专题03 图形的相似 11个题型（期中专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题03 图形的相似 题型1 比例的基本性质 题型7 相似三角形的判定与性质综合（重点） 题型2 比例线段和黄金分割 题型8 相似三角形实际应用 题型3 由平行截线求相关线段的长或比值（重点） 题型9 相似三角形的综合问题（重点） 题型4 相似图形的概念 题型10 位似图形相关概念辨析 题型5 相似三角形的判定（常考点） 题型11 求两个位似图形的相似比 题型6 相似三角形的性质（重点） 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 比例的基本性质（共5小题） 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 2．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知，求的值． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知，用两种不同的方法证明． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 【运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 5．（24-25九年级上·广东深圳·期中）已知 ，求的值． 题型二 比例线段和黄金分割（共3小题） 6．（24-25九年级上·河南郑州·期中）把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 7．（24-25八年级下·山东烟台·期中）（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 8．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 题型三 由平行截线求相关线段的长或比值（共5小题） 9．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，是边上的高线，点E，F分别在上，且．若，求的长． 10．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）正方形中，点G为边上一点，连接交对角线于点E，过E作交边于点F，连接． (1)如图1，． (2)如图2，连接，若，，求的长． 11．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，，求的长． 12．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 13．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长． 题型四 相似图形的概念（共3小题） 14．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，四边形四边形，分别求的长及的度数． 15．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 16．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形，，，，求的度数． 题型五 相似三角形的判定（共8小题） 17．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级下·四川眉山·期中）如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 21．（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，，，求证：． 22．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，已知是边上的中线，且，，求证：． 23．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，过点B作于点G，交于点H，求证：． 24．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 题型六 相似三角形的性质（共6小题） 25．（23-24九年级上·浙江·期中）已知，且，，则∠C的度数为(    ) A． B． C． D． 26．（24-25九年级下·全国·期中）如果两个相似三角形的面积的比是，那么它们的对应中线的比是（   ） A． B． C． D． 27．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 28．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·吉林·期中）已知，且面积比为，则与的对应角平分线之比为 ． 30．（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图，，，那么与的相似比为 ．    题型七 相似三角形的判定与性质综合（共6小题） 31．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在正方形中，对角线，交于点，平分，分别交，于点，，，交于点，连接，下列结论：；；；；其中结论正确的序号是（ ） A． B． C． D． 32．（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 33．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）综合与实践：折纸和剪纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸和剪纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】 如图，矩形纸片中，，，点为边上一点，沿直线将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处． （1）填空：的长为______； 【拓展应用】 （2）如图，展开后，将剪下来沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长； （3）如图，将剪下来的绕点旋转得到，连接，当点，，三点共线时，请直接写出的长． 34．（23-24九年级下·上海·期中）如图，在和中，是的角平分线，，边与交于F．    (1)求证：； (2)若，求证：． 35．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，点分别是边上的点，且．求证：． 36．（23-24九年级上·河南周口·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 题型八 相似三角形实际应用（共6小题） 37．（24-25九年级下·福建漳州·期中）在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 38．（24-25九年级上·福建·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为 米． 39．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为 ． 40．（2024·陕西·中考真题）如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 41．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 42．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为，图中A，B，C，D在同一条直线上， (1)求的长； (2)求点E到地面的高度． 题型九 相似三角形的综合问题（共4小题） 43．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 44．（22-23九年级上·湖南邵阳·期中）如图，已知和均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起． （1）问题发现： 如图①，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则＝　 　°，线段BD、CE之间的数量关系是　 　； （2）拓展探究： 如图②，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断的度数及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题： 如图③，，，AE＝2，连接CE、BD，在绕点A旋转的过程中，当时，请直接写出EC的长． 45．（23-24九年级上·湖南益阳·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 46．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）已知正方形 ABCD，E 在线段 BC 上，F 在线段 CD 上． （1）如图 1，连接 EF，若EAF =45，求证：BE+DF=EF； （2）如图 2，连接 EF，若DAE=AEF ，且 2BE=CE，求的值； （3）如图 3，连接 BD，线段 AE、AF 分别交 BD 于点 N、M．已知GEB=90 ，DM=MG=4，NG=1，请直接写出线段AF 的长度． 题型十 位似图形相关概念辨析（共3小题） 47．（2025·山东潍坊·二模）如图，每个小正方形的边长为1，的顶点在格点上．以点为位似中心，画，使与位似，，的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．与的周长之比为 C． D．一定在第一象限内 48．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 49．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，且，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点O，且矩形的周长是矩形周长的，则点B的对应点的坐标是 ． 题型十一 求两个位似图形的相似比（共7小题） 50．（24-25九年级下·重庆石柱·期中）如图，与是以点为位似中心的位似图形，其位似比为，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 51．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为点，且相似比为．若的周长为6，则的周长为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 52．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 53．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）与是位似图形，且与的位似比是，已知的周长是9，则的周长是 ． 54．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）如图所示，与位似，点为位似中心，若与的面积比，则为 ． 55．（24-25九年级下·四川眉山·期中）如图，四边形与四边形位似，位似中心为点．点A与点对应，若，四边形的面积为6，则四边形的面积为 ． 56．（2023九年级下·重庆北碚·学业考试）如图，与位似，点为位似中心，相似比为：若的面积为，则的面积为 ． $专题03 图形的相似 题型1 比例的基本性质 题型7 相似三角形的判定与性质综合（重点） 题型2 比例线段和黄金分割 题型8 相似三角形实际应用 题型3 由平行截线求相关线段的长或比值（重点） 题型9 相似三角形的综合问题（重点） 题型4 相似图形的概念 题型10 位似图形相关概念辨析 题型5 相似三角形的判定（常考点） 题型11 求两个位似图形的相似比 题型6 相似三角形的性质（重点） 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 比例的基本性质（共5小题） 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）设，则，代入计算即可得； （2）设，则，代入计算可求出k的值，从而可得a，b，c的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：设，则， ． （2）设，则， ， ， 解得， ，， ． 2．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知，求的值． 【答案】6 【分析】本题考查了比例的性质，通过“设法”表示出、、是解题的关键．设，那么，，，然后代入求解即可． 【详解】解：设 那么，，， 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知，用两种不同的方法证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等式的性质及比的性质运算，运用等式的基本性质两边加1，可证；还可以运用比例的性质求解． 【详解】方法一：证明：， ， ， ． 方法二：证明：， ． ， ， ． ， 方法三：证明：， ． ， ， ． ． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 【运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 【答案】（1）k，k；（2）见解析；（3）①；② 【分析】（1）设，，然后分别代入计算即可； （2）设，则，，， ，然后分别代入等式左边计算即可得出结论； （3）①直接利用（2）中的规律解分式方程即可； ②直接利用（2）中的规律即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， 故答案为：k，k； （2）设， 则，，， ， ∴ ； （3）①∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； ②∵， ∴，即， ∴． 5．（24-25九年级上·广东深圳·期中）已知 ，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，解一元一次方程等知识点，令，从而表示出，再代入，即可求出k的值，熟练掌握其性质并能灵活运用设k法得到关于k的方程是解决此题的关键． 【详解】解：设， ∴， 根据题意可得：， 解得：， ∴， ∴． 题型二 比例线段和黄金分割（共3小题） 6．（24-25九年级上·河南郑州·期中）把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义及的长求出的长，据此求出的长即可解决问题． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， ， 的长为． 7．（24-25八年级下·山东烟台·期中）（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 【答案】（1）8；（2）①；②；③ 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）由题意可知，，，由即可得到答案； （2）①设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； ②由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可； ③根据题意得到，将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①设，则，，， ∵，所以，解得， ∴，，； ②∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，所以（舍负）； ③∵a，b，c，d为成比例线段， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【答案】(1) (2)，，． 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可． （1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长； （2）设，然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值． 【详解】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 题型三 由平行截线求相关线段的长或比值（共5小题） 9．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，是边上的高线，点E，F分别在上，且．若，求的长． 【答案】32 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，根据等腰三角形的性质可得，，再证明，则可证明，由平行线分线段成比例性质可得，求出即可得到答案． 【详解】解：是边上的高线， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ． 10．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）正方形中，点G为边上一点，连接交对角线于点E，过E作交边于点F，连接． (1)如图1，． (2)如图2，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，推出，．由四边形内角和定理，易证，进而推出，得到，即可得出结论； （2）延长至，使，连接．证明，推出，．再证明，推出．根据，，得到．设，则，求出，，．中，，建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴，． 在四边形中， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：延长至，使，连接． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴． 设，则， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 中，， ∴， ∴， ∴（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行线成比例，构造三角形全等是解题的关键． 11．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，，求的长． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 12．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解决此题的关键． （1）根据，得到，结合，求出的长即可； （2）根据，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得，． ． ． ∴ ∴． 13．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长． 【答案】8 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，比例的性质．先由得到，利用比例的性质可求出，再由得到，然后利用比例的性质可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型四 相似图形的概念（共3小题） 14．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，四边形四边形，分别求的长及的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，四边形内角和定理， 根据相似三角形的性质可得，再代入求值，然后根据四边形内角和定理得出答案. 【详解】解：∵四边形四边形， ∴. ∵ ∴ 解得， ∴. 15．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在，“减半”矩形长和宽分别为与． (2)不存在，理由见解析。 【分析】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系． （1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． （2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形． 【详解】（1）解：存在，“减半”矩形长和宽分别为与． 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则， 由①，得：，③ 把③代入②，得， 解得，． 所以“减半”矩形长和宽分别为与． （2）解：不存在，理由如下： 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 16．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据相似多边形的性质、四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：，，， ， 四边形四边形， ． 题型五 相似三角形的判定（共8小题） 17．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， A、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似； B、三边之比，图中的三角形（阴影部分）与不相似； C、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似； D、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：A． 18．（24-25九年级下·四川眉山·期中）如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 19．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．先根据，求出，再根据相似三角形的判定定理，逐项分析，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A、添加， ∵，， ∴，故A选项不符合题意； B、添加， ∵，， ∴，故B选项不符合题意； C、添加， ∵，， ∴，故C选项不符合题意； D、添加，不能判定，故D选项符合题意． 故选：D． 20．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由，，，得，，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 21．（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据两个角分别相等的三角形为相似三角形，据此即可作答． 【详解】解：， ． ， ． 22．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，已知是边上的中线，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定． 根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行解答即可． 【详解】证明：∵是边上的中线，， ∴， ∵，， ∴，且，     ∴． 23．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，过点B作于点G，交于点H，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定．利用平行线的性质求得，再利用相似三角形的判定定理即可证明． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 24．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件求出，再证明，又由正方形的性质，得，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”即可证明出结论． 【详解】证明：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ， ， △△． 题型六 相似三角形的性质（共6小题） 25．（23-24九年级上·浙江·期中）已知，且，，则∠C的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应角度数是解题关键． 利用相似三角形的对应角相等的性质，结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解： ， 对应角相等，即，，． 在中，根据三角形内角和定理： ． 故选：C． 26．（24-25九年级下·全国·期中）如果两个相似三角形的面积的比是，那么它们的对应中线的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的性质， 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出它们的相似比，对应中线的比等于相似比，由此得出答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积的比是， ∴它们的相似比是． ∴它们的对应中线的比是． 故选：D． 27．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用三边对应成比例的三角形相似进而得出符合题意的答案．正确利用网格得出三角形各边长是解题关键． 【详解】解：由网格可知：，， A、，，，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； B、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； C、，，，因为，所以与相似，故该选项是正确的； D、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； 故选：C． 28．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 29．（24-25九年级上·吉林·期中）已知，且面积比为，则与的对应角平分线之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出相似比，得到对应角的角平分线之比． 【详解】解：，与的面积比为， 与的相似比为， 与对应角的角平分线之比为， 故答案为：． 30．（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图，，，那么与的相似比为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合已知求出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为相似比， ∵， ∴，即相似比为， 故答案为：． 题型七 相似三角形的判定与性质综合（共6小题） 31．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在正方形中，对角线，交于点，平分，分别交，于点，，，交于点，连接，下列结论：；；；；其中结论正确的序号是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正确．只要证明，即可．错误．利用反证法证明即可．正确．作的垂线和的延长线交于点，只要证明，即可．正确．设，想办法用表示、即可解决问题． 【详解】解：平分，， ，， ， 是等腰三角形， ， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ， ， ， ，故正确； 连接， ∵当， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，与正方形性质矛盾， ∴，故错误； 作的垂线和的延长线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， 为的平分线， ，又， ，又， ， ， ，故正确， 设， ， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ，故正确． 故正确的为． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质的知识点，解题关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线． 32．（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键．首先由得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理，，，…，根据规律可写出，再n将取2023，计算即可得答案． 【详解】解∶的中点，， ∴， ， ， ， ， 的面积是 ， 推理， ， 同理，，，…， （个） 故答案为∶． 33．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）综合与实践：折纸和剪纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸和剪纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】 如图，矩形纸片中，，，点为边上一点，沿直线将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处． （1）填空：的长为______； 【拓展应用】 （2）如图，展开后，将剪下来沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长； （3）如图，将剪下来的绕点旋转得到，连接，当点，，三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）的长或 【分析】（1）由折叠得，由题意得，，中，勾股定理求出，利用即可； （2）由（1）得，，根据折叠得，设，则，在中求得和，连接，，并延长交于点，由平移可知，，，即可判定 ，有，即可求得； （3）由折叠得，由旋转得，分两种情况求得，利用（1）和（2）的结论，结合勾股定理即可求得答案． 【详解】解：沿直线将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）如图， 由（1）得：，， 沿直线将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ，， 连接，，并延长交于点， 剪下来沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到， ，， ，，， ， ， ； （3）的长或，理由如下： 由折叠得，由旋转得， 当点，，三点共线时，设和交于点，如图， 则四边形为矩形， ，， 在中，由勾股定理得：； 当点，，三点共线时，过点作交延长线于点，如图， 则四边形为矩形， ，， 在中，由勾股定理得：， 综上所述，的长或． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查折叠的性质、旋转的性质、勾股定理、平移的性质、相似三角形的判定和性质以及矩形的判定和性质，解题的关键是熟悉旋转和折叠的性质，以及分类讨论思想的应用． 34．（23-24九年级下·上海·期中）如图，在和中，是的角平分线，，边与交于F．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查三角形的角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明及是解题的关键． （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，得，所以； （2）先由，得，则，而，则，得，由变形得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 35．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，点分别是边上的点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，证明即可求证，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 36．（23-24九年级上·河南周口·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】（1）根据题意证明即可求解； （2）同理证明即可求解． 此题主要考查考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等得到三角形相似． 【详解】解：（1）证明：∵直线l，直线l， ∴． ∵，∴． 又∵，∴． 在和中，， ∴，∴． （2）成立． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 题型八 相似三角形实际应用（共6小题） 37．（24-25九年级下·福建漳州·期中）在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形应用．根据题意可得，可证得，再由，代入即可求解． 【详解】解：如图： 根据光的反射定律得：， 又∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴. 故选：D. 38．（24-25九年级上·福建·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为 米． 【答案】 【分析】本题考查视点、视角和盲区以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．如图，过点作于点，交于点，根据相似三角形的判定和性质以及，设辅助未知数可求出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得， ，， 故答案为：． 39．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， 由图可知，，，， ， 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， ， 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，， ， ． 故答案为：． 40．（2024·陕西·中考真题）如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， 可得，再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，进一步证明，利用相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴点N和点G重合， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， 答：避雷针顶端的高度为． 41．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 【答案】西安古城墙的高度为12米 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意，寻找相似三角形是解题的关键； 设米，证明，推出米，证明，可得，据此解方程即可得到答案． 【详解】设米，由题知， 米，米，米，米， ，，， ， ，， ， ，即， 米， ，， ， ， 又米， ， 解得， 答：西安古城墙的高度为12米． 42．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为，图中A，B，C，D在同一条直线上， (1)求的长； (2)求点E到地面的高度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得出，代入数据求出的长即可； （2）由题意知，得出，由相似三角形的性质得出，代入数值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 即的长为； （2）解：由（1）知，， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， ∴ ∴， 即点E到地面的高度为． 题型九 相似三角形的综合问题（共4小题） 43．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）y＝(0＜x≤9)；（3）3或． 【分析】（1）由AD∥BC知，，结合DB=DC=15，DE=DF=5知，从而得，据此可得答案； （2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP=CP=9，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根据得，即DN＝，再根据知NQ＝，由三角形的面积公式可得答案； （3）分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH两种情况分别求解可得． 【详解】解：（1）∵AD∥BC， ∴，． ∵DB=DC=15，DE=DF=5， ∴， ∴， ∴BG=CH． （2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q． ∵DB=DC=15，BC=18， ∴BP=CP=9，DP=12． ∵， ∴BG=CH=2x， ∴BH=18+2x． ∵AD∥BC， ∴， ∴， ∴， ∴DN＝． ∵AD∥BC， ∴∠ADN=∠DBC， ∴sin∠ADN=sin∠DBC， ∴， ∴NQ＝． ∴y＝AD•NQ＝x•(0＜x≤9)． （3）∵AD∥BC， ∴∠DAN=∠FHG． （i）当∠ADN=∠FGH时， ∵∠ADN=∠DBC， ∴∠DBC=∠FGH， ∴BD∥FG， ∴， ∴， ∴BG=6， ∴AD=3． （ii）当∠ADN=∠GFH时， ∵∠ADN=∠DBC=∠DCB， 又∵∠AND=∠FGH， ∴△ADN∽△FCG． ∴， ∴x•(18−2x)＝ •10，整理得x2-3x-29=0， 解得x＝，或x＝（舍去）． 综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或． 【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点． 44．（22-23九年级上·湖南邵阳·期中）如图，已知和均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起． （1）问题发现： 如图①，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则＝　 　°，线段BD、CE之间的数量关系是　 　； （2）拓展探究： 如图②，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断的度数及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题： 如图③，，，AE＝2，连接CE、BD，在绕点A旋转的过程中，当时，请直接写出EC的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）CE的长为2或4，理由见解析． 【分析】（1）证明，得出CE＝BD，，即可得出结论； （2）证明，得出，，即可得出结论； （3）先判断出，再求出： ①当点E在点D上方时，先判断出四边形APDE是矩形，求出AP＝DP＝AE＝2，再根据勾股定理求出，BP＝6，得出BD＝4； ②当点E在点D下方时，同①的方法得，AP＝DP＝AE＝1，BP＝6，进而得出BD＝BP+DP ＝8，即可得出结论． 【详解】解：（1）为等腰三角形，， ∴是等边三角形， 同理可得是等边三角形 故答案为：． （2），理由如下： 在等腰三角形ABC中，AC＝BC，， ， 同理，， ，， ， ， ， ， 点B、D、E在同一条直线上: ； （3）由（2）知，， ， 在中，， ， ①当点E在点D上方时，如图③， 过点A作交BD的延长线于P， ， ， 四边形APDE是矩形， ， 矩形APDE是正方形， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ； ②当点E在点D下方时，如图④ 同①的方法得，AP＝DP＝AE＝2，BP＝6， BD＝BP+DP＝8， ， 综上CE的长为2或4． 【点睛】本题是几何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出三角形ACE和三角形ABD相似是关键． 45．（23-24九年级上·湖南益阳·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）存在， 或． 【分析】(1)把和分别代入反比例函数解析式中求出和，再代入一次函数解析式中求出一次函数的解析式； (2)先求出C点和D点的坐标，再分情况讨论当时和当时求解即可． 【详解】解：(1)把代入反比例函数，得 反比例函数的表达式为． 点在图象上，，即 把，两点代入， 解得， 所以一次函数的表达式为． (2)由(1)得一次函数的表达式为 当时，，，即． 当时，，点坐标为，即， ． ，． 设点坐标为，由题可以，点在点左侧，则， 由可得： ①当时，，， 解得，故点坐标为； ②当时，，， 解得，即点的坐标为． 因此，点的坐标为或时，与相似． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，相似三角形的性质和判定等，属于综合题，熟练掌握各性质及解析式的求法是解决本题的关键． 46．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）已知正方形 ABCD，E 在线段 BC 上，F 在线段 CD 上． （1）如图 1，连接 EF，若EAF =45，求证：BE+DF=EF； （2）如图 2，连接 EF，若DAE=AEF ，且 2BE=CE，求的值； （3）如图 3，连接 BD，线段 AE、AF 分别交 BD 于点 N、M．已知GEB=90 ，DM=MG=4，NG=1，请直接写出线段AF 的长度． 【答案】（1）证明详见解析；（2）1；（3） 【分析】（1）如图，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证明△ABM≌△ADF，则AF=AM，进而可证明△AEF≌△AEM，可得ME=EF ，进而可得BE+DF=EF； （2）如图，延长AD，EF交于点M。过M作MN⊥BC交BC的延长线于N，设BE=x，DM=y，则根据已知条件和正方形的性质，可求，，，，再根据勾股定理在Rt△ENM中可计算出，再证△DMF∽△CEF，根据相似比即可求得的值； （3）设，易证△GNE∽△BNA，根据相似比可求得，再由△AMF∽△BMA，可得，即可得，再在Rt△ADF中，由勾股定理即可求得的长． 【详解】解：（1）如图，延长CB至M，使BM=DF，连接AM， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABM=∠ADF=90°，AD=AB， ∴△ABM≌△ADF， ∴AF=AM， ∵∠EAF=45°， ∴， ∵， ∴△AEF≌△AEM， ∴ME=EF， ∴， 即BE+DF=EF得证； （2）如图，延长AD，EF交于点M。过M作MN⊥BC交BC的延长线于N， 设BE=x，DM=y， ∴，，， ∵DAE=AEF ∴， 在Rt△ENM中，由勾股定理可得：， 解得：， 又∵AM∥BN， ∴∠DMF=∠FEC， ∵∠MDF=∠CEF=90°， ∴△DMF∽△CEF， ∴， 即； （3）设， ∵GEB=90， ∴GE⊥AB，且∠ABG=∠EBG=45°， 易证△GNE∽△BNA， ∴， 即，， 解得：， ∴，， 又∵AB∥DC， ∴△DMF∽△BMA， ∴， ∴， ∴在Rt△ADF中，， 故． 【点睛】此题为平行四边形综合题，考查知识点有全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等，依据题目条件充分利用相似三角形对应边成比例求三角形边长是解题关键． 题型十 位似图形相关概念辨析（共3小题） 47．（2025·山东潍坊·二模）如图，每个小正方形的边长为1，的顶点在格点上．以点为位似中心，画，使与位似，，的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．与的周长之比为 C． D．一定在第一象限内 【答案】C 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，根据位似的性质画出，可得点的坐标为或．根据位似的性质可得与的周长之比为，与的边长之比为，由勾股定理得，则，进而可得答案． 【详解】解：画出如图，有两种画法： 由图可得，点的坐标是或， 故A选项错误，不符合题意； ∵与位似，位似比为， ∴与的周长之比为，与的边长之比为， 故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴， 故C选项正确，符合题意； 由图可知，在第一象限或第三象限， 故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 48．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似图形的概念、相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：A、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，原说法正确； B、与是相似图形，相似比为，则其面积之比等于相似比的平方，即，原说法正确； C、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，则，原说法正确； D、与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，则．所以，原说法错误． 故选：D． 49．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，且，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点O，且矩形的周长是矩形周长的，则点B的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似多边形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到矩形矩形，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案． 【详解】解：∵矩形与矩形位似， ∴， ∵矩矩形的周长是矩形周长的， ∴矩形与矩形的相似比为， ∵矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，且，， ∴， 如图： ∴点的坐标为或，即或． 故答案为：或． 题型十一 求两个位似图形的相似比（共7小题） 50．（24-25九年级下·重庆石柱·期中）如图，与是以点为位似中心的位似图形，其位似比为，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的位似，相似三角形的面积比等于相似比的平方等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出答案． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，其位似比为， ∴与的相似比为， 根据面积比是相似比的平方，即与的面积比是， 故选：A． 51．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为点，且相似比为．若的周长为6，则的周长为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似变换得到，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算，得到答案． 【详解】解：以点为位似中心，且相似比为， ， 的周长为6， 的周长为：， 故选：C． 52．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质，根据位似图形的性质、相似多边形的性质判断即可；掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为， ∴ ∴与的相似比为，，故①正确，②错误； ∴，，故③正确，④错误． 故正确的个数是个， 故选：B． 53．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）与是位似图形，且与的位似比是，已知的周长是9，则的周长是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了位似图形的性质．根据位似图形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵与的位似比是， ∴， ∵的周长是9， ∴的周长是． 故答案为：3 54．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）如图所示，与位似，点为位似中心，若与的面积比，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，位似中心与对应点连线之比等于位似比，据此即可求解； 【详解】解：∵与的面积比， ∴与的位似比为， ∴， 故答案为： 55．（24-25九年级下·四川眉山·期中）如图，四边形与四边形位似，位似中心为点．点A与点对应，若，四边形的面积为6，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似图形，相似多边形的性质，根据相似比等于位似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方，求出四边形的面积即可． 【详解】解：∵四边形与四边形位似，且， ∴四边形与四边形相似，相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为， ∵四边形的面积为6， ∴四边形的面积为； 故答案为：54． 56．（2023九年级下·重庆北碚·学业考试）如图，与位似，点为位似中心，相似比为：若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比相似比的平方，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为． 故答案为：． $