精品解析：河南省实验中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷

河南省实验中学2025-2026学年上期第一次月考 高一数学 时间：150分钟 满分：150分 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列图象能表示以为定义域，为值域的函数的是（ ）. A. B. C. D. 3. ，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 有限集合中元素的个数记作，设都为有限集合，给出下列命题： ①充要条件是； ②的必要条件是； ③不是的子集的充分条件是 ④的充要条件是 其中真命题的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 6. 我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（ ） A. 128个 B. 127个 C. 256个 D. 255个 7. 对任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 8. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则有最小值2 10. 对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（ ） A. B. 若，则 C. 命题“若，则”为假命题 D. 若，则是成立的充分必要条件 11. 已知关于不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 设关于的方程的解为，则 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集为________； 13. 已知函数的定义域为，则的定义域为______. 14. 已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为___________. 四､解答题 15. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知． （1）求x的取值范围； （2）求的取值范围； （3）求的取值范围． 17. 某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q（万件）与广告费x（万元）之间的关系式为.已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. （1）试写出年利润W（万元）与年广告费x（万元）的关系式； （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？ 18. 已知函数 （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数a取值范围． （3），解关于的不等式. 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学2025-2026学年上期第一次月考 高一数学 时间：150分钟 满分：150分 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可. 【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分， 即. 故选：C. 2. 已知，下列图象能表示以为定义域，为值域的函数的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察选项ACD中函数的值域即可排除，观察分析选项B中函数的定义域与值域，从而得解. 【详解】A是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故A错误； B是函数的图象，定义域为，值域为，故B正确； C是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故C错误； D是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故D错误. 故选：B. 3. ，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平方之后化简为相同形式，则大小关系即可直接得到. 【详解】由题意可得均为正数， ，，； 因此可得，即， 故选：C. 4. 已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据已知命题的真假求出相应参数的取值范围，即可求得答案. 【详解】由题意知命题：“”为全称量词命题，是真命题， 故，可得； 结合题意知命题：“”为假命题， 则，即无实数解， 则，解得， 综合上述a需满足， 可知实数的取值范围是， 故选：A 5. 有限集合中元素的个数记作，设都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是； ②的必要条件是； ③不是的子集的充分条件是 ④的充要条件是 其中真命题的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据的定义判断①；根据子集的定义判断②③；根据集合相等判断④； 【详解】解：①，集合与集合没有公共元素，所以充要条件是，故①正确； ②集合中的元素都是集合中的元素，则，故②正确； ③当时，则，由无法得到不是的子集，故③错误； ④集合中的元素与集合中的元素完全相同，但两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，故④错误． 故选：A 6. 我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（ ） A. 128个 B. 127个 C. 256个 D. 255个 【答案】D 【解析】 【分析】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身，先得出集合的子集个数，类比可得不同全子集族、不同子集族个数. 【详解】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身， 一般地，设集合中有个元素，则它有个子集， 我们对所有子集按元素个数分类：， 则集合不同的全子集族个数为个， 从而集合不同的子集族个数为个， 若集合B中有3个元素， 从而B的不同子集族有个. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于对新定义的理解，由此即可顺利得解. 7. 对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过转换主参变量的方法来求得的取值范围. 【详解】依题意，对任意的实数，不等式恒成立， 整理得，令， 则，解得或. 故选：A 8. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】恒成立问题先转化为的最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子转化为，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得. 【详解】已知，则， 因为， 当且仅当时等号成立，由，解得. 故的最小值为. 因为恒成立， 所以，即， 解得，即. 故选：D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则有最小值2 【答案】BC 【解析】 【分析】取，计算得到A错误，根据不等式性质得到B正确，化简得到 C正确，利用均值不等式得到D错误，得到答案. 【详解】取，满足，不满足，A错误； 若，故，故，则，B正确； ，即，成立，C正确； ，，，当即时等号成立，等号成立条件不满足，D错误； 故选：BC. 10. 对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（ ） A. B. 若，则 C. 命题“若，则”为假命题 D. 若，则是成立的充分必要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据集合的新定义结合并集及子集定义分别计算判断各个选项即可. 【详解】对A，，A正确； 对B，若，当时，，，且，当时，假设， 则，故，B错误； 对C，若，则，C错误； 对D，由得，反之也成立，D正确． 故选：AD． 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 设关于的方程的解为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合题意可得和为方程的两根，且，，根据韦达定理可得，，从而判断AB选项；通过化简，进而可判断C选项；令，结合题意可得方程在上的两个解为和，进而得到，可得，利用作差法即可判断D选项. 【详解】因为不等式的解集为， 所以和为方程的两根，且，， 所以，即，， 又，所以， 所以，，故AB正确； 而 ，故C错误； 因为关于的方程的解为， 令，即， 所以关于的方程在上有两个解， 结合题意，可得方程在上两个解为和， 所以， 所以， 又，且， 所以，即， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：解决一元二次不等式解集相关问题，常常转化为对应一元二次方程的根的问题，进而结合韦达定理求解. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集为________； 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式化为整式不等式计算即可. 【详解】由得，即，且 解之得或. 故答案为： 13. 已知函数的定义域为，则的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域的法则列不等式求解即可. 【详解】已知的定义域为，则的定义域为， 故，即，故的定义域为. 故答案： 14. 已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为___________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由一元二次不等式恒成立得、，将问题化为求的最小值，令则，应用基本不等式求最值，注意取值条件. 【详解】由题设，有，又，则， 又，则， 故存在使成立，则， 所以，令，故， 所以，且， 而，仅当，即等号成立， 所以，仅当且时等号成立，故的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据一元二次不等式求参数的符号和大小关系，将题设条件化为求的最小值，结合换元法、基本不等式求最值. 四､解答题 15. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，可得，根据并集的运算即可求解； （2）由，得，对集合分是否为空集进行讨论，结合子集关系即可求解. 【小问1详解】 因为集合，所以， 又，集合，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 当，则，解得， 当，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是，即. 16. 已知． （1）求x的取值范围； （2）求取值范围； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）根据不等式的性质即可求得答案； （3）设，解方程组可求得的值，再结合不等式性质，即可求得答案. 【小问1详解】 由于， 将两不等式相加可得； 【小问2详解】 由，得， 结合，可得， 即； 【小问3详解】 设， 则，解得， 故， 由于，故， 故， 即. ， 17. 某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q（万件）与广告费x（万元）之间的关系式为.已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. （1）试写出年利润W（万元）与年广告费x（万元）的关系式； （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？ 【答案】（1）；（2）当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，产品的生产成本为万元，得到每万件销售价，进而得到年销售输入，即求解年利润的表达式； （2）令，则，利用基本不等式求解最值，即可得到结论. 【详解】（1）由题意可得，产品的生产成本为万元，每万件销售价为：， ∴年销售收入为， ∴年利润 . （2）令，则 . ∵,∴，即， 当且仅当，即时，有最大值42，此时. 即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元. 18. 已知函数 （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数a取值范围． （3），解关于的不等式. 【答案】（1），； （2） （3）答案见解析； 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数关系代入方程可解得，； （2）将不等式整理可得，利用基本不等式计算可得即可； （3）对参数的取值进行分类讨论，利用一元二次不等式解法即可得出对应解集. 【小问1详解】 由的解集为可得3是方程的一个实数根， 因此，解得； 所以的另一实数根为1，可得； 即实数的值为，； 【小问2详解】 由可得，即； 又因为，可得恒成立； 易知当时, , 当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值， 所以 【小问3详解】 不等式即为； 整理可得； 当时，不等式为，易知其解集为； 当时，不等式可分解为，其方程对应的两根分别为； 若，不等式等价为，此时不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 综上可知，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数满足，求的最小值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意把代入式中可求值； （2）将代入方程可求解； （3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 原方程可化为： 即： ，即，解得：． 【小问3详解】 ，当且仅当，即时，等号成立， 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $