精品解析：山东省临沂第一中学南校区2025-2026学年高三上学期第一次阶段性质量检测（10月）数学试题

临沂一中南校区2023级第一次阶段性质量检测 数学试题 出题人：徐慧慧 审题人：申洁 2025.10 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合,则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别解集合,再用集合的交集运算即可得出答案 【详解】集合,解得, ,即,解得,故, 所以 故选：C 2. 已知a＝ln3，b＝sin3，，则（ ） A. a＜b＜c B. c＜a＜b C. c＜b＜a D. b＜c＜a 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指数函数、对数函数与三角函数的单调性即可得出. 【详解】∵a＝ln3＞lne=1，b＝sin3＜sin，1， ∴b＜c＜a. 故选：D. 【点睛】本题考查指数函数、对数函数与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 3. 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 4. 函数的部分图像大致为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，故排除D；当时，，故排除A．故选C． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 5. 要得到的图像，只需要将的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】先将函数化为，然后由正弦函数的图像平移可得答案. 【详解】 又 所以将的图像向右平移个单位长度，的图像 故选：B 6. 已知函数，，若与的图象的交点坐标依次为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件判断函数和都是关于对称的，利用对称性进行求解即可． 【详解】，而向左平移1个单位，再向上平移2个单位则得到，且的对称中心为， 所以的对称中心为， 又函数， 所以也是函数的对称中心， 所以函数与函数的图象的交点两两关于点对称， 所以，，，，，， 所以． 故选：A． 7. ，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 8. 设函数在R上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造，求导，得到在上为减函数，结合为奇函数，得到在上为减函数，分和两种情况，得到，由函数单调性得到不等式，求出答案. 【详解】令，，则， 函数在上为减函数， 因为，即， 故为奇函数，于是在上为减函数 而不等式， 若，则，即， 可化为， 即，则 解得，与前提条件相同，满足要求； 若，则无法比较与的大小关系， 故无法比较与的大小关系，故不合要求. 故选：A. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 下列命题是假命题的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 是成立的充分不必要条件 C. 若，则函数的最小值为2 D. 时，函数的最小值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】A应用分式不等式的解法求解集即可；B解一元二次不等式求的解集，即可判断充分、必要关系；C、D利用基本不等式求函数式的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】A：由题意，即，则，故为假命题； B：由，可得，故是成立的充分不必要条件，故为真命题； C：若，则，当且仅当时等号成立，显然不成立，故为假命题； D：，当且仅当时等号成立，故为真命题. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，都是第一象限角且，则； B. ； C. 在区间的值域为； D. 已知，其中都是非零实数.若，则. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用反例当，可知A错误； 利用诱导公式化简得，，根据的单调性可确定大小关系，知B正确； 利用的范围可求得的范围，结合余弦函数性质可求得值域，知C错误； 利用诱导公式可化简得到，知D正确. 【详解】对于A，当，时，均为第一象限角且，此时，A错误； 对于B，，， 在上单调递增，，， 即，B正确； 对于C，当时，，， 在区间的值域为，C错误； 对于D，， ，D正确. 故选：BD. 【点睛】易错点点睛：本题考查三角函数部分知识的综合应用，涉及到诱导公式的应用、利用正切函数的单调性比较大小、余弦型函数值域的求解等知识；对于A选项，易错点是忽略三角函数的周期性；对于C选项，易错点是忽略余弦函数在区间内的单调性，造成值域求解错误. 11. 已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（ ） A. 关于直线对称 B. C. 的周期为4 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得、，通过合理赋值即可判断BCD. 【详解】由，得①， ②，得③， 由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确； 由，得，令，得； 由，得， 令，得， ∴④， 又⑤，令，得，故B错误； ④⑤两式相加，得，得， 所以，即函数的周期为4，故C正确； 由，令，得，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的对称性和周期性，结合导数的运算，寻找关系式、和是解题的关键，原函数与导函数的联系，对称性与周期性的联系，都是解题的思路. 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 若是函数的极值点，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 13. 已知，满足，，则______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由，可得，进而可得，利用辅助角公式可求的值. 【详解】由，易知. 因为，所以， 所以，所以，即， 所以，所以. 故答案为：. 14. 若关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为，构造函数，求导得其单调性，进而结合函数的图象，即可得不等式求解. 【详解】，不等式可化为， 令，，由解得，由解得，在为增函数，在为减函数， 令，则的图象恒过，若解集恰有个整数， 当时，有无数个整数解，不满足题意； 当时， 如图，则两个整数为1和2，故2满足不等式且3不满足不等式，即且，解得， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）化简：； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式进行变换即可求解； （2）利用三角恒等变换公式求出的值，再开平方即可求解； （3）利用三角函数基本等式解出的值，再利用三角恒等变换公式即可求解． 【详解】（1） ． （2）由，得， 解得，则． （3）因为①，所以， 即，所以. 故， 因为，所以， 又因为，所以， 所以, 所以②， 由①②解得， 所以，， 故． 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 17. 在锐角中，角所对的边分别是，且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理变形可得求得角； （2）求出角范围，把用角表示，然后结合二倍角公式、两角和的正弦公式变形，再由正弦函数性质得取值范围． 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 所以，， ，所以，又，所以； 【小问2详解】 三角形为锐角三角形，所以，，即． ， ，则，， 所以．即的范围是． 18. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数在区间上恰有个零点， （i）求实数的取值范围； （ii）求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式可化简得到；根据正弦型函数单调性的求法可求得单调递增区间； （2）（i）令，将问题转化为与在上恰有个不同的交点，利用数形结合的方式即可求得的取值范围； （ii）由（i）中图像可确定，，由此可得，整理可得，由两角和差正弦公式可求得的值，即为所求结果. 【小问1详解】 ； 令，解得：， 的单调递增区间为. 【小问2详解】 （i）由（1）得：， 当时，， 设，则在区间上恰有个零点等价于与在上恰有个不同的交点； 作出在上的图像如下图所示， 由图像可知：当时，与恰有个不同的交点， 实数的取值范围为； （ii）设与的个不同的交点分别为， 则，，， 即， 整理可得：，， . 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） ； （2） ； （3） 由（2）知，当时，， 取，则，而， 因此 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）不等式对恒成立可得对恒成立，再构造函数并利用导数探讨单调性推理得证. （3）由（2）取可得不等式，再取，并借助裂项相消法求得证. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 不等式， 由时，恒成立，得， 令，由当时，恒成立， 得，，求导得，令， 求导得，而，则当，即时，， 函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 则，符合题意，因此； 当时，由，得，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 则当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂一中南校区2023级第一次阶段性质量检测 数学试题 出题人：徐慧慧 审题人：申洁 2025.10 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合,则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a＝ln3，b＝sin3，，则（ ） A. a＜b＜c B. c＜a＜b C. c＜b＜a D. b＜c＜a 3. 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4. 函数的部分图像大致为 A. B. C. D. 5. 要得到的图像，只需要将的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 已知函数，，若与的图象的交点坐标依次为，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. ，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 8. 设函数在R上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 下列命题是假命题的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 是成立的充分不必要条件 C. 若，则函数的最小值为2 D. 时，函数的最小值为4 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，都是第一象限角且，则； B. ； C. 在区间的值域为； D. 已知，其中都是非零实数.若，则. 11. 已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（ ） A. 关于直线对称 B. C. 的周期为4 D. 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 若是函数的极值点，则___________ 13. 已知，满足，，则______. 14. 若关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则k的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）化简：； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值． 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 17. 在锐角中，角所对的边分别是，且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 18. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数在区间上恰有个零点， （i）求实数的取值范围； （ii）求的值. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $