精品解析：四川省宜宾市第二中学校2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

宜宾市二中2025年秋期九年级9月定时集体作业 数学试卷 （考试时间：120分钟，总分150分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将正确选项填在答题卡对应题目上.（注意：在试题卷上作答无效） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可进行解答． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的定义．最简二次根式根号下不含有可开方的数，根号下不含有分母，分母不含有根号． 2. 下列运算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的运算．根据二次根式的乘除法法则计算以及二次根式的加减法则计算即可判定． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故原运算错误，本选项符合题意； B、，正确，本选项不符合题意； C、，正确，本选项不符合题意； D、，正确，本选项不符合题意； 故选：A． 3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据移项，配方，变形的步骤进行配方后，判断即可． 【详解】解： ∴； 故选D． 4. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义求解，把x＝0代入一元二次方程即可得出m的值． 【详解】解：把x＝0代入方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0， 得m2﹣1＝0， 解得：m＝±1， ∵m﹣1≠0， ∴m≠1，m＝﹣1， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义，解题的关键是运用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣1≠0． 5. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由根与系数的关系可知，以，为根的一元二次方程是， 故选A． 考点：根与系数的关系． 6. 若，且关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义，同时考查了非负数的性质． 先根据非负数的性质求出与的值，由一元二次方程有实数根，得到，方程有两个实数根，得到且，然后综合两种情况即可得到实数的取值范围． 【详解】解：， ，， ，， 方程即为方程． ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 即且时，方程有两个实数根， 故选：D． 7. 设，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，代数式求值，求出和是解此题的关键． 根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出，，将变形后代入，即可求出答案． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：C． 8. 全国和美乡村篮球大赛——某县“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有支，根据题意，找到等量关系，列出方程即可，根据题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设参加比赛的球队有支， 由题意可得，， 故选：． 9. 关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ） A. x1=-6，x2=-1 B. x1=0，x2=5 C. x1=-3，x2=5 D. x1=-6，x2=2 【答案】B 【解析】 【详解】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h±， 而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2， 所以-h-=-3，-h+=2， 方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h±， 所以x1=3-3=0，x2=3+2=5． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法． 10. 已知关于的一元二次方程.若的两边，的长是这个方程的两个实数根.第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为（ ） A. 3或4 B. 4或5 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和等腰三角形，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先利用公式法求出方程的解为，然后分类讨论：或时为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】解：， 解得， ，的长是这个方程的两个实数根， ， ，中有一个数为5．    当时，解得，此时三边分别为，能构成三角形，则是等腰三角形， 当时，此时三边分别为，能构成三角形，是等腰三角形， 即k为值为：5或4． 故选：B． 11. 如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数阵排列，得出第行第个数（从左往右算）为；结合第行第个数与第（是整数，且）行从左向右数第个数相差个位置，据此进行列式计算即可．本题考查了算术平方根．根据数据排列规律，计算前行数据的个数是解决本题的关键． 【详解】解：由图中规律知， 第一行第二个数（从左往右算）为； 第二行第三个数（从左往右算）为； 第三行第四个数（从左往右算）为； 第四行第五个数（从左往右算）为； 以此类推， …… 第行第个数（从左往右算）为； 则 ∴第是整数，且行从左向右数第个数是． 故选：C． 12. 对于代数式、，定义新运算，则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则或1 ②若方程的解为、，则的值为 ③若关于的方程有两个不相等的实数解，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是正确理解题意，明确新定义的运算顺序和运算法则，根；当时，方程没有实数根． 根据新定义得，则得出或，即可判断①；根据一元二次方程根与系数的关系得出，，则，求出，即可判断②；根据新定义和绝对值可得，根据一元二次方程的判别式，即可判断③． 【详解】解：①， 整理得：， ∴， ∴或， 故①正确，符合题意； ②， ∵方程的解为、， ∴，， ∴， ∴，则 当时， ， 当时， ， ∴的值为或， 故②不正确，不符合题意； ③∵，方程有两个不相等的实数解， ∴， 当时，整理得：， ∴，解得：； 当时，整理得：， ∴，解得：； ∴， 故③不正确，不符合题意； 综上：正确的有①，共1个； 故选：B． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填在答题卡上对应的横线上。（注意：在试题卷上作答无效） 13. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件． 【详解】要使在实数范围内有意义， 必须且． 故答案为x≥-1且x≠2 【点睛】本题考查了1．函数自变量的取值范围；2．二次根式和分式有意义的条件． 14. 已知关于的方程的一个根是，则它的另一根为_________，_________． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，可得 ，解之可得． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则， 解得：， 将代入，得， ， 解得． 故答案为：，1． 15. 已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减运算、二次根式的性质等知识点，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键． 先由数轴确定a、b、c的符号，再确定相关代数式的正负，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由图示可得：且，则， 所以 ． 故答案为． 16. 如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的栅栏的总长是，花圃能围成的最大面积是． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，掌握知识点是解题的关键． 设长为，，花圃的面积为，依题意得到 ，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设长为，，花圃的面积为，依题意，得 ， ∵时，函数图象开口向下，对称轴为． ∴当时，S取得最大值，最大值为： ． 综上，花圃能围成的最大面积是． 故答案为：． 17. 如图，在中，，为的中线，过点C作于点E，过点A作的平行线，交的延长线于点F，在的延长线上截取，连接、．若，则四边形的周长为（ ） A. 9.5 B. 20 C. 13 D. 12.5 【答案】B 【解析】 【分析】先证明四边形为菱形，在中，利用勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵，为的中线， ∴，为的中点， ∵，，， ∴，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， 设， ∴， 在中，，即：， 解得：（负值已舍掉）； ∴， ∴四边形的周长为20． 故选B． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理．解题的关键是得到四边形为菱形． 18. 若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m2﹣m=0（m＞0），当m=1、2、3、…、2018时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2018、β2018，则：的值为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到α1+β1=-2，α1β1=-1×2；α2+β2=-2，α2β2=-2×3；…α2018+β2018=-2，α2018β2018=-2018×2019．把原式变形，再代入，即可求出答案． 【详解】∵x2+2x-m2-m=0，m=1，2，3，…，2018， ∴由根与系数的关系得：α1+β1=-2，α1β1=-1×2； α2+β2=-2，α2β2=-2×3； … α2018+β2018=-2，α2018β2018=-2018×2019． ∴原式= = =2×（） =2×（1-） =， 故答案为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分）解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤.（注意：在试题卷上作答无效） 19. 计算题： （1） （2） （3）解方程： （4）解方程： 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，绝对值，解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据二次根式的化简进行计算即可； （2）根据二次根式的化简进行计算即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ． 【小问3详解】 ， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 即， ∴； 【小问4详解】 ， 原方程可化为， ， ∴， 解得． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，平方差公式，代数式求值，先计算括号内分式的减法，再计算分式的除法运算，最后把代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， 当时，原式． 21. （1）若最简二次根式和是同类二次根式．求的平方根； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，二次根式有意义的条件，算术平方根的非负性，平方根的定义，一元一次不等式组，积的乘方的逆运算，平方差公式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据同类二次根式得出x和y的二元一次方程组，从而得出x和y的值，将x和y的值代入代数式得出答案． （2）先求出，则，再根据积的乘方的逆运算，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）由题意得：， 解得． ∴； （2）∵有意义， ∴， 解得， ∴， ∴， 则 ． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据5月份销售量月份销售量建立方程，解方程即可得； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元个，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程求出的值，再选择较小的的值即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为元／个， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元个． 23. 关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0 （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根． （2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由． 【答案】 （1）证明：①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1, x=-1有一个解； ②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程， △=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ² ＋4＞0 方程有两不等根 综合①②得不论k为何值，方程总有实根 （2）S的值能为2，此时k的值为2． 【解析】 【分析】（1） 本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 【详解】（1）略 （2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂= ∴S=++ x1+x2 = = = = =2k-2=2， 解得k=2， ∴当k=2时，S的值为2 ∴S的值能为2，此时k的值为2． 考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系． 24. 综合与探究： 【观察发现】： ． ； ， ． 【初步探索】： （1）化简：__________________． 【深入探究】： （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得_________，_________． （3）若，且，均为正整数，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3）； 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简与应用，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键。． （1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给出的a，b与m，n的关系式，列式算出结果即可； （3）将所给式子两边平方求解即可； 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵，，，均为正整数， ∴， 故答案为：，； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 在平面直角坐标系中，过原点及点、作矩形，的平分线交于点．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒． （1）填空：_______，_______（用含的代数式表示） （2）设的面积为，的面积为，当为何值时，的值为． （3）求当为何值时，为直角三角形． 【答案】（1）； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，即可表达，； （2）连接，过点作于点，根据，得，又根据，则，根据勾股定理得，推出是等腰直角三角形，得；是直角三角形，当在左侧时，根据三角形面积公式得：；当在右侧时，面积为：，分类讨论，即可求出时的值； （3）当为直角三角形时，或或，根据是等腰直角三角形，则；根据勾股定理，即可求出的值． 【小问1详解】 ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向移动 ∴；． 【小问2详解】 连接，过点作于点 ∵四边形是矩形，点，点 ∴， ∵ ∴ ∴在直角三角形中， ∴ ∵ ∴ ∴在直角三角形中， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵当在左侧时，即时， ∴ ∴ ∴当时 ∴解得，（舍） 不满足； 在右侧时，时， ∴ ∴ ∴当时，解得，（舍） ∴当，． 【小问3详解】 连接，， 由（2）得， ∵是直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴在， ∴ ∵为直角三角形时 ∴或或 ∵是等腰直角三角形，则 ∴或 时， ∴ 整理得： 解得：（舍）， ∴ 时， ∴ 解得：， ∴或 ∴综上所述，当或或时，为直角三角形时． 【点睛】本题考查动点问题，直角三角形和一元二次方程的知识，解题的关键是掌握动点的运动轨迹，勾股定理和解一元二次方程的解法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市二中2025年秋期九年级9月定时集体作业 数学试卷 （考试时间：120分钟，总分150分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将正确选项填在答题卡对应题目上.（注意：在试题卷上作答无效） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算错误的是（　　） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 4. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 6. 若，且关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. ，且 D. ，且 7. 设，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022 8. 全国和美乡村篮球大赛——某县“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ） A. x1=-6，x2=-1 B. x1=0，x2=5 C. x1=-3，x2=5 D. x1=-6，x2=2 10. 已知关于的一元二次方程.若的两边，的长是这个方程的两个实数根.第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为（ ） A. 3或4 B. 4或5 C. 5 D. 4 11. 如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 12. 对于代数式、，定义新运算，则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则或1 ②若方程的解为、，则的值为 ③若关于的方程有两个不相等的实数解，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填在答题卡上对应的横线上。（注意：在试题卷上作答无效） 13. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 14. 已知关于的方程的一个根是，则它的另一根为_________，_________． 15. 已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为______． 16. 如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的栅栏的总长是，花圃能围成的最大面积是． 17. 如图，在中，，为的中线，过点C作于点E，过点A作的平行线，交的延长线于点F，在的延长线上截取，连接、．若，则四边形的周长为（ ） A. 9.5 B. 20 C. 13 D. 12.5 18. 若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m2﹣m=0（m＞0），当m=1、2、3、…、2018时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2018、β2018，则：的值为_____． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分）解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤.（注意：在试题卷上作答无效） 19. 计算题： （1） （2） （3）解方程： （4）解方程： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. （1）若最简二次根式和是同类二次根式．求的平方根； （2）已知，求的值． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 23. 关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0 （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根． （2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由． 24. 综合与探究： 【观察发现】： ． ； ， ． 【初步探索】： （1）化简：__________________． 【深入探究】： （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得_________，_________． （3）若，且，均为正整数，求的值． 25. 在平面直角坐标系中，过原点及点、作矩形，的平分线交于点．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒． （1）填空：_______，_______（用含的代数式表示） （2）设的面积为，的面积为，当为何值时，的值为． （3）求当为何值时，为直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $