专题04 等式与方程 11个题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材北京版

专题04 等式与方程 题型1 等式性质 题型7 和差倍分问题 题型2 一元一次方程定义求参（重点） 题型8 动点问题（难点） 题型3 已知一元一次方程的解求参数 题型9 新定义问题（难点） 题型4 解一元一次方程 题型10数字问题 题型5 一元一次方程综合（难点） 题型11 水费问题 题型6 一元一次方程解的关系 题型一 等式性质（共3小题） 1．把方程写成用含的代数式表示的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用等式的性质对等式进行变形，掌握等式的性质是解题的关键．要用含的代数式表示，就要把方程中含有的项和常数项移到方程的右边，再把的系数化为即可． 【详解】解：， 移项得：， 解得：， 故选：D． 2．把方程改写成用含的式子表示的形式： ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数． 将x看作已知数，进行移项，系数化1即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．下列方程的变形过程中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题考查的是等式的基本性质，掌握移项变号，是解题的关键．根据等式的基本性质，进行移项，合并同类项，系数化“1”逐一判断即可． 【详解】解∶A．由，两边同除以5，得，变形正确； B．由，两边同乘，得，变形正确； C．由，移项时应将移到左边，得，但选项C写为，符号错误，变形不正确； D．由，移项得，变形正确， 故选∶C． 题型二 一元一次方程定义求参数（共3小题） 4．已知是关于x的一元一次方程，则m的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数x的次数必须为1，且系数不为0，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴ ∴， 故选：C 5．已知是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义．解题关键是熟记一元一次方程的未知数x的次数是1． 若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程． 据此可根据未知数的系数及未知数的指数列出关于m的方程，继而求出m的值． 【详解】解： ∵方程是关于x一元一次方程， ∴且， 由，得， 由，得， ∴． 故答案为：． 6．已知方程是一元一次方程，则a的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程”进行求解即可． 【详解】解：由方程是一元一次方程，可知：， 解得：； 故答案为5． 题型三 已知一元一次方程的解求参数（共3小题） 7．关于的方程的解为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元一次方程的解，把代入，求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：2． 8．若是方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，把代入方程计算即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如果是关于x的方程的解，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．将代入中，即可求出m的值． 【详解】解：将代入中， 得， 解得． 故答案为：． 题型四 解一元一次方程（共3小题） 10．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程． （1）按照移项、合并同类项，系数化1的步骤解方程即可； （2）按照移项、合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2） 移项得， 合并同类项得， 11．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是明确一元一次方程的解法和步骤，准确进行计算． （1）先去括号，再移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）按照解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 12．解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，； （2）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， 题型五 一元一次方程综合（共5小题） 13．已知a，b在数轴上的位置如图所示． (1)化简：； (2)若，x为数轴上任意一点所对应的数，则代数式的最小值是 ；此时x的取值范围是 ； (3)在（2）的条件下，若，则 ． 【答案】(1) (2)3， (3)或3 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，有理数大小的比较，整式的加减，绝对值的化简等知识，注意数形结合及分类讨论． （1）先根据a，b在数轴上的位置确定，的符号，再化简绝对值，然后去括号合并同类项； （2）根据两点间的距离求解即可； （3）在（2）的条件下，可得，解含绝对值的方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵表示数x的点到数和1表示点的距离之和，数和1表示点的距离为， ∴当数x的点在数和1表示点之间，即时，取得最小值3． 故答案为：3，； （3）解：在（2）的条件下，可得， 当时，可得， 解得：； 当时，可得，不成立，舍去； 当时，可得， 解得：． 故答案为：或3． 14．若，且，以下结论： ； 关于的方程的解为； ； 的所有可能取值为或； 在数轴上点A、B、C表示数，，，且，则A、B两点间距离与B、C两点间距离的大小关系是其中正确结论的个数是（） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，绝对值，一元一次方程的解，体现了数形结合思想，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解题的关键．根据有理数的乘法法则判断①；根据方程的解得定义判断②；根据判断③；分两种情况，根据绝对值的性质判断④；根据绝对值的几何意义判断⑤． 【详解】解：，且， ， ，故①符合题意； 将代入得：， ， ，故②符合题意； ， ， ， ，故③符合题意； 若，原式； 若，原式； ∴原式的值为2，故④不符合题意； ， ， ， ， ，故⑤符合题意； 综上所述，符合题意的有4个， 故选：C． 15．我们把按一定规律非列的一列数称为数列，若对于一个数列中任意相邻有序的三个数a，b，c，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)在数列①；②3，，1中，是理想数列的是____________；（只填序号即可） (2)如果数列…，2，x，，…，是理想数列，求x的值； (3)若数列…，m，n，，…，是理想数列，求代数式的值． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题考查新型定义计算，读懂题意，列出正确的关系式是解题的关键． （1）根据理想数列的定义进行判断即可； （2）根据理想数列的定义列出方程，解方程即可； （3）根据理想数列的定义列出方程：，整理出式子：，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：①，，，中：后面三个数值的关系为： ，故①不是理想数列； ②3，，1中：及，故②是理想数列； 故答案为：② （2）根据题意得， 解得． （3）因为数列，是理想数列， 所以， 所以， 所以 ． 16．规定：用表示大于m的最小整数，如，；用表示不大于m的最大整数，例如：，． ①___________，___________； ②若，那么___________； ③如果x满足方程，那么求方程的解． 【答案】（1），1（2）3或（3） 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程等知识点， （1）根据“新定义”解答即可； （2）先求出的取值范围，再根据“新定义”求值即可得解； （2）先由方程和题意得出x的取值为整数，再根据题意可将方程化为，解出即可； 注意仔细地审题理解新定义的含义是解决此题的关键． 【详解】（1）由题意得：；， 故答案为：；1； （2）∵， ∴或， ∴当时，， 当时，， 故答案为：或； （3）， ∵和都表示整数， ∴此方程x的值也为整数， ∴由题意知原方程可化为， ∴． 17．若，且，以下结论： ① ；    ② 关于的方程的解为；   ③ ； ④ 的所有可能取值为和；其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查一元一次方程的解和绝对值的性质，由，且可知，，则有三种情况：，，；再根据、、的情况分别对四个结论进行判断即可． 【详解】解：，且， ，， 故①正确； 将代入方程，可得， 是方程的解， 故②正确； ， ， ， 故③正确； ，， ，， 当时，， ， 当时，， ， 当时，无意义， 故④不正确； 综上①②③正确， 故选：C． 题型六 一元一次方程解的关系（共2小题） 18．已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的同解问题，掌握一元一次方程的解以及解法是解题关键． 先解方程，得到，再根据方程同解，将代入方程，解得，再代入方程，求出的值即可． 【详解】解：， 移项合并得：， 解得：， 关于x的方程与有相同的解， 将代入方程，可得， 解得：， 将代入，可得， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化1得：． 19．关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【答案】(1)； (2)1或4 【分析】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案． （1）将m的值代入计算求解即可； （2）解方程得，根据m是正整数，得是3的倍数，根据方程有正整数解确定m的可能值． 【详解】（1）将代入方程， 得， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∵m是正整数，且是3的倍数，方程有正整数解， ∴或． 题型七 和差倍分问题（共3小题） 20．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程解实际问题．根据总人数不变，分别表示出每3人乘一车，每2人共乘一车时的总人数即可求解． 【详解】解：根据题意列方程得， 故选：B． 21．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何．”其大意是：现在一斗清酒价值：10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设清酒有斗，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设清酒x斗，则醑酒斗，根据题意正确列方程即可． 【详解】解：设清酒x斗，则醑酒斗， 由题意可得：， 故选：D． 22．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际优应用，设物价是x钱，根据每人出8钱多出3钱可知有人，根据每人出7钱，还差4钱可知有人，根据人数不变建立方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 题型八 动点问题（共3小题） 23．已知数轴上三点对应的数分别为，点P位数轴上任意一点，其对应的数为x，点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为． (1)若，则 ； (2)若，则 ；若，则 ； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发，设运动时间为t秒，试判断：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)的值不会随着的变化而变化 【分析】本题考查整式的加减运算，一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键． （1）结合数轴，进行求解即可； （2）分点P在点A左侧，点P在线段上，点P在点B右侧三种情况，列出方程进行求解即可； （3）分别表示出和，代入计算即可得到结论． 【详解】（1）解：由数轴可得： 若， 则， 故答案为：； （2）解：①分种情况： ①若点在点左侧， ∵， ∴， ∴， ②若点在点右侧， ∵， ∴， ∴， ③若点在线段上， ∵， ∴， 这与题目条件矛盾 ∴综上所述的值为或； ②分种情况： ①若点在点左侧， ，不符合题意舍去； ②若点在点右侧， ，不符合题意舍去； ③若点在线段上， ∵， ∴， 解得 ∴综上所述的值为； （3）解：不会，理由为： ，， ∴， ∴的值不会随着的变化而变化． 24．两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． (1)根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 4 6 A点在数轴上的位置 8 0 ______ B点在数轴上的位置 _________ 6 14 (2)经过秒时，点对应的数是___________； (3)在两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3且小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）． ①两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？请写出解答过程． ②两点开始运动后，经过____秒感应器开始发出第二次提示．（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2) (3)①秒，秒，见解析；② 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，列代数式，解题的关键是根据表格中的数据得出A、B两点运动的速度和方向． （1）根据表格求出移动速度，再根据点的移动进行计算，填表即可； （2）根据点的移动速度和方向，列出代数式即可； （3）①根据A、B两点间的距离和A、B运动速度，结合题意列出算式计算即可得出开始运动到发出第一次提示的时间；算出第一次持续振动过程中通过的单位长度，然后根据两个点的速度求出持续振动时间即可； ②根据A、B运动速度，开始运动到第二次振动需要运动的总路程，算出时间即可． 【详解】（1）解：∵0秒时，点A在数轴上的位置为8， 4秒时，点A在数轴上的位置为0， ∴点A向左运动，且运动速度为个单位/秒， ∴6秒时，点A在数轴上的位置为； ∵4秒时，点B在数轴上的位置为6， 6秒时，点B在数轴上的位置为14， ∴点B向右运动，且运动速度为个单位/秒， ∴0秒时，点B在数轴上的位置为， 时间（秒） 0 4 6 A点在数轴上的位置 8 0 B点在数轴上的位置 6 14 （2）由（1）知道，点A向左运动，且运动速度为个单位/秒， ∴经过秒时，点对应的数是； 故答案为：； （3）解：①当A、B两点相距8个单位时，发出提示， ∴感应器开始发出提示的时间为：（秒）； ∵当A、B两点相距3个单位时，停止发出提示， ∴持续个单位， ∴第一次提示持续时间为（秒）， 即A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒； ②∵当A、B两点相遇后，再相距3个单位开始第二次提示， ∴A、B两点开始运动后，到第二次发出提示的时间为：（秒）， A、B两点开始运动后，经过3.5秒感应器开始发出第二次提示． 25．【问题情境】： 我们在教材中曾学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可以记作． 【独立思考】： （1）数轴上表示和3两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示x和的两点之间的距离是4，则x=______． 【实践探究】： （3）已知A、B分别为数轴上的两点，点A表示的数是，点B表示的数是50．现有点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，那么几秒后，P、Q两点间的距离是10个单位长度？ 【答案】（1）4 （2）2或 （3）14或18 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用， 对于（1），根据数轴上两点之间的距离公式求解；再根据两点之间的距离列出方程，求出解； 对于（2），先设时间为x秒，即可表示两点运动的路程，再根据两点之间的距离分两种情况列出方程，求出解. 【详解】解：（1）①由题意可知，数轴上表示和3的两点之间的距离是； 故答案为：4； （2）由题意，得， ∴或， 解得或； 故答案为：2或； （2）设x秒后，点P在数轴上运动的路程是，点Q运动的路程是， 分两种情况： 当两只蚂蚁相遇前在数轴上距离是10个单位长度时，， 解得； 当两只蚂蚁相遇后在数轴上距离是10个单位长度时，， 解得. 所以两只蚂蚁在数轴上距离是10个单位长度的时间是14或18秒. 题型九 新定义问题（共4小题） 26．对于数轴上的点，给出如下定义：若在数轴上存在点P，使得点P到点B的距离是点B到点A距离的K倍（K为有理数），则称点B为点A的K倍关联点． (1)当时 ①点A表示的数为2，点B表示的数为点3，点P位于原点O和点A之间，则点P表示的数为______． ②点P表示的数为2，点A表示的数为点3，则点B表示的数为_______． (2)点A表示的数为t，点B表示的数为，点P位于点之间（可以与重合），直接写出K的取值范围． 【答案】(1)①  ②或 (2) 【分析】（1）①表示出的距离和的距离，根据题意列式计算即可； ②表示出的距离和的距离，根据题意列方程计算即可； （2）求出长，即可得到，然后根据点P的位置得到K的取值范围即可； 本题主要考查运用数轴和距离进行列式计算，解题的关键是利用数形结合的方法进行求解． 【详解】（1）解：①设点表示的数为， 由题得：， ∴或， ∵点位于原点和点之间， ∴， 即点表示的数为， 故答案为：； ②设点表示的数为， 由题得： ， ∴或 ， 即点表示的数为或 ， 故答案为：或 ； （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴， ， ∵在上， ∴， ， ∴． 27．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”． (1)若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________； (2)点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________． 【答案】(1) (2)①或或；②50或110或70 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的实际应用，正确理解题意和应用分类讨论思想是解题关键． （1）根据“友好点”的定义，分别验证三点即可． （2）①设点P在数轴上所表示的数为x．根据“友好点”的定义，当点P在点A的右侧，，，当点P在点A的左侧， ,进行分类讨论，列出方程求解即可．②分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“友好点”；点B是点A、点P的“友好点”；点P是点A、点B的“友好点”，然后根据“友好点”的定义列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴不是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， 综上，是点M，N的“友好点”， 故答案为： （2）解：设点P表示的数为x， ∵点A表示数， 点B表示的数30， ∴①若点P在点B的左侧，， 当点P在点A的右侧，， ∵点P是点A，B的“友好点”， ∴， ∴， 解得； 或， ∴， 解得； 当点P在点A的左侧，， 此时，, ∴， 解得； 综上，点P表示的数为或或； ②若点P在点B的右侧，则， 当，， 解得， 当，， 解得， 当，， 解得， 综上，点P表示的数为50或110或70． 故答案为：50或110或70． 28．我们给出如下定义：数轴上给定不重合的两点，若数轴上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的睿智点． 解答下列问题： （1）若点表示的数为，点与点的睿智点表示的数为 3，则点表示的数为 ； （2）点 表示的数为，点表示的数分别是，，点为数轴原点，点 为线段上一点． ①设点表示的数为，若点为点与点的睿智点，则的取值范围是 ； ②当点从点出发以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动，同时点 Q 从点 C出发以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动．若经过秒，点与点的睿智点在线段上，则的取值范围是 ． 【答案】 13 或 【分析】本题考查数轴与有理数，两点间的距离，列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，可知，表示数3的点为的中点，进行求解即可； （2）①根据新定义，求出的中点，的中点所表示的数，即可求出的取值范围；②求出点，点表示的数，求出两点中点表示数，根据数在上，进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得：点表示的数为； 故答案为：13； （2）①∵点 为线段上一点， ∴当与点重合时，点表示的数为：； 当与点重合时，点表示的数为：； ∴； ②点表示的数为：，点表示的数为， ∴点和点D的睿智点所表示的数为：； ∵点 表示的数为，点表示的数分别是，，， 点恰好是点 和点D的睿智点， ∴当时，此时点与点重合，点与点重合，满足题意， ∵点的速度比点快，点的睿智点一定在点的左侧， ∴当点在点的左侧时，点的睿智点，不在线段上， 当点在点的右侧时：则只要点的睿智点，在原点上或在原点的右侧，即可满足题意， ∴当时，， ∴； 综上：或 故答案为：；或 29．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．在数轴上，若点C到点A的距离刚好是4，则点C叫做点A的“幸福点”，若点C到A、B的距离之和为10，则点C叫做A、B的“幸福中心”．    (1)点A表示的数为，则点A的幸福点点C所表示的数应该是_______； (2)M、N为数轴上两点，点M所表示的数为m，点N所表示的数为n，且满足，点C是M、N的幸福中心，则点C所表示的数应该是_______； (3)如图，点A表示的数是0，点B表示的数是4，若点A、点B同时以1个单位长度/秒的速度向左运动，与此同时点P从10处以2个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间后，点P是A、B的幸福中心？ 【答案】(1)或3 (2)或 (3)经过或秒后，点P是A、B的幸福中心 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及偶次方的非负性； （1）设点表示的数是，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出，的值，设点表示的数为，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设点表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或， ∴点表示的数是或3． 故答案为：或3； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴点M表示的数为4，点N表示的数为． 设点表示的数为， ∵， ∴，即， 当时，，解得； 当时，； 当时，，解得； ∴点C表示的数为或． 故答案为：或； （3）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴，即； 当时，，解得； 当时，； 当时，，解得； 答：经过或秒后，点P是A、B的幸福中心． 题型十 数字问题（共3小题） 30．阅读下面把无限循环小数化为分数的解答过程： 设①， 则②， 由得，即故． 根据上述提供的方法，把①，②化为分数． 【答案】①；② 【分析】此题主要考查了无限循环小数和分数的转换，一元一次方程的解法．仿照题中给出的例子进行运算即可求解． 【详解】解：设①，则② 则由得：， 解得：， 故； 设①，则② 则由得：， 解得：， 故； 故． 31．幻方是一种中国传统的数字游戏．游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数字和都相等．右图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中a的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．由第三行和第三列上的数字和相等，可得出左下角的数字为，由第二行和每条斜对角线上的数字和都相等，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵第三行和第三列上的数字和相等， ∴左下角的数字为，如图所示， 根据题意得：， 解得：． 故选：B． 32．（1）【阅读理解】 三阶幻方又名九宫格，是一种将个数字数字不重复使用安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． 在金庸先生的著作射雕英雄传中黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九履一，左七右三，五居中央”请你根据这个口诀把，九个数分别填入图的九宫格里得到一个三阶幻方． （2）【探究发现】 将九个数填入图的方格中，使之构成三阶幻方； 思考问题：若将所填的九个数同时加减或乘除同一个不为的数，你有什么发现？ （3）【结论应用】若满足“幻方”的九个数字之和为，请在图的方格中写出一种符合题意的互不相等的九个数． （4）【类比拓展】在如图的三阶幻方中填写了一些数和字母，则的值为 ． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ②构成三阶幻方的九个数，每个数同时加减或乘除同一个不为0的数，所得到的九个数仍然能构成三阶幻方 （3）见解析，答案不唯一 （4）13 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算， 对于（1），根据口诀填写即可； 对于（2），①求出9个数的平均数，结合该数与5之间的关系，即可得出三阶幻方；②由（1）及（2）①中的幻方，即可得出答案； 对于（3），求出9个数的平均数，结合该数与5之间的关系，即可得出三阶幻方； 对于（4），由第一行及对角线上的三个数字之和相等，可得出关于y的一元一次方程，求出解，再由第三行及第二列上的三个数字之和相等，可列出关于x的一元一次方程，求出解，接下来将其代入待求式，可得答案. 【详解】解：（1）如图所示， （2）①∵，， ∴将图1中每个方格中的数字即可， 如图所示. ②构成三阶幻方的九个数，每个数同时加减或乘除同一个不为0的数，所得到的九个数仍然能构成三阶幻方； （3）∵， ∴图1中每个方格的数字即可， 如图所示.（答案不唯一） （4）∵， 解得. ∵， 即， 解得， ∴. 故答案为：13. 题型十一 水费问题（共2小题） 33．某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过，则每立方米按元收费；若每月每户用水超过，则超过部分每立方米按元收费． (1)李明家上个月用水，他上个月应交水费多少元？ (2)若当月用水量为（），请你用含的式子表示当月所付水费金额； (3)如果王鹏家月份所交水费的平均价为每立方米元，那么王鹏家月份用水多少立方米？请你设未知数列方程完成此问． 【答案】(1)92.5元； (2)当月所付水费金额为元； (3)50立方米． 【分析】（1）根据收费标准计算即可； （2）根据题意列式即可； （3）根据等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得（元） 答：他上个月应交水费92.5元． （2）解：∵当月用水量为（）， ∴当月所付水费金额为元； （3）解：根据题意，得 解得 答：王鹏家12月份用水50立方米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，有理数运算的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由水费找出合适的等量关系列出方程，再求解． 34．为了更好地使用和节约水资源，自2014年5月1日起，北京市居民生活用水开始实施阶梯水价，下表为北京市居民用水（自来水）水费收费标准： 阶梯 每户年用水量 （单位：立方米） 水单价（单位：元/立方米） 价格组成（单位：元/立方米） 水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 0～180（含180） 5 第二阶梯 180～260（含260） 7 第三阶梯 260以上 9 例如，某用户的年用水量为300立方米，按三阶梯计量应缴纳水费为： （元）． 请解答以下问题： (1)如果用户的年用水量为100立方米，则用户需缴纳的水费为________元； (2)如果用户一年缴纳的水费为1040元，则用户该年用水量为________立方米； (3)如果用户的年用水量为（）立方米，求用户该年应缴纳水费多少元？（用含的代数式表示，并化简） 【答案】(1)500 (2)200 (3)用户该年应缴纳水费元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用： （1）利用单价乘以水量即可； （2）首先得出所用自来水的范围，设未知数、根据等量关系列方程即可； （3）根据数量关系，列出算式即可； 解题的关键是明确题意，找准数量关系，列出方程． 【详解】（1）解：（元）， 答：则用户需缴纳的水费为500元， 故答案为：500． （2）（元）， 则使用自来水260立方米时，应缴纳：， 设用户该年用水量为立方米， 则1， 解得：， 答：用户该年用水量为200立方米， 故答案为：200． （3）， ， ， ， 答：用户该年应缴纳水费元． 8 / 9zxxk.com 8 / 9zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等式与方程 题型1 等式性质 题型7 和差倍分问题 题型2 一元一次方程定义求参（重点） 题型8 动点问题（难点） 题型3 已知一元一次方程的解求参数 题型9 新定义问题（难点） 题型4 解一元一次方程 题型10数字问题 题型5 一元一次方程综合（难点） 题型11 水费问题 题型6 一元一次方程解的关系 题型一 等式性质（共3小题） 1．把方程写成用含的代数式表示的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．把方程改写成用含的式子表示的形式： ． 3．下列方程的变形过程中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 题型二 一元一次方程定义求参数（共3小题） 4．已知是关于x的一元一次方程，则m的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 5．已知是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 6．已知方程是一元一次方程，则a的值为 ． 题型三 已知一元一次方程的解求参数（共3小题） 7．关于的方程的解为，则的值为 ． 8．若是方程的解，则的值为 ． 9．如果是关于x的方程的解，则m的值是 ． 题型四 解一元一次方程（共3小题） 10．解方程： (1)； (2)． 11．解下列方程： (1)； (2)． 12．解下列方程： (1) (2)． 题型五 一元一次方程综合（共5小题） 13．已知a，b在数轴上的位置如图所示． (1)化简：； (2)若，x为数轴上任意一点所对应的数，则代数式的最小值是 ；此时x的取值范围是 ； (3)在（2）的条件下，若，则 ． 14．若，且，以下结论： ； 关于的方程的解为； ； 的所有可能取值为或； 在数轴上点A、B、C表示数，，，且，则A、B两点间距离与B、C两点间距离的大小关系是其中正确结论的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 15．我们把按一定规律非列的一列数称为数列，若对于一个数列中任意相邻有序的三个数a，b，c，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)在数列①；②3，，1中，是理想数列的是____________；（只填序号即可） (2)如果数列…，2，x，，…，是理想数列，求x的值； (3)若数列…，m，n，，…，是理想数列，求代数式的值． 16．规定：用表示大于m的最小整数，如，；用表示不大于m的最大整数，例如：，． ①___________，___________； ②若，那么___________； ③如果x满足方程，那么求方程的解． 17．若，且，以下结论： ① ；    ② 关于的方程的解为；   ③ ； ④ 的所有可能取值为和；其中正确的结论是 （填序号）． 题型六 一元一次方程解的关系（共2小题） 18．已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 19．关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 题型七 和差倍分问题（共3小题） 20．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（   ） A． B． C． D． 21．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何．”其大意是：现在一斗清酒价值：10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设清酒有斗，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 22．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型八 动点问题（共3小题） 23．已知数轴上三点对应的数分别为，点P位数轴上任意一点，其对应的数为x，点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为． (1)若，则 ； (2)若，则 ；若，则 ； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发，设运动时间为t秒，试判断：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 24．两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． (1)根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 4 6 A点在数轴上的位置 8 0 ______ B点在数轴上的位置 _________ 6 14 (2)经过秒时，点对应的数是___________； (3)在两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3且小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）． ①两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？请写出解答过程． ②两点开始运动后，经过____秒感应器开始发出第二次提示．（直接写出结果） 时间（秒） 0 4 6 A点在数轴上的位置 8 0 B点在数轴上的位置 6 14 25．【问题情境】： 我们在教材中曾学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可以记作． 【独立思考】： （1）数轴上表示和3两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示x和的两点之间的距离是4，则x=______． 【实践探究】： （3）已知A、B分别为数轴上的两点，点A表示的数是，点B表示的数是50．现有点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，那么几秒后，P、Q两点间的距离是10个单位长度？ 题型九 新定义问题（共4小题） 26．对于数轴上的点，给出如下定义：若在数轴上存在点P，使得点P到点B的距离是点B到点A距离的K倍（K为有理数），则称点B为点A的K倍关联点． (1)当时 ①点A表示的数为2，点B表示的数为点3，点P位于原点O和点A之间，则点P表示的数为______． ②点P表示的数为2，点A表示的数为点3，则点B表示的数为_______． (2)点A表示的数为t，点B表示的数为，点P位于点之间（可以与重合），直接写出K的取值范围． 27．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”． (1)若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________； (2)点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________． 28．我们给出如下定义：数轴上给定不重合的两点，若数轴上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的睿智点． 解答下列问题： （1）若点表示的数为，点与点的睿智点表示的数为 3，则点表示的数为 ； （2）点 表示的数为，点表示的数分别是，，点为数轴原点，点 为线段上一点． ①设点表示的数为，若点为点与点的睿智点，则的取值范围是 ； ②当点从点出发以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动，同时点 Q 从点 C出发以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动．若经过秒，点与点的睿智点在线段上，则的取值范围是 ． 29．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．在数轴上，若点C到点A的距离刚好是4，则点C叫做点A的“幸福点”，若点C到A、B的距离之和为10，则点C叫做A、B的“幸福中心”．    (1)点A表示的数为，则点A的幸福点点C所表示的数应该是_______； (2)M、N为数轴上两点，点M所表示的数为m，点N所表示的数为n，且满足，点C是M、N的幸福中心，则点C所表示的数应该是_______； (3)如图，点A表示的数是0，点B表示的数是4，若点A、点B同时以1个单位长度/秒的速度向左运动，与此同时点P从10处以2个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间后，点P是A、B的幸福中心？ 题型十 数字问题（共3小题） 30．阅读下面把无限循环小数化为分数的解答过程： 设①， 则②， 由得，即故． 根据上述提供的方法，把①，②化为分数． 31．幻方是一种中国传统的数字游戏．游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数字和都相等．右图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中a的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D．12 32．（1）【阅读理解】 三阶幻方又名九宫格，是一种将个数字数字不重复使用安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． 在金庸先生的著作射雕英雄传中黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九履一，左七右三，五居中央”请你根据这个口诀把，九个数分别填入图的九宫格里得到一个三阶幻方． （2）【探究发现】 将九个数填入图的方格中，使之构成三阶幻方； 思考问题：若将所填的九个数同时加减或乘除同一个不为的数，你有什么发现？ （3）【结论应用】若满足“幻方”的九个数字之和为，请在图的方格中写出一种符合题意的互不相等的九个数． （4）【类比拓展】在如图的三阶幻方中填写了一些数和字母，则的值为 ． 题型十一 水费问题（共2小题） 33．某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过，则每立方米按元收费；若每月每户用水超过，则超过部分每立方米按元收费． (1)李明家上个月用水，他上个月应交水费多少元？ (2)若当月用水量为（），请你用含的式子表示当月所付水费金额； (3)如果王鹏家月份所交水费的平均价为每立方米元，那么王鹏家月份用水多少立方米？请你设未知数列方程完成此问． 34．为了更好地使用和节约水资源，自2014年5月1日起，北京市居民生活用水开始实施阶梯水价，下表为北京市居民用水（自来水）水费收费标准： 阶梯 每户年用水量 （单位：立方米） 水单价（单位：元/立方米） 价格组成（单位：元/立方米） 水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 0～180（含180） 5 第二阶梯 180～260（含260） 7 第三阶梯 260以上 9 例如，某用户的年用水量为300立方米，按三阶梯计量应缴纳水费为： （元）． 请解答以下问题： (1)如果用户的年用水量为100立方米，则用户需缴纳的水费为________元； (2)如果用户一年缴纳的水费为1040元，则用户该年用水量为________立方米； (3)如果用户的年用水量为（）立方米，求用户该年应缴纳水费多少元？（用含的代数式表示，并化简） 1 / 37zxxk.com 1 / 37zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $