圆的概念及圆的对称性讲义2025-2026学年苏科版数学九年级上册

教学内容 圆的概念及对称性 教学目标 1、掌握和灵活运用垂径定理及其推论； 2、 掌握弧、弦、圆心角与圆周角之间的关系； 3、掌握和灵活运用圆心角、圆周角定理及其推论． 教学重难点 1、圆的概念及性质； 2‘垂径定理. 教学内容 1、圆的定义 在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） 3.直径 经过圆心的弦叫做直径。（如图中的CD）[来源:学。科。网] 直径等于半径的2倍。 4.半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 5.弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 5、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 6、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 7、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。 1.下列说法正确的是（ ） A. 两个半圆是等弧 B. 同圆中优弧与半圆的差必是劣弧 C. 长度相等的两条弧是等弧 D. 同圆中优弧与劣弧的差必是优弧 2.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ） A.50° B.80° C.90° D.100° 3.如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD＝（　　） A. 105° B. 120° C. 135° D. 150° 4.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB是5，截面圆圆心O到水面的距离OC是3，则水面宽AB是 . 5.如图，在O中，D， E分别是半径OA、OB的中点，C是O上一点，CD=CE. （1）求证：； （2）若∠AOB=120°，CD=，求半径OA的长. 【例1】判断： （1）直径是弦，弦是直径 （ ） （2）半圆是弧，弧是半圆 （ ） （3）周长相等的两个圆是等圆 （ ） （4）长度相等的两条弧是等弧 （ ） （5）同一条弦所对的两条弧是等弧 （ ） （6）在同圆中，优弧一定比劣弧长 （ ） （7）两个半圆是等弧 （ ） （8）圆的半径是R，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R （ ） 【例2】已知⊙O的直径为8cm，如果点P到圆心O的距离为4.5cm，那么点P与⊙O有怎样的位置关系?如果点P到圆心O的距离为4cm、3cm呢? 【例3】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB的度数等于 . 【例4】如图，在⊙O中，AB (︵)= AC (︵)，∠A=40°，求∠ABC的度数． 【例5】如图，在⊙O中，，试比较弦AB与2CD的数量关系，并说明你的理由． 【例6】（1）若弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径． （2）若⊙O 半径为10厘米，O到AB的距离为6厘米，求弦AB的长． （3）若⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是AB上的一个动点，求OP的取值范围． 【例7】已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．AC与BD相等吗？为什么？ 【例8】如图，⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，若AB=1，求 ⊙O的半径． 【例9】在半径为5的圆中，弦AB∥CD，AB=6、CD=8．试求AB和CD的距离. 1.如图，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r． （1）当r取什么值时，点A、 B在⊙C外？ （2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？ 2.已知：CD为⊙O的直径，∠EOD=60°，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A. 3.如图，点A、B、C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B的度数为 . 4.如图，在三角形ABC中∠C=90°，∠B=28°，以C为圆心，CA为半径的园交AB于点D，交BC于点E ，求AD (︵)、DE (︵)的度数． 5.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC (︵)与BD (︵)相等吗？为什么？ 6.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上CD⊥AB与点D，已知CD=4，AD=2，求⊙O的半径. 1.下列说法中，正确的是（   ） A.相等的弦所对的弧相等 B.在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等 C.在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦较长 D.相等的圆心角所对的弧相等 2.⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与⊙O的位置关系为 . 3.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，若∠AOB+∠C=180°，∠COD=∠A，求∠AOB的度数． 4.如图 ，⊙O经过五边形 OABCD 的四个顶点 ，若的度数为150°，∠A=65°，∠D=60°，求的度数． 5.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，若CD＝6，BE＝1，求⊙O的直径AB． 6.小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，如图所示是它的横截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为______cm. 7.如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OC，求∠A的度数． 8.如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm)，直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm. 9.在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，求圆柱形油槽的直径MN． 一、圆的相关概念: 1.圆的定义： 在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径； 2.圆的几何表示 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”. 二、点与圆的位置关系： 归纳：如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 ； 点P在圆上 ； 点P在圆外 . 三、弦、弧等与圆有关的定义: （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；（如图中的AB） （2）直径：经过圆心的弦叫做直径（如途中的CD），直径等于半径的2倍； （3）半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆； （4）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧； 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“AB (︵)”，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）. 四、垂径定理及其推论： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧； 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧； 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等； 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 五、圆的对称性 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2.圆的中心对称性： 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形. 六、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理： 1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角； 2.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距； 3.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等； 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $