专题2.2 圆的对称性（知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题2.2 圆的对称性 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：圆的对称性 1 知识点梳理02：圆心角、弧、弦之间的关系 2 知识点梳理03：垂径定理 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：利用垂径定理求值 3 考点2：利用垂径定理求平行弦问题 5 考点3利用垂径定理求同心圆问题 8 考点4 利用垂径定理求解其他问题 11 考点5 垂径定理的推论 13 考点6 垂径定理的实际应用 16 考点7 利用弧、弦、圆心角的关系求解 18 考点8 利用弧、弦、圆心角的关系求证 20 中考真题 实战演练 23 难度分层 拔尖冲刺 28 基础夯实 28 培优拔高 36 知识点梳理01：圆的对称性 1、 圆的旋转不变性：一个圆绕圆心旋转任意角度后，都能与原来的图形重合. 2、 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 3、 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线是它的对称轴. 【要点提示】（1）圆是平面内嗾一具有旋转不变性的图形；（2）圆的对称轴不能说是它的直径，因为直径是线段，可以说成：直径所在的直线是圆的对称轴. 知识点梳理02：圆心角、弧、弦之间的关系 1. 圆心角定义：如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 【要点提示】(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 【解题技巧点拨】在同圆或等圆中，要证明弧、弦、圆心角中一组量相等，通常将其转化到证明另外两组量中的任意一组量相等，一般方法有多种，而连接半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、相等圆心角是常用来作辅助线的方法. 知识点梳理03：垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【要点提示】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论；(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 3垂径定理的拓展：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 【要点提示】在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角形”，通过勾股定理求值或证明. 考点1：利用垂径定理求值 【典例精讲】（2025·广西来宾·模拟预测）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区，已知种植区的深度为，圆形框架的半径为，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作交于点，交于点，连接，利用垂径定理得出，利用勾股定理求出，进而了得出．根据垂径定理正确的利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键． 【规范解答】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中， ∴ ∵，， ， ∴， ∴ 故选：． 【变式训练】（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）已知，，，都是上的点，请仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图中，是的直径，平行四边形的顶点在上，画出弧的中点； (2)在图中，是的直径，平行四边形的顶点，分别在，上，画出弧的中点． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路引导】本题考查了无刻度直尺画图，菱形的判定与性质，垂径定理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接对角线，然后延长交于点，则点即为所求； （）连接交于点，连接，然后延长交于点，则点即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，连接对角线，然后延长交于点， 理由：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∴点即为所求； （2）解：如图，连接交于点，连接，然后延长交于点， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为半径， ∴， ∴， ∴点即为所求． 考点2：利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案． 【规范解答】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确； 如图所示，过点O作于D，连接， ∴， ∴， ∵， ∴点B到的距离为，故淇淇说法错误， 故选：A． 【变式训练】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析； (4)作图见解析． 【思路引导】（）找中点，连接，交与点； （）先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可； （）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点； （）根据网格特征即可； 此题考查了无刻度直尺作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理的应用． 【规范解答】（1）如图，找中点，连接，交与点， ∴点即为所求； （2）如图，先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可， ∴点即为所求； （3）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点， ∴点即为所求； （4）如图，已知图中， 延长交于点， ∴，根据网格作高的特点，作的高， ∴，延长交于点， 根据同弧所对的圆周角相等，则， ∴， ∴， ∴ ， ∴点即为所求． 考点3利用垂径定理求同心圆问题 【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·期末）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（同心圆）面积的方法．现有以下工具（图1）：①卷尺：②直棒：③型尺（所在的直线垂直平分线段）． 【活动1】找出大圆的圆心． 小天同学选择用型尺找到大圆圆心，操作方法如图2所示： 小河同学说：“类似小天的方法，我发现可以利用没有刻度的直尺和圆规找到任意一个圆的圆心．” 【活动2】求环形花坛面积． 如图3，小河说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法是：将直棒与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点，之间的距离，就可求出环形花坛的面积．” 小天思考后，说：“如图4，如果直线与大圆两交点分别为，，与小圆两交点分别为，，只要测出，的长度，也可求出环形花坛的面积．” 【解决问题】 (1)利用尺规在图5中找到圆心（保留作图痕迹，不写作法）： (2)图3中，如果测得，求这个环形花坛的面积； (3)填空：图4中，如果测得，，用含，的式子表示环形花坛的面积_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查作图与应用，线段的垂直平分线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）先作出两条不平行的弦，再作出的垂直平分线，其交点即为所求的点． （2）设切点为，连接，．利用勾股定理即可解决问题； （3）连接，，过点O作，由垂径定理得由勾股定理得，，从而得出，最后由求解即可． 【规范解答】（1）解：如图点即为所求； （2）解：如图，设切点为，连接，． 是切线， ， ， ， ． （3）解：如图，连接，，过点O作， ， 中，， 中，， ， ， 故答案为： 【变式训练】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是上的三个点， 、、． (1)在图上标出圆心，圆心的坐标为____； (2)求的半径，并判断点与的位置关系． 【答案】(1)见解析， (2)的半径为，点在上 【思路引导】本题考查了垂径定理的推论、点与圆的位置关系、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，结合图形即可得出圆心的坐标； （2）求出的半径和的长，即可得解． 【规范解答】（1）解：如图，圆心即为所作， ， 圆心的坐标为； （2）解：∵， ∴的半径为， ∵， ∴点在上． 考点4 利用垂径定理求解其他问题 【典例精讲】（24-25九年级上·甘肃定西·期末）在数学活动课上，顾老师提出了一个问题：如图，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： ①连接，作线段的垂直平分线，交于点E； ②连接，作线段的垂直平分线，交于P，则点P即所求． (1)请你按小亮的步骤画出图形； (2)请你利用图形，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了尺规作图，作垂直平分线及垂径定理，解决本题的关键是熟练掌握作垂直平分线及垂径定理． （1）按小亮的步骤画出图形即可； （2）利用垂径定理证明即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，点P即所求． （2）证明：如图， ，， ， ，， ， 【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，以为直径的半圆O上有一点C，过点C作，垂足为点D，过点A作，垂足为点E（不与点O，C重合），的延长线交半圆O于点F．求证：． 【答案】见解析 【规范解答】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．利用垂径定理，得到，证明，得到，即可． 【解答】证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 考点5 垂径定理的推论 【典例精讲】（22-23九年级上·湖北荆州·期中）如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． (1)求证：． (2)若，的半径为1，求弦的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是求出． （1）根据垂径定理可得答案； （2）先求出，再求出，最后根据勾股定理可得答案． 【规范解答】（1）解：∵点B是劣弧的中点，是的直径， ∴，， ∴． （2）解：如图，连接， ∵，，， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 【变式训练】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的点，，过点C作于点E，连接相交于点 F． (1)求证：； (2)若，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定、垂径定理推论的应用及勾股定理的应用， （1）先证明，进而证明三角形全等； （2）根据（1）中结论得出，求出，设，根据勾股定理列方程并解方程即可解决． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 由（1）知， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 考点6 垂径定理的实际应用 【典例精讲】（24-25九年级上·云南昆明·期末）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸥，滇朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图．设所在圆的圆心为，拱桥的拱顶为点，于点．已知此拱桥的跨径长约为16m，拱高约为5m．求此拱桥所在圆的半径． 【答案】8.9m 【思路引导】本题考查了勾股定理和垂径定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 连接，设拱桥所在圆的半径，则，由垂径定理可得，在，运用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：连接， 由题意知：，，设拱桥所在圆的半径，则． 是半径，且 在中， ， 解得：， 答：此桥拱所在圆的半径为8.9m． 【变式训练】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． (1)作于点C，求的长； (2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 【答案】(1)的长 (2)此时水面截线减少了 【思路引导】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键． （1）如图1：连接，由圆的性质可得，再利用垂径定理得出，再运用勾股定理计算即可解答； （2）如图2：过点O作，垂足为点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出，最后与相减即可解答． 【规范解答】（1）解：如图1：连接， ∵， ∴                  ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴的长． （2）解：如图2：过点O作，垂足为点D，连接，   ∴ 由题意可知： 在中，根据勾股定理得：， ∴ ，解得：， ∴，   ∴， ∴此时水面截线减少了． 考点7 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（2025·广西南宁·模拟预测）如图，已知扇形． (1)请用尺规作图，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查尺规作图——作角平分线，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是掌握作角平分线的方法． （1）作的角平分线交于，则，即知，即为符合条件的点． （2）过点作于点，证明是等边三角形，根据勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【规范解答】（1）解：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于两点，再以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接该点与点交于， 即：作的角平分线交于， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即：该点即为所求． （2）解：如图，过点作于点， ∵ ∴ 又∵ ∴是等边三角形， 又∵， ∴ ∴ ∴的面积为 【变式训练】（2025·辽宁鞍山·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据，得到，则由，证明为的中位线，得到，则可求出，利用勾股定理求出，即可利用勾股定理求出． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴，点M为的中点， ∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵的半径是6， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 考点8 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于．    (1)求证：； (2)若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)结论仍然成立，证明见解析 【思路引导】该题考查了角平分线的性质定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． （1）如图②过点作于点，于点，根据角平分线的性质定理得出，再根据“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”即可证明； （2）同（1）的作图方法分为如图③，当点在上时，和如图④，当点在内时，根据角平分线的性质定理得出，再根据“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”即可证明； 【规范解答】（1）证明：如图②过点作于点，于点， 又∵平分， ∴， ∴；    （2）解：结论仍然成立． 理由如下：如图③，当点在上时，由（1）知． ∴， 如图④，当点在内时，由（1）知． ∴． 【变式训练】（2023·上海闵行·二模）如图，在扇形中，点、在上，，点、分别在半径、上，，连接、． (1)求证：； (2)设点为的中点，连接、、，线段交于点、交于点．如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路引导】（1）先证出，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，从而可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，同理可得，根据平行线的判定可得，然后根据矩形的判定即可得证． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，即， ∴， 由圆的性质得：， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：由题意，画出图形如下： ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）已得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【考点评析】本题考查了弧与圆心角的关系、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一、矩形的判定等知识，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题关键． 1．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 2．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【思路引导】如图，延长交于点，连接，，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． 3．（2025·四川凉山·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了绝对值的意义，不等式的性质，正方形的判定定理，垂径定理，互为相反数的两个数的绝对值也相等，据此可判断A；根据不等式的性质可知，只有当时，原式才正确，据此可判断B；根据正方形的判定定理可判断C；根据垂径定理可判断D． 【规范解答】解；A、若，则，原说法错误，不符合题意； B、若，则，原说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法正确，符合题意； D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 4．（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 【答案】26 【思路引导】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设寸，则寸，由垂径定理得到寸，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：设寸，则寸， ，是直径， 寸， 在中，由勾股定理得， ， ， 寸， 故答案为：26． 5．（2023·湖南·中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）          问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米） 【答案】(1)； (2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米． 【思路引导】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解； （2）作于点C，在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，据此即可求解． 【规范解答】（1）解：∵旋转一周用时120秒， ∴每秒旋转， 当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，， ∵， ∴； （2）解：作于点C，设与水平面交于点D，则，    在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴(米)， 答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米． 【考点评析】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 基础夯实 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，如果，则的长为（　　）       A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【思路引导】本题考查垂径定理，根据垂径定理得出即可得到答案 【规范解答】解：∵是的直径，弦于点E， ∴， 故选B 2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴O到、的距离相等， 所以A、C、D选项正确， 不能证明是等边三角形，不一定成立， 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）我们可用丁字尺来确定圆心位置，如图，点C是的中点，测量数据得，，则圆的半径长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧，勾股定理，利用垂径定理的推论得到圆心在上，设圆心为O点，连接，如图，设圆的半径为，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【规范解答】解：，点C是的中点， 即垂直平分，， 圆心在上， 设圆心为O点，连接，如图， 设圆的半径为，则，， 在中，， 解得， 即圆的半径为． 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知半径为3，上有两点A、B，，则弦所对劣弧的度数为 ． 【答案】/60度 【思路引导】本题考查等边三角形的判定与性质，弧、弦、圆心角的关系，先证明是等边三角形，得到即可求解． 【规范解答】解：如图， ∵半径为3，上有两点A、B，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弦所对劣弧的度数为， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·北京·期中）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于 ． 【答案】16 【思路引导】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由垂径定理得到E为的中点，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：∵是的直径，弦， ∴E为的中点，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 故答案为：16． 6．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则 ． 【答案】寸 【思路引导】此题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，由垂径定理得到寸，设的半径为x，则，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【规范解答】解：连接， ∵寸， ∴寸， 设的半径为x，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， ∴寸， 故答案为：寸． 7．（2025·广西南宁·三模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为 寸． 【答案】26 【思路引导】本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由寸可求出的长，再设出圆的半径为寸，表示出的长，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：∵为的直径，，且寸， ∴寸， 设圆的半径的长为寸，则 寸， ∵寸， ∴寸， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴， 解得， ∴寸， 故答案为：26． 8．（2025·安徽合肥·二模）如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定， 连接，可得，可得是等边三角形，，进入得出，再根据含直角三角形得性质得，然后根据勾股定理求出，则答案可得． 【规范解答】解：连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 在中，， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）如图，的弦，是的中点，且，求的半径． 【答案】半径为 【思路引导】本题考查了垂径定理，以及勾股定理；结合垂径定理的推论可证得是直角三角形，根据垂径定理即可求得，根据勾股定理求得的长即可． 【规范解答】解：如图所示： 是的中点， ，且， 在中， 即的半径为． 10．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）（1）若所在圆的圆心为O，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图痕迹） （2）若弦的长为，的中点到弦的距离为，求弓形的半径R． 【答案】（1）见解析（2）弓形的半径为 【思路引导】本题考查了确定圆心的位置，垂径定理的应用，勾股定理，作垂线，垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）作的垂直平分线，交于点，即可求解； （2）根据垂径定理得出，，在中，运用勾股定理列式，代入数值计算，即可求解． 【规范解答】解：（1）圆心如图所示， ； （2）如图，连接 设为的中点，交于点， ∵， ∴，， 在中，，， ∵， ∴ 解得： ∴弓形的半径为． 培优拔高 11．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【规范解答】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 12．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）如图所示，是的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，点是点B关于所在直线的对称点，的半径为1，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【思路引导】本题主要考查圆弧与圆心角之间的关系以及勾股定理的应用、轴对称性质，熟记圆的性质并灵活应用是解题关键．如图，连接、，由题意可得，，由点B是的中点可得，即，所以，进而得出， 由勾股定理即可求出的长度． 【规范解答】解：如图，连接、， 由题意可得，， 点B是的中点， ， ， 点是点B关于所在直线的对称点， ， ， 又， ． 故选：B． 13．（24-25九年级上·河北衡水·期中）题目：“如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将位于右边的部分沿翻折，交直线于点F，当的长为正整数时，求的长．”对于其答案，甲答：2，乙答：，丙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答得对 B．乙、丙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】D 【思路引导】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用、翻折的性质，理解题意，作出符合题意的图形，利用垂径定理求线段长度是解题的关键．由是的弦，且的直径，可得，再根据的长为正整数得出或，根据图形的位置分3种情况讨论，对每一种情况利用勾股定理求出的长，再由翻折的性质得出的长，由此即可得出结论． 【规范解答】解：是的弦，是的直径， ， ， ，的半径为1， 的长为正整数， 或， ①当且在圆心的右侧，如图，连接， ， ， 在中，， ， 由翻折的性质得，； ②当且在圆心的左侧，如图，连接， 同理①可得，， ， 由翻折的性质得，； ③当时，为直径，如图，此时点与圆心重合，点与点重合， 则； 综上所述，的长为或或2； 由题意得，三人答案合在一起才完整． 故选：D． 14．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 【答案】24 【思路引导】本题考查了垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理得到直角三角形，通过半径和已知深度求出直角边的长度，再计算弦长． 确定；在中用勾股定理求；由垂径定理得． 【规范解答】由题意知，的半径，且于点C，根据垂径定理，平分弦，即． 已知液体最大深度，则． 在中，由勾股定理： 代入数据：，解得． 因此，弦． 故答案为：24． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查垂径定理的应用、勾股定理，连接，设该拱门的半径，根据垂径定理求出，将用含r的代数式表示出来，在中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可． 【规范解答】解：如图，连接， 设该拱门的半径， 根据题意得在的直径上，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∴， ∴， ∴该拱门的半径是， 故答案为：． 16．（2025·山西晋城·三模）在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给出了解决方案：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，交弦于点，经测量，，则圆形工件的半径为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，在上取一点作为圆心，连接，如图所示，根据题意表示出相关线段长度，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．熟记垂径定理构造直角三角形，勾股定理求线段长的组合是解决问题的关键． 【规范解答】解：在上取一点作为圆心，连接，如图所示： ， ， 设， ， ， 在中，，，，，则由勾股定理可得， 解得， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器−−蒸馏瓶，它的下半部分是圆球形，其截面是圆，且当截面圆中弦的长为时，瓶内液体最大深度为． (1)求截面圆的半径； (2)当瓶内液体减少时，若瓶内液体的最大深度降低1cm，那么截面圆中的弦减少了 cm． 【答案】(1)截面圆的半径为； (2) 【思路引导】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用． （1）由垂径定理得，设球形的半径，则，由勾股定理解，即可得出结论； （2）求得，在中，利用勾股定理求得，则，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意知， ， 设球形的半径，则， 在中，， ， 解得， 截面圆的半径为； （2）解：由题意知， ， 在中，， ， ， 截面圆中的弦减少了； 故答案为： 18．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，P是的直径延长线上的一点，与分别相交于点E和点C，过点C作，交于点F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的长等于的半径，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质等； （1）由垂径定理得，由线段垂直平分线的判定及性质，即可得证； （2）连接，由圆的定义得，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，，即可求解； 掌握垂径定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）证明： 是直径，， ， 是的垂直平分线， ； （2）解：如图，连接， ， 的长等于的半径， ， ， ， ， ． 19．（24-25九年级上·广东潮州·期末）如图1，是的直径，点D为下方上一点，点F为弦的中点，连接且延长交于点C，连接，． (1)求证：； (2)如图2，延长，相交于点 求证：； 若，，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析； 的半径为 【思路引导】由垂径定理得出，则是的垂直平分线，则可得出结论； ① 证明是等腰三角形，由等腰三角形的性质得出结论； ②连接，则，求出设的半径为r，则，由勾股定理可得出答案． 【规范解答】（1）证明：点F为弦的中点， ， 是的垂直平分线， （2）① 证明：点F为弦的中点， ， ， 又是的直径， ， ， ， ， 由得， 是等腰三角形， 点F为的中点， 平分， ， ②解：连接，则，如图所示， ， ， 由①得， ， ， ， ， ， 设的半径为r，则， ， ， ， 整理得， 解得，不符合题意，舍去， 的半径为 【考点评析】本题考查了垂直平分线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识；正确作出辅助线是解题的关键． 20．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“闪亮四边形”． (1)若是圆的“闪亮四边形”，则是 （填序号）； ①矩形；②菱形；③正方形 (2)如图1，已知的半径为于点E，四边形是的“闪亮四边形”． ①求证： ②求证： (3)如图2，四边形为的“闪亮四边形”，相交于点，，求的半径为R 【答案】(1)③ (2)①见解析；②见解析 (3) 【思路引导】（1）根据“闪亮四边形”的定义结合平行四边形的性质即可解答； （2）①连接并延长交于点F，分别连接，，，，利用垂径定理证明是的中位线，推出，再根据圆周角定理结合“闪亮四边形”的定义，推出，进而推出，，得到，最后，即可得出结论；②过点O作于点G，是等腰三角形，再证明，推出，再根据四边形是的内接四边形，得到，进而求出，，利用勾股定理即可证明； （3）同理（2）②可得，由圆周角定理推出，得到，再根据四边形为的“闪亮四边形”，结合，利用勾股定理可求出，求出，再利用勾股定理求出，由（2）②可得，利用勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）解：∵中，， ∴， ∴， ∵是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴是矩形， ∵圆的“闪亮四边形”， ∴， ∴是菱形， ∵是矩形， ∴是正方形， 故答案为：③； （2）①证明∶连接并延长交于点F，分别连接，，，， ∵， ∴， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形是“闪亮四边形”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点O作于点G， 由①知， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：同理（2）②可得， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为的“闪亮四边形”，， ∴，， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 由（2）②可得， ∴， ∴（负值舍去）． 【考点评析】本题是圆的综合题，考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，圆的内接四边形，熟练的建立数学模型并灵活应用是解本题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 圆的对称性 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：圆的对称性 1 知识点梳理02：圆心角、弧、弦之间的关系 2 知识点梳理03：垂径定理 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：利用垂径定理求值 3 考点2：利用垂径定理求平行弦问题 4 考点3利用垂径定理求同心圆问题 5 考点4 利用垂径定理求解其他问题 6 考点5 垂径定理的推论 7 考点6 垂径定理的实际应用 8 考点7 利用弧、弦、圆心角的关系求解 9 考点8 利用弧、弦、圆心角的关系求证 10 中考真题 实战演练 11 难度分层 拔尖冲刺 13 基础夯实 13 培优拔高 16 知识点梳理01：圆的对称性 1、 圆的旋转不变性：一个圆绕圆心旋转任意角度后，都能与原来的图形重合. 2、 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 3、 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线是它的对称轴. 【要点提示】（1）圆是平面内嗾一具有旋转不变性的图形；（2）圆的对称轴不能说是它的直径，因为直径是线段，可以说成：直径所在的直线是圆的对称轴. 知识点梳理02：圆心角、弧、弦之间的关系 1. 圆心角定义：如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 【要点提示】(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 【解题技巧点拨】在同圆或等圆中，要证明弧、弦、圆心角中一组量相等，通常将其转化到证明另外两组量中的任意一组量相等，一般方法有多种，而连接半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、相等圆心角是常用来作辅助线的方法. 知识点梳理03：垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【要点提示】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论；(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 3垂径定理的拓展：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 【要点提示】在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角形”，通过勾股定理求值或证明. 考点1：利用垂径定理求值 【典例精讲】（2025·广西来宾·模拟预测）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区，已知种植区的深度为，圆形框架的半径为，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）已知，，，都是上的点，请仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图中，是的直径，平行四边形的顶点在上，画出弧的中点； (2)在图中，是的直径，平行四边形的顶点，分别在，上，画出弧的中点． 考点2：利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【变式训练】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 考点3利用垂径定理求同心圆问题 【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·期末）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（同心圆）面积的方法．现有以下工具（图1）：①卷尺：②直棒：③型尺（所在的直线垂直平分线段）． 【活动1】找出大圆的圆心． 小天同学选择用型尺找到大圆圆心，操作方法如图2所示： 小河同学说：“类似小天的方法，我发现可以利用没有刻度的直尺和圆规找到任意一个圆的圆心．” 【活动2】求环形花坛面积． 如图3，小河说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法是：将直棒与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点，之间的距离，就可求出环形花坛的面积．” 小天思考后，说：“如图4，如果直线与大圆两交点分别为，，与小圆两交点分别为，，只要测出，的长度，也可求出环形花坛的面积．” 【解决问题】 (1)利用尺规在图5中找到圆心（保留作图痕迹，不写作法）： (2)图3中，如果测得，求这个环形花坛的面积； (3)填空：图4中，如果测得，，用含，的式子表示环形花坛的面积_____． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是上的三个点， 、、． (1)在图上标出圆心，圆心的坐标为____； (2)求的半径，并判断点与的位置关系． 考点4 利用垂径定理求解其他问题 【典例精讲】（24-25九年级上·甘肃定西·期末）在数学活动课上，顾老师提出了一个问题：如图，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： ①连接，作线段的垂直平分线，交于点E； ②连接，作线段的垂直平分线，交于P，则点P即所求． (1)请你按小亮的步骤画出图形； (2)请你利用图形，求证：． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，以为直径的半圆O上有一点C，过点C作，垂足为点D，过点A作，垂足为点E（不与点O，C重合），的延长线交半圆O于点F．求证：． 考点5 垂径定理的推论 【典例精讲】（22-23九年级上·湖北荆州·期中）如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． (1)求证：． (2)若，的半径为1，求弦的长． 【变式训练】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的点，，过点C作于点E，连接相交于点 F． (1)求证：； (2)若，．求的长． 考点6 垂径定理的实际应用 【典例精讲】（24-25九年级上·云南昆明·期末）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸥，滇朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图．设所在圆的圆心为，拱桥的拱顶为点，于点．已知此拱桥的跨径长约为16m，拱高约为5m．求此拱桥所在圆的半径． 【变式训练】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． (1)作于点C，求的长； (2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 考点7 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（2025·广西南宁·模拟预测）如图，已知扇形． (1)请用尺规作图，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的面积． 【变式训练】（2025·辽宁鞍山·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ． 考点8 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于．    (1)求证：； (2)若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 【变式训练】（2023·上海闵行·二模）如图，在扇形中，点、在上，，点、分别在半径、上，，连接、． (1)求证：； (2)设点为的中点，连接、、，线段交于点、交于点．如果，求证：四边形是矩形． 1．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 2．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 3．（2025·四川凉山·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 4．（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 5．（2023·湖南·中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）          问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米） 基础夯实 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，如果，则的长为（　　）       A．1 B．2 C．4 D．8 2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 3．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）我们可用丁字尺来确定圆心位置，如图，点C是的中点，测量数据得，，则圆的半径长为（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知半径为3，上有两点A、B，，则弦所对劣弧的度数为 ． 5．（22-23九年级上·北京·期中）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于 ． 6．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则 ． 7．（2025·广西南宁·三模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为 寸． 8．（2025·安徽合肥·二模）如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ． 9．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）如图，的弦，是的中点，且，求的半径． 10．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）（1）若所在圆的圆心为O，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图痕迹） （2）若弦的长为，的中点到弦的距离为，求弓形的半径R． 培优拔高 11．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 12．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）如图所示，是的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，点是点B关于所在直线的对称点，的半径为1，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 13．（24-25九年级上·河北衡水·期中）题目：“如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将位于右边的部分沿翻折，交直线于点F，当的长为正整数时，求的长．”对于其答案，甲答：2，乙答：，丙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答得对 B．乙、丙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 14．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 ． 16．（2025·山西晋城·三模）在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给出了解决方案：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，交弦于点，经测量，，则圆形工件的半径为 ． 17．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器−−蒸馏瓶，它的下半部分是圆球形，其截面是圆，且当截面圆中弦的长为时，瓶内液体最大深度为． (1)求截面圆的半径； (2)当瓶内液体减少时，若瓶内液体的最大深度降低1cm，那么截面圆中的弦减少了 cm． 18．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，P是的直径延长线上的一点，与分别相交于点E和点C，过点C作，交于点F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的长等于的半径，，求的度数． 19．（24-25九年级上·广东潮州·期末）如图1，是的直径，点D为下方上一点，点F为弦的中点，连接且延长交于点C，连接，． (1)求证：； (2)如图2，延长，相交于点 求证：； 若，，求的半径． 20．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“闪亮四边形”． (1)若是圆的“闪亮四边形”，则是 （填序号）； ①矩形；②菱形；③正方形 (2)如图1，已知的半径为于点E，四边形是的“闪亮四边形”． ①求证： ②求证： (3)如图2，四边形为的“闪亮四边形”，相交于点，，求的半径为R 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$