第2章 一元二次方程 单元测试2025-2026学年湘教版九年级数学上册

湘教版九年级上册 第2章 一元二次方程 单元测试 一、选择题 1.用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后正确的是(　　) A.(x﹣2)2＝﹣2 B.(x﹣1)2＝4 C.(x﹣1)2＝﹣2 D.(x+2)2＝4 2.某农场拟建一间长方形饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2 m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50 m．设饲养室长为x(m)，占地面积为240 m2，则根据题意可列方程为(　　) A.﹣x2+50x＝40 B.﹣0.5x2+24x＝240 C.﹣0.5x2+25x＝240 D.﹣0.5x2+26x＝240 3.将一元二次方程x2﹣x﹣1＝0配成(x+p)2＝q的形式，则p的值是(　　) A.﹣1 B.1 C. D. 4.用配方法解方程x2﹣4x﹣10＝0，下列配方结果正确的是(　　) A.(x+2)2＝14 B.(x+2)2＝6 C.(x﹣2)2＝14 D.(x﹣2)2＝6 5.一元二次方程x2﹣9＝0的根为（　　） A.3 B.﹣3 C.3或﹣3 D.0 6.若x1，x2是方程x2+3x﹣2＝0的两个根，则（　　） A.x1+x2＝﹣3 B.x1+x2＝3 C.x1x2 D.x1x2＝2 7.若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则（　　） A.x1+x2＝﹣2 B.x1+x2＝3 C.x1x2＝﹣3 D.x1x2＝2 8.对于实数a，b定义运算“※”为a×b＝a+b2，例如3※2＝3+22＝7，则关于x的方程x※(x+1)＝5的解是(　　) A.x＝﹣4 B.x＝﹣1 C.x1＝﹣1，x2＝4 D.x1＝1，x2＝﹣4 9.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两根，则该等腰三角形的周长为(　　) A.9 B.6 C.1或4 D.9或6 10.2022年下半年石家庄市城市轨道交通5号线一期工程已批准建设，全长19.91 km，站点设置依次为宫北路站﹣红旗南大街站﹣红旗桥站﹣谈固北大街站，从宫北路站到谈固北大街站一共需要设计306种往返车票，这条线路共有多少个站点？设这条线路共有x个站点，根据题意，下列方程正确的是(　　) A.x(x+1)＝306 B.x(x﹣1)＝306 C. D. 11.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2﹣12x+14的值的范围． 解：2x2﹣12x+14＝2(x2﹣6x)+14＝2(x2﹣6x+32﹣32)+14 ＝2[(x﹣3)2﹣9]+14＝2(x﹣3)2﹣18+14＝2(x﹣3)2﹣4． ∵无论x取何实数，总有(x﹣3)2≥0，∴2(x﹣3)2﹣4≥﹣4． 即无论x取何实数，2x2﹣12x+14的值总是不小于﹣4的实数． 问题：已知x可取任何实数，则二次三项式﹣3x2+12x﹣11的最值情况是(　　) A.有最大值﹣1 B.有最小值﹣1 C.有最大值1 D.有最小值1 12.如图，“L”形纸片是由周长为40的正方形剪去周长为26的矩形后构成，过点A剪一刀，刀痕是线段BC．若AB＝AC，△DBC的面积为23，则BC的长为(　　) A.10 B.5 C.2 D.2 二、填空题 13.不解方程，判别下列方程根的情况： (1)方程x2﹣5x+3＝0的解的情况是 　        　； (2)方程3x2﹣2+1＝0的根的情况是 　        　； (3)方程2x2+3x+2＝0的解的情况是 　      　； (4)已知a、b、c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是 　       　． 14.公式法解一元二次方程：当　 　≥0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0的求根公式是　 　．利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a，b，c的值，直接求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 15.2022年东阳市初中男生篮球比赛在小组初赛之后，每个小组的第一名再进行决赛，决赛采用单循环比赛(单循环比赛是指所有参赛队伍可在比赛中相遇一次)方式，单循环比赛共进行了15场，参加比赛的队伍共有 　 　支． 16.方程x2﹣x＝0的解为 　   　． 17.已知x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个根，那么　，x12+x22＝　6　，(x1+1)(x2+1)＝　 　，|x1﹣x2|＝　　 三、解答题 18.用配方法解方程：3x2+6x﹣1＝0． 19.已知y1＝x2﹣9，y2＝3﹣x，当x为何值时，y1＝y2？ 20.用适当的方法解下列方程： (1)(2x﹣1)2﹣16＝0； (2)6x2﹣5x﹣1＝0； (3)25(x+1)2＝9(x﹣2)2； (4)2y(y﹣1)+3＝(y+1)2． 21.已知一个包装盒的表面展开图如图． (1)若此包装盒的容积为1125 cm3，请列出关于x的方程，并求出x的值； (2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为1800 cm3？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 22.数学解题时类比是发现新问题、新结论的重要方法，是思维发展的重要途径．阅读下面材料，解答相关问题： 材料：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以利用根的判别式解决问题，如下面例子： 例：求代数式x2+4x+5的最小值； 请利用上述方法解决下列问题： (1)请选择上述一种方法求代数式﹣x2+4x﹣1的最大值； (2)请你根据方法2解决问题：若关于x的二次三项式：x2+ax+4(a为常数)的最小值为﹣5，求a的值． 湘教版九年级上册 第2章 一元二次方程 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后正确的是(　　) A.(x﹣2)2＝﹣2 B.(x﹣1)2＝4 C.(x﹣1)2＝﹣2 D.(x+2)2＝4 【答案】B 【解析】x2﹣2x﹣3＝0， x2﹣2x＝3， x2﹣2x+1＝4， (x﹣1)2＝4． 故选：B． 2.某农场拟建一间长方形饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2 m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50 m．设饲养室长为x(m)，占地面积为240 m2，则根据题意可列方程为(　　) A.﹣x2+50x＝40 B.﹣0.5x2+24x＝240 C.﹣0.5x2+25x＝240 D.﹣0.5x2+26x＝240 【答案】D 【解析】设饲养室长为x(m)， 由题意可得：， 即﹣0.5x2+26x＝240. 故选：D． 3.将一元二次方程x2﹣x﹣1＝0配成(x+p)2＝q的形式，则p的值是(　　) A.﹣1 B.1 C. D. 【答案】D 【解析】x2﹣x﹣1＝0， 移项，得x2﹣x＝1， 配方，得x2﹣x+()2＝1+()2， (x)2， 即p． 故选：D． 4.用配方法解方程x2﹣4x﹣10＝0，下列配方结果正确的是(　　) A.(x+2)2＝14 B.(x+2)2＝6 C.(x﹣2)2＝14 D.(x﹣2)2＝6 【答案】C 【解析】x2﹣4x﹣10＝0， 移项，得x2﹣4x＝10， 配方，得x2﹣4x+4＝10+4， 即(x﹣2)2＝14． 故选：C． 5.一元二次方程x2﹣9＝0的根为（　　） A.3 B.﹣3 C.3或﹣3 D.0 【答案】C 【解析】移项得x2＝9，∴x＝±3． 故选：C． 6.若x1，x2是方程x2+3x﹣2＝0的两个根，则（　　） A.x1+x2＝﹣3 B.x1+x2＝3 C.x1x2 D.x1x2＝2 【答案】A 【解析】∵x1，x2是方程x2+3x﹣2＝0的两个根， ∴. 故选：A． 7.若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则（　　） A.x1+x2＝﹣2 B.x1+x2＝3 C.x1x2＝﹣3 D.x1x2＝2 【答案】C 【解析】因为x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根， 所以x1+x2＝2，x1x2＝﹣3． 故选：C． 8.对于实数a，b定义运算“※”为a×b＝a+b2，例如3※2＝3+22＝7，则关于x的方程x※(x+1)＝5的解是(　　) A.x＝﹣4 B.x＝﹣1 C.x1＝﹣1，x2＝4 D.x1＝1，x2＝﹣4 【答案】D 【解析】由题意，可得：x+(x+1)2＝5， 整理得：x2+3x﹣4＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣4． 故选：D． 9.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两根，则该等腰三角形的周长为(　　) A.9 B.6 C.1或4 D.9或6 【答案】A 【解析】方程x2﹣5x+4＝0， 分解因式得：(x﹣1)(x﹣4)＝0， 所以x﹣1＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝1，x2＝4， ∵等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两根， ∴当腰长为1时，三边为1，1，4，不能构成三角形，舍去； 当腰长为4时，三边为4，4，1，此时周长为4+4+1＝9， 则等腰三角形的周长为9． 故选：A． 10.2022年下半年石家庄市城市轨道交通5号线一期工程已批准建设，全长19.91 km，站点设置依次为宫北路站﹣红旗南大街站﹣红旗桥站﹣谈固北大街站，从宫北路站到谈固北大街站一共需要设计306种往返车票，这条线路共有多少个站点？设这条线路共有x个站点，根据题意，下列方程正确的是(　　) A.x(x+1)＝306 B.x(x﹣1)＝306 C. D. 【答案】B 【解析】根据题意得x(x﹣1)＝306． 故选：B． 11.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2﹣12x+14的值的范围． 解：2x2﹣12x+14＝2(x2﹣6x)+14＝2(x2﹣6x+32﹣32)+14 ＝2[(x﹣3)2﹣9]+14＝2(x﹣3)2﹣18+14＝2(x﹣3)2﹣4． ∵无论x取何实数，总有(x﹣3)2≥0，∴2(x﹣3)2﹣4≥﹣4． 即无论x取何实数，2x2﹣12x+14的值总是不小于﹣4的实数． 问题：已知x可取任何实数，则二次三项式﹣3x2+12x﹣11的最值情况是(　　) A.有最大值﹣1 B.有最小值﹣1 C.有最大值1 D.有最小值1 【答案】C 【解析】﹣3x2+12x﹣11＝﹣3(x2﹣4x)﹣11 ＝﹣3(x2﹣4x+4﹣4)﹣11 ＝﹣3(x﹣2)2+12﹣11 ＝﹣3(x﹣2)2+1， ∵无论x取何实数，总有(x﹣2)2≥0， ∴﹣3(x﹣2)2≤0， ∴﹣3(x﹣2)2+1≤1， 即无论x取何实数，二次三项式﹣3x2+12x﹣11有最大值1. 故选：C． 12.如图，“L”形纸片是由周长为40的正方形剪去周长为26的矩形后构成，过点A剪一刀，刀痕是线段BC．若AB＝AC，△DBC的面积为23，则BC的长为(　　) A.10 B.5 C.2 D.2 【答案】C 【解析】如图，过A作AG⊥CD于G，AH⊥BC于H，连接AD， ∵∠BDC＝90°，AB＝AC， AB＝AD＝AC， ∴BD＝2AG， ∵“L”形纸片是由周长为40的正方形剪去周长为26的矩形后构成， ∴设AE＝x，则AH＝DG＝10﹣x，EF＝13﹣x， ∴AG＝x﹣3， ∴BD＝2x﹣6， ∵△DBC的面积为23， ∴BD•AH＝23， ∴(2x﹣6)(10﹣x)＝23， 解得：x＝或x＝， ∴BD＝7+或7﹣，CD＝2AH＝7+或7﹣， ∴BC＝＝2， 故选：C． 二、填空题 13.不解方程，判别下列方程根的情况： (1)方程x2﹣5x+3＝0的解的情况是 　        　； (2)方程3x2﹣2+1＝0的根的情况是 　        　； (3)方程2x2+3x+2＝0的解的情况是 　      　； (4)已知a、b、c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是 　       　． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根 (2)方程有两个相等的实数根 (3)方程没有实数根 (4)方程有两个不相等的实数根 【解析】(1)∵Δ＝(﹣5)2﹣4×1×3＝25﹣12＝13＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：方程有两个不相等的实数根； (2)∵Δ＝(﹣2)2﹣4×3×1＝12﹣12＝0， ∴方程有两个相等的实数根． 故答案为：方程有两个相等的实数根. (3)∵Δ＝32﹣4×2×2＝9﹣16＝﹣7＜0， ∴方程没有实数根． 故答案为：方程没有实数根. (4)∵点P(a，c)在第二象限， ∴a＜0，c＞0， ∴ac＜0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：方程有两个不相等的实数根． 14.公式法解一元二次方程：当　 　≥0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0的求根公式是　 　．利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a，b，c的值，直接求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 【答案】b2﹣4ac；x 【解析】公式法解一元二次方程：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0的求根公式是x． 故答案为：b2﹣4ac；x． 15.2022年东阳市初中男生篮球比赛在小组初赛之后，每个小组的第一名再进行决赛，决赛采用单循环比赛(单循环比赛是指所有参赛队伍可在比赛中相遇一次)方式，单循环比赛共进行了15场，参加比赛的队伍共有 　 　支． 【答案】6 【解析】设参加比赛的队伍共有x支， 根据题意得：x(x﹣1)＝15， 解得x＝6或x＝﹣5(舍去)， ∴参加比赛的队伍共有6支. 故答案为：6． 16.方程x2﹣x＝0的解为 　   　． 【答案】x1＝0，x2＝1 【解析】方程分解得：x(x﹣1)＝0， 所以x＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝0，x2＝1． 故答案为：x1＝0，x2＝1． 17.已知x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个根，那么　，x12+x22＝　6　，(x1+1)(x2+1)＝　 　，|x1﹣x2|＝　　 【答案】，6，﹣2， 【解析】∵x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个根， ∴x1+x2，x1•x2＝﹣2， ∴； x12+x22＝(x1+x2)2﹣2x1•x2＝()2+2×2＝6； (x1+1)(x2+1)＝x1•x2+x1+x2+1＝﹣2+()+1＝﹣2； ∵(x1﹣x2)2＝(x1+x2)2﹣4x1•x2＝()2﹣4×(﹣2)， ∴|x1﹣x2|. 故答案为：，6，﹣2，． 三、解答题 18.用配方法解方程：3x2+6x﹣1＝0． 【答案】解：把方程x2+2x0的常数项移到等号的右边，得x2+2x， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2+2x+11 配方得(x+1)2， 开方得x+1＝±， 解得x＝±1． 【解析】 19.已知y1＝x2﹣9，y2＝3﹣x，当x为何值时，y1＝y2？ 【答案】解：x2﹣9＝3﹣x， x2+x﹣12＝0， (x+4)(x﹣3)＝0， x+4＝0，x﹣3＝0， x1＝﹣4，x2＝3， 即当x为﹣4或3时，y1＝y2． 【解析】 20.用适当的方法解下列方程： (1)(2x﹣1)2﹣16＝0； (2)6x2﹣5x﹣1＝0； (3)25(x+1)2＝9(x﹣2)2； (4)2y(y﹣1)+3＝(y+1)2． 【答案】解：(1)(2x﹣1﹣4)(2x﹣1+4)＝0， 2x﹣1﹣4＝0或2x﹣1+4＝0， 所以x1，x. (2)(6x+1)(x﹣1)＝0， 6x+1＝0或x﹣1＝0， 所以x1，x2＝1. (3)25(x+1)2＝9(x﹣2)2， 5(x+1)＝±3(x﹣2)， 所以x1，x2. (4)方程化为一般式为y2﹣4y+2＝0， ∴a＝1，b＝﹣4，c＝2． ∴b2﹣4ac＝(﹣4)2﹣4×1×2＝8＞0． ∴2， 所以y1＝2，y2＝2． 【解析】 21.已知一个包装盒的表面展开图如图． (1)若此包装盒的容积为1125 cm3，请列出关于x的方程，并求出x的值； (2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为1800 cm3？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：(1)设包装盒的高为x，根据题意得：15x(20﹣x)＝1125， 整理得：x2﹣20x+75＝0， 解得：x＝15或x＝5， 答：包装盒的高为15 cm或5 cm． (2)不存在，理由如下： 根据题意得：15x(20﹣x)＝1800， 整理得：x2﹣20x+120＝0， Δ＝(﹣20)2﹣4×1×120＝﹣80＜0， ∴此方程无实数根， ∴不存在这样的x的值，使得包装盒的容积为1800 cm3． 【解析】 22.数学解题时类比是发现新问题、新结论的重要方法，是思维发展的重要途径．阅读下面材料，解答相关问题： 材料：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以利用根的判别式解决问题，如下面例子： 例：求代数式x2+4x+5的最小值； 请利用上述方法解决下列问题： (1)请选择上述一种方法求代数式﹣x2+4x﹣1的最大值； (2)请你根据方法2解决问题：若关于x的二次三项式：x2+ax+4(a为常数)的最小值为﹣5，求a的值． 【答案】解：(1)设﹣x2+4x﹣1＝y， ∴方程x2﹣4x+(y+1)＝0有实数根， ∴b2﹣4ac＝16﹣4(y+1)≥0， 解得：y≤3， 则代数式﹣x2+4x﹣1的最大值为3. (2)设x2+ax+4＝y， ∴方程x2+ax+(4﹣y)＝0有实数根， ∴b2﹣4ac＝a2﹣4(4﹣y)≥0， 解得：， 而x2+ax+4(a为常数)的最小值为﹣5， 则， 解得：a＝6或﹣6． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$