得， ． 【变式10-3】数学活动课上，李老师列举了以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …． 根据等式规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式为______，第n个等式为______（用含n的式子表示）； (2)利用等式规律计算：； (3)拓展计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算中规律问题： （1）观察等式，得出规律，即可求解； （2）根据题意，将每个式子拆成，由此可得解； （3）根据题意，将每个式子拆成，由此可求解； 理解题意，找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：第5个等式为：， 第n个等式为：， 故答案为：； （2）原式 ． （3）原式 ． 题型十一 有理数的实际应用 【例11】某种型号汽车油箱容量为56升，每行驶100千米耗油8升，油箱内剩油量随着行驶路程的变化而变化． (1)用表格表示汽车从出发地行驶100 千米、200 千米、300千米、400千米时的剩油量． 请将表格补充完整： 行驶路程(千米) 100 200 300 400 油箱内剩油量(升) 　　　 40 24 (2)这辆汽车行驶360千米时剩油多少升？ (3)为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议汽车油箱内剩余油量为油箱容量的 时必须加油，按此建议，问该辆汽车最多行驶多少千米必须加油？ 【答案】(1)48，32 (2)升 (3)600千米 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用． （1）先求出每千米耗油量，然后用56升减去消耗的油量即可； （2）用56升减去消耗的油量即可； （3）用消耗的油量除以每千米耗油量即可求解． 【详解】（1）升/千米， 升，升， 故答案为：48，32； （2）升， （3）千米． 【变式11-1】～范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长反之，当温度每下降时，金属丝约缩短，把的这种金属丝加热到，再使它冷却降温到， (1)金属丝的长度经历了怎样的变化？ (2)最后的长度比原长度约伸长多少毫米？ 【答案】(1)金属丝先伸长，再缩短 (2)最后的长度比原来长度伸长． 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用， （1）根据题意分别计算出温度上升伸长的长度和温度下降缩短的长度， （2）将（1）的结果再相减即可得到答案． 【详解】（1）解：把的这种金属丝加热到，金属丝伸长 再使它冷却降温到，金属丝缩短 所以金属丝先伸长再缩短 （2）最后的长度比原来长度伸长 【变式11-2】某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过件记为正，不足件记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） (1)求工厂当周一共加工的零件总数； (2)若每件零件的加工成本为元，求该工厂当周的加工总成本； (3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳元罚金，求该工厂当周的奖励总额． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算、正数和负数，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． （1）先把表格中的数据相加，再加上，即可求解； （2）用（1）中求得的工厂当周一共加工的零件总数乘以每件零件的加工成本求解即可； （3）用工人该周一共加工的总数乘以10，再加上奖金，减去缴纳的罚金，即可求出该周的工资总额． 【详解】（1）解：根据题意得：（件）， 答：工厂当周一共加工件零件； （2）解：根据题意得：（元）， 答：该工厂当周的加工总成本为元； （3）解：根据题意得：元， 答：该工厂当周的奖励总额为元． 【变式11-3】南部县是一座历史文化悠久、人口众多的大县，出租车是重要的交通工具，出租车的计价标准为：行程不超过2千米收费5元，超过2千米的部分按每千米1.5元收费（不足1千米的按1千米计算)一出租车公司坐落于南北方向的南铁大道边，驾驶员张师傅从公司出发，在此大道上连续接送5批客人，行驶记录如下：（注；一批次的客人指的是一次可坐1到4位客人，规定向北为正，向南为负，单位：千米） 第一批 第二批 第三批 第四批 第五批 (1)送完第五批客人后，张师傅在公司的 边（填南或北）距离公司 千米的位置． (2)张师傅的车平均每千米消耗压缩天然气0.09升，则送完第五批客人后，张师傅用了多少升压缩天然气？ (3)在整个过程中，张师傅共收到车费多少元？ 【答案】(1)南，0.4 (2)送完第五批客人后，王师傅用了升压缩天然气 (3)在整个过程中，张师傅共收到车费34元 【分析】本题主要考查了正数和负数的应用，有理数的混合运算，熟练掌握正负数的作用，绝对值的意义，分段计费，是解答本题的关键． （1）将表格中的数据相加，再根据正负数的意义即可解答； （2）先计算出在整个过程的总路程，然后乘以每千米消耗压缩天然气0.09升，即可解答； （3）根据表格中的数据是超过2千米的分段计费，取总和，可以计算出送完第五批客人后，张师傅共收到的车费． 【详解】（1）解：（千米）， 即送完第五批客人后，张师傅在公司的南边，距离公司0.4千米的位置； 故答案为：南，0.4； （2）解：（升， 送完第五批客人后，王师傅用了升压缩天然气； （3）解：由题可知： （元， 在整个过程中，张师傅共收到车费34元． 题型十二 含乘方的有理数混合运算 【例12】计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先算乘方，再算乘法，最后算加减，如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】解： ． 【变式12-1】计算：． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式12-2】计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算括号内的以及乘方，然后计算乘除，最后计算加减，即可求解． 【详解】解： ． 【变式12-3】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，包括乘方、乘除、加减的运算顺序，以及符号的处理．先计算乘方然后进行有理数的加减运算即可． 【详解】解： 题型十三 程序流程图 【例13】如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型—数字的变化类，找出变化规律是解题的关键．计算出第次，第次的输出结果，发现输出结果以、、为一个循环组依次循环，然后计算即可． 【详解】解：∵第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴输出结果以、、为一个循环组依次循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为1， 故选：A． 【变式13-1】按如图的程序计算，若开始输入的值为2，最后输出的结果为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了程序框图与有理数的混合运算；按照题意依次计算乘方与减法，计算结果与10比较，若小于继续计算，否则输出结果即可．第一次计算的结果为，以作为输入值，计算后结果为，以作为输入值，计算后结果为，则可得输出结果． 【详解】解：，，， 则输出结果为11； 故答案为：11． 【变式13-2】如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值为4时，输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查简单的数值运算程序，看懂流程框图，根据得到式子，结合有理数乘法运算及加法运算求解即可得到答案．看懂流程图是解决问题的关键 ． 【详解】解：当时， ， 故答案为：． 【变式13-3】数学活动小组设计出如下的运算程序：任给一个正整数n，若n是偶数，则将n除以2；若n是奇数，则将n乘以3再加1．重复这样的运算，经过有限次后，得到结果为1并输出． 根据运算程序，解答下列问题： (1)小组同学输入7，求运算一次后的结果； (2)小组同学输入一个数，在没有输出前，每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，请直接写出同学们输入的数． 【答案】(1)22 (2)16 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式． （1）根据题干提供的信息列式计算即可； （2）根据每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，列出算式，得出运算结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，输入7，运算一次后的结果为： ； （2）解：∵每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1， ∴这个同学们输入的数为：． 题型十四 算24点 【例14】有一种“24点”游戏规则：根据提供的四个数（每个数必须都使用一次且不能使用这四个数之外的其他数）用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列出一个结果等于24的算式．现有四个数：，请你列出一个“24点”算式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，根据有理数的四则混合计算法则计算24点即可． 【详解】解：由题意，得． 答案为：． 【变式14-1】中考新趋势·一题多问  在学习了《有理数及其运算》以后，小明和小亮一起玩“24点”游戏，规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．现在小亮抽到的扑克牌代表的数分别是：3，，，10，请你帮助他写出两个算式，使其运算结果分别等于24、： 、 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键．根据有理数的混合运算法则进行计算即可解答． 【详解】解：或． 故答案为：或．（答案不唯一） 【变式14-2】有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见详解 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据两个最大的数相加，得出；②运用最小的数减去最大数，所得的差最小；③根据同号得正，且结合正数最大，进行作答；④根据异号得负，且结合负数最小，进行作答； （2）结合从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，， 故答案为：9； ②依题意，， 故答案为：； ③依题意，， 故答案为：； ④依题意，， 故答案为：； （2）解：依题意，； ． 【变式14-3】“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【答案】(1)①；②； (2)，，，等（答案不唯一，符号条件即可） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则，写出结果即可； （2）根据题干要求，利用有理数四则混合运算法则和含乘方的有理数混合运算法则，进行解答即可． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：； ，，． 题型十五 科学记数法 【例14】据中国汽车工业协会整理的海关总署数据显示，2024年全国汽车商品累计进出口总额为亿美元，同比增长．数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：亿． 故选：C． 【变式15-1】无锡博物院位于太湖广场中央，博物院内拥有文物近40000件，以古代书画、历代紫砂、惠山泥人和无锡近现代革命文物和民族工商业文物为主要收藏文物．数据40000用科学记数法可表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为，其中，为整数，需将40000转化为符合该形式即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式15-2】自新型冠状病毒引发的肺炎疫情出现以来，截止2月13日下午6点，我省向武汉等疫情严重地区及我省定点防治新冠肺炎的医院、政府部门、执勤卡点等捐赠物款约亿元．亿用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：亿 ； 故答案为：． 【变式15-3】2025年2月26日清晨，潘建伟团队宣布“九章四号”量子计算机已完成数据采集，这台光子数突破3000的量子装置，将计算优势差距拉升到倍，这意味着全球最快的超算对其1分钟完成的任务需运行五万亿年．数据“五万亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：5万亿． 故答案为：． 题型十六 近似数 【例16】用四舍五入法将精确到后得到的近似数为（   ） A．2.15 B．2.14 C．2.144 D．2.145 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数．精确到即对千分位上的数字进行四舍五入，据此可得答案． 【详解】解：用四舍五入法将精确到后得到的近似数是． 故选：B． 【变式16-1】下列说法错误的是（    ） A．精确到十位 B．4.6093万是精确到千分位 C．用科学记数法表示的数精确到千位 D．近似数0.6和0.60表示的意义不同 【答案】B 【分析】本题考查了近似数和科学记数法，熟练掌握近似数的相关知识是解题的关键； 根据近似数和科学记数法的相关知识逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，4在十位，故选项说法正确； B、4.6093万，精确到个位，故选项说法错误； C、用科学记数法表示的数精确到千位，故选项说法正确； D、近似数0.6精确到十分位，0.60精确到百分位，故近似数0.6和0.60表示的意义不同，故选项说法正确； 故选：B. 【变式16-2】根据2023年人口调查结果显示，我国总人口约为十四亿零九百六十七万人，横线上的数写作 ；用“四舍五入法”省略亿位后面的尾数约是 ． 【答案】 亿 【分析】根据数位和数字的关系，从高位向低位写起，数位上无数字时用0补齐，书写即可，根据四舍五入原则，把千万位的数字实施四舍五入，解答即可． 本题考查了大数的书写，近似数的计算，熟练掌握近似数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得横线上的数写作，用“四舍五入法”省略亿位后面的尾数约是亿， 故答案为：；亿． 【变式16-3】按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)2.715（精确到百分位）； (2)0.1395（精确到0.001）． 【答案】(1)2.72 (2)0.140 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． （1）（2）根据精确度的定义解答即可． 【详解】（1）解：（精确到百分位）； （2）解：（精确到）． 基础巩固通关测 1．下列各化简变形中，去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号法则，正确掌握去括号法则是解题关键．根据去括号法则，括号前是正数时，括号内各项符号不变；括号前是负数时，括号内各项符号改变，同时需用分配律将系数乘以括号内的每一项． 【详解】解：A. ，故选项计算错误，不符合题意； B.，故选项计算错误，不符合题意； C.，故选项计算正确，符合题意； D. 故选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．第届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办，这是首届男女运动员比例完全平衡的奥运会，其中男女运动员各为名，请问共多少名参赛运动员用科学记数法表示应为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，首先计算总参赛人数，再将结果转换为科学记数法．科学记数法的形式为，其中且为整数． 【详解】解：计算总人数：男女运动员各5250名，总人数为 用科学记数法表示为：， 选项B为，符合科学记数法的要求， 故选：B． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 4．以下的运算的结果中，最大的一个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，有理数的大小比较．比较四个选项的运算结果即可，需注意负数参与不同运算后的符号和大小变化． 【详解】解：选项A：． 选项B：． 选项C：， 选项D：． ∵，， ∴， ∴最大， 故选C． 5．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 6．化简： 【答案】 / 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的化简，根据多重符号的化简方法及绝对值的定义化简即可． 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：，，，． 7．根据要求，用四舍五入法取近似数： （精确到百分位）． 【答案】 【分析】此题考查了近似数，掌握近似数精确到哪一位，应当看末尾数字实际在哪一位是解题的关键． 根据近似数的精确度把千分位上的数字4进行四舍五入即可． 【详解】用四舍五入法取近似数：． 故答案为：． 8．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，“逢几进一”就是几进制，将二进制数表示成各数位上的数字与基数2的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制．将二进制数转换为十进制数，结果为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意将二进制化为十进制即可求解． 【详解】解：． 故答案为：14． 9．根据《易经》中的结绳记数方法，满七进一，将七进制数转换为十进制数来计算孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 【答案】73 【分析】先明确图2中每一位对应的七进制数位，再根据满七进一的规则，用各位数字乘以对应的幂次，最后求和得到十进制表示的天数．本题主要考查了七进制与十进制的转换，熟练掌握满七进一规则及不同数位对应的幂次运算是解题的关键． 【详解】解：由图2可知，七进制数从右到左各位数字对应的的幂次依次为、 、． 各位数字分别为（对应位 ）、（对应位 ）、（对应位 ） ． 则孩子出生后的天数（天） 故答案为：73. 10．某校九年级有370名师生要去参加社会实践活动，学校计划租用甲、乙、丙三种型号的客车前往．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 每辆客车的租金/元 如果甲、乙、丙三种型号的客车分别租用7辆，3辆，2辆，那么租车的总费用为 元；如果使租车的总费用最低，那么总费用最低为 元． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，有理数的计算的应用；根据题意计算租用7辆，3辆，2辆，租车的总费用，设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c， 得出，计算三种客车的单价，确定车人均价格最低，当取得最大整数解时，租车费用最低，找到最大整数解为，进而确定，，计算费用，即可求解． 【详解】解：依题意得(元)； 设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c， 则，即， 整理得 ∴车人均价格最低，当取得最大整数解时，租车费用最低， ∵a，b，c都是正整数， ∴， ∴， 此时最低费用为（元） 故答案为：，． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 12．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）运用分配律计算即可； （2）根据有理数的混合运算顺序：先算乘方，绝对值，再算乘除，最后算加减．进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 13．计算题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)33 (5)0 (6) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （3）先将带分数化为假分数，再结合加法运算律计算即可； （4）根据乘法分配律简便计算即可； （5）根据乘法分配律简便计算即可； （6）先计算乘方和括号内运算，再计算乘法最后计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 14．如图为北京市地铁1号线地图一部分，某天，小王参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，，，． (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 【答案】(1)A站是西单站 (2)小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程是48千米 【分析】本题考查了正负数的应用，绝对值的意义，有理数的乘法运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正负数的意义，进行列式计算，即可作答． （2）先算出这次小王志愿服务期间乘坐地铁的行进的站数，再与相乘，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴ A站是西单站； （2）解：依题意． ∴（千米）， ∴ 小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程是48千米． 15．小山同学通过阅读课本92页探究学习资料，自主学习解含有绝对值的方程的方法，并提出了以下问题，请你结合课本中所给资料（如下所示），帮助小山解决问题． 含有绝对值的方程 绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，，…都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探究解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，这样就可以将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义，得或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体．解：根据绝对值的意义，得 或． 分别解这两个方程，得 或． (1)解方程； (2)已知：①_______，请你从，中选择一个填入①中，组成含有绝对值的方程，并求出该方程的解． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，正确理解绝对值的意义是解此题的关键． （1）根据把绝对值的意义，把看作一个整体，将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解； （2）根据把绝对值的意义，，进而解，即可求解． 【详解】（1）解： 根据绝对值的意义，得 或． 分别解这两个方程，得 或． （2）∵， ∴ 选择填入①中 ， 则 根据绝对值的意义，得 或． 分别解这两个方程，得 或（舍去）． 能力提升进阶练 16．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，绝对值，解题的关键是根据数轴上点的位置确定，的正负； 根据，在数轴上的对应点的位置，逐项进行判断即可． 【详解】解：由，在数轴上的对应点的位置可知，， A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项正确； D、，故该选项错误； 故选：C 17．（24-25七年级上·北京西城·期末）如果有理数x、y满足，那么的值为（   ）． A． B．2 C．2或 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘除法，化简绝对值，掌握有理数的乘法法则是解题关键．根据有理数的乘法法则和，即得出，或，．分类讨论化简绝对值求解即可． 【详解】解：因为， 所以，或，． 当，时，； 当，时，． 故选C． 18．（24-25七年级上·北京·期末）年第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字． 八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． 某同学设计了一个进制数， 换算成十进制数是， 则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方逆运算的应用，根据题意得，即可求得的值．熟练掌握该运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵一个进制数， 换算成十进制数是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴的值为． 故选：D． 19．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：．则，，5的“差绝对值运算”的最小值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义，化简绝对值，根据新定义得到，，5的“差绝对值运算”为，再分，，，三种情况化简绝对值求出的最小值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，，5的“差绝对值运算”为，即， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，当时，有最小值，最小值为14， 故选：D． 20．（24-25七年级上·北京海淀·期末）若，则 的值为（    ） A． B．4 C．0或4 D．0或 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的四则运算，根据乘法计算法则得到中负数的个数为奇数个，则可分两种情况：当三个数都为奇数时，当中有一个负数，两个正数时，不妨设是负数，两种情况分别化简绝对值后计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴中负数的个数为奇数个， 当三个数都为奇数时， 则； 当中有一个负数，两个正数时，不妨设是负数， 则， 综上所述，的值为0或， 故选：D． 21．写出一个比大的负有理数，这个数可以是 ． 【答案】（不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的比较大小，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键．根据有理数的大小比较以及负有理数的定义即可得到答案． 【详解】解：比大的负有理数，这个数可以是， 故答案为：（不唯一）． 22．（24-25七年级上·北京·期末）新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开 次． 【答案】210 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，解题的关键在于推出每把钥匙最多试开的次数． 要用一把钥匙打开对应的门，第一把钥匙最多开20次，剩下19把钥匙和19个房间，然后第二把钥匙则最多是开19次，依此类推，每打开一扇门，则会给下一把钥匙减少一次试开的次数，所以，每把钥匙试开的次数为20，19，18，17，16……3，2，1，即可推出结果． 【详解】解：∵打开所有关闭着的20个房间， ∴每把钥匙试开的次数为20，19，18，17，16……3，2，1， ∴最多要试开（次）． 故答案为：210． 23．（24-25七年级上·北京·期末）随着科技的发展，智能机器人逐渐走进了我们的生活．某科技公司研发了一种新型智能机器人（充电款），用于协助完成家务工作．该机器人在工作过程中，会根据不同的任务模式调整其工作效率．已知该机器人在“快速模式”下，每小时可以完成个单位的家务工作；在“节能模式”下，每小时可以完成个单位的家务工作． 该机器人充一次电需要小时（每次必须充满才可断电），在满电状态下“快速模式”可连续工作小时，“节能模式”可连续工作小时，且选定模式后无法切换模式直至电量用完．现给你一台满电状态下的机器人，请完成下列任务： （1）该机器人在“节能模式”下完成个单位的家务工作至少需要 小时（含中途充电时间）． （2）小时内，该机器人最多可以完成 个单位的家务工作． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算的应用， （1）根据题意知：在“节能模式”下，机器人每小时完成个单位的工作，满电状态下可连续工作小时，可完成个单位的家务工作，则要完成个单位需要两次满电工作，可得答案； （2）要在小时内最大化工作量，需结合“快速模式”和“节能模式”的效率与耗时：可得出“快速模式”每小时完成个单位的家务工作，每周期耗时小时；“节能模式”每小时完成个单位的家务工作，每周期耗时小时，然后分两种情况：通过混合策略：1．前两次“快速模式”；2．再两次“节能模式”；调整后：“快速模式”次(小时，单位)，剩余小时；“节能模式”次：首次小时(单位)至第小时，充电小时至第小时，最后小时(至小时)节能模式，再完成单位，可得答案． 【详解】解：（1）在“节能模式”下，机器人每小时完成个单位的工作，满电状态下可连续工作小时， ∴可完成家务工作为：（单位）， 要完成个单位需要两次满电工作：第一次工作小时，完成单位；然后充电小时；第二次工作小时，完成剩余单位， ∴总时间为（小时）， 故答案为：； (2)要在小时内最大化工作量，需结合“快速模式”和“节能模式”的效率与耗时∶ “快速模式”每小时完成：（单位），每周期(工作小时充电小时)耗时小时； “节能模式”每小时完成：（单位），每周期(工作小时充电小时)耗时小时， 通过混合策略∶ 1．前两次“快速模式”：（小时），完成：（单位）； 2．再两次“节能模式”：（小时），完成：（单位）， 总时间为：（小时） 超出限制，不符合题意， 调整如下： “快速模式”次(小时，单位)，剩余小时； “节能模式”次：首次小时(单位)至第小时，充电小时至第小时，最后小时(至小时)节能模式，再完成单位， 总工作量为：（单位），总时间小时． 故答案为：． 24．（24-25七年级上·北京海淀·期末）“北京八中好声音”彰显了八中学子的音乐素养，是八中素质教育的一种体现、为了更好的准备节目，学校提供场地供学生进行彩排．现有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 演员人数 彩排时长 已知每位演员只参加一个节目．一位演员的候场时间是指第一个彩排节目开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其它因素）． （1）若两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，应按 顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； （2）为节约学生的时间，将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目，则这名演员等待总时长最少为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． （1）根据题意本着节目人数多先彩排的原则，按照人数排列和彩排时间排列，即可求解； （2）人数较多的是节目，，故，同时进行，其次人数较多的是，进而计算等待总时长，即可求解． 【详解】解：（1）两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，应按顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； 故答案为：． （2）将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目， 人数较多的是节目，，故，同时进行，其次人数较多的是 ∴按照顺序，则等待时间分别为：， 故答案为：． 25．（24-25七年级上·江苏常州·期末）将1，2，3，4，5，…，61这61个连续整数不重不漏地填入61个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前60个数的和是第61个数的倍数．若第1个空格填入61，则第2个空格所填入的数为 ，第61个空格所填入的数为 ． 61 【答案】 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握四则运算法则是解题关键．根据第1个数是第2个数的倍数可得第2个空格所填入的数；先得出这61个数的和也是第61个数的倍数，再求出这61个数的和，由此即可得． 【详解】解：∵第1个空格填入61，第1个数是第2个数的倍数， ∴第2个空格所填入的数为1， ∵前60个数的和是第61个数的倍数， ∴这61个数的和也是第61个数的倍数， 又∵ ， ∴第61个空格所填入的数为31， 故答案为：1，31． 26．（24-25七年级上·北京·期末）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． （1）根据有理数加减运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （4）先将原式变形为，再利用乘法分配律进行计算即可； （5）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （6）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 27．（24-25七年级上·北京·期末）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算等知识点，熟练掌握运算顺序与计算方法是解题的关键． （）把减法化为加法，再计算加法即可得解； （）把除法化为乘法，再计算乘法即可得解； （）利用乘法分配律进行简算即可得解； （）先算乘方和去绝对值，再算除法最后算加减即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 28．（24-25七年级上·北京西城·期末）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数 10010转化为十进制数： 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是____________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1)22 (2)2298 (3)90 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算．理解题意，熟练掌握含乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据二进制转换十进制的方法列式计算即可； （2）仿照二进制转换十进制的方法进行计算即可； （3）满八进一，类似于八进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：二进制数“10110”转化为十进制数为 故答案为：22． （2）解：八进制数“4372”转化为十进制数为 答：八进制数“4372”转化为十进制数为2298． （3）解：由于满八进一，类似于八进制数，图示表示的八进制数为132，转化为十进制数为 答：孩子已经出生的天数为90天． 29．（24-25七年级上·北京·期末）已知一组整数，共有n个．从中任意选取两个整数，将这两个整数作差后取绝对值，记为第1次运算．接下来，再从这组整数中选取一个整数，将这个整数与第1次运算的结果作差后取绝对值，记为第2次运算．此后，每次从这组整数中选取的整数都与前次的运算结果作差后取绝对值（其中每个整数都要被选取，且只被选取一次），我们把第次运算的结果称为这组整数的一个“绝对d值”． (1)已知一组整数：5，6，7． ①若第1次运算选取的整数是5，6，则可以得到这组整数的一个“绝对d值”为 ； ②若第1次运算选取的整数是6，7，则可以得到这组整数的一个“绝对d值”为 ； (2)已知一组整数：，2，3，4，则这组整数的最大“绝对d值”为 ，最小“绝对d值”为 ； (3)已知一组三个互不相等的正整数：2，a，b．这组整数的最大“绝对d值”为10，求这组整数的最小“绝对d值”． 【答案】(1)①6，②4 (2)4，0 (3)6 【分析】此题考查了绝对值的意义，解题的关键正确理解“绝对d值”的概念． （1）①根据“绝对d值”的定义求解即可； ②根据“绝对d值”的定义求解即可； （2）根据“绝对d值”的定义求解即可； （3）设b为最大正整数，根据题意分情况列出方程求解即可． 【详解】（1）①根据题意得，∵第1次运算选取的整数是5，6， ∴， ∴， ∴这组整数的一个“绝对d值”为6； ②根据题意得，∵第1次运算选取的整数是6，7， ∴， ∴， ∴这组整数的一个“绝对d值”为4； （2）∵一组整数：，2，3，4， ∴设选取的数为a，b，c ∴小于等于a，b中最大的一个， ∴小于等于a，b，c中最大的一个， ∴“绝对d值”小于等于，2，3，4中最大的一个 ∴这组整数的最大“绝对d值”为4， ∵“绝对d值”大于等于0 ∴最小“绝对d值”为0； （3）设b为最大正整数， 当时， ， 解得（负数舍去）， 因此，得到最小“绝对d值”为， 当，且a为整数时，， 则，即，则， 因此，得到最小“绝对d值”为． 综上所述， 这组整数的最小“绝对d值”为6． 30．先阅读，再探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点A的位置如图所示，点B与点A分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则C点表示的数是______；B，C两点间的距离是______； (2)点D和E分别在数轴上表示数x和．如果D，E两点之间的距离为3，那么x为______； (3)借助数轴思考，当x为______时，与的值相等． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由图可知点和点表示的数，根据数轴上点的平移即可求出点表示的数，进而可求出、两点间的距离； （2）根据数轴上两点之间的距离建立绝对值方程，解方程即可求出的值； （3）根据和的含义，画出数轴，利用数形结合思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由图可知，点表示的数为， 把点A向左移动1.5个单位，得到点C， 点表示的数为：， 由图可知，点表示的数为， 、两点间的距离是：， 故答案为：，； （2）解：由题意可知： ， 解得：或， 故答案为：或； （3）解：和可看成数轴上表示数的点与表示的点和表示的点的距离， 又与的值相等， 如图所示： 当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，此时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数轴上点的平移，数轴上两点之间的距离，绝对值方程，用数轴上的点表示有理数等知识点，熟知数轴上两点之间距离的计算方法并运用数形结合思想是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数（复习讲义） ①掌握正数、负数的概念，理解有理数的概念和分类； ②理解并应用数轴、相反数、绝对值等相关概念，学会用数形结合的方法解决问题； ③熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，并能在混合运算中选择合适的运算律简化运算； ④能利用有理数的加、减、乘、除、乘方运算解决简单的生活实际问题； ⑤掌握科学记数法的相关概念；理解并运用近似数的概念； 知识点 重点归纳 常见易错点 正数 负数 正数、负数可以表示生活中具有相反意义的量 通常表示上升、盈利等用正数表示； 通常表示下降、亏损等用负数表示； 这只是一种规定，可以根据实际需要改变 数轴 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度； 2.利用数轴比较两个有理数的大小：左<右 单位长度可以根据实际需要选择 绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 4.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即。 1.化简含有字母的绝对值时，要借助分类讨论数学思想，对绝对值内的东西分三种情况讨论，然后利用 将绝对值符号去掉化简； 2.绝对值的几何意义非常重要，要灵活使用这一点解决问题。 3.绝对值的非负性最常见的应用： 由得出 有理数的加法 1. 有理数加法法则：（分类讨论思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 2.加法运算律：(作用：简化计算) 交换律： 结合律： 1.有理数加法法则是最基本的，符号弄错是最常见的错误。 法则理解记忆方法： 可以把两个相加的数想象成打仗时的敌我双方，数的符号表示双方的旗子，数的绝对值代表双方的人数力量。 有理数的减法 减去一个数，等于加这个数的相反数 将减法转化成加法做，做熟练后就可以不转化了 有理数的乘法 1. 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 2.有理数乘法运算律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 1.有理数乘法法则简单好记，但写结果时，不要忘记符号，更不要与加法法则符号混淆！ 灵活利用有理数的乘法运算律，可以简化计算，减少计算错误。 有理数的除法 除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 乘除互为逆运算，可以相互转化 有理数的乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数；指数：n叫做指数. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 3.科学记数法：把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 1.乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 2.当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 3.一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 4.底数为-1的幂规律要理解记忆，这个最常考。 有理数的混合运算 有理数的混合运算解题步骤： 1.审题：包含哪些运算，能否使用运算律简化运算； 2.计算：按运算律和运算法则进行计算； 3.检查：注意检查符号。 1.有理数的混合运算主要是运算顺序的问题，每一步都要注意查看运算顺序该做哪一步； 2.另外还要注意使用运算法则时的符号问题。 近似数 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0. 对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 题型一 正数和负数的相关概念 【例1】在这些数中，是负数的是（    ） A． B．0 C． D．4 【变式1-1】史料证明：追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并应用于生产和生活中．我国古代的《九章算术》，是世界数学史上首次正式引入负数的文献．若收入50元可记作元，则支出30元可记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1-2】在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有 个，负数有 个． 【变式1-3】找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米． 题型二 有理数的概念与分类 【例2】下列7个数，，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2-1】下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．整数和分数统称为有理数 C．有理数分为正数，负数和零 D．正整数和负整数统称为整数 【变式2-2】在中有理数有个，自然数有个，分数有个，负数有个，则 ． 【变式2-3】把下列各数填在相应的括号内： ． 正有理数集合{              ．．．}； 负有理数集合{             ．．．}； 整数集合{                ．．．}； 正分数集合{               ．．．}． 题型三 数轴 【例3】下列所画数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知数轴上A点为，点B由点A向右移动6个单位长度，点C距离点B两个单位，则点C在数轴上对应的数为 ． 【变式3-2】如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ． 【变式3-3】给出下列9个有理数，按下列要求解答： 3，，0，，0.45，，，， (1)把上面的9个数用“”排列起来； (2)把数3，0，，，表示在数轴上． 题型四 数轴上点的运动 【例4】将1在数轴上对应的点向右平移2024个单位，则此时该点对应的数是（   ） A．2023 B．2025 C．2026 D． 【变式4-1】数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B，若点B到原点的距离为6，点C到点A和点B距离相等，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或10 C．2或10 D．2或 【变式4-2】点在数轴上距原点2个单位长度，一个点从点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点，点表示的数为 ． 【变式4-3】已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 题型五 相反数 【例5】下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式5-1】给出下列各数：．其中负数有（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【变式5-3】（1）如图，在数轴上点表示的数是_____，点表示的数是_____； （2）请在数轴上用点表示数的相反数； （3）如果该数轴上点与点之间的距离是，那么点表示的数是______． 题型六 绝对值及其性质 【例6】若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 【变式6-1】如果，则m，n的关系是（    ） A．互为相反数 B．，且 C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值 【变式6-2】已知，则 ． 【变式6-3】已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是，，． (1)求线段的中点D所表示的数． (2)求线段（O为原点）的长． (3)若，求x的值． 题型七 绝对值的化简问题 【例7】如图所示，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a，b，c，化简（    ） A．0 B． C． D． 【变式7-1】已知，则的值为 ． 【变式7-2】已知、在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 【变式7-3】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 题型八 有理数的运算 【例8】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式8-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)简便方法计算：． 【变式8-2】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式8-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型九 有理数的简便计算 【例9】用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【变式9-1】怎样算简便就怎样算． (1)； (2)； (3)． 【变式9-2】用简便方法计算 (1) (2) 【变式9-3】计算下面各题，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十 有理数的规律计算 【例10】阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现：①；②；③． (1)观察上面的三个算式，直接写出算式：_________． (2)运用你观察到的规律，计算的值． (3)探究上述的运算规律，试计算的值． 【变式10-1】阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道， (1)那么  =________； (2)用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律_____________________________； (3)求式子的值． 【变式10-2】观察下列各式： … (1)猜想_______ (2)根据上面的规律，解答下列问题： ① ②将减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 【变式10-3】数学活动课上，李老师列举了以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …． 根据等式规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式为______，第n个等式为______（用含n的式子表示）； (2)利用等式规律计算：； (3)拓展计算：． 题型十一 有理数的实际应用 【例11】某种型号汽车油箱容量为56升，每行驶100千米耗油8升，油箱内剩油量随着行驶路程的变化而变化． (1)用表格表示汽车从出发地行驶100 千米、200 千米、300千米、400千米时的剩油量． 请将表格补充完整： 行驶路程(千米) 100 200 300 400 油箱内剩油量(升) 　　　 40 24 (2)这辆汽车行驶360千米时剩油多少升？ (3)为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议汽车油箱内剩余油量为油箱容量的 时必须加油，按此建议，问该辆汽车最多行驶多少千米必须加油？ 【变式11-1】～范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长反之，当温度每下降时，金属丝约缩短，把的这种金属丝加热到，再使它冷却降温到， (1)金属丝的长度经历了怎样的变化？ (2)最后的长度比原长度约伸长多少毫米？ 【变式11-2】某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过件记为正，不足件记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） (1)求工厂当周一共加工的零件总数； (2)若每件零件的加工成本为元，求该工厂当周的加工总成本； (3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳元罚金，求该工厂当周的奖励总额． 【变式11-3】南部县是一座历史文化悠久、人口众多的大县，出租车是重要的交通工具，出租车的计价标准为：行程不超过2千米收费5元，超过2千米的部分按每千米1.5元收费（不足1千米的按1千米计算)一出租车公司坐落于南北方向的南铁大道边，驾驶员张师傅从公司出发，在此大道上连续接送5批客人，行驶记录如下：（注；一批次的客人指的是一次可坐1到4位客人，规定向北为正，向南为负，单位：千米） 第一批 第二批 第三批 第四批 第五批 (1)送完第五批客人后，张师傅在公司的 边（填南或北）距离公司 千米的位置． (2)张师傅的车平均每千米消耗压缩天然气0.09升，则送完第五批客人后，张师傅用了多少升压缩天然气？ (3)在整个过程中，张师傅共收到车费多少元？ 题型十二 含乘方的有理数混合运算 【例12】计算： 【变式12-1】计算：． 【变式12-2】计算： 【变式12-3】计算：． 题型十三 程序流程图 【例13】如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式13-1】按如图的程序计算，若开始输入的值为2，最后输出的结果为 ． 【变式13-2】如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值为4时，输出的值为 ． 【变式13-3】数学活动小组设计出如下的运算程序：任给一个正整数n，若n是偶数，则将n除以2；若n是奇数，则将n乘以3再加1．重复这样的运算，经过有限次后，得到结果为1并输出． 根据运算程序，解答下列问题： (1)小组同学输入7，求运算一次后的结果； (2)小组同学输入一个数，在没有输出前，每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，请直接写出同学们输入的数． 题型十四 算24点 【例14】有一种“24点”游戏规则：根据提供的四个数（每个数必须都使用一次且不能使用这四个数之外的其他数）用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列出一个结果等于24的算式．现有四个数：，请你列出一个“24点”算式： ． 【变式14-1】中考新趋势·一题多问  在学习了《有理数及其运算》以后，小明和小亮一起玩“24点”游戏，规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．现在小亮抽到的扑克牌代表的数分别是：3，，，10，请你帮助他写出两个算式，使其运算结果分别等于24、： 、 ． 【变式14-2】有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【变式14-3】“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 题型十五 科学记数法 【例14】据中国汽车工业协会整理的海关总署数据显示，2024年全国汽车商品累计进出口总额为亿美元，同比增长．数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】无锡博物院位于太湖广场中央，博物院内拥有文物近40000件，以古代书画、历代紫砂、惠山泥人和无锡近现代革命文物和民族工商业文物为主要收藏文物．数据40000用科学记数法可表示为（   ）． A． B． C． D． 【变式15-2】自新型冠状病毒引发的肺炎疫情出现以来，截止2月13日下午6点，我省向武汉等疫情严重地区及我省定点防治新冠肺炎的医院、政府部门、执勤卡点等捐赠物款约亿元．亿用科学记数法表示应为 ． 【变式15-3】2025年2月26日清晨，潘建伟团队宣布“九章四号”量子计算机已完成数据采集，这台光子数突破3000的量子装置，将计算优势差距拉升到倍，这意味着全球最快的超算对其1分钟完成的任务需运行五万亿年．数据“五万亿”用科学记数法表示为 ． 题型十六 近似数 【例16】用四舍五入法将精确到后得到的近似数为（   ） A．2.15 B．2.14 C．2.144 D．2.145 【变式16-1】下列说法错误的是（    ） A．精确到十位 B．4.6093万是精确到千分位 C．用科学记数法表示的数精确到千位 D．近似数0.6和0.60表示的意义不同 【变式16-2】根据2023年人口调查结果显示，我国总人口约为十四亿零九百六十七万人，横线上的数写作 ；用“四舍五入法”省略亿位后面的尾数约是 ． 【变式16-3】按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)2.715（精确到百分位）； (2)0.1395（精确到0.001）． 基础巩固通关测 1．下列各化简变形中，去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 2．第届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办，这是首届男女运动员比例完全平衡的奥运会，其中男女运动员各为名，请问共多少名参赛运动员用科学记数法表示应为（　　） A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．以下的运算的结果中，最大的一个数是（　　） A． B． C． D． 5．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 6．化简： 7．根据要求，用四舍五入法取近似数： （精确到百分位）． 8．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，“逢几进一”就是几进制，将二进制数表示成各数位上的数字与基数2的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制．将二进制数转换为十进制数，结果为 ． 9．根据《易经》中的结绳记数方法，满七进一，将七进制数转换为十进制数来计算孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 10．某校九年级有370名师生要去参加社会实践活动，学校计划租用甲、乙、丙三种型号的客车前往．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 每辆客车的租金/元 如果甲、乙、丙三种型号的客车分别租用7辆，3辆，2辆，那么租车的总费用为 元；如果使租车的总费用最低，那么总费用最低为 元． 11．计算： (1)； (2)． 12．计算： (1) (2) 13．计算题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 14．如图为北京市地铁1号线地图一部分，某天，小王参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，，，． (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 15．小山同学通过阅读课本92页探究学习资料，自主学习解含有绝对值的方程的方法，并提出了以下问题，请你结合课本中所给资料（如下所示），帮助小山解决问题． 含有绝对值的方程 绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，，…都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探究解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，这样就可以将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义，得或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体．解：根据绝对值的意义，得 或． 分别解这两个方程，得 或． (1)解方程； (2)已知：①_______，请你从，中选择一个填入①中，组成含有绝对值的方程，并求出该方程的解． 能力提升进阶练 16．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·北京西城·期末）如果有理数x、y满足，那么的值为（   ）． A． B．2 C．2或 D．或2 18．（24-25七年级上·北京·期末）年第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字． 八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． 某同学设计了一个进制数， 换算成十进制数是， 则的值为（      ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：．则，，5的“差绝对值运算”的最小值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．14 20．（24-25七年级上·北京海淀·期末）若，则 的值为（    ） A． B．4 C．0或4 D．0或 21．写出一个比大的负有理数，这个数可以是 ． 22．（24-25七年级上·北京·期末）新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开 次． 23．（24-25七年级上·北京·期末）随着科技的发展，智能机器人逐渐走进了我们的生活．某科技公司研发了一种新型智能机器人（充电款），用于协助完成家务工作．该机器人在工作过程中，会根据不同的任务模式调整其工作效率．已知该机器人在“快速模式”下，每小时可以完成个单位的家务工作；在“节能模式”下，每小时可以完成个单位的家务工作． 该机器人充一次电需要小时（每次必须充满才可断电），在满电状态下“快速模式”可连续工作小时，“节能模式”可连续工作小时，且选定模式后无法切换模式直至电量用完．现给你一台满电状态下的机器人，请完成下列任务： （1）该机器人在“节能模式”下完成个单位的家务工作至少需要 小时（含中途充电时间）． （2）小时内，该机器人最多可以完成 个单位的家务工作． 24．（24-25七年级上·北京海淀·期末）“北京八中好声音”彰显了八中学子的音乐素养，是八中素质教育的一种体现、为了更好的准备节目，学校提供场地供学生进行彩排．现有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 演员人数 彩排时长 已知每位演员只参加一个节目．一位演员的候场时间是指第一个彩排节目开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其它因素）． （1）若两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，应按 顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； （2）为节约学生的时间，将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目，则这名演员等待总时长最少为 ． 25．（24-25七年级上·江苏常州·期末）将1，2，3，4，5，…，61这61个连续整数不重不漏地填入61个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前60个数的和是第61个数的倍数．若第1个空格填入61，则第2个空格所填入的数为 ，第61个空格所填入的数为 ． 61 26．（24-25七年级上·北京·期末）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 27．（24-25七年级上·北京·期末）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 28．（24-25七年级上·北京西城·期末）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数 10010转化为十进制数： 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是____________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 29．（24-25七年级上·北京·期末）已知一组整数，共有n个．从中任意选取两个整数，将这两个整数作差后取绝对值，记为第1次运算．接下来，再从这组整数中选取一个整数，将这个整数与第1次运算的结果作差后取绝对值，记为第2次运算．此后，每次从这组整数中选取的整数都与前次的运算结果作差后取绝对值（其中每个整数都要被选取，且只被选取一次），我们把第次运算的结果称为这组整数的一个“绝对d值”． (1)已知一组整数：5，6，7． ①若第1次运算选取的整数是5，6，则可以得到这组整数的一个“绝对d值”为 ； ②若第1次运算选取的整数是6，7，则可以得到这组整数的一个“绝对d值”为 ； (2)已知一组整数：，2，3，4，则这组整数的最大“绝对d值”为 ，最小“绝对d值”为 ； (3)已知一组三个互不相等的正整数：2，a，b．这组整数的最大“绝对d值”为10，求这组整数的最小“绝对d值”． 30．先阅读，再探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点A的位置如图所示，点B与点A分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则C点表示的数是______；B，C两点间的距离是______； (2)点D和E分别在数轴上表示数x和．如果D，E两点之间的距离为3，那么x为______； (3)借助数轴思考，当x为______时，与的值相等． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$