2.2 圆的对称性讲义2025-2026学年 苏科版九年级数学上册

2.2 圆的对称性 【重难点】 1、理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题； 2、通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系； 3、掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用。 【知识梳理】 要点一、圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 要点诠释：圆具有旋转不变的特性。即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。 要点二、弧、弦、圆心角的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 要点诠释： （1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； （2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提。 （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等；②所对的弧相等；③所对的弦相等。三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合， （4）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 要点三、垂径定理 1、垂径定理 ： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 2、推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 要点诠释： （1）垂径定理是由两个条件推出两个结论，即（说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧）； （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 要点四、垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论。（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【典型例题】 题型一、圆心角、弧、弦间的关系 【例1】如图，在⊙O中，若2，则AB与2CD的大小关系为（　　） A．AB＝2CD B．AB＜2CD C．AB＞2CD D．无法确定 【分析】首先取的中点E，连接AE，BE，由在⊙O中2，得，故AE＝BE＝CD，然后由三角形的三边关系求得答案． 【详解】解：如图，取的中点E，连接AE，BE， 在⊙O中，2，∴，∴AE＝BE＝CD， ∵AE+BE＞AB，∴AB＜2CD． 故选：B． 【点睛】此题考查的是圆心角、弧、弦的关系及三角形的三边关系，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等是解题的关键． 【变式训练】 1、下列说法中，正确的是（　　） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 【分析】根据等圆，圆周角定理，垂径定理一一判断即可． 【详解】解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意． B、正确，本选项符合题意． C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意． D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，等圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2、如图，圆的两条弦AC、BD相交于点P，、的度数分别为α、β，∠APB的度数为γ，则α、β和γ之间的数量关系为　 　． 【分析】连接BC．求出∠ACB，∠DBC，再利用三角形的外角的性质求∠APB即可． 【详解】解：连接BC． ∵∠ACBα，∠DBCβ， 又∵∠APB＝∠ACB+∠DBC，∴γ（α+β）， 故答案为γ（α+β）． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的外角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 3、如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB＝DC．求证：AC＝BD． 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 【详解】证明：∵AB＝DC，∴，∴，∴AC＝BD． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 题型二、利用垂径定理勾股定理求值 【例2】如图，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接OA，若∠A＝45°，AB＝2，则DH的长度为（　　） A．1 B． C． D．3 【分析】根据垂径定理和勾股定理解答即可． 【详解】解：∵直径CD⊥AB，AB＝2，∴AHAB＝1， 在Rt△AHO中，∠A＝45°，∴AH＝OH＝1， ∴AO＝DO，∴DH＝DO+OH1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 【变式训练】 1、如图，已知⊙O的半径为10，⊙O的一条弦AB＝16，若⊙O内的一点P恰好在AB上，则线段OP的长度为整数的值有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】连接OA，过点O作OP′⊥AB于点P′，根据垂径定理求出AP′，根据勾股定理求出OP′，求出OP的范围，计算即可． 【详解】解：如图，连接OA，过点O作OP′⊥AB于点P′， 则AP′AB＝8， 由勾股定理得：OP′6， 则6≤OP＜10， ∴线段OP的长度为整数的值有6、7、8、9共4个， 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键． 2、如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA＝5，AB＝8，则CD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】先根据垂径定理得到AD＝BD＝4，再利用勾股定理计算出OD＝3，然后计算OC﹣OD即可． 【详解】解：∵OC⊥AB，∴AD＝BDAB＝4， 在Rt△OAD中，OD3，∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 3、如图，AB为⊙O的直径，CD垂直平分OA，垂足为E．若AB＝8，则CD的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 【分析】由CD垂直平分OA，得到OEOA＝2，由勾股定理求出CE2，由垂径定理得到CD＝2CE＝4． 【详解】解：∵CD垂直平分OA，∴OEOA， ∵AB＝8，∴AO8＝4，∴OE＝2， ∴CE2， ∵半径OA⊥CD，∴CD＝2CE＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理求出CE长，由垂径定理即可得到CD长． 题型三、利用垂径定理解决周长面积问题 【例3】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（　　） A． cm B．9 cm C．cm D．cm 【分析】连接OA、OB、OE，证Rt△ADO≌Rt△BCO，推出OD＝OC，设AD＝a，则ODa，由勾股定理求出OA＝OB＝OEa，求出EF＝FC＝4cm，在△OFE中由勾股定理求出a，即可求出答案． 【详解】解： 连接OA、OB、OE， ∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠ADO＝∠BCO＝90°， ∵在Rt△ADO和Rt△BCO中 ∵，∴Rt△ADO≌Rt△BCO（HL），∴OD＝OC， ∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC， 设AD＝a cm，则OD＝OCDCADa cm， 在△AOD中，由勾股定理得：OA＝OB＝OEa cm， ∵小正方形EFCG的面积为16cm2，∴EF＝FC＝4cm， 在△OFE中，由勾股定理得：42， 解得：a＝﹣4（舍去），a＝8，a＝4（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想． 【变式训练】 1、如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据垂径定理求出AF＝BF，CE＝BE，，求出∠AOD＝2∠C，求出∠AOD＝2∠A，求出∠A＝30°，解直角三角形求出OF和BF，求出OE、BE、BF，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图，连接OB， ∵CD为直径，CD⊥AB，∴，∴∠AOD＝2∠C， ∵CD⊥AB，AE⊥BC，∴∠AFO＝∠CEO＝90°， ∵∠AOF＝∠COE，OA＝OC，∴△AFO≌△CEO（AAS）， ∴∠C＝∠A，∴∠AOD＝2∠A， ∵∠AFO＝90°，∴∠A＝30°， ∵AO＝1，∴OFAO，AFOF， 同理CE，OE， ∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O， 由垂径定理得：BF＝AF，BE＝CE， ∴四边形BEOF的面积S＝S△BFO+S△BEO． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能够综合运用定理进行推理是解此题的关键． 2、如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，OM：CM＝5：18，则⊙O的周长为　　． 【分析】连接OA，根据垂径定理求出AM，根据勾股定理列出方程，解方程求出OC，根据圆的周长公式计算． 【详解】解：连接OA， ∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴AMAB＝6， 设OM、CM分别为5x、13x，则OA＝OC＝13x， 在Rt△AOM中，OA2＝OM2+AM2，即（13x）2＝（5x）2+62， 解得，x，∴OC＝13x， 则⊙O的周长＝13π． 故答案为：13π． 【点睛】本题考查的是垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 3、如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE＝OE，AB＝12cm，求△ACD的周长． 【分析】连接OC，利用垂径定理构造直角三角形分别求得三角形的三边长，然后相加即可得到△ACD的周长． 【详解】解：连接OC． ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝DECD． ∵AB＝12cm，∴AO＝BO＝CO＝6cm． ∵BE＝OE，∴BE＝OE＝3cm，AE＝9cm． 在Rt△COE中， ∵CD⊥AB，∴OE2+CE2＝OC2． ∴CE3，∴CD＝2CE＝6cm． 同理可AC＝AD＝6cm，∴△ACD的周长为18cm． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形并利用勾股定理解之． 题型四、利用垂径定理解决最值问题 【例4】如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】当OM⊥AB时值最小．根据垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4，连接OA，根据垂径定理，得：BMAB＝3， 根据勾股定理，得：OA5，即⊙O的半径为5． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，主要运用了垂径定理、勾股定理求得半径．特别注意能够分析出OM的最小值． 【变式训练】 1、如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、B关于原点O对称，则AB长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得． 【详解】解：连接OP， ∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°， ∵AO＝BO，∴AB＝2PO， 若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值， 连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q， 则OQ＝6，MQ＝8，∴OM＝10， 又∵MP′＝4，∴OP′＝6，∴AB＝2OP′＝12， 故选：C． 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置． 2、如图，在⊙O中，弦AB＝9，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 　　． 【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，根据垂线段最短得出当OC⊥AB时，OC最短，CD的值最大，再根据垂径定理求出CB（或CA）即可． 【详解】解：连接OD， ∵OD为⊙O的半径，OC⊥CD，∴CD， ∵OD为半径是定值，∴要使CD最大，OC必须最小， ∵C是弦AB上一点，∴当OC⊥AB时，OC最短（垂线段最短）， 即此时D与B（或A）重合， 即CD的最大值是AB9， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理和垂线段最短等知识点，能理解当OC⊥AB时，OC最短，CD最长是解此题的关键． 3、如图，已知线段AB＝4，点P是平面内一点，且∠APB＝60°，则△ABP的周长最大值是　　 ． 【分析】根据圆周角定理以及垂径定理可得当△ABP是正三角形时，△ABP的周长最大． 【详解】解：如图，当△ABP是正三角形时，△ABP的周长最大， 最大周长是4×3＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理以及圆周角定理是正确解答的关键． 题型五、垂径定理的综合应用 【例5】如图，⊙O是城市雨水排水管道的横截面，⊙O的半径为20cm．水的最深处到水面AB的距离为8cm，则水面AB的宽度是（　　） A．20cm B．24cm C．30cm D．32cm 【分析】过点O作AB的垂线，交AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，根据已知条件求出OC的长度，在Rt△ACO中利用勾股定理求出AC的长度，再根据垂径定理求出AB的长度即可． 【详解】解：过点O作AB的垂线，交AB于点C，交⊙O于点D，连接OA． ∵OA＝OD＝20cm，CD＝8cm，∴OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12（cm）， ∵OC⊥AB， ∴AC16（cm）， ∴AB＝2AC＝2×16＝32（cm）． 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理，熟练掌握勾股定理及垂径定理是本题的关键． 【变式训练】 1、赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（　　） A．20m B．28m C．35m D．40m 【分析】设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m， 设主桥拱半径为R m，∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m， ∵OC是半径，OC⊥AB，∴AD＝BDAB（m）， 在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，∴（）2+（R﹣7）2＝R2， 解得R28． 故选：B． 【点睛】本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于R的方程解决问题． 2、综合实践活动要求只用一张矩形纸条和刻度尺测量如图1茶碗的碗口直径．李靓同学所在的学习小组的方法是：如图2，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，若该纸条宽为8cm，用刻度尺量得AB＝6cm，CD＝10cm，则纸杯的半径为　　 ．（结果保留根号） 【分析】由垂径定理求出BN，DM的长，设OM＝x cm，由勾股定理得到x2+52＝（8﹣x）2+32，求出x的值，得到OM的长，由勾股定理求出OD长即可得解． 【详解】解：如图2，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OD，OB， ∴MN＝8cm， ∵CD∥AB，∴MN⊥CD， ∴DMCD10＝5（cm），BNAB6＝3（cm）， 设OM＝x cm，∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm， ∵OM2+MD2＝OD2，ON2+BN2＝OB2，∴OM2+MD2＝ON2+BN2， ∴x2+52＝（8﹣x）2+32，∴x＝3，∴OM＝3（cm）， ∴OD（cm）， 故答案为：cm． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出OM的长． 3、如图，将一个球放在空心的透明圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝16cm，球的最高点到地面的距离为36cm，则球的半径为 　　cm．（玻璃瓶厚度忽略不计） 【分析】根据垂径定理求出AE，再在Rt△AOE中由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，由题意可知，AB＝CD＝20cm，BC＝AD＝EF＝16cm，GF＝36cm，则AE＝DEAD＝8cm，OE＝（36﹣20﹣R）cm，其中R是球的半径， 在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA2＝OE2+AE2， 即R2＝（16﹣R）2+82，解得R＝10，即球的半径为10cm． 故答案为：10． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理的定义是正确解答的关键． 第 2 页 共 2 页 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $