精品解析：福建省福州外国语学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

2025-2026学年上学期福州外国语学校高三10月月考 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾､生津止渴､消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效.杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间(单位：小时)与失去的新鲜度满足函数关系，其中，为常数.已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去的新鲜度，采摘40小时之后失去的新鲜度.如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于，则物流时间(从杨梅采摘的时刻算起)不能超过(参考数据：)（ ） A. 20小时 B. 25小时 C. 28小时 D. 35小时 7. 在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵中，，鳖臑的外接球的体积为，则阳马体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 4 8. 正实数满足，则实数之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知在展开式中，各项的二项式系数之和为64，则下列说法正确的有（ ） A. B. 只有第3项的二项式系数最大 C. 系数为 D. 各项系数之和为 10. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 11. 在正方体中，为的中点，是底面上一点，则（ ） A. 中点时， B. 为中点时，平面 C. 满足点在圆上 D. 满足直线与直线成角的点在双曲线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为____________． 13. 已知双曲线C：（，），以原点O为圆心、C的焦距为半径的圆交x轴于A，B两点，P是圆O与C的一个公共点，若，则C的离心率为__________． 14. 函数，将的图象上所有的点纵坐标保持不变横坐标变为原来的倍，然后将所得图象向左平移个单位长度得到函数，则化简后________，若函数在内恰有4个零点，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 若数列前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，证明：. 16. 已知分别为三个内角的对边，向量，. （1）求； （2）若.求的面积. 17. 如图，在直三棱柱中，点在上，． （1）证明：平面； （2）若，二面角的大小为． ①求与平面所成角的正弦值； ②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹的长度． 18. 已知a为常数，函数. （1）当时，求的图象在处切线方程； （2）讨论函数的零点个数； （3）若函数有两个极值点，（），求证. 19. 我们把下面的定义称为双曲线的第二定义：平面内到定点的距离与到定直线：的距离之比为常数的点的轨迹叫做双曲线，其方程为，其中，此时叫做该双曲线的右准线.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：是的右准线. （1）求的方程以及的离心率； （2）设与轴的交点为，过点的直线与的右支相交于A，B两点， （i）以，A，B为其中的三个顶点作平行四边形，求平行四边形面积的取值范围； （ii）设直线与直线的交点为P，点P在y轴上的射影为Q，直线，与x轴的交点分别为G，H，则是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期福州外国语学校高三10月月考 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数单调性得到，即可求解集合的交集. 【详解】集合，集合，所以， 故选:C. 2. 已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数除法运算及共轭复数概念即可求解. 【详解】由， 可得：，故的虚部为1． 故选：C 3. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义及数量积的运算律求解. 【详解】由在上的投影向量为，得，则，而是单位向量， 因此，又是单位向量，所以. 故选：B 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式即得. 【详解】． 故选：A． 5. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由为奇函数得对称中心为，结合为偶函数，求周期为，从而求出，即可得到的值. 【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即， 因为为偶函数，所以，则， 所以，，所以，故的周期为， 因为， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点睛： 由为奇函数，为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期. 6. 漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾､生津止渴､消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效.杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间(单位：小时)与失去的新鲜度满足函数关系，其中，为常数.已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去的新鲜度，采摘40小时之后失去的新鲜度.如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于，则物流时间(从杨梅采摘的时刻算起)不能超过(参考数据：)（ ） A. 20小时 B. 25小时 C. 28小时 D. 35小时 【答案】C 【解析】 【分析】根据题条件，得到，求出；再由保鲜度不低于，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】当时，， 由题意可得，解得， 为使新鲜度不低于，即不能失去超过的新鲜度， 则有，即， 因此，即，则， 即物流时间(从杨梅采摘的时刻算起)不能超过28小时. 故选：C. 【点睛】思路点睛： 求解给定函数模型的问题时，一般需要根据题中条件，求出对应的参数，结合题中所给问题，列出方程或不等式进行求解即可. 7. 在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵中，，鳖臑的外接球的体积为，则阳马体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设的外接球半径为r，根据鳖臑的外接球的体积即可求得r，再根据的外接球的半径与三棱柱的外接球的半径相同可得到x，y的关系式，再根据四棱锥的体积公式结合基本不等式即可求解． 【详解】设的外接球半径为r， 则外接球的体积为． ． 又阳马体积为， 所以阳马体积的最大值为． 故选：B． 8. 正实数满足，则实数之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得，而与的图象在只有一个交点，从而可得在只有一个根，令，然后利用零点存在性定理可求得，同理可求出的范围，从而可比较出的大小 【详解】，即，即，与的图象在只有一个交点， 则在只有一个根，令， ，，，则； ，即，即，由与的图象在只有一个交点， 则在只有一个根，令，， ，，故； ，即， 即，由与的图象在只有一个交点， 则在只有一个根，令，， ，，则； 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知在的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则下列说法正确的有（ ） A. B. 只有第3项的二项式系数最大 C. 的系数为 D. 各项系数之和为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式系数和得，结合二项式系数的性质及展开式通项公式判断A、B、C，最后应用赋值法求各项系数之和判断D. 【详解】由题设，可得，A对； 展开式共有7项，故只有第4项的二项式系数最大，B错误； 展开式通项为，， 令，可得，则的系数为，C对； 令，则，D错. 故选：AC 10. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等差数列的性质得出，，即可逐一判断. 【详解】因数列是等差数列， 则，， 则，，则， 则公差（数列是递减数列），，时取得最大值， 故A、D错误；B、C正确； 故选：BC 11. 在正方体中，为的中点，是底面上一点，则（ ） A. 为中点时， B. 为中点时，平面 C. 满足的点在圆上 D. 满足直线与直线成角的点在双曲线上 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，对A计算即可判断；对B利用线面平行的判定定理即可判断；对C，计算得，则得到其轨迹；对D，根据线线夹角公式得到关于的方程，化简即可. 【详解】不失一般性，设正方体棱长为2，如图建系，因为为的中点， 则， 对A，为中点，则， 与不垂直，故A错误. 对B，为中点时，，因为， 则四边形为平行四边形，则， 因为平面，所以平面，故B正确； 对C，令， 在以为圆心，为半径的圆上，故C正确； 对D，， ， 化简得，其为双曲线方程，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出切线的斜率，找到切点坐标，利用点斜式即可求出切线方程. 【详解】因为，所以， 所以切线的斜率为， 而切点坐标为， 所以切线方程为：. 故答案为： 13. 已知双曲线C：（，），以原点O为圆心、C的焦距为半径的圆交x轴于A，B两点，P是圆O与C的一个公共点，若，则C的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，在中可得，可得点坐标为，代入双曲线方程即可得解. 【详解】 如图，根据题意， 根据圆的性质可得， 又， 所以，所以， 所以为等边三角形， 由可得点坐标为， 代入双曲线方程可得， 由，可得， 由双曲线的离心率， 所以解得， 故答案为：. 14. 函数，将的图象上所有的点纵坐标保持不变横坐标变为原来的倍，然后将所得图象向左平移个单位长度得到函数，则化简后________，若函数在内恰有4个零点，则的取值范围是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据三角函数图象平移可得，再代入，数形结合求解即可 【详解】由题意，又在内恰有4个零点， 故，即在内恰有4个零点， 则在内恰有4个零点， 数形结合可得，当时有两根，当时也有两根， 故，即，故的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 若数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用和的关系求解即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 当时，，， 因为，当时，， 两式作差得：， 即，故， 又因为，所以，且 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 故， ， 两式作差得：. 所以，因为，所以. 16. 已知分别为三个内角的对边，向量，. （1）求； （2）若.求的面积. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示可得，利用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和定理、和差公式及辅助角公式即可求解； （2）利用向量的线性运算可得，结合题意由、向量数量积及面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以， 所以， ，即， 又，故，即. 【小问2详解】 ，所以， ， , 又,即, , 或（舍） 故. 17. 如图，在直三棱柱中，点在上，． （1）证明：平面； （2）若，二面角的大小为． ①求与平面所成角的正弦值； ②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据直棱柱的性质及线面垂直的判定定理即可得证； （2）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，①中求出平面的法向量，利用向量夹角得出直棱柱的高，再由线面角的向量求法求解； ②中根据三棱锥体积求出点到平面的距离，再由向量法求距离，化简可得轨迹方程，利用轨迹方程确定轨迹为线段，即可得解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面ABC, 因为平面，所以 又因为，，平面， 所以平面 【小问2详解】 ①在直三棱柱中，平面，， 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设, 设平面的法向量， 由，取，得， 所以平面的一个法向量， 又平面的法向量， 所以，解得 所以， 所以 设与平面所成角为，则 ②因为， 所以 因为三棱锥的体积为， 所以到平面的距离为 因为在侧面上，可设, 到平面的距离为， 即轨迹方程为，而, 所以在侧面上的运动轨迹是线段， 所以的轨迹长度为. 18. 已知a为常数，函数. （1）当时，求的图象在处切线方程； （2）讨论函数的零点个数； （3）若函数有两个极值点，（），求证. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，从而得到切线的斜率，故可得切线方程； （2），，则函数的零点个数等价于零点的个数，利用导数讨论的单调性并结合零点存在定理可判断零点的个数. （3）求出的导数，利用零点存在定理可得，从而可证. 【小问1详解】 当时，，故， 而，故， 故的图象在处切线方程为即. 【小问2详解】 的定义域为， 的零点等价于的解即的解， 令，，故， 当时，，故在上为增函数， 而，， 故在上有且只有一个实数解，即有且只有一个零点， 当时，当时，；当时，， 故在上增函数，在上为减函数， 故， 若即，此时，故无零点，故无零点. 若即，此时， 故有且只有一个零点，故有且只有一个零点. 若即，此时. 而，故在有且只有一个零点； 又， 设，则，故在上为减函数， 故， 因为，故，而， 故在有且只有一个零点； 故此时有且只有两个不同的零点即有且只有两个不同的零点. 综上，当时，无零点； 当或时，有且只有一个零点； 当时，有且只有两个不同的零点. 【小问3详解】 的定义域为，而， 由题设可得有两个变号零点， 设，故在上有两个变号零点， 而， 若，则在上为增函数，在上至多一个零点，舍； 若， 当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故， 所以即，而，且，故. 又，而， 故， 因为，故，故， 要证：，即证， 即证：在上恒成立. 设，则， 故在上为减函数，故即成立. 综上，. 【点睛】关键点点睛：函数零点个数的判断，需利用导数讨论其单调性，再结合零点存在定理判断个数，后者需注意特殊点的选取，一方面要满足特殊点与极值点的大小，而且函数值要容易计算，必要时利用导数判断符号. 19. 我们把下面的定义称为双曲线的第二定义：平面内到定点的距离与到定直线：的距离之比为常数的点的轨迹叫做双曲线，其方程为，其中，此时叫做该双曲线的右准线.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：是的右准线. （1）求的方程以及的离心率； （2）设与轴的交点为，过点的直线与的右支相交于A，B两点， （i）以，A，B为其中的三个顶点作平行四边形，求平行四边形面积的取值范围； （ii）设直线与直线的交点为P，点P在y轴上的射影为Q，直线，与x轴的交点分别为G，H，则是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由. 【答案】（1），离心率为 （2）（i）（ii）是，1 【解析】 【分析】（1）根据，根据准线方程得到，得到双曲线方程，并得到离心率； （2）（i）设方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，因为A，B在C右支上，故，解得，设平行四边形的面积为S，换元后，得到，由函数单调性得到面积的取值范围； （ii）求出，，由A，G，Q三点共线得到方程，求出解得，同理得，结合韦达定理得到，即的中点为，从而得到故为定值1. 【小问1详解】 设的半焦距为，易知， 因为：为的右准线，所以， 解得，所以， 所以的方程为，离心率； 【小问2详解】 （i）由已知可得直线不与轴垂直，设其方程为， 联立，整理得，， 设，， 则，， 因为A，B在C的右支上， 所以，解得. 设平行四边形的面积为S，易知， 则， 设， 则. 因为在区间内单调递减， 所以，则， 故平行四边形面积的取值范围为； （ii）联立，得，. 设，， 由A，G，Q三点共线，得， 解得，同理得， 所以 ， 即的中点为， 故为定值1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $