专题06 相似三角形中动点问题压轴题（压轴题专项训练）数学湘教版九年级上册

专题06 相似三角形中动点问题压轴题 目录 1 类型一、相似三角形动点中求时间问题 1 类型二、相似三角形动点中求线段长多解问题 5 类型三、相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 11 类型四、相似三角形中的动点问题与函数图像问题 17 类型五、 相似三角形中的动点问题与几何综合问题 24 类型六、相似三角形中的动点探究应用问题 34 49 类型一、相似三角形动点中求时间问题 口诀：动点成比例，设时列等式。 1. 画图形，标相似△，写对应边比例式。 2. 设t秒后动点路程=vt，用比例把未知段写成vt。 3. 列比例方程，解t，检验t≥0且线段长非负。 例1．如图，在中，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，至点停止．当平分时，点运动的时间为 s． 变式1-1．如图，在中，，，，点从点A出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点A匀速运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，．当为 秒时，与相似． 变式1-2．如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若△BPQ与相似，则的值为 ． 变式1-3如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 类型二、相似三角形动点中求线段长多解问题 口诀：先判相似，再分路径。 1. 画出动点可能的两条轨迹（同向或反向），各得一对相似三角形。 2. 分别写比例式，设未知段为x，列出两个方程。 3. 解方程得x₁、x₂，用“线段长>0”检验，保留合理解并列作答。 例2．矩形中，，，点E是的动点，若，则的长为 ． 变式2-1．如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为 ． 变式2-2．如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为 ． 变式2-3．如图，菱形的边长为10，对角线相交于点O，，点P是上一点，，Q为上一动点，若以A，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形，则的长为 ．    类型三、相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 口诀：先锁定相似比，再化折为直。 1. 画出动点轨迹，写相似三角形对应比 k，把未知段用 k 与已知段一次表示。 2. 若求线段和，设动点路程 t，把两段写成 at+b、ct+d，相加得一次式。 3. 当 t 取极端位置（端点或相遇点）时，一次式得最值；若得二次式，用顶点坐标求最值。 例3．如图，正方形的边长为9，点E在边上，且，点F为平面内一动点，且，连接，则的最小值是 ． 变式3-1．如图，菱形的边长为，点，分别是边，对角线上的动点，且满足，若点是的中点，则线段的最小值为 ． 变式3-2 如图，，，，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 ． 变式3-3 如图，在矩形中，．点E是上的动点，点F是的中点相交于点G，则的最小值为 ． 类型四、相似三角形中的动点问题与函数图像问题 口诀：相似设比，坐标转线。 1. 先证动点构成的三角形相似，得边比k。 2. 把动点用坐标(x,y)表示，由比例k把y写成kx，得一次函数y=kx+b。 3. 画图像直线，端点对应路径起止，最值即端点或交点纵坐标。 例4 如图，点F是菱形对角线上的一动点，点E在线段上，且，连接，设的长为，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象如图所示，则图象最低点的横坐标是（   ） A． B．1 C． D．3 变式4-1 如图，菱形的对角线交于点，点是边的中点，动点从点出发， 沿匀速运动， 回到点后停止，设点运动的路程为，线段的长为，图是与的函数关系的大致图象，点是中间非直线型图象的最低点，则拐点的横坐标的值为（    ） A． B． C． D． 变式4-2 如图，正方形一边在直线l上，P是直线l上点A左侧的一点，，E为边上一动点，过点P，E的直线与正方形的边交于点F，连接，若设，的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 变式4-3 如图，在正方形中，，动点从点出发沿方向在和上匀速移动，连接交或的延长线于，记点移动的距离为，为，则关于的函数图像大致是（    ） A．B．C． D． 类型五、 相似三角形中的动点问题与几何综合问题 口诀：先证相似锁比例，再借几何转线段。 1. 找动点构成的一对相似△，写对应边比例k，把未知段用k和已知段表示。 2. 若遇角平分线、垂直或平行，用角平分线定理、勾股或平行线分线段成比例，再得一次关系。 3. 把两式联立，解出动点位置，回代求段长。 例5 如图，将两个完全相同的菱形和菱形纸片叠放在一起，把菱形纸片固定，让菱形纸片的顶点沿的对角线由向运动，移动过程中边始终过点．对角线与边相交于点，，． (1)求证：； (2)求当为等腰三角形时，的大小； (3)当最短时，求的值． 变式5-1 如图，点E是边BC上的一点不与点B、C重合，，． (1)图1，若，，则的度数为______； (2)图2，若，求的度数；用含的代数式表示 (3)图3，已知且，，且，点E在线段上运动时，连接，M为的中点，探究的长度是否存在最小值？若存在，用关于m，n的代数式表示出来；若不存在，请说明理由． 变式5-2 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．    (1)点P的坐标为______，点Q的坐标为______（用含t的代数式表示）； (2)请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由； (3)若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请求出t的值． 变式5-3 综合与探究 问题提出： 数学课上，老师提出了一个问题：在中，，于点D，E为上的一动点，与相交于点G，点F在上，于点E，试探究与的数量关系，并加以证明．    特例故知： （1）勤奋小组从特殊情况入手：如图1，，E为的中点，则与的数量关系为______． 变式探究 （2）希望小组受此启发，作了如下改变：如图2，将（1）中“”改为“”，其他条件不变，试探究与的数量关系，并加以证明． 拓展提高 （3）经过前两个小组的探究，智慧小组将该问题的条件更一般化：如图3，，，试探究与的数量关系，并加以证明． 类型六、相似三角形中的动点探究应用问题 口诀：先定相似，再设参。 1. 找动点构造的相似三角形，写比例k； 2. 设运动时间t，把相关线段用t表示，列比例方程； 3. 解t后回代求段长，必要时用三角形两边和大于第三边检验。 例6 在中，动点M在边上从点A向终点C运动，同时点N在边上从点C向终点B运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接交于点P． 【特例初探】 （1）如图1，若为等边三角形，点M和点N以同样的速度运动，则在此运动过程中，的度数始终为__________； 【类比探究】 （2）如图2，若为等腰直角三角形，斜边为，点M的速度为1，点N的速度为，则在此运动过程中，的角度是否发生变化？如果不变，请求出具体度数；如果发生变化，请写出理由； 【总结提升】 （3）如图3，若为等腰三角形，底边为，且，，点M的速度为v，点N的速度为，则在此运动过程中，请直接写出用含有n，，v的代数式表示的度数． 变式6-1 探究完成以下问题： 【初步认识】 (1)如图1，在四边形中，，连接，，过点作交的延长线于点．求证：； 【特例研究】 (2)如图2，若四边形中，，（1）中的其它条件不变，取，的中点M，F，连接． ①求证：； ②N为的中点，连接，猜想与的位置关系，并证明你的猜想； 【拓展应用】 (3)如图3，在矩形中，对角线，相交于点O，E是射线上一动点，过点作交射线于点，当，，时，请直接写出的长．        变式6-2 在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．      (1)操作推断 如图1，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处，延长交于点 F，连接． 则 ． (2)迁移探究 小华在（1）的条件下，继续探究：如图2，延长交于点E，连接． ① ； ②小华用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现，请判断该发现是否正确？并说明理由． (3)拓展应用 将边长为1的两个相同正方形拼成矩形，如图3，点P是上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点 F．当时，直接写出的长． 变式6-3 一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明 【基础巩固】 （1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论； （2）A、B、C、是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，平分； 【尝试应用】①若，，延长至D，使，若的长为定值，请求出这个值； 【拓展提高】②拓展：若，，，P点在l外运动时，使为定值，直接写出的长为 ___________（用含m、n的式子表示）． 一、单选题 1．如图，在中，，点P为边上一动点，过点P作直线，交折线于点Q．设，则y关于x的函数图象大致是（    ）    A．    B．  C．   D．   2．如图，已知直线是线段的中垂线，与相交于点C，D是位于直线下方的上的一动点（点D不与点C重合），连接，过点A作，过点B作于点E，若，设，，则y关于x的函数关系用图像可以大致表示为（    ）．    A．   B．   C．   D．   二、填空题 3．如图，矩形中，，，E是BC中点，CD上有一动点M，连接、，将沿着翻折得到，连接，，则的最小值为 ．    4．如图，在直角中，，，，点P是边上的动点，过点P作交于点H，则的最小值为 ．    5．如图，在矩形中，，，连接，点M，N分别是边，上的动点，连接，将沿折叠，使点C的对应点P始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为 ． 三、解答题 6．问题引入】“逆等线问题”是几何最值中的一个热点问题，数学老师有一天在讲到下面这个问题时：如图，矩形，点E是边上的动点，点F是射线上的动点，且，连接，求的最小值．    【问题解决】（1）延长至点G，使得，连接，当G，E，C三点共线时，最小． ①证明：；②求出的最小值． 【能力运用】（2）铁柱同学发现，若将题目中的改为，我们就可以求出的最小值，如图2，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】（3）铁柱同学又发现，当点E，F在对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图3，点E，F在对角线上，，请直接写出的最小值． 7．和等腰按如图所示摆放（点C与点E重合），点、（E）、F在同一条直线上，，，，等腰的底边，底边上的高为．从图1的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点P从的顶点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，如图2所示，当点P移动到点A时，停止移动，与相交于点Q，连接，设移动时间为． (1)当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式． 8．如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 9．综合与实践 问题情境：数学课外活动上，小苏和小都两位同学利用三角形纸片操作探究图形的平移问题．如图（1）所示，在三角形纸片ABC中，已知，，，．如图（2）所示，小苏和小都两位同学首先沿边把这张三角形纸片剪成和两个三角形，然后将纸片沿直线的方向水平向右平移（纸片保持不动），当点与点重合时，停止平移．如图（3）所示，在平移过程中，设与交于点与分别交于点F，P． 操作探究1：在图（3）中，若，则纸片的平移距离为_________； 操作探究2：在图（3）中，小苏同学猜想与的数量关系为：．你认为他的猜想是否正确？说明理由． 操作探究3：在平移过程中，小都同学发现一个事实：始终成立．基于上述事实，设纸片的平移距离为，与重叠部分（图中阴影部分）的周长为，请你写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围． 10．如图，在矩形中，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从C出发，沿向点B移动．设P、Q两点移动时间为． (1)___ ，____ （用含t的式子表示） (2)当运动时间为多少秒时，与相似． 11．如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A，C重合时，作点P关于直线的对称点Q，连接交于点E，连接．设点P的运动时间为t秒． (1)当点P与点B重合时，求线段的长． (2)用含t的代数式表示线段的长． (3)取的中点M，连接．当与的一条直角边平行时，直接写出t的值． 12．如图，矩形中，，点E为的中点．点P从A点出发，以的速度沿折线向终点C匀速运动，同时点Q从点E出发，以的速度沿折线运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动．以为边在矩形内侧作正方形，设点P的运动时间为x（单位：s），正方形的面积为y（单位：）． (1)当点P在边上时，________________（用含x的代数式表示）． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)连接，直线将正方形的面积分成两部分时，直接写出x的值． 13．（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，，则与的数量关系是______． （2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，．判断线段与，有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______； （4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则的最小值为______．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 相似三角形中动点问题压轴题 目录 1 类型一、相似三角形动点中求时间问题 1 类型二、相似三角形动点中求线段长多解问题 5 类型三、相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 11 类型四、相似三角形中的动点问题与函数图像问题 17 类型五、 相似三角形中的动点问题与几何综合问题 24 类型六、相似三角形中的动点探究应用问题 34 49 类型一、相似三角形动点中求时间问题 口诀：动点成比例，设时列等式。 1. 画图形，标相似△，写对应边比例式。 2. 设t秒后动点路程=vt，用比例把未知段写成vt。 3. 列比例方程，解t，检验t≥0且线段长非负。 例1．如图，在中，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，至点停止．当平分时，点运动的时间为 s． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用等腰三角形的性质可证得，可求AD的长，即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， （负值舍去）， ． 变式1-1．如图，在中，，，，点从点A出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点A匀速运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，．当为 秒时，与相似． 【答案】3或7.5 【分析】主要考查的是相似三角形的性质和判定、含30度的直角三角形的性质，掌握相似三角形的性质和判定、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ①当时，， ， ， ； ②当时，， ， ， ． 或7.5秒时，与相似． 故答案为：3或7.5． 变式1-2．如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若△BPQ与相似，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】根据题意可知，分和两种情形讨论即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ①当时，，， 若， ∴ 则， ∴， 解得：； 若， ∴则 ∴， 解得： ②当时，，， 同理可得或 解得：（舍去）或 综上所述，或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 变式1-3如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 【答案】经过或秒时，与相似 【分析】设经过t秒时，与相似，则，，，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过t秒时，与相似， 则，，， ∵， ∴当时，， 即， 解得：； 当时，， 即， 解得：； 综上所述：经过或秒时，与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解． 类型二、相似三角形动点中求线段长多解问题 口诀：先判相似，再分路径。 1. 画出动点可能的两条轨迹（同向或反向），各得一对相似三角形。 2. 分别写比例式，设未知段为x，列出两个方程。 3. 解方程得x₁、x₂，用“线段长>0”检验，保留合理解并列作答。 例2．矩形中，，，点E是的动点，若，则的长为 ． 【答案】2或8 【分析】由矩形的性质，垂直的定义推出，即可证明，得到，设，列出关于x的方程，求出x的值即可． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， ∴或8， ∴的长是2或8． 故答案为：2或8． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，关键是由条件证明，并注意有两个答案． 变式2-1．如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】由翻折变换的性质得：，设，则；分三种情况讨论：①时，②当时，在的垂直平分线上，③当时，作于，得出，根据的性质即可求解． 【详解】解：由翻折变换的性质得：， ，，， ∴ ， 设，则； 分三种情况讨论：①时，， 解得：， ； ②当时，在的垂直平分线上， 为的中点， ， ， 解得：， ； ③当时，作于，如图所示： 则， ， 又， ， ， ， 即， 解得： ； 综上所述：当为等腰三角形时，的长为：或或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 变式2-2．如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】由翻折变换的性质得：，设，则；分三种情况讨论：①时，②当时，在的垂直平分线上，③当时，作于，得出，根据的性质即可求解． 【详解】解：由翻折变换的性质得：， ，，， ∴ ， 设，则； 分三种情况讨论：①时，， 解得：， ； ②当时，在的垂直平分线上， 为的中点， ， ， 解得：， ； ③当时，作于，如图所示： 则， ， 又， ， ， ， 即， 解得： ； 综上所述：当为等腰三角形时，的长为：或或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 变式2-3．如图，菱形的边长为10，对角线相交于点O，，点P是上一点，，Q为上一动点，若以A，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形，则的长为 ．    【答案】8或或 【分析】分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据勾股定理及相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， 当时， ∵，Q为上一动点， ∴点Q与点O重合，此时； 当时，如图，过点Q作于点F，则，    ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当时，如图，过点P作于点E，    ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为8或或． 故答案为：8或或 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 类型三、相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 口诀：先锁定相似比，再化折为直。 1. 画出动点轨迹，写相似三角形对应比 k，把未知段用 k 与已知段一次表示。 2. 若求线段和，设动点路程 t，把两段写成 at+b、ct+d，相加得一次式。 3. 当 t 取极端位置（端点或相遇点）时，一次式得最值；若得二次式，用顶点坐标求最值。 例3．如图，正方形的边长为9，点E在边上，且，点F为平面内一动点，且，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质及勾股定理的应用，在上取点M，使，连接，证明，得出，当在同一直线上，且点F在线段上的点处时，取最小值，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：在上取点M，使，连接， 正方形的边长为9，， ， ， ， ， ， ， 点F为平面内一动点，且， ∴点F在以C为圆心，3为半径的圆上运动， ∴当在同一直线上，且点F在线段上的点处时，取最小值， 在正方形中，， ， ， ， 则的最小值是． 故答案为：． 变式3-1．如图，菱形的边长为，点，分别是边，对角线上的动点，且满足，若点是的中点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及垂线段最短等知识．解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，将求线段的最小值转化为求的最小值，再利用三角形面积公式求出的最小值，进而得到的最小值． 解题思路：辅助线作法见详解．利用中位线定理得到，根据菱形的性质证得，再利用平行线性质可证，得到，利用含角直角三角形的性质及勾股定理可求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用面积相等法求得高的长度，等于其一半，即为的最小值． 【详解】如图，延长至点H，使，连接．延长与交于点M，因G为的中点，故． ∵且菱形对角线平分， ∴， 由，得；由得， ∴，则，又， ∴，则， 由得，；由得， ∴，则，即， ∴． 自点M作延长线的垂线，垂足为点N，则， ∴，，则， 在直角三角形中，， 当时，因，所以最短时，也相应最短， ∵， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 变式3-2 如图，，，，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形斜边上的中线等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 根据相似三角形的判定与性质，证明，推出，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：，， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值最小时，的值最小，此时的值最小， ，，， ， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小，根据三角形面积得，此时， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：6． 变式3-3 如图，在矩形中，．点E是上的动点，点F是的中点相交于点G，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图：分别以所在直线建立直角坐标系，作,延长交于点P；先通过判定、得到、；设,则，得到，即；说明点G在直线上且，的最小值为点A到直线的垂线段长度，最后根据两点间距离公式和二次函数的性质即可解答． 【详解】解：如图：分别以所在直线建立直角坐标系，作,延长交于点P ∵四边形为矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴, ∴ 又∵分别是和对应边上的高 ∴ ∴ 设,则 ∴，即 ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴，即 ∵ ∴点G在直线上且 ∴的最小值为点A到直线的垂线段长度 ∴ ∵ ∴ ∴当时，有最小值，则的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识点，通过三角形的判定与性质得到点G在直线上且成为解答本题的关键． 类型四、相似三角形中的动点问题与函数图像问题 口诀：相似设比，坐标转线。 1. 先证动点构成的三角形相似，得边比k。 2. 把动点用坐标(x,y)表示，由比例k把y写成kx，得一次函数y=kx+b。 3. 画图像直线，端点对应路径起止，最值即端点或交点纵坐标。 例4 如图，点F是菱形对角线上的一动点，点E在线段上，且，连接，设的长为，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象如图所示，则图象最低点的横坐标是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，动点问题的函数图象．如图1，连接，与交于点，根据菱形的性质可得，当点A，F，E三点共线时，y取得最小值，最小值为的长，设，则，由函数图象得：当时，，此时，，可求出，从而得到，如图3，连接交于点G，连接，过点E作于点H，根据可得到，进而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图1，连接，与交于点， ∵四边形是菱形， ∴点A，C关于对称， ∴， ∴， 当点A，F，E三点共线时，y取得最小值，最小值为的长， 设，则， ∴， 由函数图象得：当时，，此时；x的最大值为6，即， ∴，解得：， ∴， 如图3，连接交于点G，连接，过点E作于点H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴ 即， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 即图象最低点的横坐标是1． 故选：B 变式4-1 如图，菱形的对角线交于点，点是边的中点，动点从点出发， 沿匀速运动， 回到点后停止，设点运动的路程为，线段的长为，图是与的函数关系的大致图象，点是中间非直线型图象的最低点，则拐点的横坐标的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点函数图象，菱形的性质，相似三角形的判定和性质等，过点作于，由函数图象可知，，进而由得，又由得，设，则，利用勾股定理可得，得到，，再根据解答即可求解，理解题意，看懂函数图象是解题关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由函数图象可知，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 又由函数图象可得，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 由图象可知，当动点运动到点时，即为拐点， ∴， 故选：． 变式4-2 如图，正方形一边在直线l上，P是直线l上点A左侧的一点，，E为边上一动点，过点P，E的直线与正方形的边交于点F，连接，若设，的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出点F在边上时，点F与点C重合时时，点F在边上时，S与x之间的函数关系式，即可求解． 【详解】解：， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ 点F在边上时，， ∴， 点F与点C重合时时， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，解得x＝， 点F在边上时， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，，当时，，当时，， ∴能反映S与x之间函数关系的图象是B， 故选：B． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数、平行线分线段成比例定理，正方形的性质，分类思想的利用是解题的关键． 变式4-3 如图，在正方形中，，动点从点出发沿方向在和上匀速移动，连接交或的延长线于，记点移动的距离为，为，则关于的函数图像大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】分三种情况讨论得出关于的函数关系式即可得出答案． 【详解】解：①当点与点重合时， 在正方形中，， ∴与或的延长线没有交点，不符合题意； ②当点在线段之间（点不与点、点重合）， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵点移动的距离为，为， ∴，，， ∴， ∴，它的图像是反比例函数图像的一部分； ②当点在线段之间（点可与点、点重合），此时点与点重合， ∵，， 又∵， ∴，它的图像是一条线段； ∴动点从点出发沿方向在和上匀速移动时所对应函数关系式为：， 故选：C． 【点睛】本题考查动点问题函数图像，考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，反比例函数及一次函数的图像．解题的关键和难点在于根据点的位置分情况讨论． 类型五、 相似三角形中的动点问题与几何综合问题 口诀：先证相似锁比例，再借几何转线段。 1. 找动点构成的一对相似△，写对应边比例k，把未知段用k和已知段表示。 2. 若遇角平分线、垂直或平行，用角平分线定理、勾股或平行线分线段成比例，再得一次关系。 3. 把两式联立，解出动点位置，回代求段长。 例5 如图，将两个完全相同的菱形和菱形纸片叠放在一起，把菱形纸片固定，让菱形纸片的顶点沿的对角线由向运动，移动过程中边始终过点．对角线与边相交于点，，． (1)求证：； (2)求当为等腰三角形时，的大小； (3)当最短时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3) 【分析】（）由矩形的性质可得，进而由三角形外角性质可得，再根据相似三角形的判定即可求证； （）分三种情况，根据等腰三角形的性质及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质解答即可求解； （）由得，即得，可知当时，最小，利用等腰三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）证明：∵菱形和菱形完全相同， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：为等腰三角形，分三种情况： ①∵与不可能相等，否则，但， 由（）知，，矛盾； ②若，此时， ∴， ∴， ∴； ， ∴， ∴， ∴； ③若， ∵ ∴， ∴， ∴； 综上，当为等腰三角形时，的值为或； （3）解：由（）知， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴若使最小，只要让最小即可， 显然，当时，最小， ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂线段最短，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 变式5-1 如图，点E是边BC上的一点不与点B、C重合，，． (1)图1，若，，则的度数为______； (2)图2，若，求的度数；用含的代数式表示 (3)图3，已知且，，且，点E在线段上运动时，连接，M为的中点，探究的长度是否存在最小值？若存在，用关于m，n的代数式表示出来；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，长度的最小值为 【分析】在上截取，连接，可证得，从而，进而得出结果； 在上截取，连接，可证得，从而，根据平行四边形的性质得出，进一步得出结果； 在BC的延长线上截取，连接WF，取AW的中点，作射线，交的延长线于点V，可证得，从而，根据三角形中位线的性质得出，从而得出，从而得出点M在过定点，且与成的直线上运动，作于M，则当点M在处时，DM最小，进一步得出结果； 【详解】（1）解：如图1， 在上截取，连接， 四边形是平行四边形，，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为； （2）解：如图2， 在上截取，连接， ， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （3）解：如图3， 在的延长线上截取，连接，取的中点，作射线，交的延长线于点V， ，， （含的等腰三角形，底是腰的倍），， ， ， 是的中点， ， ， 点M在过定点，且与成的直线上运动， 作于M，则当点M在处时，最小， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， （含的等腰三角形，底是腰的倍）， ， . 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、角直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 变式5-2 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．    (1)点P的坐标为______，点Q的坐标为______（用含t的代数式表示）； (2)请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由； (3)若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请求出t的值． 【答案】(1)， (2)四边形的面积不会随时间t的变化而变化，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意和坐标与图形性质直接求解即可； （2）根据求解即可； （3）分和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，，又点B的坐标为， 则点P坐标为，点Q坐标为， 故答案为：，； （2）解：四边形的面积不会随时间t的变化而变化， 理由：∵点B坐标为，四边形是矩形， ∴，， 则四边形的面积 ； （3）解：当时， ∴，即， 解得：， 当时， ∴，即， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述：或． 【点睛】本题考查坐标与图形、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答的关键． 变式5-3 综合与探究 问题提出： 数学课上，老师提出了一个问题：在中，，于点D，E为上的一动点，与相交于点G，点F在上，于点E，试探究与的数量关系，并加以证明．    特例故知： （1）勤奋小组从特殊情况入手：如图1，，E为的中点，则与的数量关系为______． 变式探究 （2）希望小组受此启发，作了如下改变：如图2，将（1）中“”改为“”，其他条件不变，试探究与的数量关系，并加以证明． 拓展提高 （3）经过前两个小组的探究，智慧小组将该问题的条件更一般化：如图3，，，试探究与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3），证明见解析 【分析】（1）过点E作，垂足分别为，证明，即可得出结论； （2）过点E作，垂足分别为，证明，结合解直角三角形的知识进行解答即可； （3）过点E作，垂足分别为，证明，结合解直角三角形的知识进行解答即可． 【详解】解：（1）过点E作，垂足分别为，    ∵，，， ∴， ∵， ∴和为等腰直角三角形， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）过点E作，垂足分别为，    同理可得四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∴， 即； （3）过点E作，垂足分别为，    同（2）可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，运用类比的方法解题是本题的关键． 类型六、相似三角形中的动点探究应用问题 口诀：先定相似，再设参。 1. 找动点构造的相似三角形，写比例k； 2. 设运动时间t，把相关线段用t表示，列比例方程； 3. 解t后回代求段长，必要时用三角形两边和大于第三边检验。 例6 在中，动点M在边上从点A向终点C运动，同时点N在边上从点C向终点B运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接交于点P． 【特例初探】 （1）如图1，若为等边三角形，点M和点N以同样的速度运动，则在此运动过程中，的度数始终为__________； 【类比探究】 （2）如图2，若为等腰直角三角形，斜边为，点M的速度为1，点N的速度为，则在此运动过程中，的角度是否发生变化？如果不变，请求出具体度数；如果发生变化，请写出理由； 【总结提升】 （3）如图3，若为等腰三角形，底边为，且，，点M的速度为v，点N的速度为，则在此运动过程中，请直接写出用含有n，，v的代数式表示的度数． 【答案】（1）；（2）不变，；（3） 【分析】（1）根据等边三角形性质得，结合，得,得，即得； （2）过点N作于点E，过点B作，使，连接，证明，得，，得，求出,可得平行四边形是正方形，得，，得四边形是平行四边形，得,得，即得； （3）在右侧作，使，连接，证明，得， ， 根据，，证明，得，可得，，得四边形是平行四边形，得，得，即得． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴； （2）过点N作于点E，过点B作，使，连接， 则， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∵， ∴， ∴； （3）在右侧作，使，连接， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点M的速度为v，点N的速度为，Ｍ、N同时运动同时停止， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 【点睛】此题考查了等腰三角形综合问题，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形判定和性质，相似三角形判定和性质，平行四边形判定和性质，是解题的关键． 变式6-1 探究完成以下问题： 【初步认识】 (1)如图1，在四边形中，，连接，，过点作交的延长线于点．求证：； 【特例研究】 (2)如图2，若四边形中，，（1）中的其它条件不变，取，的中点M，F，连接． ①求证：； ②N为的中点，连接，猜想与的位置关系，并证明你的猜想； 【拓展应用】 (3)如图3，在矩形中，对角线，相交于点O，E是射线上一动点，过点作交射线于点，当，，时，请直接写出的长．        【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②，理由见解析； (3)或4． 【分析】（1）根据题可得、，然后根据同角的余角相等即可证明结论； （2）①先证明可得，再说明是的中位线可得，再结合即可证明结论；②先说明和都是等腰直角三角形，进而得到，再说明可得可得、，即可得，进而得到即可证明结论； （3）当点E在线段的延长线上时，过点O作于点F，于点H，与交于点K，证明，由相似三角形的性质得即可求出的长，进而求得的长；当点E在线段上时，过点O作于点F，于点H，同理解答即可 【详解】（1）证明： ， ． ． ， ． ．    （2）①． ，即． ，由（1）知， ． ． ∵M，F分别是，的中点， 是的中位线． ． ． ②，理由如下： 连接，， 由①知，， ． ，， ∴和都是等腰直角三角形． ，． ． 又为中点，M为中点， ，． ． ． ，． ，． ． ． ． ． ．      （3）解：①如图：当点E在线段的延长线上时，过点O作于点F，于点H，与交于点K，    , ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， , ∵，O为的中点， ∴， 同理： ，， ， 又， ∴， ∴，即，解得： ∴； ②如图：当点E在线段上时，过点O作于点F，于点H，    同理可得，即，解得：， ∴． 综上，的长为或4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关判定和性质定理是解题的关键． 变式6-2 在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．      (1)操作推断 如图1，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处，延长交于点 F，连接． 则 ． (2)迁移探究 小华在（1）的条件下，继续探究：如图2，延长交于点E，连接． ① ； ②小华用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现，请判断该发现是否正确？并说明理由． (3)拓展应用 将边长为1的两个相同正方形拼成矩形，如图3，点P是上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点 F．当时，直接写出的长． 【答案】(1)90 (2)①45；②正确，理由见解析 (3)AP长为或 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，根据全等三角形的性质即可解答； （2）①根据正方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质得到，根据全等三角形的性质得到，进而完成解答；②根据相似三角形的判定和性质定理即可解答； （3）根据矩形的性质得到，再分点F在的延长线上和上两种情况，分别运用正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． （2）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45； ②判断正确，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． （3）解：∵将边长为1的两个相同正方形拼成矩形， ∴， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∵, ①当点F在的延长线上时， ∴，      设与交于E， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得： ， ∴． ②当点F在上时，    ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∵, ∴，解得：． ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 变式6-3 一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明 【基础巩固】 （1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论； （2）A、B、C、是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，平分； 【尝试应用】①若，，延长至D，使，若的长为定值，请求出这个值； 【拓展提高】②拓展：若，，，P点在l外运动时，使为定值，直接写出的长为 ___________（用含m、n的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；【尝试应用】①2，【拓展提高】② 【分析】（1）作，交的延长线于E，可证得，因此，再证，从而得出； （2）延长至T，使，连接，可证得，，进而证得，进而证得，进一步得出结果； （3）延长至Q，使，连接，作，交的延长线于D，由得出，由平分得出，不妨设，，则，由得出，进而得出． 【详解】（1）证明：如图1， 作，交的延长线于E， ，， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：如图2，      延长至T，使，连接，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 平分， ，， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，      延长至Q，使，作， ， ， 平分， ， 不妨设，， 由上知：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 一、单选题 1．如图，在中，，点P为边上一动点，过点P作直线，交折线于点Q．设，则y关于x的函数图象大致是（    ）    A．    B．  C．   D．   【答案】B 【分析】分两种情况：当点Q在时，当点Q在时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 当点Q在时， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 当点Q在时，如图，    ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，y关于x的函数图象大致是：    故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 2．如图，已知直线是线段的中垂线，与相交于点C，D是位于直线下方的上的一动点（点D不与点C重合），连接，过点A作，过点B作于点E，若，设，，则y关于x的函数关系用图像可以大致表示为（    ）．    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据得，根据直线是线段的中垂线可得，，再证，然后根据相似三角形列比例式化简可得，再结合确定函数图像即可即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵直线是线段的中垂线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，即，可得，即函数图像为B选项． 故选B． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，证得得到是解答本题的关键． 二、填空题 3．如图，矩形中，，，E是BC中点，CD上有一动点M，连接、，将沿着翻折得到，连接，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】取的中点，连接和，沿着翻折得到，，为的中点，，可得到，可证明，可得，故，从而得到，当点三点共线时，有最小值为． 【详解】解：取的中点，连接和，如图所示：      ∵沿着翻折得到， ∴， ∵，E是BC中点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点三点共线时，有最小值为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 则的最小值为． 故填：． 【点睛】本题考查了矩形和相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键． 4．如图，在直角中，，，，点P是边上的动点，过点P作交于点H，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】作点C关于的对称点，与交于点D，则垂直平分，，由勾股定理可求得，根据三角形的面积可求得解得，，过点作，交于点H，交于点P，则，，可知此时有最小值，最小值为，再根据相似三角形的判定，可证得，据此即可求解． 【详解】解：如图：作点C关于的对称点，与交于点D， 则垂直平分，， 由勾股定理得：， ， ，， 解得， ， 过点作，交于点H，交于点P，      则， ， ， 此时，，有最小值，最小值为， ， ， 又， ， ， 得， 解得， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键． 5．如图，在矩形中，，，连接，点M，N分别是边，上的动点，连接，将沿折叠，使点C的对应点P始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情形：如图1中，当时，四边形是正方形，设．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可；如图2中，当时，点N与D重合，设．利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图1中，当时，则四边形是正方形， 设． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图2中，当时，则点N与D重合， 设． ∵，，， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 三、解答题 6．问题引入】“逆等线问题”是几何最值中的一个热点问题，数学老师有一天在讲到下面这个问题时：如图，矩形，点E是边上的动点，点F是射线上的动点，且，连接，求的最小值．    【问题解决】（1）延长至点G，使得，连接，当G，E，C三点共线时，最小． ①证明：；②求出的最小值． 【能力运用】（2）铁柱同学发现，若将题目中的改为，我们就可以求出的最小值，如图2，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】（3）铁柱同学又发现，当点E，F在对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图3，点E，F在对角线上，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是转化思想的运用． （1）①根据矩形的性质证明即可；②连接，由勾股定理求得，由于，则当点共线时，取得最小值为； （2）延长至点，使得，连接，证明，则，故，则当点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求出即可； （3）延长至点，使得，连接，证明，则，由于，则当点三点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：连接，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点共线时，取得最小值为； （2）解：延长至点，使得，连接，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，取得最小值为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：延长至点，使得，连接，    ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值为， ∵在矩形中，， ∴， ∴的最小值为． 7．和等腰按如图所示摆放（点C与点E重合），点、（E）、F在同一条直线上，，，，等腰的底边，底边上的高为．从图1的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点P从的顶点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，如图2所示，当点P移动到点A时，停止移动，与相交于点Q，连接，设移动时间为． (1)当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点D作，垂足为点，根据三线合一得到，在中，根据勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求得，则，然后利用线段垂直平分线得到，然后列方程求解即可； （2）过点作，垂足为点，证明，利用相似三角形的性质求得，根据求解即可． 【详解】（1）解：过点D作，垂足为点， ， 又，， ， 在中，根据勾股定理，得， 即，， 由题意可得：，，，， 则， ，， ， ， ， ， ， 点A在线段的垂直平分线上， ， ，解之得：， 当t为时，点A在线段的垂直平分线上； （2）解：过点作，垂足为点， ， 又， ， ， ， ， ， ，又， 与t之间的函数关系式为． 【点睛】本题考查平移性质、等腰三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． 8．如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 【答案】(1)当时，的长度等于 (2)经过3秒时，线段能将分成面积的两部分 (3)秒或秒时，与相似 【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，涉及一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分的面积为面积的和的面积为面积的，列出方程进行求解即可． （3）设经过t秒时，与相似，分① 时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：， ∴， 当时，在中， ， ， 整理，得：， 解得：； ∴当时，的长度等于． （2）解：设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积， ①当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， 解得：； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； ∴经过3秒时，线段能将分成面积的两部分． （3）解：设经过秒时，与相似， 时， ， ， ． ②当时， ， ， ， 综上所述，秒或秒时，与相似． 9．综合与实践 问题情境：数学课外活动上，小苏和小都两位同学利用三角形纸片操作探究图形的平移问题．如图（1）所示，在三角形纸片ABC中，已知，，，．如图（2）所示，小苏和小都两位同学首先沿边把这张三角形纸片剪成和两个三角形，然后将纸片沿直线的方向水平向右平移（纸片保持不动），当点与点重合时，停止平移．如图（3）所示，在平移过程中，设与交于点与分别交于点F，P． 操作探究1：在图（3）中，若，则纸片的平移距离为_________； 操作探究2：在图（3）中，小苏同学猜想与的数量关系为：．你认为他的猜想是否正确？说明理由． 操作探究3：在平移过程中，小都同学发现一个事实：始终成立．基于上述事实，设纸片的平移距离为，与重叠部分（图中阴影部分）的周长为，请你写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围． 【答案】操作探究1：；操作探究2：他的猜想正确，理由见解析；操作探究3：． 【分析】操作探究1：由平移的性质得，得到，即，据此求解即可； 操作探究2：由平移的性质得到，，据此求解即可； 操作探究3：利用相似三角形的判定和性质求得，，求得，，由，求得，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 操作探究1：在图（3）中， 由平移的性质得， 设， ∴图3中，， ∵， ∴， ∴， 解得，即纸片的平移距离为； 故答案为：； 操作探究2：他的猜想正确，理由如下， ∵，在图（3）中，，， ∴，， 由平移的性质知， ∴，， ∴，， ∴，， 由平移的性质得， ∴； 操作探究3：在图（1）中，作于点， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， 在图（1）中，作于点， ∵，同理， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的周长为 ， ∴． 【点睛】本题考查了平移的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．理解题意数形结合的方法的应用都是解本题的关键． 10．如图，在矩形中，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从C出发，沿向点B移动．设P、Q两点移动时间为． (1)___ ，____ （用含t的式子表示） (2)当运动时间为多少秒时，与相似． 【答案】(1)， (2)与 【分析】本题考查的是相似三角形的判定、矩形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）先运用勾股定理求得的长度，然后用t表示出的长度即可； （2）分与两种情况，分别根据相似三角形的判定方法求解论即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，， ∴ , ∵动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从C出发，沿向点B移动， ∴，， ∴. 故答案为：，. （2）解： ， ①当时，， ，即，解得：； ②当时，， ，即，解得：． 综上，当与时，与相似． 11．如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A，C重合时，作点P关于直线的对称点Q，连接交于点E，连接．设点P的运动时间为t秒． (1)当点P与点B重合时，求线段的长． (2)用含t的代数式表示线段的长． (3)取的中点M，连接．当与的一条直角边平行时，直接写出t的值． 【答案】(1)； (2)； (3)t的值为或． 【分析】（1）利用勾股定理求得，利用等积法求得，再利用轴对称的性质求解即可； （2）分两种情形：当点P在边上和点P在边上时，分别利用相似三角形的判定和性质，求出的长即可． （3）分两种情况讨论，由相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：当点P与B重合时，则点D与点C重合，如图， 此时，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：当点P在边上时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当点P在边上时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 综上，； （3）解：如图，当点在边上，时， 过点作交延长线于点，延长交于点，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 同理， ∴，即， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴， ∵， ∴； 如图，当点在边上，时， 过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由题意得， 同理， ∴，即， ∴， ∴， 同理， 同理， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上，t的值为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 12．如图，矩形中，，点E为的中点．点P从A点出发，以的速度沿折线向终点C匀速运动，同时点Q从点E出发，以的速度沿折线运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动．以为边在矩形内侧作正方形，设点P的运动时间为x（单位：s），正方形的面积为y（单位：）． (1)当点P在边上时，________________（用含x的代数式表示）． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)连接，直线将正方形的面积分成两部分时，直接写出x的值． 【答案】(1)， (2)当时， ，当时，，时， (3)或 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理； （1）根据矩形的性质和动点问题求解即可； （2）根据和不同位置分情况套，利用勾股定理求出，再根据求解即可； （3）分三种情况讨论，分别画出图形，当直线将正方形的面积分成两部分时，则与正方形的交点为正方形边长中点，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，，点E为的中点， ∴，，，， 当点P在边上时，点在边上，，， 故答案为：，； （2）解：如图①，当时，， ∵， ． 如图②，当时，， ∵， ． 如图③，当时，，则 ． （3）解：当时，与正方形只有一个交点，不合题意； 当时，，如图，与交于点，连接，过作于， ∵正方形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵直线将正方形的面积分成两部分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴（负值舍去）； 当时，，则， ∵直线将正方形的面积分成两部分， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴, 解得． 综上所述，当直线将正方形的面积分成两部分时，或． 13．（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，，则与的数量关系是______． （2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，．判断线段与，有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______； （4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则的最小值为______．    【答案】（1）；（2）．理由见解析；（3）2；（4） 【分析】（1）通过证明全等，得到； （2）通过证明得到，，延长相交于点H．可以证明； （3）作于点N，交的延长线于点M，交的延长线于点J，证明，得出，求出，得出点G的运动轨迹是直线，当点E从点A运动到点D的过程中，点G从点J运动到点M，求出结果即可； （4）作点D关于直线的对称点，连接交于G，根据两点之间线段最短，得出此时的值最小，最小值为，根据，得出，即，从而得出的最小值就是的最小值． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：．理由如下： 延长相交于点H．    ∵矩形、矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：作于点N，交的延长线于点M，交的延长线于点J，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线，当点E从点A运动到点D的过程中，点G从点J运动到点M， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴点G的运动路径长度为2， 故答案为：2． （4）解：作点D关于直线的对称点，连接交于G，如图所示：    根据解析（3）可知，点G的运动轨迹是直线， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时的值最小，最小值为， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴的最小值就是的最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．在判断全等和相似时出现“手拉手”模型证角相等．这里注意利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$