第4章 一元一次方程（复习课件）数学苏科版2024七年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元一次方程的概念、解法及应用，通过单元知识图谱将等式性质、方程概念、解法步骤与实际应用串联，结合考点串讲构建完整知识网络，凸显知识点内在逻辑。 其亮点在于题型剖析采用例题与变式结合，如古代数学问题、销售问题等应用题型，培养学生模型意识与运算能力。针对训练分层设计，从基础到综合，助力学生巩固知识，教师可直接用于复习教学，提升效率。

单元复习课件 第4章 一元一次方程 苏科版新教材·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 理解等式概念、基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形；理解方程、方程的解的相关概念，知道方程与等式的关系与区别； 3.能根据实际问题建立方程模型，能利用一元一次方程解决简单的实际问题，并检验所得结果是否合理。 2.理解一元一次方程的概念，掌握一元一次方程的基本解法和步骤； 单元学习目标 方程、解 一元一次方程 概念 一元一次方程 解法 等式与方程 等式基本性质 只含有一个未知数 未知数的次数都是1 去分母 同加减 同乘除 解方程 去括号 移项 系数化为1 合并 一元一次方程应用 步骤 检验 单元知识图谱 考点一、等式概念和基本性质 1.等式：表示 关系的式子； 2.等式的基本性质： 基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式； 符号语言： 基本性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式； 符号语言： 相等 如果那么 如果那么 如果,那么 考点串讲 考点二、方程与方程的解、解方程 1.方程：含有 的 叫做方程； 2.方程的解：能使 相等的 叫做方程的解； 3.解方程：求 的过程叫做解方程。 未知数 , 等式 方程两边的值 未知数的值 方程的解 考点串讲 考点三、一元一次方程概念、解法 1.一元一次方程：等号两边都是 ，且只含有 ，未知数的次数都是 的方程，叫做一元一次方程． 强调： 判断一个方程是不是一元一次方程，判断三个条件： （1）只含 ； （2）等号两边都是 ； （3）未知数的次数都是 。 2.一元一次方程的解法步骤： （1） （2） （3） （4） （5） 整式 , 一个未知数 1 一个未知数 整式 1 去分母 去括号 移项 合并 系数化为1 考点串讲 考点四、一元一次方程的应用 1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 2.常用数量关系： 销售问题： =利润、 折扣=售价 折扣 =进价 =利润 时间=路程 工作时间=工作总量1 3.找等量关系的常用方法有：画示意图、列表等 审题→设未知数→列方程→解方程→检验→答案 , 进价 标价 标价 进价 利润率 速度 工作效率 考点串讲 题型一、等式的基本性质判断 例1：下列变形中，不正确的是 ( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【详解】解：A、若，则，正确，不符合题意； B、若，则，正确，不符合题意； C、当时，与无意义．错误，符合题意； D、若，则，正确，不符合题意． 故选：． C 题型剖析 题型一、等式的基本性质判断 变式：下列运用等式的基本性质变形错误的是 ( ) A.由得 B.由得 C.由得 D.由得 【详解】解：A、由，当时，得，原选项变形错误，符合题意； B、由得，原选项变形正确，不符合题意； C、由得，原选项变形正确，不符合题意； D、由得，原选项变形正确，不符合题意； 故选：A． A 题型剖析 题型二、一元一次方程的概念 例2：下列方程中，是一元一次方程的是 ( ) A.B. C. D. 【详解】解：A．，未知数的次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； B． ，含有2个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C．，含有2个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D．，符合一元一次方程的定义，符合题意． 故选D． D 题型剖析 题型二、一元一次方程的概念 变式：下列式子中，是一元一次方程的是 ( ) A. B. C D. 【详解】解：A、属于一元一次方程，符合一元一次方程的定义，即A项符合题意， B、含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义，即B项不符合题意， C、不是整式方程，不符合一元一次方程的定义，即C项不符合题意， D、未知数的次数不是1，不符合一元一次方程的定义，即D项不符合题意， 故选：A． A 题型剖析 题型三、根据方程的解求参数的值 例3 .是关于的一元一次方程的解，则的值为 ( ) A B C.1 D.2 【详解】解：是关于的一元一次方程的解， ∴将代入，得：， ， ． 故选：A． A 题型剖析 题型三、根据方程的解求参数的值 变式.关于的方程的解是，则的值为 ( ) A B.20 C.14 D 【详解】解：把代入方程得： ， ； 故选：C． C 题型剖析 题型四、一元一次方程的解法 例4：解方程： ( (2) 【详解】(1)解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 【详解(2)解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 题型剖析 题型四、解一元一次方程 变式：解下列方程： (； (2)． 【详解】 (1)解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 未知数系数化1，得 ； 【详解】 (2)解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 未知数系数化1，得． 题型剖析 题型五、一元一次方程的应用：古代数学问题 例4： 《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”(尺、寸是长度单位，1尺=10寸)．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 【分析】设长木长为尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺”可得绳长为尺；根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可得绳长为尺；列方程求解可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 答：长木长6.5尺． 题型剖析 题型五、一元一次方程的应用：古代数学问题 变式： 《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．求人数和羊价各是多少？请你用一元一次方程的知识解决． 【分析】可设买羊人数为未知数，等量关系为：6×买羊人数+45=8×买羊人数+3，把相关数值代入可求得买羊人数，代入方程的等号左边可得羊价． 【详解】解：设有x个人，根据题意，得： ， 解得：， ， 答：人数有21人，羊价是171元． 题型剖析 题型六、一元一次方程的应用：销售问题 例5：某品牌店铺销售一款扫地机器人，按统一标价打八折销售该款扫地机器人，可获利400元，其利润率为20%．如果按统一标价打九折销售该款扫地机器人，求获得的利润． 【分析】设标价为元，则进价为元，根据可获利400元，其利润率为20%列出方程，解方程求出，进一步即可求出答案． 【详解】解：设标价为元，则进价为元，根据题意， 得， 解得， ． ． 答：如果按统一标价打九折销售该款扫地机器人，获得的利润为700元． 题型剖析 题型六、一元一次方程的应用：销售问题 变式：如图，小文和小红相约到图书大世界去买书，请根据他们的对话内容，求出小红上次购买书籍的原价． 【详解】解：设小红上次购买书籍的原价为元， 依题意，列方程得 解得 答：小红上次购买书籍的原价是160元． 题型剖析 题型七、一元一次方程的应用：工程问题 例6：一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天．(1)甲、乙合作需要 天完成；(2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及工作总量、工作时间、工作效率等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． (1)设甲乙合作需要x天完成，因为甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天，则，解出即可作答． (2)依题意，设还需要y天，因为乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成，所以，解出即可作答． 【详解】(1)解：设甲乙合作需要x天完成， 依题意：， 解得 ， 所以需要 天； 【详解(2)解：设还需要天： 依题意，， 解得， 故还需要2天． 题型剖析 题型七、一元一次方程的应用：工程问题 变式：为庆祝校运会开幕，七(2)班学生接受了制作小旗的任务，原计划一半的同学参加制作，每天制作40面，完成了 以后，全班同学一起参加，结果比原计划提前一天半完成任务，假设每人制作效率相同，问共制作小旗多少面？ 【分析】本题考查了一元一次方程的实际问题，解答时根据实际比计划提前一天半完成任务为等量关系建立方程是关键．设共制作小旗面，则原计划的时间为天，再根据条件求出实际完成任务的时间，由实际比计划提前一天半完成任务建立方程，求出其解即可； 【详解】解：设共制作面， 由题意得 ， 解得：， 答：共制作小旗180面． 题型剖析 题型八、一元一次方程的应用：行程问题 例6：从甲地到乙地，长途汽车原需行驶7个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需4个小时即可到达．求汽车在高速公路上行驶的平均速度． 【详解】解：设汽车在高速公路上行驶的平均速度为x千米/小时，则原来的车速为千米/小时． 列方程：， 展开并整理方程：， 即， 移项得：， ． 答：汽车在高速公路上行驶的平均速度为80千米/小时． 题型剖析 题型八、一元一次方程的应用：行程问题 变式：已知甲、乙两人在一个200米的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分成相等的4段，即两条直道和两条弯道的长度相同，甲平均每秒跑4米，乙平均每秒胞6米，甲、乙两人分别从A、C两处同时相向出发(如图)，试解答下列问题： (1)首次相遇后，又经过多少时间他们第2次相遇，在哪一段跑道上？ (2)他们第9次相遇时，在哪一段跑道上？ (3)若甲乙两人在首次相遇后，甲乙两人决定同方向练习跑步，问甲乙两人经过多少时间再次相遇，在哪一段跑道上？ 【详解】(1)设秒后两人首次相遇，依题意得到方程 解得，甲跑的路程=4×10=40(米)． ∴10秒后两人首次相遇，此时他们在直道AB上，且离B点10米的位置． 设秒后两人再次相遇，依题意得到方程 ，解得．甲跑的路程=4×20=80(米)． 答∶20秒后两人再次相遇，此时他们在直道DC上，且离C点20米的位置． (2)第1次相遇，总用时10秒，第2次相遇，总用时10+20×1，即30秒，第3次相遇，总用时10+20×2，即50秒，第9次相遇，总用时10+20×8，即170秒，则此时甲跑的圈数为170×4÷200=3.4，因为200×0.4=80(米)，所以此时甲在BC弯道上，且离C点20米的位置． (3)设甲乙两人经过z秒再次相遇，依题意得到方程，解得 即100秒后再次相遇，甲跑的路程=4×100=400(米)， 即甲在它们第一次相遇后又跑了2圈，此时他们在直道AB上，且离B点10米的位置． 题型剖析 题型九、一元一次方程的新定义问题 例6：对于有理数定义一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【详解】(1)解； (2)解：根据题意，得， 即， 解得 ． 题型剖析 题型九、一元一次方程的新定义问题 变式：定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； 【详解】(1)解：方程与方程是“和谐方程”，理由如下：由，解得； 由，解得； ，∴方程与方程是“和谐方程”． (2)解：由，解得； 由，解得； ∵方程与方程是“和谐方程”， ，解得． 题型剖析 1.下列运用等式性质进行的变形，正确的是 ( ) A.如果，那么 B.若，则 C.如果，那么 D.如果，那么 【详解】解：A、如果，那么，故错误，不符合题意； B、若，当时，则，故本选项错误，不符合题意； C、如果，且，那么，故错误，不符合题意； D、如果，那么，故本选项正确，符合题意； 故选：D D 针对训练 2.下列方程中，解为的是 ( ) A. B. C D B 【详解】解：A、当时，左边=3，右边，则左边≠右边，即该方程的解不是，故本选项不符合题意； B、当时，左边=0，右边=0，则左边=右边，即该方程的解是，故本选项符合题意； C、当时，左边 ，右边=0，则左边≠右边，即该方程的解不是，故本选项不符合题意； D、当时，左边=1，右边=0，则左边≠右边，即该方程的解不是，故本选项不符合题意； 故选：B 针对训练 3.若方程是关于的一元一次方程，则a的值为 ( ) A.±1 B.2 C.±2 D.-1 D 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， 解得， 故选：D． 针对训练 4.解方程 (1 (2) 【详解】 (1)解：， ， ， ； 【详解】 (2)解：， ， ， ， ， ． 针对训练 5解下列方程： (1)； (2) 【详解】 (1)解： ； 【详解】 (2)解： ． 针对训练 6.定义：若两个一元一次方程的解互为相反数，则称这两个方程互为和谐方程． (1)判断一元一次方程和是否互为和谐方程； (2)如果关于的方程与互为和谐方程，求a的值． 【详解】(1)解：是，理由如下： ， ， ， ， ∵3与是互为相反数， ∴方程和是互为和谐方程； 【详解(2)解： ，解得， ，解得 ， ∵关于的方程与互为和谐方程，， 解得. 针对训练 7.元旦期间，某商场进行促销活动，把一件进价为160元的毛衣，按照标价的八折出售后仍可获利20%，这件毛衣的标价是多少元？(列一元一次方程解答) 【详解】解：设这件毛衣的标价为元，根据题意，得： ，             解得， 答：这件毛衣的标价是240元． 针对训练 8. 《小彬家和小强家在同一条道路的路边，两家相距200m，他们相约每天坚持晨跑．一天早晨，小彬与小强7:00同时从家出发沿着门前的道路向东匀速跑去，小彬的速度为180m/min，小强的速度为130m/min，小彬用多长时间可以追上小强？ 【详解】解：设小彬用min追上小强，由题意得： ． 解这个方程，得． 因此，小彬用4min追上小强． 针对训练 9.一条地下管线由甲工程队单独需要铺设12天，由乙工程队单独铺设需要24天． (1)甲先做3天，甲乙再合作，还需要几天完成？ (2)若甲每天的费用是800元，乙每天的费用是600元，甲乙工程队先后铺设完地下管线正好用了18天，花费12000元，问甲需要干几天？ 【详解】(1)解：设铺好这条管线需要x天，列方程得： ， 解， 答：铺好这条管线还需要6天完成． (2)解：设甲需要干天，则乙需要干天， ， 解得：， 答：甲需要干6天． 针对训练 10. 《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有百鹿进城，每家取一鹿，不尽，又三家合取一鹿，恰尽”．问：有多少户人家？大意为：有100头鹿，首先每户分一头鹿，发现还有剩余，将剩下的鹿给每3户分一头，恰好分完，问共有多少户人家？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．设共有x户人家，根据“有100头鹿，首先每户分一头鹿，发现还有剩余，将剩下的鹿给每3户分一头，恰好分完”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设共有户人家， ， 解得， 答：共有75户人家． 针对训练 ✅ 知识构建：一元一次方程 一元一次方程的概念→解法→应用 ✅ 思想方法： 转化思想方法 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $