学易金卷：八年级数学上学期期中模拟卷（上海专用，新教材沪教版19～21章：实数+二次根式+一元二次方程的概念与解法）

2025-2026学年八年级上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 口 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[]【1[/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1[A][B][CI[D] 3A][B]ICI[D] 5[AJ[B]IC][D] 2[A][B]IC][D] 4[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分) 7. 8. 9. 10. 11 12. 13 16. 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(4分) 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 22.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 墙体 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) A 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年八年级上学期期中模拟卷 日 答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[X1【1[/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2A1[B1[C1[D1 4.[A1[B1[C1[D1 6.[AJ[B][C1[D] 第Ⅱ卷 二、 填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分) 8 10. 11 17 13 5 16」 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(4分) 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 22.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（10分) A 墙体 B D 图1 图2 C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) A B B B A 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 B D A D C D 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 8. 2 9. 10. 7.937 11. 12. 13. 14 . 15. 16 . 17. 18. （1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9） 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分） 【详解】解：， ， 则， 即，……（2分） ， 解得．……（4分） 20．（6分） 【详解】解：∵（1），（2）， （1）+（2）得a=;（1）-（2）得b=……（4分） ∴．……（6分） 21．（6分） 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，，……（4分） 则或． 综上所述：的值为或1．……（6分） 22．（6分） 【详解】 ， ， ∵，……（4分） ∴， ∵， ， ∴ .……（6分） 23．（8分） 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 平方分米的正方形， 正方形的边长为分米， “混天绫”的总长度分米． 答：成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是分米．……（3分） （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为分米，宽为分米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为分米，宽为分米， 长方形的周长为， ， ， 围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”不需要继续伸长．……（8分） 24．（8分） 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，．……（4分） （2）解：， ∴， ， ∴， ∴．……（8分） 25．（10分） 【详解】（1）解：由题意，设， 由，得， 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为 故答案为：6；3； （2）解：由题意，设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的篱笆， 又令，， 由， ． 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为36， 答：所用的篱笆至少为36米． （3）解：由题意，设， 与底边上的高相等，与底边上的高相等， ， 又， ， 当时，即（负值舍去）时取等号． 四边形面积的最小值为25． 26．（10分） 【详解】解：任务1：， ， ，，， ，，． 故答案为：；7；；……（2分） 任务2：点与点重合， 折痕处对应的数为， 与点重合的点所表示的数为．……（4分） 任务3：，点表示的数为7， 点表示的数为0， 点从点出发，以1个单位长度秒的速度“上坡”至终点，当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动， ． 点在“阶梯坡面”上运动，，点从点出发，以3个单位长度秒的速度向点运动， ． 当时，此时点，都在做上坡运动， ①当点在点下方时， 由题意得：， ，， ， ， ， ． ②当点在点上方时， 由题意得：， ，， ， ， ， （大于6，不合题意舍去）． 当时，此时点在做上坡运动，点做下坡运动， 由题意得：，， ． ①当点在点下方时， ， ， ， ． ②当点在点上方时， ， ， ， （小于6，不合题意舍去）． 综上，当点在“阶梯坡面”上运动时，满足，的值为秒或秒．……（10分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版八年级数学上册（实数+二次根式+一元二次方程的概念与解法）。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各数：、、、、、，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 3．在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．关于x的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．已知x是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ）． A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 8．一元二次方程的二次项系数是 ． 9．在数轴上表示的点与表示数3的点之间的距离是 ． 10．已知，，则 ． 11．比较大小： （用“>”、“<”或“=”填空） 12．将化成分数： ． 13．水由氢、氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，1个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是 ．（结果用科学记数法表示） 14．若，，则 ， ． 15．如果最简根式与是同类二次根式，则 ． 16．的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 17．不等式的解集是 ． 18．已知a，b是正整数，若有序数对（a，b）使得的值也是整数，则称（a，b）是的一个“理想数对”，如（1，4）使得=3，所以（1，4）是的一个“理想数对”．请写出其他所有的“理想数对”： ． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）解方程： 20．（6分）已知，，求的值． 21．（6分）已知x，y是有理数，并且x，y满足等式，求的值． 22．（6分）课堂上老师讲解了比较和的方法，观察发现11-10=15-14=1，于是比较这两个数的倒数： ， ， 因为>，所以>，则有<. 请你设计一种方法比较与的大小. 23．（8分）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为． (1)围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ (2)围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 24．（8分）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：______， ______； (2)计算：． 25．（10分）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为_________，此时_________． (2)某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 26．（10分）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成探究任务 【素材1】灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如下图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足． 【素材2】 通达小组分别以“灵动数轴”中的点A和点B为中心旋转一定角度，形成了如下图所示的“数轴阶梯”，其中点A和点B之间的部分（包括点A和点B）叫做“阶梯坡面”． 【任务1】在“灵动数轴”中，________，________，________． 【任务2】 折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【任务3】 点D落在“阶梯坡面”上，．现在动点P、Q同时开始运动：点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度向点A运动，过点A后以2个单位长度/秒的速度“上坡”至点B，再以5个单位长度/秒的速度“下坡”至终点A；点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度“上坡”至终点B．当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动．当点P在“阶梯坡面”上运动时，满足，若此时点P的运动时间为t秒，请直接写出t的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版八年级数学上册（实数+二次根式+一元二次方程的概念与解法）。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各数：、、、、、，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 3．在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．关于x的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．已知x是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ）． A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 8．一元二次方程的二次项系数是 ． 9．在数轴上表示的点与表示数3的点之间的距离是 ． 10．已知，，则 ． 11．比较大小： （用“>”、“<”或“=”填空） 12．将化成分数： ． 13．水由氢、氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，1个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是 ．（结果用科学记数法表示） 14．若，，则 ， ． 15．如果最简根式与是同类二次根式，则 ． 16．的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 17．不等式的解集是 ． 18．已知a，b是正整数，若有序数对（a，b）使得的值也是整数，则称（a，b）是的一个“理想数对”，如（1，4）使得=3，所以（1，4）是的一个“理想数对”．请写出其他所有的“理想数对”： ． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）解方程： 20．（6分）已知，，求的值． 21．（6分）已知x，y是有理数，并且x，y满足等式，求的值． 22．（6分）课堂上老师讲解了比较和的方法，观察发现11-10=15-14=1，于是比较这两个数的倒数： ， ， 因为>，所以>，则有<. 请你设计一种方法比较与的大小. 23．（8分）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为． (1)围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ (2)围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 24．（8分）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：______， ______； (2)计算：． 25．（10分）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为_________，此时_________． (2)某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 26．（10分）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成探究任务 【素材1】灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如下图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足． 【素材2】 通达小组分别以“灵动数轴”中的点A和点B为中心旋转一定角度，形成了如下图所示的“数轴阶梯”，其中点A和点B之间的部分（包括点A和点B）叫做“阶梯坡面”． 【任务1】在“灵动数轴”中，________，________，________． 【任务2】 折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【任务3】 点D落在“阶梯坡面”上，．现在动点P、Q同时开始运动：点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度向点A运动，过点A后以2个单位长度/秒的速度“上坡”至点B，再以5个单位长度/秒的速度“下坡”至终点A；点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度“上坡”至终点B．当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动．当点P在“阶梯坡面”上运动时，满足，若此时点P的运动时间为t秒，请直接写出t的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版八年级数学上册（实数+二次根式+一元二次方程的概念与解法）。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各数：、、、、、，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：， 下列各数：、、、、、，其中无理数有、、，一共3个， 故选：B． 2．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数是：， 故选：D． 3．在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．，结果不带根式，符合题意． B．，结果带根式，不符合题意． C．，结果带根式，不符合题意． D．，结果带根式，不符合题意． 故选：A． 4．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意， 故选：D． 5．关于x的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：且， ， 故选：C． 6．已知x是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由是有理数，则为有理数， A、，又是有理数，x是无理数 所以是无理数，不符合题意； B、， 同理是无理数，不符合题意； C、，又是有理数，x是无理数 所以为无理数，即是无理数，不符合题意； D、，又是有理数， 所以是有理数，即是有理数，符合题意． 故选：D． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得， 解得． 故答案为：． 8．一元二次方程的二次项系数是 ． 【答案】2 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是2. 故答案为：2. 9．在数轴上表示的点与表示数3的点之间的距离是 ． 【答案】 【详解】解：在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是， 故答案为：． 10．已知，，则 ． 【答案】7.937 【详解】∵ ∴ 故答案为：7.937． 11．比较大小： （用“>”、“<”或“=”填空） 【答案】 【详解】解： ， 又， ，即， ， 故答案为：． 12．将化成分数： ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 13．水由氢、氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，1个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是 ．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 14．若，，则 ， ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，． 故答案为：；． 15．如果最简根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意得 ， 解得：，， 当时， ， 舍去， ， 故答案为：． 16．的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】解： 化简二次根式： 移项： 合并： 解得． 18．已知a，b是正整数，若有序数对（a，b）使得的值也是整数，则称（a，b）是的一个“理想数对”，如（1，4）使得=3，所以（1，4）是的一个“理想数对”．请写出其他所有的“理想数对”： ． 【答案】（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9） 【详解】当a=1，=1，要使为整数，=1或时，分别为4和3，得出（1，4）和（1，1）是的“理想数对”， 当a=4，=，要使为整数，=1或时，分别为3和2， 得出（4，1）和（4，4）是的“理想数对”， 当a=9，=，要使为整数，=时，=1， 得出（9，36）是的“理想数对”， 当a=16，=，要使为整数，=时，=1， 得出（16，16）是的“理想数对”， 当a=36，=，要使为整数，=时，=1， 得出（36，9）是的“理想数对”， 即其他所有的“理想数对”：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）． 故答案为（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）解方程： 【详解】解：， ， 则， 即，……（2分） ， 解得．……（4分） 20．（6分）已知，，求的值． 【详解】解：∵（1），（2）， （1）+（2）得a=;（1）-（2）得b=……（4分） ∴．……（6分） 21．（6分）已知x，y是有理数，并且x，y满足等式，求的值． 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，，……（4分） 则或． 综上所述：的值为或1．……（6分） 22．（6分）课堂上老师讲解了比较和的方法，观察发现11-10=15-14=1，于是比较这两个数的倒数： ， ， 因为>，所以>，则有<. 请你设计一种方法比较与的大小. 【详解】 ， ， ∵，……（4分） ∴， ∵， ， ∴ .……（6分） 23．（8分）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为． (1)围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ (2)围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 平方分米的正方形， 正方形的边长为分米， “混天绫”的总长度分米． 答：成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是分米．……（3分） （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为分米，宽为分米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为分米，宽为分米， 长方形的周长为， ， ， 围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”不需要继续伸长．……（8分） 24．（8分）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：______， ______； (2)计算：． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，．……（4分） （2）解：， ∴， ， ∴， ∴．……（8分） 25．（10分）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为_________，此时_________． (2)某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 【详解】（1）解：由题意，设， 由，得， 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为 故答案为：6；3； （2）解：由题意，设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的篱笆， 又令，， 由， ． 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为36， 答：所用的篱笆至少为36米． （3）解：由题意，设， 与底边上的高相等，与底边上的高相等， ， 又， ， 当时，即（负值舍去）时取等号． 四边形面积的最小值为25． 26．（10分）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成探究任务 【素材1】灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如下图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足． 【素材2】 通达小组分别以“灵动数轴”中的点A和点B为中心旋转一定角度，形成了如下图所示的“数轴阶梯”，其中点A和点B之间的部分（包括点A和点B）叫做“阶梯坡面”． 【任务1】在“灵动数轴”中，________，________，________． 【任务2】 折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【任务3】 点D落在“阶梯坡面”上，．现在动点P、Q同时开始运动：点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度向点A运动，过点A后以2个单位长度/秒的速度“上坡”至点B，再以5个单位长度/秒的速度“下坡”至终点A；点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度“上坡”至终点B．当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动．当点P在“阶梯坡面”上运动时，满足，若此时点P的运动时间为t秒，请直接写出t的值． 【详解】解：任务1：， ， ，，， ，，． 故答案为：；7；；……（2分） 任务2：点与点重合， 折痕处对应的数为， 与点重合的点所表示的数为．……（4分） 任务3：，点表示的数为7， 点表示的数为0， 点从点出发，以1个单位长度秒的速度“上坡”至终点，当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动， ． 点在“阶梯坡面”上运动，，点从点出发，以3个单位长度秒的速度向点运动， ． 当时，此时点，都在做上坡运动， ①当点在点下方时， 由题意得：， ，， ， ， ， ． ②当点在点上方时， 由题意得：， ，， ， ， ， （大于6，不合题意舍去）． 当时，此时点在做上坡运动，点做下坡运动， 由题意得：，， ． ①当点在点下方时， ， ， ， ． ②当点在点上方时， ， ， ， （小于6，不合题意舍去）． 综上，当点在“阶梯坡面”上运动时，满足，的值为秒或秒．……（10分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $