2.3 确定圆的条件 题型梳理 2025--2026学年苏科版九年级数学上册

苏科版（2024）九年级上册 2.3 确定圆的条件 【题型1】利用三角形的外接圆与外心求周长或面积 【典型例题】边长为6的正三角形的外接圆的周长为（　　） A.π B.2π C.3π D.4π 【举一反三1】如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（　　） A.2 B. C. D. 【举一反三2】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则Rt△ABC的外接圆的半径为　   　；面积为　     　． 【举一反三3】设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则这个直角三角形的外接圆面积为 　     　． 【举一反三4】如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O． （1）求证：AB＝AC； （2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积． 【举一反三5】如图，等边△ABC内接于半径为2的⊙O，求△ABC的周长与面积． 【题型2】三角形外接圆与外心的概念 【典型例题】如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 【举一反三1】在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在△ABC的（　　） A.三条高的交点 B.内心 C.外心 D.重心 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2），若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则符合条件的C点有　   　个． 【举一反三3】如图，A，B，C三个居民小区在位置上成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，若超市到三个小区的距离相等，则超市应建在　               　． 【举一反三4】如图，△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′．求证： （1）AA′、BB′、CC′交于一点P； （2）设△ABC三边中点分别为A1、B1、C1，则P为△A1B1C1的外心． 【举一反三5】问题：我们知道，过任意的一个三角形的三个顶点能做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，那么任意的一个四边形有外接圆吗？ 探索：如图给出了一些四边形，填写出你认为有外接圆的图形序号　   　； 发现：相对的内角之间满足什么关系时，四边形一定有外接圆？写出你的发现：　     　； 说理：如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间有上面的关系吗？请结合图④说明理由． 【题型3】利用三角形的外接圆与外心求半径 【典型例题】如图，△ABC内接于圆，∠B＝30°，∠C＝60°，AC＝3，则此圆的半径是（　　） A.3 B.6 C. D.3 【举一反三1】已知△ABC的外接圆的半径为5，AC＝6，且AB＝BC，则AB的长为（　　） A.3 B.10 C.12 D.6 【举一反三2】如图，在直角坐标系中，点A（0，3）、点B（4，3）、C（0，﹣1），则△ABC外接圆的半径为　　   ． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，1）和（，0），则△OAB外接圆的圆心坐标是 　     　． 【举一反三4】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点P，∠APB＝75°，∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆的半径及∠ADB的度数． 【举一反三5】已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0． （1）求a，b，c的值； （2）求△ABC外接圆的半径． 【题型4】利用三角形的外接圆与外心求长度 【典型例题】如图，圆内接正三角形ABC的半径是5，则它的边长是（　　） A.5 B. C.7.5 D. 【举一反三1】已知△ABC外接圆半径为5，AB＝AC，BC＝8，则△ABC的高AD的长为（　　） A.2 B.6 C.2或6 D.2或8 【举一反三2】平面直角坐标系中，存在点A（2，2），B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4）．则△ABC的外接圆的圆心坐标为　    　，△ABC的外接圆在x轴上所截的弦长为　    　． 【举一反三3】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB于点D，交⊙O于点E，若AB＝8，DE＝2，则BC的长为 　   　． 【举一反三4】已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 【举一反三5】如图，△ABC内接于⊙O，AB直径，OD⊥AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，求BC的长． 【题型5】利用三角形的外接圆与外心求角的度数 【典型例题】如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3＝（　　） A.60° B.75° C.90° D.105° 【举一反三1】将边长相等的正方形和等边三角形如图放置，过A、B、E三点作圆，则所对的圆心角的度数是（　　） A.15° B.30° C.60° D.90° 【举一反三2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接OD、BD，且BD＝BC，若∠BOD＝50°，则∠ABC的度数为（　　） A.65° B.50° C.30° D.25° 【举一反三3】如图，点O是△ABC的外心，连接OA、OB，若∠OBA＝20°，则∠AOB的度数为 　  　． 【举一反三4】如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是　   　°． 【举一反三5】如图，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为△ABC的外心，求∠ACB的度数． 【举一反三6】定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心． 应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数． 【题型6】确定圆的条件 【典型例题】过A、B、C三点能确定一个圆的条件是（　　） ①AB＝2，BC＝3，AC＝5； ②AB＝3，BC＝3，AC＝2； ③AB＝3，BC＝4，AC＝5． A.①② B.①②③ C.②③ D.①③ 【举一反三1】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三2】下列说法错误的是（　　） A.三角形的三个顶点一定在同一个圆上 B.平行四边形的四个顶点一定在同一个圆上 C.矩形的四个顶点一定在同一个圆上 D.正n边形的各个顶点一定在同一个圆上 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　      　． 【举一反三4】如图所示，已知矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，试判断A，B，C，D四个点是否在同一个圆上．如果在，请给予证明；如果不在，请说明理由． 苏科版（2024）九年级上册 2.3 确定圆的条件（参考答案） 【题型1】利用三角形的外接圆与外心求周长或面积 【典型例题】边长为6的正三角形的外接圆的周长为（　　） A.π B.2π C.3π D.4π 【答案】D 【解析】如图，⊙O为等边△ABC的外接圆， 作OD⊥BC于D，连接OB、OC， ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠OBD＝30°， ∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝3， 在Rt△OBD中，OD＝BD＝，∴OB＝2OD＝2， ∴⊙O的周长＝2π×2＝4π． 故选：D． 【举一反三1】如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（　　） A.2 B. C. D. 【答案】C 【解析】作AM⊥BC于M，如图： 重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形． ∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC， ∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°， ∴AM＝BM＝， ∴△ABC的面积＝BC×AM＝×3×＝， ∴重叠部分的面积＝△ABC的面积＝×＝. 故选：C． 【举一反三2】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则Rt△ABC的外接圆的半径为　   　；面积为　     　． 【答案】5；25π 【解析】∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10， ∴Rt△ABC的外接圆的半径为5，面积为π×52＝25π． 【举一反三3】设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则这个直角三角形的外接圆面积为 　     　． 【答案】π 【解析】设x2+y2＝t，则原方程可化为：t（t﹣1）＝12， ∴t2﹣t﹣12＝0，即（t+3）（t﹣4）＝0，∴t1＝4，t2＝﹣3（舍去），∴x2+y2＝4， ∴这个直角三角形的斜边长为2，∴这个直角三角形的外接圆的半径为1， ∴这个直角三角形的外接圆面积为π. 【举一反三4】如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O． （1）求证：AB＝AC； （2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积． 【答案】解：（1）证明：∵OD⊥BC，∴＝， ∴AB＝AC. （2）连接OB， ∵OD⊥BC，BC＝8，∴BD＝DC＝BC＝×8＝4， 在Rt△ODB中，OD＝＝＝3，∴AD＝5+3＝8， ∴S△ABC＝×8×8＝32． 【举一反三5】如图，等边△ABC内接于半径为2的⊙O，求△ABC的周长与面积． 【答案】解：连接OB、OC，作OH⊥BC于H，则BH＝BC， ∵OB＝2，∠OBH＝30°，∴OH＝1， 由勾股定理得，BH＝＝，则BC＝2， ∴△ABC的周长＝2×3＝6， △ABC的面积＝×2×1×3＝3． 【题型2】三角形外接圆与外心的概念 【典型例题】如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 【答案】C 【解析】三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于90°. 故选：C． 【举一反三1】在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在△ABC的（　　） A.三条高的交点 B.内心 C.外心 D.重心 【答案】C 【解析】∵三角形的三条垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， ∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当，即凳子应放在△ABC的外心上． 故选：C． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2），若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则符合条件的C点有　   　个． 【答案】3 【解析】如图， ∵点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．∴PA＝PB＝， ∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心， ∴PC＝PA＝PB＝， 则点C的坐标为（7，4）或（6，5）或（1，4），即：共3个． 【举一反三3】如图，A，B，C三个居民小区在位置上成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，若超市到三个小区的距离相等，则超市应建在　               　． 【答案】三角形ABC的两边的垂直平分线的交点上 【解析】分别作AB、BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点P就是超市的位置. 【举一反三4】如图，△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′．求证： （1）AA′、BB′、CC′交于一点P； （2）设△ABC三边中点分别为A1、B1、C1，则P为△A1B1C1的外心． 【答案】证明：（1）设圆O半径为R． 由△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′， 知：BC′＝B′C＝R，∠C′BA＝∠C′AB＝∠OAB，∠B′CA＝∠B′AC＝∠OAC， ∴∠C′BA+∠B′CA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC， ∴∠C′BC+∠B′CB＝∠BAC+∠ABC+∠BCA＝180°， ∴BC′∥B′C， ∴BB′，CC′互相平分，交于中点， 同理CC′，AA′互相平分，交于中点， ∴AA′、BB′、CC′交于一点P. （2）∵P为CC′中点，A1为BC中点， ∴PA1＝B′C＝R， 同理PB1＝R，PC1＝R， ∴PA1＝PB1＝PC1， ∴P是△A1B1C1的外心． 【举一反三5】问题：我们知道，过任意的一个三角形的三个顶点能做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，那么任意的一个四边形有外接圆吗？ 探索：如图给出了一些四边形，填写出你认为有外接圆的图形序号　   　； 发现：相对的内角之间满足什么关系时，四边形一定有外接圆？写出你的发现：　     　； 说理：如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间有上面的关系吗？请结合图④说明理由． 【答案】解：探索：矩形有外接圆，故填②. 发现：对角互补的四边形一定有外接圆. 说理：如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间没有有上面的关系． 图④左：连接BE，∵∠A+∠E＝180°，∠BCD＞∠E，∴∠A+∠BCD＞180°； 图④右：连接DE，∵∠A+∠BED＝180°，∠BED＞∠C，∴∠A+∠C＜180°． 【题型3】利用三角形的外接圆与外心求半径 【典型例题】如图，△ABC内接于圆，∠B＝30°，∠C＝60°，AC＝3，则此圆的半径是（　　） A.3 B.6 C. D.3 【答案】C 【解析】如图1所示：过点A作AE⊥BC于点D，则AE必过点O， ∵AB＝AC，BC＝6，⊙O的半径为5，∴BO＝5，BD＝DC＝3， ∴DO＝＝4， ∴AD＝5+4＝9，∴AB＝＝＝3， 如图2所示：过点A作AE⊥BC于点D，则AE必过点O， ∵AB＝AC，BC＝6，⊙O的半径为5，∴BO＝5，BD＝DC＝3，∴DO＝＝4， ∴AD＝5﹣4＝1，∴AB＝＝＝， 故AB的长为3或． 故选：C． 【举一反三1】已知△ABC的外接圆的半径为5，AC＝6，且AB＝BC，则AB的长为（　　） A.3 B.10 C.12 D.6 【答案】A 【解析】作BD⊥AC于D，连接OA， ∵BA＝BC，∴AD＝DC＝3，∴BD是AC的垂直平分线，∴BD经过圆心O， 由勾股定理得，OD＝＝4，∴BD＝5+4＝9， ∴AB＝＝3. 故选：A． 【举一反三2】如图，在直角坐标系中，点A（0，3）、点B（4，3）、C（0，﹣1），则△ABC外接圆的半径为　　   ． 【答案】2 【解析】连接AB，分别作AC、AB的垂直平分线，两直线交于点H， 由垂径定理得，点H为△ABC的外接圆的圆心， ∵A（0，3）、点B（4，3）、C（0，﹣1），∴点H的坐标为（2，1）， 则△ABC外接圆的半径＝＝2. 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，1）和（，0），则△OAB外接圆的圆心坐标是 　     　． 【答案】（，） 【解析】∵△AOB是直角三角形，∴△OAB外接圆的圆心是斜边AB的中点， ∵点A、B的坐标分别为（0，1）和（，0），∴△OAB外接圆的圆心坐标是（，）. 【举一反三4】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点P，∠APB＝75°，∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆的半径及∠ADB的度数． 【答案】解：∵∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP＝45°， ∵∠APB＝75°，∴∠C＝75°﹣45°＝30°； 连接CD，如图， ∵∠BAC＝90°，∴BC为直径，∴∠BDC＝90°， ∵∠BAD＝∠CAD，∴DB＝BC，∴△DBC为等腰直角三角形， ∴BC＝BD＝4，∴△ABC外接圆的半径为2． 【举一反三5】已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0． （1）求a，b，c的值； （2）求△ABC外接圆的半径． 【答案】解：（1）由a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0， 得（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0．c﹣5＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5. （2）∵32+42＝52，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形， ∴△ABC外接圆的半径＝＝2.5． 【题型4】利用三角形的外接圆与外心求长度 【典型例题】如图，圆内接正三角形ABC的半径是5，则它的边长是（　　） A.5 B. C.7.5 D. 【答案】D 【解析】过O作OD⊥AC于D，连接OA，OC， ∴AD＝DC，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∵△ABC是正三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°， ∴∠OAD＝×（180°﹣∠AOC）＝30°， 在Rt△AOD中，AO＝5，∴OD＝， 由勾股定理得AD＝＝，∴AC＝5. 故选：D． 【举一反三1】已知△ABC外接圆半径为5，AB＝AC，BC＝8，则△ABC的高AD的长为（　　） A.2 B.6 C.2或6 D.2或8 【答案】D 【解析】当△ABC是锐角三角形时，如图1， 作AD⊥BC于点D，则AD一定经过圆心O，连接OB， 在直角△OBD中，BD＝BC＝×8＝4，∴OD＝＝3， 则AD＝OA+OD＝5+3＝8； 当△ABC是钝角三角形时，如图2， 同理，OD＝3，则AD＝OA﹣OD＝5﹣3＝2， 故AD的长为2或8. 故选：D． 【举一反三2】平面直角坐标系中，存在点A（2，2），B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4）．则△ABC的外接圆的圆心坐标为　    　，△ABC的外接圆在x轴上所截的弦长为　    　． 【答案】（﹣2，﹣1）；4 【解析】∵B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4），∴线段BC的垂直平分线是x＝﹣2， ∵A（2，2），C（2，﹣4），∴线段AC的垂直平分线是y＝﹣1， ∴△ABC的外接圆的圆心M的坐标为：（﹣2，﹣1）； 连接DM，作MN⊥DE于N， 由题意得，AC＝6，BC＝8，由勾股定理得，AB＝10， 则DN＝＝2，∴DE＝4. 【举一反三3】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB于点D，交⊙O于点E，若AB＝8，DE＝2，则BC的长为 　   　． 【答案】6 【解析】设OE＝OA＝r，由OE⊥AB于点D，AB＝8，得AD＝DB＝4， 得r2＝（r﹣2）2+42，得r＝5，故BC＝2OD＝2×3＝6． 【举一反三4】已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 【答案】解：（1）连接OB、OC， ∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO， 在△OAB和△OAC中，，∴△OAB≌△OAC（AAS）， ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形. （2）延长AO交BC于点H， ∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH， 设OH＝b，BH＝CH＝a， ∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6， ∴，解得，∴BC＝2a＝3． 【举一反三5】如图，△ABC内接于⊙O，AB直径，OD⊥AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，求BC的长． 【答案】解：∵OD⊥AC于点D，AC＝4，DE＝4， ∴AD＝CD＝AC＝2，∠ADO＝90°， ∵OD2+AD2＝OA2，且OA＝OE＝4﹣OD， ∴OD2+（2）2＝（4﹣OD）2，解得OD＝1， ∵O是AB的中点，D是AC的中点，∴BC＝2OD＝2，∴BC的长是2． 【题型5】利用三角形的外接圆与外心求角的度数 【典型例题】如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3＝（　　） A.60° B.75° C.90° D.105° 【答案】C 【解析】∵OA＝OB，∴∠3＝∠4， 同理，∠1＝∠5，∠2＝∠6， ∵∠3+∠4+∠1+∠5+∠2+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝90°. 故选：C． 【举一反三1】将边长相等的正方形和等边三角形如图放置，过A、B、E三点作圆，则所对的圆心角的度数是（　　） A.15° B.30° C.60° D.90° 【答案】C 【解析】如图，设圆心为O，连接OA、OB、OE，∴OA＝OB＝OE， 又∵正方形和等边三角形的边长相等，∴AD＝DE，∴四边形AOED为菱形， 同理，四边形BOEC也为菱形，∴AO＝BO＝AB，∴△ABO为等边三角形，∴∠AOB＝60°， ∴所对的圆心角的度数是60°. 故选：C． 【举一反三2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接OD、BD，且BD＝BC，若∠BOD＝50°，则∠ABC的度数为（　　） A.65° B.50° C.30° D.25° 【答案】A 【解析】连接OC， ∵BD＝BC，∴∠BOD＝∠BOC＝50°， ∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝65°. 故选：A． 【举一反三3】如图，点O是△ABC的外心，连接OA、OB，若∠OBA＝20°，则∠AOB的度数为 　  　． 【答案】140° 【解析】∵点O是△ABC的外心，∴OA＝OB，∴△AOB是等腰三角形， ∵∠OBA＝20°，∴∠AOB＝180°﹣20°×2＝140°. 【举一反三4】如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是　   　°． 【答案】120 【解析】连接OA，OB， ∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝120°， ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°， ∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE， ∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴∠DOA＝∠BOE， ∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝120°. 【举一反三5】如图，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为△ABC的外心，求∠ACB的度数． 【答案】解：∵点0为△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC， ∵∠OAC+∠OCA+∠OCB+∠OBC＝180°，∴∠OCA+∠OCB＝90°， 即∠ACB＝90°． 【举一反三6】定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心． 应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数． 【答案】解：应用：如图2所示，连接PB，连接PA， 若PB＝PC，则∠PCB＝∠PBC， ∵CD为等边三角形的高，∴AD＝BD，∠PCB＝30°，∴∠PBD＝∠PBC＝30°， ∴PD＝DB＝AB， 与已知PD＝AB矛盾，∴PB≠PC． 若PA＝PC，同理可得PA≠PC； 若PA＝PB，由PD＝AB，得PD＝AD＝BD，∴∠APD＝∠BPD＝45°， 故∠APB＝90°． 【题型6】确定圆的条件 【典型例题】过A、B、C三点能确定一个圆的条件是（　　） ①AB＝2，BC＝3，AC＝5； ②AB＝3，BC＝3，AC＝2； ③AB＝3，BC＝4，AC＝5． A.①② B.①②③ C.②③ D.①③ 【答案】C 【解析】①AB+BC＝AC，即A、B、C三点共线，不能确定一个圆； ②AB＝BC，以A、B、C三点为顶点的等腰三角形，有外接圆； ③A、B、C三点为顶点的直角三角形，有外接圆． 故选：C． 【举一反三1】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】∵经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆， ∴最多可画出圆的个数为3个. 故选：C． 【举一反三2】下列说法错误的是（　　） A.三角形的三个顶点一定在同一个圆上 B.平行四边形的四个顶点一定在同一个圆上 C.矩形的四个顶点一定在同一个圆上 D.正n边形的各个顶点一定在同一个圆上 【答案】B 【解析】A．根据三点共圆可知三角形的三个顶点一定在同一个圆上，故A选项不符合题意； B．平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，可知平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，平行四边形的四个顶点到对角线交点的距离不一定相等，知平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，故B选项符合题意； C．矩形的对角线互相平分，所以矩形的四个顶点到对角线交点的距离相等，可知矩形的四个顶点一定在同一个圆上，故C选项不符合题意； D．正n边形的对角线互相平分，所以正n边形的各个顶点到对角线交点的距离相等，可知正n边形的各个顶点一定在同一个圆上，故D选项不符合题意. 故选：B． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　      　． 【答案】（2，1） 【解析】从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3）， 连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图， ∴Q点的坐标是（2，1）. 【举一反三4】如图所示，已知矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，试判断A，B，C，D四个点是否在同一个圆上．如果在，请给予证明；如果不在，请说明理由． 【答案】解：在. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴A、B、C、D四点在以O圆心OA长为半径的同一个圆上． 学科网（北京）股份有限公司 $