精品解析：江苏金陵中学、海安中学、南京外国语学校2026届高三5月测试数学试卷

2026届高三年级5月份数学学科测试试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式判断即可. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 2. 已知为虚数单位，且复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，所以. 3. 在中，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算结合数量积判断向量垂直的方法即可求解. 【详解】由题意得，即，其中， 即，所以，所以是直角三角形. 4. 将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用图象平移法则写出解析式，并结合诱导公式建立等量关系，即可直接得出的最小值. 【详解】由题意得， 由图象的翻折变化，的周期由变为， 则有，，则当时取最小值. 5. 3人观看表演，现有5个空位，则安排座位时两空位恰好相邻的坐法数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】5个空位中，2个空位恰好相邻的组合为：，共4种； 剩余3个座位安排3人进行全排列，共有：种， 安排座位时两空位恰好相邻的坐法数为：． 6. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，则，故，故, 所以或, 故． 7. 已知圆：与轴的交点为，，与轴的交点为，，为圆在第一象限内圆弧上一点，记到的距离为，到的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，求出直线方程，结合点到线的距离公式和两点间距离公式逐项判断即可. 【详解】 由题意， 设，则， 则直线的方程为：， 即， 则 ， 因为， 因为，则， 即，即， 则 所以， ，A错， ，B错， ，C错， ，D对. 8. 已知三棱柱，是棱上的一个动点（不含端点），点在平面上的投影为，则点的轨迹为（ ） A. 线段 B. 圆弧 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 【答案】B 【解析】 【分析】通过平面，得到，确定点的运动轨迹为两个球的交线，即可求解. 【详解】 因为点在平面上的投影为， 所以平面， 又平面，所以， 则在以为直径的球上运动，且在以为直径的球上运动， 故在球球的圆弧上运动， 即点的轨迹为圆弧. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 残差是预测值减去观测值 B. 一组数据：1，2，3，4，5，6的25百分位数是2 C. 在独立性检验中，零假设是“分类变量与独立” D. 在线性回归分析中，决定系数用来刻画拟合的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，残差是观测值减去预测值，故A错误； 对于B，因为，所以1，2，3，4，5，6的25百分位数是2，故B正确； 对于C，在独立性检验中，零假设是“分类变量与无关”，即“分类变量与独立”，故C正确； 对于D，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故D错误. 10. 在中，已知，，为线段中点，在线段上，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 周长的最大值为6 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据余弦定理、三角形面积公式、基本不等式判断选项AB的对错；根据正弦定理、平面向量基底法、平面向量数量积的运算公式、辅助角公式、正弦型函数的最值性质判断选项CD的对错. 【详解】设中，， 因为， 所以， 由，当且仅当时取等号，即， 所以，所以选项A正确. 由 ， 当且仅当时取等号，此时三角形为等边三角形， 故周长的最大值为6，所以选项B正确； 因为， 所以 ， 又因为， 所以， 由正弦定理，得， ， 其中， 所以， 因为，所以，因为， 结合正弦函数性质可知所以当时，的最大值为，选项C正确； 无最小值，即没有最小值，因此选项D不正确. 11. 设函数，，则（ ） A. 若，则的值域为 B. 若函数存在极小值点，则 C. 若对任意实数，都有，则实数的取值范围为 D. 若函数存在零点，且满足，则实数的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：求导，利用导数判断的单调性和值域；对于B：分析可知函数在内的极小值点为，结合题意即可得结果；对于C：分析可知的最小值为，可得，即可得结果；对于D：分析可知原题意等价于在内有解，结合导数分析函数单调性和最值即可. 【详解】对于选项A：若，则，， 因为，可知函数在内单调递增， 且，，即， 所以函数的值域为，故A正确； 对于选项B：对于函数，， 则， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 可知函数在内的极小值点为， 若函数在内存在极小值点， 则，解得，故B正确； 对于选项C：若， 由选项B可知：函数在内单调递减，在内单调递增， 则的最小值为， 若，则，即， 又因为， 即，可得，故C错误； 对于选项D：令， 则，即， 因为，即， 且，则，可得， 原题等价于在内有解， 令，， 则， 可知在内单调递增，则； 令，， 则， 可知在内单调递增，则； 可得， 所以实数的取值范围为，故D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的对称中心坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的奇偶性求解. 【详解】由，解得 ， 所以的定义域为 ，关于原点对称， 又， 所以是奇函数，所以函数的对称中心的坐标为， 故答案为： 13. 设抛物线：，已知斜率为2的直线交抛物线于，两点，点为中点，为抛物线上一点且轴，则直线的斜率为______． 【答案】1 【解析】 【分析】设出斜率为2的直线方程，联立抛物线方程后利用韦达定理求得中点的横坐标，结合轴得到P点坐标，进而计算直线的斜率. 【详解】设直线的方程为（为常数）， 将代入抛物线方程得： ，即， 设， 由韦达定理可得，， 因为D为的中点，故D点的横坐标, 由轴可知，P点横坐标与D点横坐标相等，即, 将代入抛物线方程, 得，解得， 即P点坐标为， 故直线的斜率为. 14. 有张正方形纸片依次叠放在一起，且第张纸片的边长为，设第张纸片与第张纸片重叠面积为，且与之和恰好为第张纸片面积，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意列出的递推关系，将其变形后推得，代值计算即可. 【详解】由题意，得，于是有， 两式相减，得， 所以，， 两式相加，得,则. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在正方体中，是棱上的一个动点（不含端点）． （1）求证：平面平面； （2）若平面和平面夹角的余弦值为，求． 【答案】（1）证明见下详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，再证平面，最后证出平面平面； （2）建立空间直角坐标系，设点坐标，分别求出平面和平面法向量，表示出向量夹角余弦的绝对值，求出点坐标，再根据向量夹角求出的值即可. 【小问1详解】 证明：连接，由四边形为正方形，则， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 由正方形为正方形，则， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 设正方体的棱长为1，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，则，， 设为平面法向量，则，则， 取，则，所以， 易知平面，即平面，所以为其法向量， 所以，解得或（舍）， 所以点为，则，， 所以. 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围． 【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）直接求导，根据导函数的形式对进行和讨论，即可求出函数的单调区间； （2）易判断是的一个零点，结合（1）中函数的单调区间，及两个零点满足，对进行讨论，利用单调性即可求出的取值范围. 【小问1详解】 解：由题意知函数定义域为，则， 当时，，则，所以在单调递增，即单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，则， 当时，，则在上单调递减，所以单调递减区间为， 当，，则在上单调递增，所以单调递增区间为， 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由，所以是的一个零点， 若有两个不同的零点，结合（1）的单调性可知， 当时，在单调递增，最多仅有一个零点，不合题意； 当时，，令，解得，则在处取极小值， 即最小值，为，此时只有一个零点，不合题意； 当且时，由（1）知的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取极小值，即最小值，为， 则当时，函数才会有两个不同的零点，又是一个零点， 设另一个零点为，由可得，即， 当时，最小值点，两个零点分别为1和，要满足， 只需，即，解得， 结合，则； 当时，最小值点，两个零点分别为和1，要满足， 只需，，解得， 结合，则， 综上，的取值范围为 17. 某商业综合体对场内81家美食店进行满意度调查，已知每店均已获得（为正整数）位顾客的星级评价（一星至五星评价），且每店获得任一顾客五星评价的概率均为.假设顾客给予评价时互不影响． （1）当时，记某店获得的五星评价率（五星评价数与评价人数之比）为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）随机选择一店了解评价情况，当为奇数时，求该店五星评价率超过的概率． 【答案】（1）分布列为，数学期望； （2）所求概率为。 【解析】 【分析】（1）由题意顾客给出五星评价的人数服从二项分布，据此求出五星评价率的概率，得出分布列，再由二项分布的数学期望及数学期望性质计算求解； （2）由（1）可得该店五星评价率超过的概率，再由组合数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为任一顾客给某店五星评价的概率为，且顾客给予评价时互不影响， 所以n 位顾客给某店五星评价数服从二项分布 ， 因为五星评价率， 所以当时，， 所以分布列为： X 1 P 所以. 【小问2详解】 由（1）知，该店五星评价率超过的概率为 , 由组合数性质知，， 记， 所以，且， 所以. 即为奇数时，该店五星评价率超过的概率为. 18. 已知双曲线：（，）的离心率为，且顶点到渐近线的距离为． （1）求的方程； （2）已知点，，，在双曲线：上，点在上，若，． （ⅰ）求直线的方程（用，表示）； （ⅱ）求的面积． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线离心率得到，根据得到，根据渐近线方程及点到直线的距离公式求出，进一步求解即可. （2）（ⅰ）设，，根据，得到，，代入双曲线方程结合，，得到，同理可得到，即可得到直线的方程. （ⅱ）直线与双曲线联立，根据弦长公式及得到，求出点到直线的距离，代入三角形面积公式化简求解即可. 【小问1详解】 双曲线的离心率为，则，故. 由，得，所以. 双曲线的顶点为，渐近线为，即. 不妨取顶点，渐近线，则， 解得，所以. 故双曲线的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设，，，，. 由，得，则，. 因为点在双曲线上，所以，即， 则. 又点在双曲线上，点在上，所以，， 所以，即. 同理可得，. 所以直线的方程为. （ⅱ）联立，整理得. 又，所以. 所以，， 所以 . 由，得，所以. 点到直线的距离为 ， 所以. 19. 已知． （1）证明：； （2）设，，已知，且对，． （i）若，求数列的前项和； （ii）若存在无数个使得满足条件的数列有且只有1个，求的所有取值． 【答案】（1）证明见详解 （2）（i）；（ii）， 【解析】 【分析】（1）切化弦，结合两角和差公式分析证明即可； （2）根据整理可得数列满足递推公式1或2.（i）分析可知数列是以首项，公差为的等差数列，结合等差数列求和公式运算求解；（ii）分 和，两种情况讨论，结合递推公式1或2分析判断即可. 【小问1详解】 因为，即， 整理可得 ， 所以. 【小问2详解】 由题意可知：，， 因为，即，则， 可得或，， 若，，则，， 因为，则，可得， 此时对，，符合题意； 若，，则， 可得，， 且，则； 设递推公式1：； 递推公式2：，，，，； 综上所述：数列满足递推公式1或2. （i）若，则不满足递推公式2，根据递推公式1可得， 因为，则不满足递推公式2，根据递推公式1可得， 依次类推，可知对任意均不满足递推公式2，可得， 可知数列是以首项，公差为的等差数列， 所以； （ii）， 因为满足条件的数列有且只有1个， 若，，则有： ①若，，则不满足递推公式2，根据递推公式1可得，， 因为，，则不满足递推公式2，根据递推公式1可得，， 依次类推，可知对任意均不满足递推公式2，即， 则数列是以首项，公差为的等差数列，此时数列有且只有1个，符合题意； ②若，，根据递推公式1或2均可得，，不符合题意； ③若且，，根据递推公式1或2可得或，， 此时，所以， 即或，均满足数列， 此时数列不唯一，不合题意； 综上所述：，； 若，，则不满足递推公式2，根据递推公式1可得， ①若，，则，， 可知不满足递推公式2，根据递推公式1可得，， 依次类推，可知对任意均不满足递推公式2，即， 则数列是以首项，公差为的等差数列，此时数列有且只有1个，符合题意； ②若，，则，且，， 根据递推公式1或2可得或，， 若，则，显然不成立， 故，此时数列不唯一，不合题意； 综上所述：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级5月份数学学科测试试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知为虚数单位，且复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 在中，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 3人观看表演，现有5个空位，则安排座位时两空位恰好相邻的坐法数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆：与轴的交点为，，与轴的交点为，，为圆在第一象限内圆弧上一点，记到的距离为，到的距离为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱柱，是棱上的一个动点（不含端点），点在平面上的投影为，则点的轨迹为（ ） A. 线段 B. 圆弧 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 残差是预测值减去观测值 B. 一组数据：1，2，3，4，5，6的25百分位数是2 C. 在独立性检验中，零假设是“分类变量与独立” D. 在线性回归分析中，决定系数用来刻画拟合的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 10. 在中，已知，，为线段中点，在线段上，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 周长的最大值为6 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 设函数，，则（ ） A. 若，则的值域为 B. 若函数存在极小值点，则 C. 若对任意实数，都有，则实数的取值范围为 D. 若函数存在零点，且满足，则实数的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的对称中心坐标为______． 13. 设抛物线：，已知斜率为2的直线交抛物线于，两点，点为中点，为抛物线上一点且轴，则直线的斜率为______． 14. 有张正方形纸片依次叠放在一起，且第张纸片的边长为，设第张纸片与第张纸片重叠面积为，且与之和恰好为第张纸片面积，若，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在正方体中，是棱上的一个动点（不含端点）． （1）求证：平面平面； （2）若平面和平面夹角的余弦值为，求． 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围． 17. 某商业综合体对场内81家美食店进行满意度调查，已知每店均已获得（为正整数）位顾客的星级评价（一星至五星评价），且每店获得任一顾客五星评价的概率均为.假设顾客给予评价时互不影响． （1）当时，记某店获得的五星评价率（五星评价数与评价人数之比）为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）随机选择一店了解评价情况，当为奇数时，求该店五星评价率超过的概率． 18. 已知双曲线：（，）的离心率为，且顶点到渐近线的距离为． （1）求的方程； （2）已知点，，，在双曲线：上，点在上，若，． （ⅰ）求直线的方程（用，表示）； （ⅱ）求的面积． 19. 已知． （1）证明：； （2）设，，已知，且对，． （i）若，求数列的前项和； （ii）若存在无数个使得满足条件的数列有且只有1个，求的所有取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $