八年级数学上学期期中模拟卷01（新教材湘教版八年级上册第1～2章因式分解+分式）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材湘教版八年级上册第1~2章（因式分解+分式）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．若分式的值是零，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．如果把分式中的、都扩大2倍，那么分式的值（    ） A．是原来的2倍 B．是原来的4倍 C．是原来的 D．不变 4．若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马建度的2倍，根据题意列方程为其中x表示（    ） A．总路程 B．规定的时间 C．快马的速度 D．慢马的速度 7．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．当时，定义一种新运算：例：．若，求的值．小明的答案是，小亮的答案是．下列判断正确的是（   ） A．只有小明的答案正确 B．只有小亮的答案正确 C．小明和小亮的答案合在一起才正确 D．小明和小亮的答案都不正确 10．多项式中，现对其中，，，这四个单项式进行以下操作，选择个单项式进行变符号，再对整个多项式加绝对值化简，称这个操作为“变号绝对操作”，比如对与变号，则多项式为，当时，化简结果为，当时，化简结果为，以下结论： ①至少存在2种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式一样 ②当，多项式时，且使得为整数，则符合整数x的值共有4个 ③所有“变号绝对操作”的化简结果共有13种不同的化简结果 其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．若关于x的方程产生增根，则 12．纳米技术是一项很先进的技术，它的应用很广泛，1纳米为10亿分之一米，即米，人体内一种细胞的形状可以近似的看成圆，它的直径为1470纳米，则它的直径为 米（用科学记数法表示） 13．把因式分解，结果应写成 ． 14．已知，为实数，且满足 ，则 ， ． 15．已知，，则 ． 16．定义新运算“”：，如果，那么的值为 ． 17．形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简： ． 18．若，且，则的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程： (1)； (2)． 20．（6分）计算： (1) (2) 21．（8分）先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 22．（8分）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若，求的值． 23．（9分）2023年9月15日至17日，第二届湖南旅游发展大会在郴州市隆重举行，大会吉祥物“山侠”和“水仙”，以郴州的“山之侠气”“水之仙气”为灵感创作． (1)某商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个，用于购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用相同，且“山侠”公仔的单价是“水仙”公仔的1.2倍．求该商店购进的“山侠”和“水仙”公仔的单价分别是多少元？ (2)吉祥物很受欢迎，公仔很快就卖完了，该商店计划用不超过10200元的资金再次购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔共300个．已知两种公仔的进价不变，求“山侠”公仔最多能购进多少个． 24．（9分）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， 多项式的最小值是． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________； 当取最小值时，______，______． (2)求多项式的最大值． 25．（10分）阅读并解答下列问题：我们熟悉两个乘法公式：①；②．现将这两个公式变形，可得到一个新的公式③：，这个公式形似平方差公式，我们不妨称之为广义的平方差公式．灵活、恰当地运用公式③将会使一些数学问题迎刃而解． 例如：因式分解： 解：原式 你能利用公式（或其他方法）解决下列问题吗？ 已知实数，，满足且，求证： 26．（10分）【阅读学习】已知，求的值． 解：由知， 所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． 【类比探究】已知，请利用上述方法求的值； 【拓展延伸】已知，求的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材湘教版八年级上册第1~2章（因式分解+分式）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．若分式的值是零，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．如果把分式中的、都扩大2倍，那么分式的值（    ） A．是原来的2倍 B．是原来的4倍 C．是原来的 D．不变 4．若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马建度的2倍，根据题意列方程为其中x表示（    ） A．总路程 B．规定的时间 C．快马的速度 D．慢马的速度 7．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．当时，定义一种新运算：例：．若，求的值．小明的答案是，小亮的答案是．下列判断正确的是（   ） A．只有小明的答案正确 B．只有小亮的答案正确 C．小明和小亮的答案合在一起才正确 D．小明和小亮的答案都不正确 10．多项式中，现对其中，，，这四个单项式进行以下操作，选择个单项式进行变符号，再对整个多项式加绝对值化简，称这个操作为“变号绝对操作”，比如对与变号，则多项式为，当时，化简结果为，当时，化简结果为，以下结论： ①至少存在2种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式一样 ②当，多项式时，且使得为整数，则符合整数x的值共有4个 ③所有“变号绝对操作”的化简结果共有13种不同的化简结果 其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．若关于x的方程产生增根，则 12．纳米技术是一项很先进的技术，它的应用很广泛，1纳米为10亿分之一米，即米，人体内一种细胞的形状可以近似的看成圆，它的直径为1470纳米，则它的直径为 米（用科学记数法表示） 13．把因式分解，结果应写成 ． 14．已知，为实数，且满足 ，则 ， ． 15．已知，，则 ． 16．定义新运算“”：，如果，那么的值为 ． 17．形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简： ． 18．若，且，则的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程： (1)； (2)． 20．（6分）计算： (1) (2) 21．（8分）先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 22．（8分）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若，求的值． 23．（9分）2023年9月15日至17日，第二届湖南旅游发展大会在郴州市隆重举行，大会吉祥物“山侠”和“水仙”，以郴州的“山之侠气”“水之仙气”为灵感创作． (1)某商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个，用于购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用相同，且“山侠”公仔的单价是“水仙”公仔的1.2倍．求该商店购进的“山侠”和“水仙”公仔的单价分别是多少元？ (2)吉祥物很受欢迎，公仔很快就卖完了，该商店计划用不超过10200元的资金再次购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔共300个．已知两种公仔的进价不变，求“山侠”公仔最多能购进多少个． 24．（9分）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， 多项式的最小值是． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________； 当取最小值时，______，______． (2)求多项式的最大值． 25．（10分）阅读并解答下列问题：我们熟悉两个乘法公式：①；②．现将这两个公式变形，可得到一个新的公式③：，这个公式形似平方差公式，我们不妨称之为广义的平方差公式．灵活、恰当地运用公式③将会使一些数学问题迎刃而解． 例如：因式分解： 解：原式 你能利用公式（或其他方法）解决下列问题吗？ 已知实数，，满足且，求证： 26．（10分）【阅读学习】已知，求的值． 解：由知， 所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． 【类比探究】已知，请利用上述方法求的值； 【拓展延伸】已知，求的值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材湘教版八年级上册第1~2章（因式分解+分式）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 根据因式分解的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的左边不是多项式，故不是因式分解； B．的右边不是整式的积，故不是因式分解； C．是因式分解； D．的右边不是积的形式，故不是因式分解； 故选C． 2．若分式的值是零，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件为：分子等于零，分母不等于零，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值是零， ∴且， ∴， 故选：D． 3．如果把分式中的、都扩大2倍，那么分式的值（    ） A．是原来的2倍 B．是原来的4倍 C．是原来的 D．不变 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的、分别用、，然后化简得到新分式，再与原分式比较即可得到答案． 【详解】解：把分式中的、都扩大2倍后得， ∴把分式中的、都扩大2倍后，分式的值是原来的2倍， 故选：A． 4．若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键． 先对代数式因式分解，再求得，进而代值解题即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查合并同类项，幂的乘方、同底数幂的除法．根据合并同类项，幂的乘方、同底数幂的除法进行排除选项即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 6．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马建度的2倍，根据题意列方程为其中x表示（    ） A．总路程 B．规定的时间 C．快马的速度 D．慢马的速度 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．由快、慢马需要的时间与规定时间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马需要的时间，表示快马需要的时间，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出表示慢马的速度，根据各数量之间的关系及所列方程，找出的意义是解题的关键． 【详解】解：已知快马的速度是慢马的倍，根据题意列方程为， ∴表示慢马需要的时间，表示快马需要的时间， ∴表示慢马的速度， 故选：． 7．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用． 利用平方差公式分解，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， 则 ∴ ， 故选：A． 8．多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，先将多项式提取公因式得，然后与对照，即可求出，的值，再代入计算即可．对多项式提取公因式是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵多项式可以因式分解成，，为整数， ∴， ∴，， ∴， 即的值是． 故选：C． 9．当时，定义一种新运算：例：．若，求的值．小明的答案是，小亮的答案是．下列判断正确的是（   ） A．只有小明的答案正确 B．只有小亮的答案正确 C．小明和小亮的答案合在一起才正确 D．小明和小亮的答案都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解法，理解运算方式是解题的关键． 根据运算方式分类讨论的值，列出分式方程运算即可． 【详解】解：当时，则，， ∵， ∴， 解得：，不符合题意，此情况不成立； 当时，则，， ∴， 解得：， 检验：把代入可得：， 故是原方程的解； 故选：B． 10．多项式中，现对其中，，，这四个单项式进行以下操作，选择个单项式进行变符号，再对整个多项式加绝对值化简，称这个操作为“变号绝对操作”，比如对与变号，则多项式为，当时，化简结果为，当时，化简结果为，以下结论： ①至少存在2种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式一样 ②当，多项式时，且使得为整数，则符合整数x的值共有4个 ③所有“变号绝对操作”的化简结果共有13种不同的化简结果 其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将所有“变号绝对操作”的化简结果列举出来，可判断①和③；解不等式得到，利用分式的运算法则变形得到，结合为整数，可知是6的因数，结合的范围确定符合条件的x的值的个数可判断②，即可得出答案． 【详解】解：当时， 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 对与变号，则多项式为，化简结果为7； 对与变号，则多项式为，化简结果为7； 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 当时， 对、与变号，则多项式为，化简结果为或； 对、与变号，则多项式为，化简结果为或； 对、与变号，则多项式为，化简结果为或； 对、与变号，则多项式为，化简结果为7； 当时，则多项式为，化简结果为或； ∴所有“变号绝对操作”的化简结果共有13种不同的化简结果，故③正确； ∵原多项式， ∴只有1种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式一样，故①错误； 多项式，即， 解得， ， ∴整数可取0，1，2，3，4，5， ∵为整数， ∴是6的因数， ∴符合条件的整数的值为0，1，2，5，共有4个，故②正确； ∴正确结论的个数为2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义、整式加减的应用、绝对值的化简、分式的运算、求不等式的解集，理解“变号绝对操作”的定义是解题的关键． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．若关于x的方程产生增根，则 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握分式方程增根的概念． 化简分式方程得出，然后根据增根求出，代数求值即可． 【详解】解： 当原分式方程中产生增根，即，， ∴， 故答案为：4． 12．纳米技术是一项很先进的技术，它的应用很广泛，1纳米为10亿分之一米，即米，人体内一种细胞的形状可以近似的看成圆，它的直径为1470纳米，则它的直径为 米（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法的运用，负指数的运用，同底数幂的运算，科学记数法的表示为，确定的值的方法是：原数变为时，小数点移动的位数与的绝对值相同．当小数点向右移动时，为负数；当小数点向左移动时，为正数． 【详解】解：1 470纳米米， 故答案为：． 13．把因式分解，结果应写成 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提因数，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14．已知，为实数，且满足 ，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了通过完全平方公式分解因式，偶次幂非负性，算术平方根的非负性，根据完全平方公式，偶次幂非负性，算术平方根的非负性即可求解，掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 15．已知，，则 ． 【答案】7 【分析】先根据立方和公式求出的值，再求出的值，最后根据完全平方公式求出的值．本题主要考查了立方和公式、完全平方公式，熟练掌握这些公式是解题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，即． 又∵， ∴． 将代入，得， 解得． ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 16．定义新运算“”：，如果，那么的值为 ． 【答案】1或3 【分析】此题考查了分式方程的应用，新定义运算，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握解分式方程．根据题意利用分类讨论分两种情况，当或时，列出分式方程进行解答即可． 【详解】解：由题意得：当时， ， 解得：， 检验，是原分式方程的解， 当时，， 解得：， 检验，是原分式方程的解， 故答案为：1或3． 17．形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握二阶行列式的运算规定以及分式的混合运算法则是解此题的关键．． 按二阶行列式的运算方法先列出算式，再利用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 18．若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用以及代数式的化简求值，熟练掌握平方差公式和代数式的变形方法是解题的关键．先通过已知条件得出的值，再将和用含、的式子表示，代入所求式子化简计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，即 ∴， ∴由得， 由得， ∴ ， 当时，原式， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： ， 解得， 经检验：是增根， ∴原方程无解； （2）解：， 解得， 经检验：是增根， ∴原方程无解． 20．（6分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据负整数指数幂的定义，任何非零数的零次幂等于以及有理数的乘方的定义计算即可； （2）根据平方差公式以及完全平方公式化简即可． 本题主要考查了实数的运算以及整式的混合运算，熟记相关定义与公式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．（8分）先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 【答案】；当，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值的知识点，熟知分式化简求值的步骤和方法是解题的基础，掌握分式有意义的条件正确取的值是解题的关键． 根据分式化简求值的步骤和方法进行即可． 【详解】解：原式 根据分式有意义的条件可知， ∴当取范围内的整数时，只有． ∴当时，原式． 22．（8分）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了配方法因式分解： （1）加1减1即可配方进行因式分解； （2）将分为，再分组因式分解，根据完全平方式的非负性求出x和y的值，从而求得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 23．（9分）2023年9月15日至17日，第二届湖南旅游发展大会在郴州市隆重举行，大会吉祥物“山侠”和“水仙”，以郴州的“山之侠气”“水之仙气”为灵感创作． (1)某商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个，用于购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用相同，且“山侠”公仔的单价是“水仙”公仔的1.2倍．求该商店购进的“山侠”和“水仙”公仔的单价分别是多少元？ (2)吉祥物很受欢迎，公仔很快就卖完了，该商店计划用不超过10200元的资金再次购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔共300个．已知两种公仔的进价不变，求“山侠”公仔最多能购进多少个． 【答案】(1)“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元 (2)“山侠”公仔最多能购进个 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元，先求出购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用，再根据“商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个”建立分式方程求解； （2）设购进“山侠”个，则购进“水仙”个，根据“商店计划用不超过10200元的资金”建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元， 由题意得，购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用都为（元）， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴“山侠”公仔的单价为（元） 答：“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元； （2）解：设购进“山侠”个，则购进“水仙”个， 由题意得，， 解得：， 答：“山侠”公仔最多能购进个． 24．（9分）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， 多项式的最小值是． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________； 当取最小值时，______，______． (2)求多项式的最大值． 【答案】(1)完全平方公式，， (2)16 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式以及完全平方数的非负性是解题的关键． （1）观察例题分解过程，确定用到的公式，再根据完全平方数的非负性求出、的值； （2）通过配方法将多项式转化为含有完全平方的形式，再根据完全平方数的非负性求最大值． 【详解】（1）解：过程中使用了完全平方公式． 故答案为：完全平方公式． 原式， 当，时，式子取到最小值， 此时，，，； （2）解：原式 ， ，， ， 即所求最大值为，当且仅当时取到最大值． 25．（10分）阅读并解答下列问题：我们熟悉两个乘法公式：①；②．现将这两个公式变形，可得到一个新的公式③：，这个公式形似平方差公式，我们不妨称之为广义的平方差公式．灵活、恰当地运用公式③将会使一些数学问题迎刃而解． 例如：因式分解： 解：原式 你能利用公式（或其他方法）解决下列问题吗？ 已知实数，，满足且，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，因式分解，根据公式合理变形是求解的关键．先将变形为，再将代入可得，根据非负数的性质即可得证． 【详解】解：已知，则， ∵， 即， ， ， ， 则， ∴， ． 26．（10分）【阅读学习】已知，求的值． 解：由知， 所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． 【类比探究】已知，请利用上述方法求的值； 【拓展延伸】已知，求的值． 【答案】类比探究：；拓展延伸： 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 类比探究：已知等式“取倒数”求出的值，原式“取倒数”后，将的值代入计算即可； 拓展延伸：已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】解：类比探究： 由知， ∴，即， ∴， ∴ ， 故． 拓展延伸： 根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D A A D D A C B C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．4 12． 13． 14． 15．7 16．1或3 17． 18． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）【详解】（1）解： ， 解得，······（2分） 经检验：是增根，······（1分） ∴原方程无解； （2）解：， 解得，······（2分） 经检验：是增根，······（1分） ∴原方程无解． 20．（6分）【详解】（1）解：原式 ；······（3分） （2）解：原式 ．······（3分） 21．（8分）【详解】解：原式 ······（2分） 根据分式有意义的条件可知， ∴当取范围内的整数时，只有．······（2分） ∴当时，原式．······（2分） 22．（8分）【详解】（1）解： ；······（2分） （2）解：， ， ∴，······（3分） ∵，， ∴，， ∴， ∴．······（3分） 23．（9分）【详解】（1）解：设“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元， 由题意得，购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用都为（元）， ∴， 解得，······（2分） 经检验，是原方程的解，且符合题意，······（1分） ∴“山侠”公仔的单价为（元）······（1分） 答：“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元；······（1分） （2）解：设购进“山侠”个，则购进“水仙”个， 由题意得，， 解得：，······（4分） 答：“山侠”公仔最多能购进个． 24．（9分）【详解】（1）解：过程中使用了完全平方公式． 故答案为：完全平方公式． 原式， 当，时，式子取到最小值， 此时，，，；······（3分） （2）解：原式 ， ，， ，······（5分） 即所求最大值为，当且仅当时取到最大值．······（1分） 25．（10分）【详解】解：已知，则， ∵， 即， ， ，······（3分） ， ······（2分） 则， ∴， ．······（5分） 26．（10分）【详解】解：类比探究： 由知， ∴，即，······（2分） ∴， ∴ ， 故．······（2分） 拓展延伸： 根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，，······（2分） ∴，······（2分） ∵， ∴．······（2分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $