专题02 一元二次方程 14个题型（期中专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题02 一元二次方程 题型1 直接开平方 题型8 确定字母的取值或范围 题型2 配方法 题型9 根与系数关系的综合应用（重点） 题型3 因式分解法（重点） 题型10 与几何图形的综合应用 题型4公式法 题型11 营销问题 题型5 用适当的方法解方程（常考点） 题型12 行程问题 题型6 换元法（难点） 题型13 工程问题 题型7 判断一元二次方程根的情况（重点） 题型14 握手、循环赛问题 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直接开平方（共3小题） 1．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）方程的解是（   ） A． B． C． D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 移项，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 2．（23-24九年级上·青海西宁·期中）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：，． 3．（24-25七年级下·四川泸州·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， 题型二 配方法（共3小题） 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，利用配方法，首先移项，二次项系数化为1，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，于是可将配方成，结合已知条件，求出p和q的值，进而即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∵方程可以配方成的形式， ∴，， ∴， ∴为， ∴， 配方，得，即， 故答案为： ． 5．（23-24九年级下·山东菏泽·开学考试）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是关键．运用配方求解即可． 【详解】解：， ， , , 或， 解得，． 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的解法是解题的关键． 将常数项移到方程右边，方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，再开方求解． 【详解】解： 解得，． 题型三 因式分解法（共2小题） 7．（24-25九年级上·山东·阶段练习）方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程． 先移项，再根据因式分解法计算即可． 【详解】解：， ， ， 解得：，， 故答案为：，． 8．（24-25九年级上·河南南阳·期中）方程的解为： ． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键．首先把方程移项，把方程的右边变成0，然后对方程左边分解因式，根据几个因式的积是0，则这几个因式中至少有一个是0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解． 【详解】解：移项得：， 即， 于是得：或， 则方程的解为：，． 故答案为：，． 题型四 公式法（共4小题） 9．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程公式法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键． 首先转化成一元二次方程的一般形式，然后求解即可． 【详解】解： 整理得， ∴二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是1，3，． 故选：C． 10．（22-23九年级上·全国·期中）用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)此方程无实数根 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是先将方程化为一般形式（），计算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解． （1）方程已是一般形式，直接确定、、，计算，因，代入求根公式得两个相等实数根； （2）先将方程展开整理为一般形式，确定、、，计算，代入求根公式得两个不相等实数根； （3）先将方程整理为一般形式（或化简为），确定、、，计算，判断方程无实数根． 【详解】（1）解：方程为一般形式，，，，， 代入求根公式：， 故方程的根为：． （2）解：展开整理为一般形式：， 即，，，，， 代入求根公式：， 故方程的根为：，． （3）解：整理为一般形式：（化简：），，，，， ∵判别式小于0， ∴此方程无实数根． 11．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，先求出，再根据求根公式计算即可． 【详解】解：， ， ， 所以，． 12．（23-24九年级上·青海西宁·期中）解方程：（公式法） 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， ∴方程的解为：，． 题型五 用适当的方法解方程（共3小题） 13．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）解方程 (1) (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 则， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得，． 14．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解： 则 ∴ ∴ ∴； （2） 整理得到， 则 ∴ ∴ ∴ 15．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，再用提公因式法因式分解求解可得； （2）直接利用十字相乘法因式分解求解可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得：，； （2）解：， ， 或， 解得：，． 题型六 换元法（共3小题） 16．（24-25九年级上·广东中山·期中）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用，配方法解一元二次方程； （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，，把原方程化为，然后求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：或（舍去）， 即， 解得． （2）设，则， 则， ∴， 解得：（舍）或， 即， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得：． 17．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）实数a，b满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查来了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 设，则，原方程变形为，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设，则， 原方程变形为， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 18．（24-25九年级上·广东佛山·期中）问题背景： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程，可以将看成一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，，当时，，所以，；当时，，此方程没有实数根，所以原方程的根为：，． 解决问题： (1)用适当的方法解下列方程： ①； ②． (2)已知一元二次方程，，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或或12 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给的降次转化的方法和步骤． （1）①设，则，原方程化为，即可解答；②设，则，原方程化为，即可解答； （2）设，则，，则，求出m和n的值，则，用题目所给方法求出m和n的值，即可解答． 【详解】（1）解：①， 设，则， 原方程化为， 解得：， ∴或； 解得：； ②， 设，则， 原方程化为， 解得：， ∴或， 解得：． （2）解：， 设，则， 原方程化为， 解得： ， 设，则， 原方程化为， 解得： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值为或或12． 题型七 判断一元二次方程根的情况（共3小题） 19．（24-25九年级下·广东中山·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式的值，来判断方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，． ∵， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 20．（24-25九年级上·江西赣州·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，灵活运用判别式正负进行判断是解题的关键． 先计算出根的判别式的值，根据判别式的值就可以判断根的情况． 【详解】一元二次方程的判别式， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 21．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）一元二次方程 的根的情况是 ． 【答案】无实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式为．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键．求出的值即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴原方程无实数根． 故答案为：无实数根． 题型八 确定字母的取值或范围（共5小题） 22．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查根的判别式，二次根式有意义的条件，根据方程有两个不相等的实数根得到，结合二次项的系数不为0，以及二次根式有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且，且， 解得：且， 故选：D． 23．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）关于x的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故选：． 24．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义．当，即时，原方程为一元一次方程，解得可得出x的值，进而可得出符合题意；当，即时，利用根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，进而可得出且．综上，即可得出m的取值范围． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得：， ∴符合题意； 当，即时，， 解得：， ∴且． 综上所述，m的取值范围是． 故答案为：． 25．（23-24九年级下·上海·期中）若方程有两个相等实数根，那么实数 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，用一元二次方程根的判别式表示出含有a的等式，即可求出a的值． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴． ∴， 解得或， 又， ∴， 故答案为：． 26．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型九 根与系数关系的综合应用（共5小题） 27．（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知关于x的方程：． (1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)设，是方程的两个根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为3或 【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）表示出根的判别式，证明大于零即可； （2）利用根与系数的关系得，，再将变形为，进而可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明： ， 因为， 所以， 所以无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：因为，是方程的两个根， 所以，， 又因为， 即， 所以， 解得或， 所以m的值为3或． 28．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． 【答案】（），；（）；（）． 【分析】本题考查了根与系数的关系，通过完全平方公式进行变形求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （）利用根与系数的关系即可求解； （）根据根与系数的关系得，，由，再代入即可求解； （）根据题意可得、可看作方程的两根，则，，由，再代入即可求解． 【详解】解：（）根据根与系数的关系得，； 故答案为：，； （）根据根与系数的关系得，， ∴ ； （）∵实数，满足，，且， ∴、可看作方程的两根， ∴，， ∴ ， ∴． 29．（2023·湖北襄阳·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 实数的取值范围为． （2），是关于的一元二次方程的两实数根， ，． ， ， ， ，即， 解得：或， 当时，方程变为， ，不符合题意，舍去， 当时，方程变为， ，， ， ． 30．（24-25九年级上·福建·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设，是方程的两个根，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，完全平方公式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，再计算，即可作答． （2）结合完全平方公式，得，然后计算，再代入化简，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴ 故无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：依题意， ∵， ∴， ∴， 则． 31．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． （2）解：方程的两个实数根、， ∴，， 原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去），． 题型十 与几何图形的综合应用（共3小题） 32（23-24九年级上·云南昆明·期中）若一个三角形不是等边三角形且边长均满足方程，则此三角形的周长是(    ) A．11 B．19 C．20 D．11或19 【答案】B 【分析】根据题意由等腰三角形的底和腰是方程的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当是等腰三角形的腰时与当是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵一个三角形不是等边三角形且边长均满足方程 ∴当是等腰三角形的腰时，，不能组成三角形，舍去； 当是等腰三角形的腰时，，则这个三角形的周长为． 故选：B． 33．（23-24九年级上·山西长治·期中）已知等腰的两边长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)当时，求的周长． (2)若为等边三角形，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入方程，求出方程的两个根，根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论求解； （2）根据题意，得到方程有两个相等的实数根，进而得到，求解即可． 【详解】（1）解：当时，一元二次方程为， 解得或． ∴是等腰三角形， ∴三边长为4，4，2或2，2，4（舍去）， ∴的周长． （2）∵为等边三角形， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 【点睛】本题考查解一元二次方程，根的判别式．熟练掌握解一元二次方程的方法，以及根的判别式与根的个数的关系，是解题的关键． 34．（23-24九年级上·山东济宁·期中）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长． (1)已知是方程的根，求证：是等腰三角形； (2)如果是直角三角形，其中，请你判断方程的根的情况，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)方程有两个相等的实数根，理由见解析 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）代入，找出；（2）牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”． （1）将代入原方程，可得出，进而可证出是等腰三角形； （2）利用勾股定理，可得出，结合△，可得出△，进而可得出原方程有两个相等的实数根． 【详解】（1）证明：∵是一元二次方程的根， ∴． ∴． ∴是等腰三角形； （2）解：方程有两个相等的实数根，理由如下： ∵是直角三角形，其中， ∴． ∴， ∴方程有两个相等的实数根 题型十一 营销问题（共5小题） 35．（25-26九年级上·新疆·阶段练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价为多少元？ 【答案】每件衬衫应降价20元 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用衬衣平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可． 【详解】解：设每件衬衫应降价x元． 根据题意，得 整理，得 解得． 扩大销售量，减少库存， 应舍去， ． 答：每件衬衫应降价20元 36．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 【答案】(1)①每千克茶叶应降价30元或80元，②该店应按原售价的八折出售 (2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元． 【分析】（1）①通过设每千克茶叶降价元，利用“每千克利润×销售量 = 总利润”的关系列出方程求解；②在①的基础上，根据让利于顾客的要求确定降价金额，进而求出折扣； （2）设降价元，依据上述利润关系列方程，通过判别式判断方程是否有实数根，从而确定获利能否达到． 本题主要考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，熟练掌握“每千克利润×销售量 = 总利润”的等量关系以及一元二次方程的解法、判别式的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：①设每千克茶叶应降价元， 根据题意，得， 整理得，解得． 答：每千克茶叶应降价30元或80元； ②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元， 要尽可能让利于顾客， 每千克茶叶应降价80元， 此时的售价为：（元），． 答：该店应按原售价的八折出售； （2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下： 设每千克茶叶应降价元， 根据题意，得， 整理得， ， 原方程没有实数根， 该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元． 37．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）甘肃是面食之乡，其中“金城炒面”也最为有名，它浓郁的西北辣子的香味、爽滑入口、口感劲道，与兰州牛肉面一样享誉全国．兰州某餐馆一份炒面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份炒面价格是多少元时，该餐馆能实现每天1080元的利润？ 【答案】销售价格为元或元时，餐馆能实现每天元的利润． 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目数量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意，设提高了元，用含的式子表示出销售价格，利润，销售份数，根据题目数量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设提高了元，则销售价格为元，利润为元，销售份数为份， ∴，整理得，， ∴， 解得，，， ∴销售价格为元或元时，餐馆能实现每天的利润． 38．（25-26九年级上·全国·期中）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． (1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ (2)设后来该商品每件降价元，商场一天可获利润元． ①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出与之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当取何值时，商场获利润不少于2160元？ 【答案】(1)2000（元）； (2)①2元或8元；②，图象见解析，当时，商场所获利润不少于2160元． 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据利润的概念可直接求解； （2）①列出方程求解即可； ②求出与之间的函数关系式，作出草图，根据二次函数图象性质即可求出答案． 【详解】（1）商场经营该商品原来一天可获利润为：（元）； （2）①依题意得： 即 解得： 经检验：都是方程的解，且符合题意． 故商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元． （2）依题意得： ， 结合①并观察图象可得： 当时，， 当时，商场所获利润不少于2160元． 39．（24-25九年级下·重庆万州·期中）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买款吉祥物的数量与花600元购买款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则款吉祥物售价应降低多少元？ 【答案】(1)款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元； (2)售价应降低20元． 【分析】本题考查了分式方程及一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据题意即可列出等量关系求解． 【详解】（1）解：设款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元； （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量减少库存， ． 答：售价应降低20元． 题型十二 行程问题（共4小题） 40．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又 ， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 41．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 42．（24-25八年级下·上海·期中）是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 【答案】小时 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，假设小明看作点，小丽看作点，再过分别作、的垂线，两人与这棵古树的距离恰好相等，也就是，在直角三角形中利用勾股定理列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设两人离开路口时间为，小明看作点，小丽看作点， 千米，千米 两人与这棵古树的距离恰好相等，则 根据题意处与、的距离分别为3千米和2千米 如图，过点作 ， 在中，，即 在中，，即 解得（舍去）， 答：离开路口后经过小时，两人与这棵古树的距离恰好相等． 43．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 题型十三 工程问题（共2小题） 44．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 45．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 题型十四 握手、循环赛问题（共5小题） 46．（24-25九年级上·云南昆明·期中）2024年南宁市举办中学生“希望杯”篮球赛，某学校为选拔篮球运动员参赛，要组织一场篮球邀请赛，参赛的每两个队伍之间都只比赛一场．根据场地和时间等条件要安排45场比赛，组织者应邀请多少个队参赛?设组织者应邀请x个队参赛，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．每两个队伍之间比赛一场，总比赛场数等于从x个队中任选两个的组合数，即，由此建立方程，即可作答． 【详解】解：设有个队参赛，每个队需与其他个队各比赛一场， ∵由于每场比赛被两队各计算一次，总场数需除以2， 因此方程为， 故选：A 47．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）某校九年级准备以单循环（每两个班之间都进行一次比赛）的形式组织一次篮球比赛，这样共有15场比赛，则参赛球队有 个队． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程的实际运用．设参赛球队有x个队，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设参赛球队有x个队，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：参赛球队有6个队． 故答案为：6 48．（23-24九年级上·青海西宁·期中）在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有 人． 【答案】11 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设参加酒会的有x人，根据每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加酒会的有x人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故答案为：11． 49．（23-24九年级上·青海西宁·期中）年杭州亚运会三人篮球赛掀起校园篮球热，某市青少年校园三人篮球联赛采用双循环制，即每两队之间都进行两场比赛，若该市校园三人篮球联赛有队伍支，共比赛了场，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设队伍有支，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设队伍有支， 由题意得，， 解得，（不合，舍去） ∴， 故答案为：． 50．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：________________． 拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条． （1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条； （2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】问题：；拓展：（1）9；14；（2）可以，9 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题关键在于理解握手问题的数量关系． 问题：设参加聚会的同学共有人，则每人应握手次，根据等量关系建立等式即可． 拓展：（1）根据六边形中每个顶点可以形成3条对角线，求解即可；根据七边形中每个顶点可以形成4条对角线，求解即可． （2）根据n边形的对角线数量为条，建立等式求解一元二次方程即可． 【详解】解：问题：设参加聚会的同学共有人， 对于其中任意一个人来说，他需要和除自己之外的个人握手， ∵总共有个人，总共握手的次数是次． ∴得． 故答案为：． 拓展：（1）∵每个顶点可以与另外3个顶点连接形成对角线． ∴每个顶点可以形成3条对角线， ∴六边形的对角线数量为条． ∵每个顶点可以与另外4个顶点连接形成对角线． ∴每个顶点可以形成4条对角线， ∴七边形的对角线数量为条． 故答案为：9；14． （2）∵每个顶点可以与个顶点连接形成对角线， ∴每个顶点可以形成条对角线． 所以n边形的对角线数量为条． 设多边形的边数为n，对角线数量为， 可以得到方程，化简为． 解得或， 因为n为正整数，所以， 即多边形的边数为9． $专题02 一元二次方程 题型1 直接开平方 题型8 确定字母的取值或范围 题型2 配方法 题型9 根与系数关系的综合应用（重点） 题型3 因式分解法（重点） 题型10 与几何图形的综合应用 题型4公式法 题型11 营销问题 题型5 用适当的方法解方程（常考点） 题型12 行程问题 题型6 换元法（难点） 题型13 工程问题 题型7 判断一元二次方程根的情况（重点） 题型14 握手、循环赛问题 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直接开平方（共3小题） 1．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）方程的解是（   ） A． B． C． D．没有实数根 2．（23-24九年级上·青海西宁·期中）方程的解是 ． 3．（24-25七年级下·四川泸州·期中）解方程：． 题型二 配方法（共3小题） 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ． 5．（23-24九年级下·山东菏泽·开学考试）解方程：． 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）用配方法解方程： 题型三 因式分解法（共2小题） 7．（24-25九年级上·山东·阶段练习）方程的解为 ． 8．（24-25九年级上·河南南阳·期中）方程的解为： ． 题型四 公式法（共4小题） 9．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，， 10．（22-23九年级上·全国·期中）用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 11．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期中）解方程：． 12．（23-24九年级上·青海西宁·期中）解方程：（公式法） 题型五 用适当的方法解方程（共3小题） 13．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）解方程 (1) (2)； 14．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 15．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）解下列方程： (1) (2) 题型六 换元法（共3小题） 16．（24-25九年级上·广东中山·期中）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 17．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）实数a，b满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足，求的值． 18．（24-25九年级上·广东佛山·期中）问题背景： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程，可以将看成一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，，当时，，所以，；当时，，此方程没有实数根，所以原方程的根为：，． 解决问题： (1)用适当的方法解下列方程： ①； ②． (2)已知一元二次方程，，求的值． 题型七 判断一元二次方程根的情况（共3小题） 19．（24-25九年级下·广东中山·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 20．（24-25九年级上·江西赣州·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不确定 21．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）一元二次方程 的根的情况是 ． 题型八 确定字母的取值或范围（共5小题） 22．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 23．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）关于x的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A． B． C．，且 D．，且 24．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 25．（23-24九年级下·上海·期中）若方程有两个相等实数根，那么实数 26．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 题型九 根与系数关系的综合应用（共5小题） 27．（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知关于x的方程：． (1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)设，是方程的两个根，且，求m的值． 28．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． 29．（2023·湖北襄阳·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 30．（24-25九年级上·福建·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设，是方程的两个根，求的值． 31．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 题型十 与几何图形的综合应用（共3小题） 32（23-24九年级上·云南昆明·期中）若一个三角形不是等边三角形且边长均满足方程，则此三角形的周长是(    ) A．11 B．19 C．20 D．11或19 33．（23-24九年级上·山西长治·期中）已知等腰的两边长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)当时，求的周长． (2)若为等边三角形，求k的值． 34．（23-24九年级上·山东济宁·期中）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长． (1)已知是方程的根，求证：是等腰三角形； (2)如果是直角三角形，其中，请你判断方程的根的情况，并说明理由． 题型十一 营销问题（共5小题） 35．（25-26九年级上·新疆·阶段练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价为多少元？ 36．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 37．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）甘肃是面食之乡，其中“金城炒面”也最为有名，它浓郁的西北辣子的香味、爽滑入口、口感劲道，与兰州牛肉面一样享誉全国．兰州某餐馆一份炒面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份炒面价格是多少元时，该餐馆能实现每天1080元的利润？ 38．（25-26九年级上·全国·期中）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． (1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ (2)设后来该商品每件降价元，商场一天可获利润元． ①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出与之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当取何值时，商场获利润不少于2160元？ 39．（24-25九年级下·重庆万州·期中）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买款吉祥物的数量与花600元购买款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则款吉祥物售价应降低多少元？ 题型十二 行程问题（共4小题） 40．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 41．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 42．（24-25八年级下·上海·期中）是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 43．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 题型十三 工程问题（共2小题） 44．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 45．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 题型十四 握手、循环赛问题（共5小题） 46．（24-25九年级上·云南昆明·期中）2024年南宁市举办中学生“希望杯”篮球赛，某学校为选拔篮球运动员参赛，要组织一场篮球邀请赛，参赛的每两个队伍之间都只比赛一场．根据场地和时间等条件要安排45场比赛，组织者应邀请多少个队参赛?设组织者应邀请x个队参赛，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 47．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）某校九年级准备以单循环（每两个班之间都进行一次比赛）的形式组织一次篮球比赛，这样共有15场比赛，则参赛球队有 个队． 48．（23-24九年级上·青海西宁·期中）在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有 人． 49．（23-24九年级上·青海西宁·期中）年杭州亚运会三人篮球赛掀起校园篮球热，某市青少年校园三人篮球联赛采用双循环制，即每两队之间都进行两场比赛，若该市校园三人篮球联赛有队伍支，共比赛了场，则 ． 50．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：________________． 拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条． （1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条； （2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． $