专项突破03 垂径定理—圆的对称性（知识技巧点拨+6种高频考察题型 共30题）期中培优讲练-2025-2026学年苏科版数学九年级上册考前冲刺

专项突破03 垂径定理—圆的对称性 （知识技巧点拨+6种高频考察题型 共30题） 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 2 题型1：利用垂径定理求值 2 题型2：利用垂径定理求平行弦问题 7 题型3：利用垂径定理求同心圆问题 13 题型4：利用垂径定理求解其他问题 19 题型5：垂径定理的推论 28 题型6：垂径定理的实际应用 37 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【要点提示】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论；(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 3垂径定理的拓展：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 【要点提示】在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角形”，通过勾股定理求值或证明. 题型1：利用垂径定理求值 1．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，为的直径，弦交于点E，将沿弦折叠，点C恰好落在的中点，若，则弦为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理． 连接，令的中点为，根据折叠的性质可得，，即可求得，根据垂径定理可得，勾股定理可求得，即可求解． 【规范解答】解：连接，令的中点为，如图， ∵将沿弦折叠，点C恰好落在的中点上， ∴，， 又∵， ∴， 则， 又∵， ∴， ∴， 故， ∵CD为的直径，弦交CD于点E， ∴， 在中，， ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，是的直径，于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了垂径定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用垂径定理成为解题的关键．由垂径定理可得，根据直角三角形可得，然后运用勾股定理求得，进而完成解答． 【规范解答】解：是的直径，， ，． ，， ． ． ． ． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，是的直径，弦于点M，若，则半径的长为 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查垂径定理，连接，设的半径是，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【规范解答】解：连接，设的半径是，则，， ∵是的直径，弦于点M， ， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得∶， 即的半径是， 故答案为：5． 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）月亮门，又称月门、月光门、圆洞门，是园林设计中常见的一种元素．它不仅可以作为院落之间的通道，还能透过门洞引入另一侧的景观，营造出一种“庭院深深”的空间感．如图，是公园内常见的圆形“月亮门”示意图，已知门的下部宽度，门的最高点到的距离，求这个圆形“月亮门”的半径． 【答案】这个圆形“月亮门”的半径为． 【思路引导】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．通过构建直角三角形，利用垂径定理和勾股定理来求解圆的半径． 【规范解答】解：如图，连接， 设圆的半径为． ∵，，， ∴，． 在中，根据勾股定理， ∴． 展开得． 解得． 答：这个圆形“月亮门”的半径为． 5．（2023九年级上·浙江·竞赛）如图，的半径为5，四边形内接于，且于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查垂径定理与勾股定理，解一元二次方程，过作于，于，连接，，则四边形为矩形，得到，，设，，则，， 在和中，根据勾股定理得到，整理得，再代入解得，然后代入各个线段计算即可． 【规范解答】解：过作于，于，连接，，则， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，， ∵， ∴，， 中，，则， 中，，则， ∴， 整理得， 把代入得， 解得， 当时，，不合题意； 当时，，此时，，，， ∴，， ∴， 故选：A． 题型2：利用垂径定理求平行弦问题 6．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【答案】A 【思路引导】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【规范解答】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则， ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， 同理，， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：A． 7．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案． 【规范解答】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确； 如图所示，过点O作于D，连接， ∴， ∴， ∵， ∴点B到的距离为，故淇淇说法错误， 故选：A． 8．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析； (4)作图见解析． 【思路引导】（）找中点，连接，交与点； （）先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可； （）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点； （）根据网格特征即可； 此题考查了无刻度直尺作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理的应用． 【规范解答】（1）如图，找中点，连接，交与点， ∴点即为所求； （2）如图，先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可， ∴点即为所求； （3）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点， ∴点即为所求； （4）如图，已知图中， 延长交于点， ∴，根据网格作高的特点，作的高， ∴，延长交于点， 根据同弧所对的圆周角相等，则， ∴， ∴， ∴ ， ∴点即为所求． 9．（22-23九年级上·天津和平·期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【思路引导】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离． 【规范解答】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图， ， ， ，， 而，， ，， 在中，，； 在中，，； 当圆点在、之间，与之间的距离； 当圆点不在、之间，与之间的距离； 所以与之间的距离为7或1． 故选：C． 【考点剖析】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用． 10．（24-25九年级上·贵州安顺·期末）已知的半径长为，弦与弦平行，，，求间的距离． 【答案】1或7 【思路引导】先根据勾股定理求出OF=4，OE=3，再分AB、CD在点O的同侧时，AB、CD在点O的两侧时两种情况分别计算求出EF即可. 【规范解答】如图，过点O作OE⊥CD于E，交AB于点F， ∵， ∴OE⊥AB， 在Rt△AOF中，OA=5，AF=AB=3，∴OF=4， 在Rt△COE中，OC=5，CE=CD=4，∴OE=3， 当AB、CD在点O的同侧时，、间的距离EF=OF-OE=4-3=1； 当AB、CD在点O的两侧时，AB、CD间的距离EF=OE+OF=3+4=7， 故答案为：1或7.    【考点剖析】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，在圆中通常利用垂径定理和勾股定理求半径、弦的一半、弦心距三者中的一个量. 题型3：利用垂径定理求同心圆问题 11．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，． (1)求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求出（1）中所作圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了垂经定理的应用和基本作图，用到的知识点是线段垂直平分线的作法与性质、垂径定理、勾股定理的应用，基本作图需要熟练掌握． （1）在圆形残片上作弦的垂直平分线，交于点P，连接，以P为圆心，为半径的圆为所求残片的圆． （2）先设圆P的半径为r，根据和已知条件求出，，在中，根据，得出，求出r即可． 【规范解答】（1）解：作图如下， （2）解：设圆P的半径为r， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 12．（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【思路引导】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【规范解答】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 13．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 【答案】C 【思路引导】连接OB，OC，作OD⊥BC，利用垂径定理和特殊角的三角函数可求得∠BOD=60°，从而求得答案.注意弦所对的圆周角有锐角和钝角两种情况. 【规范解答】①当△ABC时锐角三角形时， 连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D， ∴  ， ∵OB=2 ∴ ∴∠BOD=60° ∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°， ∵=， ∴； ②当△ABC时钝角三角形时，如图， 由①可知∠E=60°， ∵四边形ABEC是圆内接四边形， ∴∠E+∠A=180°， ∴∠A=180°-60°=120°. 故∠A的度数为60°或120°. 故答案为：C 【考点剖析】本题考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．正确作出辅助线是解题的关键. 14．（24-25九年级·浙江杭州·）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 【答案】16 【思路引导】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论． 【规范解答】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD ∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD， ∴OM=AP 根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点， ∴S矩形APND=S矩形ABCD ∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长 ∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD ∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大 过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号） ∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4 故S△AOD的最大值为4 ∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16 故答案为：16． 【考点剖析】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键． 15．（2025·广西钦州·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【思路引导】（1）根据，，再利用线段的和差即可求解； （2）过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； （3）连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型4：利用垂径定理求解其他问题 16．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)的半径为3； (2)见解析． 【思路引导】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出，结合，可得出，在中，利用勾股定理求解即可； （2）过O作于F，利用垂径定理等可得出，然后利用定理证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证； 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为3； （2）证明：过O作于F， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键． 17． （24-25九年级上·甘肃定西·期末）在数学活动课上，顾老师提出了一个问题：如图，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： ①连接，作线段的垂直平分线，交于点E； ②连接，作线段的垂直平分线，交于P，则点P即所求． (1)请你按小亮的步骤画出图形； (2)请你利用图形，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了尺规作图，作垂直平分线及垂径定理，解决本题的关键是熟练掌握作垂直平分线及垂径定理． （1）按小亮的步骤画出图形即可； （2）利用垂径定理证明即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，点P即所求． （2）证明：如图， ，， ， ，， ， 18．（24-25九年级上·全国·期末）如图，⊙P与y轴相切于点，与x轴相交于点，．直线恰好平分的面积，那么的值是 ． 【答案】 【思路引导】连接，，过点作于点，根据切线的性质可知轴，故可得出四边形是矩形，所以，再求出的长，由垂径定理可得出的长，故可得出的长，进而得出点坐标，再把点坐标代入直线即可得出结论． 【规范解答】解：连接，过点作于点， ∵与轴相切于点，∴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，∴， ∴， ∴， ∴，∵直线恰好平分的面积， ∴点在直线上， ∴，解得． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出点坐标即可得出结论． 19．（21-22九年级上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，弦于点F，与交于点G．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【思路引导】（1）根据垂径定理以及圆周角定理可得，进而得到，再根据等腰三角形的判定可得； （2）利用圆心角、弦、弧之间的关系以及垂径定理证得，可得，再结合三角形中位线定理可得答案． 【规范解答】（1）证明：∵点为的中点， ∴， 又∵弦，是直径， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作，垂足为，连接，，    ∵， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴，， 则， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查垂径定理、圆周角定理以及圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系定理，掌握垂径定理、圆周角定理，圆心角、弦、弧之间的关系定理以及等腰三角形的判定方法、全等三角形的判定及性质、三角形中位线定理是正确解答的前提． 20．（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）【问题提出】 (1)如图1，，在内部有一点P，M、N分别是、上的动点，分别作点P关于边、的对称点，，连接，与、相交于M、N，则此时的周长最小，且顺次连接O，，后的形状是等腰直角三角形．理由如下： ∵点P关于边、的对称点分别为，， ∴，，，， ∴ 即周长的最小值为 ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形． 学以致用：若，在内部有一点P，分别作点P关于边、的对称点，，顺次连接O，，，则的形状是__________三角形． (2)【问题探究】如图2，在中，，，点D是的中点，若，请用含有h的代数式表示的面积． (3)【问题解决】如图3，在四边形内有一点P，点P到顶点B的距离为10，，点M、N分别是、边上的动点，顺次连接P、M、N，使在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)等边 (2) (3)存在， 【思路引导】（1）根据对称性，得到，，，进而得到：，即可得到为等边三角形； （2）作的垂直平分线，交于点，连接，根据中垂线的性质，得到，，推出是含的直角三角形，用分别表示出，再利用，求出，进而求出的面积． （3）如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交，于点M，N，此时的周长最小，可以求出，由推出最小时，的值最大，此时的面积最大，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵点P关于边OA、OB的对称点分别为，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； 故答案为：等边； （2）解：∵，，点D是的中点， ∴，，， 作的垂直平分线，交于点，连接， 则：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在；理由如下： 如图，以点为圆心，为半径画圆，分别作点关于，的对称点，，则点，在上，连接，分别交，于点，，此时的周长最小． ∴，，， ∵， ∴，且， ∴， 过点作于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∵为定值， ∴最小时，的值最大，此时的面积最大， 过点作于点，则  ， ∴当时，即O点与Q点重合时，的值最大， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 此时是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴的最大值． 【考点剖析】本题考查轴对称，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形、隐圆等知识．通过构造轴对称，利用轴对称进行求解，是解题的关键． 题型5：垂径定理的推论 21．（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）如图，在中，弦与半径交于点． (1)的半径为5， ，，垂足为E，则______． (2)在中，，，，则______． (3)的半径为5，，垂足为E，，则弦=______． (4)，，弦，求的半径． 【答案】(1) (2)5 (3)6 (4)5 【思路引导】本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）连接，先由垂径定理求，再对运用勾股定理求解即可； （2）连接，利用垂径定理的推论得到，再对运用勾股定理求解即可； （3）连接，由垂径定理得，然后对运用勾股定理求解，即可求解； （4）连接，由垂径定理得，设半径为，则，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：连接， ∵，过圆心， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． （2）解：连接， ∵，过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：5． （3）解：连接， ∵，过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （4）解：连接， ∵，过圆心， ∴， 设半径为，则， ∴在中，由勾股定理得， 解得， ∴的半径为5． 22．（2025·天津东丽·模拟预测）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图（1）中画弧的中点D； (2)如图（2），延长至格点F处，连接． ①直接写出∠F的度数； ②P为上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，画出线段，并简要说明． 【答案】(1)作图见解析 (2)① ②作图见解析，理由见解析 【思路引导】对于（1），先取的中点，连接，延长交于点D，根据垂径定理可得点D是的中点； 对于（2），①先证明是等腰直角三角形，即可得出答案； ②取点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并交于点Q，线段即为所求作. 【规范解答】（1）解：如图所示； （2）解：①∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴. 故答案为：45； ②取点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并交于点Q，线段即为所求作.如图所示. 理由如下：取的中点N，连接，则，结合，可得四边形是正方形， ∴. ∵直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将绕点B旋转得到. 【考点剖析】本题主要考查了尺规作图，垂径定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理是求线段长的常用方法，应该熟练掌握. 23．（24-25九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，在以为圆心的半圆中，是直径，点是弧的中点，连接，平分交于点，连接，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了垂径定理,圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理,等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 先利用垂径定理的推论得到，再根据角平分线的定义得到，则根据圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的性质得到的度数． 【规范解答】解：点是弧的中点， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：B． 24．（24-25九年级上·天津河西·期末）如图，为的直径，C，D为上的两点，且为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．根据垂径定理的推论，即可求得：，由，即可求得的度数，又由，即可求得的度数 【规范解答】解：∵为的直径，C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 25．（2025·河南焦作·三模）【新知引入】定义：如图（1），点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，则___________． 【探究证明】 （2）如图（2），在中，，M，N在线段上，且．求证：点M，N是线段的勾股分割点． 【拓展应用】 （3）如图（3），在中，圆心角，P是上一动点，连接，分别作的垂直平分线，分别交直线于点C，D，已知，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出线段的长．    【答案】（1）或；（2）见解析；（3）或 【思路引导】（1）分是直角三角形的斜边和直角边两种情况，分运用由勾股分割点的求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，得到，在中，，即 ，即可得到点，是线段的勾股分割点； （3）分点P在上方和下方两种情况讨论，连接，当点P在上方，根据题意易得都是等腰三角形，同理（2）可证点C，D是线段的勾股分割点，得到，证明，推出，设，则，利用勾股定理即可建立一元二次方程求解即可，点P在下方，同理求解即可． 【规范解答】（1）解：∵点，是线段的勾股分割点， ∴分两种情况： 当为斜边时，． 当为斜边时，． ∴或； 故答案为：或； （2）证明： ， ， 将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，．    ∵，， ∴，即， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵ ， ∴在中，，即 ， ∴点，是线段的勾股分割点． （3）解：如图，当点P在上方时，连接，    ∵点在上， ∴是的内接三角形， ∴分别在的垂直平分线上， ∵， ∴都是等腰三角形， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵圆心角， ∴， 由（2）同理可证点C，D是线段的勾股分割点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则． ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 当点P在下方时，如图，    ∵， ∴， 同理得点A，B是线段的勾股分割点， ∴， 同理上一种情况得， 设，则， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴； 综上，的长为或． 【考点剖析】本题属于几何变换综合题，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，正确添加辅助线、构造全等三角形解决问题是解题的关键． 题型6：垂径定理的实际应用 26．（24-25九年级上·河北保定·期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； (2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是由垂径定理得到，由垂径定理、勾股定理列出关于的方程． （1）由垂径定理，即可得到答案； （2）由勾股定理得到，求出即可得到这个月亮门的最大宽度． 【规范解答】（1）解：经过圆心O，且弦， ； （2）解：连接， ∵， ∴， 设的半径为m，则， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴这个月亮门的最大宽度为． 27．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，求的半径长． 【答案】的半径为米 【思路引导】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，连接交于，则米，米，，由垂径定理可得米，设的半径为米，则米，再由勾股定理计算即可得解． 【规范解答】解：如图，连接，连接交于点， 由题意得，米，米，， ∴米， 设的半径为米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为米． 28．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，破残的圆形轮片上有三点A，B，C． (1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）连接交于点D．连接．利用勾股定理求出，再利用勾股定理构建方程求解． 【规范解答】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：连接交于点D．连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， 在中，， 解得． 29．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 【答案】 【思路引导】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．连接，连接交于点H，设，根据列方程即可求得长度，进而得到半径． 【规范解答】 解：设所在圆的圆心为O，连接，连接交于点H， 设， 最高点E到地面的距离为6mm， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 30．（2024·浙江温州·模拟预测）某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，为了确定大货车通过公路隧道的最大高度，道路交通学习小组展开了以下研究．如图1，经测量得，，为了确定与弧形拱半径的长度，学习小组找到一根长的笔直杆子，将杆子一端置于点C处，另一端置于上点E处，．如图2，调整杆子位置，直至一端在上的点G处，另一端在圆弧上点F处，，如图3，某一集装箱大货车宽为，则该大货车的最大高度（包括货物） ． 【答案】 【思路引导】如图1所示，过点E作于T，则四边形是矩形，可得，利用勾股定理可得，则；如图2所示，设所在圆的圆心为O，过点作交于点，交于点，过点O作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形，可得，，则，设，则，，由勾股定理可得方程，解得，则，进而可得；如图3所示，构造，且，过点作于点，于E，延长交于L，连接，由垂径定理得到，则，由图2可知，，证明四边形是矩形，得到，，则大货车的最大高度（包括货物）为． 【规范解答】解：如图1所示，过点E作于T， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 如图2所示， 设所在圆的圆心为O，过点作交于点，交于点，过点O作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴； 如图3所示，    构造，且，过点作于点，于E，延长交于L，连接， ∴， ∴， 由图2可知，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴大货车的最大高度（包括货物）为， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形和矩形，从而求出所在圆的半径以及线段的长是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破03 垂径定理—圆的对称性 （知识技巧点拨+6种高频考察题型 共30题） 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 2 题型1：利用垂径定理求值 2 题型2：利用垂径定理求平行弦问题 3 题型3：利用垂径定理求同心圆问题 5 题型4：利用垂径定理求解其他问题 7 题型5：垂径定理的推论 10 题型6：垂径定理的实际应用 12 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【要点提示】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论；(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 3垂径定理的拓展：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 【要点提示】在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角形”，通过勾股定理求值或证明. 题型1：利用垂径定理求值 1．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，为的直径，弦交于点E，将沿弦折叠，点C恰好落在的中点，若，则弦为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，是的直径，于点，若，，则的长为 ． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，是的直径，弦于点M，若，则半径的长为 ． 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）月亮门，又称月门、月光门、圆洞门，是园林设计中常见的一种元素．它不仅可以作为院落之间的通道，还能透过门洞引入另一侧的景观，营造出一种“庭院深深”的空间感．如图，是公园内常见的圆形“月亮门”示意图，已知门的下部宽度，门的最高点到的距离，求这个圆形“月亮门”的半径． 5．（2023九年级上·浙江·竞赛）如图，的半径为5，四边形内接于，且于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型2：利用垂径定理求平行弦问题 6．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 7．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 8．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 9．（22-23九年级上·天津和平·期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 10．（24-25九年级上·贵州安顺·期末）已知的半径长为，弦与弦平行，，，求间的距离． 题型3：利用垂径定理求同心圆问题 11．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，． (1)求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求出（1）中所作圆的半径． 12．（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 13．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 14．（24-25九年级·浙江杭州·）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 15．（2025·广西钦州·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 题型4：利用垂径定理求解其他问题 16．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 17． （24-25九年级上·甘肃定西·期末）在数学活动课上，顾老师提出了一个问题：如图，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： ①连接，作线段的垂直平分线，交于点E； ②连接，作线段的垂直平分线，交于P，则点P即所求． (1)请你按小亮的步骤画出图形； (2)请你利用图形，求证：． 18．（24-25九年级上·全国·期末）如图，⊙P与y轴相切于点，与x轴相交于点，．直线恰好平分的面积，那么的值是 ． 19．（21-22九年级上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，弦于点F，与交于点G．    (1)求证：； (2)若，求的长． 20．（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）【问题提出】 (1)如图1，，在内部有一点P，M、N分别是、上的动点，分别作点P关于边、的对称点，，连接，与、相交于M、N，则此时的周长最小，且顺次连接O，，后的形状是等腰直角三角形．理由如下： ∵点P关于边、的对称点分别为，， ∴，，，， ∴ 即周长的最小值为 ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形． 学以致用：若，在内部有一点P，分别作点P关于边、的对称点，，顺次连接O，，，则的形状是__________三角形． (2)【问题探究】如图2，在中，，，点D是的中点，若，请用含有h的代数式表示的面积． (3)【问题解决】如图3，在四边形内有一点P，点P到顶点B的距离为10，，点M、N分别是、边上的动点，顺次连接P、M、N，使在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 题型5：垂径定理的推论 21．（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）如图，在中，弦与半径交于点． (1)的半径为5， ，，垂足为E，则______． (2)在中，，，，则______． (3)的半径为5，，垂足为E，，则弦=______． (4)，，弦，求的半径． 22．（2025·天津东丽·模拟预测）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图（1）中画弧的中点D； (2)如图（2），延长至格点F处，连接． ①直接写出∠F的度数； ②P为上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，画出线段，并简要说明． 23．（24-25九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，在以为圆心的半圆中，是直径，点是弧的中点，连接，平分交于点，连接，则的度数是（ ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·天津河西·期末）如图，为的直径，C，D为上的两点，且为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 25．（2025·河南焦作·三模）【新知引入】定义：如图（1），点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，则___________． 【探究证明】 （2）如图（2），在中，，M，N在线段上，且．求证：点M，N是线段的勾股分割点． 【拓展应用】 （3）如图（3），在中，圆心角，P是上一动点，连接，分别作的垂直平分线，分别交直线于点C，D，已知，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出线段的长．    题型6：垂径定理的实际应用 26．（24-25九年级上·河北保定·期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； (2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 27．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，求的半径长． 28．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，破残的圆形轮片上有三点A，B，C． (1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 29．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 30．（2024·浙江温州·模拟预测）某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，为了确定大货车通过公路隧道的最大高度，道路交通学习小组展开了以下研究．如图1，经测量得，，为了确定与弧形拱半径的长度，学习小组找到一根长的笔直杆子，将杆子一端置于点C处，另一端置于上点E处，．如图2，调整杆子位置，直至一端在上的点G处，另一端在圆弧上点F处，，如图3，某一集装箱大货车宽为，则该大货车的最大高度（包括货物） ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $