精品解析：福建省福州第一中学2025-2026学年高三上学期第二次质量检测（10月）数学试题

福州一中2026届高三第一学期第二次质量检测 数学试卷 （完卷120分钟 满分150分） （注意：不得使用计算器，并把答案写在答案卷上） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. “，使”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为的单调递减函数，且存在函数使得.若分别是方程和的根，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义在上的函数满足，，则（ ） A. B. C. D. 2为的一个周期 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数在处切线的斜率为 B. 存在实数，使得的图象关于点对称 C. 任意的实数a，b，函数恒有两个极值点 D. 若，为的极值点，则的最小值是2 11. 已知函数和的最小值相等，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 在上单调递增 D. 若直线与和的图象从左到右的交点分别为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________． 13. 点P，Q分别是函数，图象上的动点，则的最小值为______. 14. 已知，且，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且对任意的，恒成立． （1）求函数的解析式； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 16. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 17. 如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． （1）求线段的长度； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 18. 已知函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若恰有两个极值点． ①求 的取值范围； ②证明：． 19. 已知函数. （1）求在处的瞬时变化率； （2）若恒成立，求的值； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2026届高三第一学期第二次质量检测 数学试卷 （完卷120分钟 满分150分） （注意：不得使用计算器，并把答案写在答案卷上） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求集合A，再根据指数函数性质求集合B，进而求交集. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D. 2. 已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由得， 则在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断出，，，即可求解. 【详解】 ，故； ，故，故. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用诱导公式得，然后由余弦的二倍角公式列方程求解即可. 【详解】因为，所以， 由得，所以，解得. 故选：D 5. “，使”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断. 【详解】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C 6. 已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，其中，分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出，然后将所求不等式转化为、，解之即可. 【详解】构造函数，其中，则， 故函数为偶函数， 当且时，都有成立， 不妨设，则， 则，即， 故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数， 因为，则， 当时，由得，即，解得； 当时，由得，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B 7. 函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用奇函数定义及单调性判断，再转化恒成立问题为最值问题，最后应用基本不等式求最小值，计算一元二次不等式即可. 【详解】因为函数，为减函数； 又因为所以为奇函数， 若，不等式恒成立， 则不等式，因为为奇函数，所以， 因为为减函数，所以恒成立， 所以恒成立，所以， ， 当且仅当时取最小值3，所以， 所以，所以实数m的取值范围是. 故选：B. 8. 已知是定义域为的单调递减函数，且存在函数使得.若分别是方程和的根，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将化为便可利用的单调性解决. 【详解】因为，且， 所以， 即. 因为是定义域为的单调递减函数， 所以函数单调递减， 又因， 故，即. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义在上的函数满足，，则（ ） A. B. C. D. 2为的一个周期 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件求得函数的周期，再逐项分析判断. 【详解】对于D，由，得，则2为的一个周期，D正确； 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确. 故选：ACD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数在处切线的斜率为 B. 存在实数，使得的图象关于点对称 C. 任意的实数a，b，函数恒有两个极值点 D. 若，为的极值点，则的最小值是2 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，求出导函数利用导数的几何意义判断即可；对于B，当时，，即可判断；对于C，只需判断是否有两个不同的根即可；对于D，由可得，进而可得，结合不等式即可判断. 【详解】对于A，，所以该函数在处切线的斜率为 A选项正确； 对于B，当时，， 所以存在实数，使得的图象关于点对称，B选项正确； 对于C，，因为， 所以有两个不相等的实数根，即恒有两个极值点，C选项正确； 对于D，由选项C易知， 则， 即当时，取到最小值，D选项错误； 故选：ABC 11. 已知函数和的最小值相等，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 在上单调递增 D. 若直线与和的图象从左到右的交点分别为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别求导后由函数的单调性得到最值相等，可得A正确；结合A由最小值不能同时取得可得B错误；求导后分和讨论导数值可得C正确；当直线与和交点的上方时，不妨设，数形结合由指数函数对数函数的运算性质可得，同理在下方也可得，进而得到D正确. 【详解】对于A，，所以易得在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； ，当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，即，解得，故A正确； 对于B，因为当且仅当时取等号；当且仅当时取等号，两者不能同时取等号，所以，故B错误； 对于C，， 当时，，； 当时，，， 总之，当时，， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，如图所示， 当直线与和交点的上方时，不妨设， 则， ，， ，即，， 同理，，， 所以，即. 同理，当直线与和交点的下方时，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系得到，凑角，由正切和角公式得到答案. 【详解】，即， . 故答案为：. 13. 点P，Q分别是函数，图象上的动点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】当函数在点处的切线与平行时，最小，根据导数的几何意义求出切点，然后代入点到直线的距离求解即可. 【详解】的最小值等价于函数图象上的点到直线的最短距离， 根据导数的几何意义可知，当函数在点处的切线与平行时， 最小，即最小. 因为，所以，令得或（舍）， 所以切点为， 所以的最小值为切点到直线的距离， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 已知，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得，然后根据“1”的代换求解即可得出答案. 【详解】由，且，可得且，则， 故. 当且仅当，且，，， 即，时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且对任意的，恒成立． （1）求函数的解析式； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据恒成立可得恒成立，由一元二次不等式恒成立的求解方法可得不等式组，由此求得，得到； （2）将不等式整理为，令，由一元二次不等式在区间内恒成立求解的方法可得不等式组，解不等式组可求得结果. 【小问1详解】 对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立， 则，即， 又因，所以， 所以； 【小问2详解】 由得：， 即， 对任意的，不等式恒成立， 令， 则，解得：， 实数的取值范围为． 16. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2） 由（1）可知，当时在上单调递增，在上单调递减， 所以， 要证，即证， 因为，因此只需证， 设，，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 所以，所以当时，，从而命题得证． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，对进行分类讨论即得的单调性； （2）由（1）可知当时可求得的最大值，即证，结合，构造函数利用导数即可证明. 【小问1详解】 函数的定义域为，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，由，得，所以在上是单调递增函数， 由，得，所以在上是单调递减函数， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 略 17. 如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． （1）求线段的长度； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【解析】 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【小问1详解】 由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，所以； 【小问2详解】 由（1），，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面的所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即； 则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 18. 已知函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若恰有两个极值点． ①求 的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） （2）①； ②证明：由知，，且 ， 则 ， 则要证，即证， 即， 令， ， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减， 又， 故存在，使，即， 则当时，时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 由，则， 即，即， 即可得证：. 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后结合二次函数的性质与极值点定义计算即可得；结合韦达定理可将证明转化为证明函数在上恒成立，借助导数结合零点的存在性定理可得存在，使，即，即可得，再利用对勾函数性质计算即可得. 【小问1详解】 当时，， ，则 则的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ， 令，由恰有两个极值点， 则有两个不同实数根，且， 则有，即； 略 【点睛】方法点睛：结合韦达定理可将证明转化为证明函数在上恒成立，借助导数结合零点的存在性定理可得存在，使，即，即可得，再利用对勾函数性质计算即可得. 19. 已知函数. （1）求在处的瞬时变化率； （2）若恒成立，求的值； （3）求证：. 【答案】（1）1 （2） （3）证明：由（2）可知， 所以 ， 先证,, 令，则，故在单调递增， 故，故，， 所以， 再证， 设， 则当时，单调递减， 当时，单调递增， 故当，故当且仅当时取等号， 故令，则故， 因此， 故， 综上可知： 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据瞬时变化率的定义求解， （2）根据可知是的一个极大值点，由，可得，接下来利用导数求证对任意的恒成立即可， （3）构造函数以及求导得两个不等式和即可利用，累加求解. 【小问1详解】 则， 故在处的瞬时变化率为 【小问2详解】 设 由条件可知恒成立， 由于，且的图象在定义域内是连续不间断的， 所以是的一个极大值点，则， 又所以解得 下证当时，对任意的恒成立， 令则， 由， 故函数在单调递增，在单调递减， 所以，即，而， 所以当时，， 综上，若恒成立，则， 【小问3详解】 略 【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $