专项突破02 一元二次方程的应用（知识技巧点拨+11种高频考察题型 共33题）期中培优讲练-2025-2026学年苏科版九年级数学上册考前冲刺

专项突破02 一元二次方程的应用 （知识技巧点拨+11种高频考察题型 共33题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：列一元二次方程解应用题 1 知识点梳理02：常见相关问题的数量关系及表示方法 2 优选题型 考点讲练 3 题型1：传播问题(一元二次方程的应用） 3 题型2：增长率问题（一元二次方程的应用） 4 题型3：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 5 题型4：数字问题（一元二次方程的应用） 7 题型5：营销问题（一元二次方程的应用） 9 题型6：动态几何问题（一元二次方程的应用） 10 题型7：工程问题（一元二次方程的应用） 12 题型8：行程问题（一元二次方程的应用） 13 题型9：图表信息题（一元二次方程的应用） 15 题型10：其他问题（一元二次方程的应用） 17 题型11：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 18 知识点梳理01：列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点梳理02：常见相关问题的数量关系及表示方法 题型1：增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 题型2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型3：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 题型4：利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 题型5：比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 题型6：传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型1：传播问题(一元二次方程的应用） 1．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段练习）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” (1)______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； (2)丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·阶段练习）“水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了 人． 题型2：增长率问题（一元二次方程的应用） 4．（22-23九年级上·江苏南京·期末）某口罩生产厂生产的口罩月平均日产量为个，月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从月起扩大产能，月平均日产量达到个． （1）口罩日产量的月平均增长率为 按照这个增长率，预计月平均日产量为 个 5．（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火纷飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离．电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据．（注：票房是指截至发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)若保持每次累计票房增长的百分率不变，请求第4次发布后的票房收入？ 6． （25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为200元，经过两次降价后，每套器材售价降至162元，且两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 题型3：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 7．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成，且在边上开了一个宽的小门． (1)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成的面积为自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 8．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）阅读以下材料，并解决相应的问题． 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，说明如下： 将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形，图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：， ∵x表示边长， ∴，即． 注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根！ (1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程， 第一步：将原方程变为，即x（__________________）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（请在画图区画出示意图，标明各边长）； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：______________；解得原方程的一个根为______________ (2) 反思：这种构造图形解一元二次方程体现的数学思想是_________（从“①分类讨论，②数形结合，③演绎”三个选项中选择最恰当的一项的序号填空）． 题型4：数字问题（一元二次方程的应用） 10．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图为2025年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中矩形筐所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． (1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果为： ； ； ； (2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ； (3)子怡说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．” 瑾萱说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 11．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 12．（24-25九年级上·四川·阶段练习）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”． 例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”． （1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”； （2）已知一个“喜鹊数”k＝100a＋10b＋c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数），若x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，且m＋n＝﹣2，求满足条件的所有k的值． 题型5：营销问题（一元二次方程的应用） 13．（24-25九年级上·四川成都·期中）中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． (1)设售价每盒下降元，则每天能售出______盒（用含的代数式表示）； (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元． 14．（25-26九年级上·广西防城港·阶段练习）某商场将进价为每个40元的台灯以每个50元的价格出售，平均每月能售出600个．经市场调研发现，当每个台灯的售价每上涨1元时，其月平均销售量减少10个．若设每个台灯的售价上涨元． (1)试用含的代数式填空： ①涨价后，每个台灯的售价为 元； ②涨价后，每个台灯的利润为 元； ③涨价后，商场销售该台灯的月平均销售量为 个． (2)商场要想使该台灯的月平均销售利润达到12000元，应上涨多少元？ 15．（25-26九年级上·重庆·开学考试）年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同． (1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元； (2)据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值． 题型6：动态几何问题（一元二次方程的应用） 16．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 17．（25-26九年级上·广西防城港·阶段练习）如图所示，为矩形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动．若一点到达终点，另一点也随之停止运动．当两点出发 时，点和点的距离是10cm．（   ） A．2s或 B．1s或 C． D．2s或 18．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形的边长为，动点P从点B出发，以的速度沿的方向向点D运动；动点Q从点A出发，以的速度沿的方向向点B运动．若两点同时出发，运动时间为． (1)连接，是否存在t的值，使的面积为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (2)当点P在上运动时，直接写出使是以为一腰的等腰三角形的t的值． 题型7：工程问题（一元二次方程的应用） 19．（22-23八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 20．（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 21．（2024·重庆·二模）甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元． （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值． 题型8：行程问题（一元二次方程的应用） 22．（25-26九年级上·吉林白城·阶段练习）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 23．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 24．（2025·福建泉州·模拟预测）阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 题型9：图表信息题（一元二次方程的应用） 25．（24-25九年级上·全国·单元测试）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 26．（24-25九年级上·山东·课后作业）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费． (1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元? (2)下表是9、10月份的用电和交费情况： 月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元) 9 80 25 10 45 10 根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？ (3)求8月份该户居民应交电费多少元? 27．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某旅行社一则旅游消息如下： 旅游人数 收费标准 不超过人 人均收费元 超过人 每增加一人，人均收费减少元，但人均收费不低于元 (1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社元和元，甲公司员工有__________人． (2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社元，乙公司员工多少人？ 题型10：其他问题（一元二次方程的应用） 28．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一次亲子活动中，一对父子搭档表演的一个精彩节目得到了观众的高度赞扬．演出后记者到后台对这对父子进行了采访．当记者问到他们的年龄时，儿子说：“三年前，我父亲的年龄恰好是我年龄的平方，今年我们父子的年龄和为36．”，请你根据他们谈话的信息求出这对父子今年的年龄． 29．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 30．（2025·贵州铜仁·模拟预测）随着贵州旅游业的高速发展，让越来越多的人看见了贵州的大好山河．暑期来临，两队户外徒步露营爱好者计划同一天从贵阳市出发，沿两条不同的路线徒步游完乌蒙山周边自然景观，最后在九龙镇汇合．甲队走路线，全程120千米；乙队走路线，全程160千米．由于路线的路况没有路线好，甲队每天行驶的路程是乙队每天行驶路程的，最终甲队比乙队晚2天到达九龙镇． (1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地； (2)在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致．两队共需花费17640元，求的值． 题型11：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 31．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（    ） A． B． C．x D． 32．（24-25八年级下·山东淄博·期末）列方程解决下列问题． 材料一：2023年7月6日~8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 材料二：2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等 20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 33．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）瑞安市举行中学生象棋比赛实行的是循环赛，因此每个选手都必须与其他选手赛一场，既若有人参加，共赛一局；若有人参加，共赛局；若有人参加，共赛局……并且规定：每局赢者得分，输者得0分，如果平局，两个选手各得分．经统计，全部选手总分为分，试问如果选手这次比赛共得分，有无可能成为冠军？（    ） A．无可能 B．有可能 C．不能确定 D．一定能 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破02 一元二次方程的应用 （知识技巧点拨+11种高频考察题型 共33题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：列一元二次方程解应用题 1 知识点梳理02：常见相关问题的数量关系及表示方法 2 优选题型 考点讲练 3 题型1：传播问题(一元二次方程的应用） 3 题型2：增长率问题（一元二次方程的应用） 5 题型3：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 7 题型4：数字问题（一元二次方程的应用） 10 题型5：营销问题（一元二次方程的应用） 14 题型6：动态几何问题（一元二次方程的应用） 16 题型7：工程问题（一元二次方程的应用） 20 题型8：行程问题（一元二次方程的应用） 22 题型9：图表信息题（一元二次方程的应用） 26 题型10：其他问题（一元二次方程的应用） 28 题型11：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 30 知识点梳理01：列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点梳理02：常见相关问题的数量关系及表示方法 题型1：增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 题型2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型3：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 题型4：利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 题型5：比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 题型6：传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型1：传播问题(一元二次方程的应用） 1．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段练习）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” (1)______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； (2)丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 【答案】(1)甲和乙 (2)丙的说法不正确 【思路引导】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据每一个人每周能够号召个人参加列出代数式求解即可得； （2）根据题意建立方程，解方程，结合为正整数求解即可得． 【规范解答】（1）解：由题意可知，第一周结束后，包括小颖在内有人参加了“传递正能量志愿服务者”， 第二周新参加“传递正能量志愿服务者”的有人， 所以甲和乙的说法都正确， 故答案为：甲和乙． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， 又∵是正整数， ∴不符合题意， 所以丙的说法不正确． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设1人每次都能教会x名同学，根据两次教会全班36人，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【规范解答】解：设1人每次都能教会x名同学， 根据题意得：． 故选：D． 3．（25-26九年级上·全国·阶段练习）“水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了 人． 【答案】12 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列一元二次方程并求解是解题的关键．设小红转发给人，根据传播过程中收到宣传语的总人数关系列方程求解． 【规范解答】解：设小红将这条宣传语转发给了人．依题意得 ， ， ， ∴或 解得或（舍去） 故答案为：． 题型2：增长率问题（一元二次方程的应用） 4．（22-23九年级上·江苏南京·期末）某口罩生产厂生产的口罩月平均日产量为个，月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从月起扩大产能，月平均日产量达到个． （1）口罩日产量的月平均增长率为 按照这个增长率，预计月平均日产量为 个 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程中增长率的知识，增长前的量增长后的量，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设口罩日产量的月平均增长率为，根据月及月的日产量，即可列出方程求解． （2）利用月份平均日产量月份平均日产量（增长率）即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设口罩日产量的月平均增长率为， 依据题意可得：， 解得：，（不合题意舍去）， ∴， 故答案为：． （2）解：依据题意可得：（个）， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火纷飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离．电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据．（注：票房是指截至发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)若保持每次累计票房增长的百分率不变，请求第4次发布后的票房收入？ 【答案】(1)； (2)亿元 【思路引导】此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每次累计票房增长的百分率是x，利用第3次累计票房=第1次累计票房×（1+平均每次累计票房增长的百分率），列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）利用第4次累计票房=第3次累计票房×（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：平均每次累计票房增长的百分率是； （2）解：（亿元） 即第4次累发布后的票房收入为亿元． 6．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为200元，经过两次降价后，每套器材售价降至162元，且两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．设每次降价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程，求解并选取符合实际的值即可． 【规范解答】解：设每次降价的百分率为为x， 根据题意可得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率为． 题型3：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 7．（124-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成，且在边上开了一个宽的小门． (1)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成的面积为自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)自行车车棚的长为18米，宽为10米． (2)不能围成的面积为的自行车车棚，理由见解析． 【思路引导】本题考查一元二次方程的实际应用，一元二次方程的根的判别式． （1）设，根据长方形的面积列方程，求解，结合已知条件，舍去不符合题意的解即可； （2）设，根据长方形的面积列方程，根据一元二次方程的根的判别式求解即可． 【规范解答】（1）解：， 设，则 根据题意可得， 解得，； 当时，（米）， 当时，（米）， ∵可利用的墙长，， ∴不合题意，舍去， 答：若围成的面积为，自行车车棚的长为18米，宽为10米． （2）解：设，则， 根据题意可得， 整理得； ， 故此方程没有实数根， 答：不能围成的面积为的自行车车棚． 8．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【规范解答】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 9．（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）阅读以下材料，并解决相应的问题． 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，说明如下： 将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形，图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：， ∵x表示边长， ∴，即． 注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根！ (1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程， 第一步：将原方程变为，即x（__________________）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（请在画图区画出示意图，标明各边长）； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：______________；解得原方程的一个根为______________ (2)反思：这种构造图形解一元二次方程体现的数学思想是_________（从“①分类讨论，②数形结合，③演绎”三个选项中选择最恰当的一项的序号填空）． 【答案】(1)；； (2)② 【思路引导】本题主要考查了根据阅读材料给出解决某一问题的特殊方法，解题的关键是理解新方法的本质，明确新方法的具体操作步骤，同时要借助数形结合思想，找到解决的问题与示例之间的关联． （1）根据赵爽的解法解方程的一般步骤即可求解． （2）在整个解决问题的过程中，体现了“数”与“形”的结合，进而可得出答案． 【规范解答】（1）解：第一步：将原方程变为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形，如图所示： 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为； 故答案为：，，； （2）解：反思：这种构造图形解一元二次方程体现的数学思想是数形结合， 故答案为：②． 题型4：数字问题（一元二次方程的应用） 10．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图为2025年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中矩形筐所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． (1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果为： ； ； ； (2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ； (3)子怡说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．” 瑾萱说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 【答案】(1) (2)552 (3)两人的说法都正确，理由见解析 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）观察日历表，即可用含a的代数式表示出b，c，d； （2）观察日历表，可找出a的最大值，将其代入中，即可求出结论； （3）两人说法都正确，根据的值为135，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，可得出结论；根据为84，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：根据题意得：． 故答案为：； （2）观察日历表，可知：a的最大值为23， 的最大值为． 故答案为：552； （3）两人的说法都正确，理由如下： 子怡的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 10月8日为周三，符合题意， 子怡的说法正确； 瑾萱的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 10月6日为周一，符合题意， 瑾萱的说法正确． 11．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见详解 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是x，则最大数是，根据题意列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数为y，则另外三个数分别是，，，根据题意列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【规范解答】（1）解：设最小数是x，则最大数是， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） 答：最小数是10； （2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数为y，则另外三个数分别是，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 12．（24-25九年级上·四川·阶段练习）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”． 例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”． （1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”； （2）已知一个“喜鹊数”k＝100a＋10b＋c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数），若x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，且m＋n＝﹣2，求满足条件的所有k的值． 【答案】（1）241不是喜鹊数；最小的“喜鹊数”是121；（2）满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 【思路引导】（1）由题意代入验证即可解答； （2）求出m与n互为倒数，又m＋n＝−2，得出m＝−1，n＝−1，求出b＝a＋c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案． 【规范解答】解：（1）∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8 ∴241不是喜鹊数； ∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍， ∴十位上的数字的平方最小为4， ∵22＝4，4×1×1＝4， ∴最小的“喜鹊数”是121； （2）∵k＝100a＋10b＋c是喜鹊数， ∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0， ∵x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根， ∴am2＋bm＋c＝0，cn2＋bn＋a＝0， 将cn2＋bn＋a＝0两边同除以n2得：a（）2＋b（）＋c＝0， ∴将m、看成是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∵b2﹣4ac＝0， ∴方程ax2＋bx＋c有两个相等的实数根， ∴m＝，即mn＝1， ∵m＋n＝﹣2， ∴m＝﹣1，n＝﹣1， ∴a﹣b＋c＝0， ∴b＝a＋c， ∵b2＝4ac， ∴（a＋c）2＝4ac， 解得：a＝c， ∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 【考点剖析】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义． 题型5：营销问题（一元二次方程的应用） 13．（24-25九年级上·四川成都·期中）中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． (1)设售价每盒下降元，则每天能售出______盒（用含的代数式表示）； (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元． 【答案】(1) (2)元或元 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用、列代数式， （1）根据每盒月饼降价元，商场每天就可以多售出盒，列出代数式即可； （2）设月饼每盒售价下降元，则每天能售出盒，根据“每天的销售利润恰好能达到元”列出一元二次方程，解方程即可；找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设售价每盒下降元，则每天能售出盒， 故答案为：； （2）设月饼每盒售价下降元，则月饼每盒售价为元，每天能售出盒， 依题意得：， 解得：，， 当时，（元）； 当时，（元）； 答：当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元． 14．（25-26九年级上·广西防城港·阶段练习）某商场将进价为每个40元的台灯以每个50元的价格出售，平均每月能售出600个．经市场调研发现，当每个台灯的售价每上涨1元时，其月平均销售量减少10个．若设每个台灯的售价上涨元． (1)试用含的代数式填空： ①涨价后，每个台灯的售价为 元； ②涨价后，每个台灯的利润为 元； ③涨价后，商场销售该台灯的月平均销售量为 个． (2)商场要想使该台灯的月平均销售利润达到12000元，应上涨多少元？ 【答案】(1)、、 (2)应上涨20元或30元 【思路引导】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）设应涨元，根据利润每台的利润销售量，结合（1）所得代数式利一元二次方程求解即可． 【规范解答】（1）解：①涨价后，每个台灯的售价为元； ②涨价后，每个台灯的利润为元； ③涨价后，商场销售该台灯的月平均销售量为个． （2）解：设应涨元， 依题意得：， 解得：， 答：应上涨20元或30元． 15．（25-26九年级上·重庆·开学考试）年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同． (1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元； (2)据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值． 【答案】(1)普通票每张为元，票的每张为元 (2) 【思路引导】本题考查分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设普通票的每张为元，则票的每张为元，根据用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）由题意先表示出第二天普通票和票的单价和销量，再根据第二天总销售额比首日少了元，列出一元二次方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：设普通票的每张为元，则票的每张为元，， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则元， 答：普通票每张为元，票的每张为元； （2）解：， ， ，（舍）， 答：的值为． 题型6：动态几何问题（一元二次方程的应用） 16．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 【答案】（1）不可以，理由见解析；（2）；（3）或 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）根据路程速度时间，结合勾股定理列方程，再根据一元二次方程解的情况可求解； （2）先根据路程速度时间求得，，然后利用求解即可； （3）根据题意可得面积等于面积的，进而列方程求解即可． 【规范解答】解：（1）当点D，E都运动时，的长不可以是，理由： 由题意，，，则 在中，由勾股定理得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数根， 故当点D，E都运动时，的长不可以是； （2）当时，，， ∴， ∵， ∴； （3）∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 整理，得， 解得，． 答：当t为或时，的面积等于四边形的面积的． 17．（25-26九年级上·广西防城港·阶段练习）如图所示，为矩形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动．若一点到达终点，另一点也随之停止运动．当两点出发 时，点和点的距离是10cm．（   ） A．2s或 B．1s或 C． D．2s或 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于的一元二次方程是解题的关键． 设当，两点从出发秒时，点和点的距离是cm，此时cm，cm，利用勾股定理即可列出关于的一元二次方程，解之即可得到结论． 【规范解答】解：设当两点出发时，点和点的距离是10cm， 此时． 根据题意，得，即， 解得． 故当两点出发2s或时，点和点的距离是10cm． 故选：D． 18．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形的边长为，动点P从点B出发，以的速度沿的方向向点D运动；动点Q从点A出发，以的速度沿的方向向点B运动．若两点同时出发，运动时间为． (1)连接，是否存在t的值，使的面积为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (2)当点P在上运动时，直接写出使是以为一腰的等腰三角形的t的值． 【答案】(1)不存在，见解析 (2)的值为或 【思路引导】本题考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的运用． （1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解； （2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以为腰的等腰三角形即可说明． 【规范解答】（1）解：不存在， 理由：当点在上，即时， ，， ，． ， ， 解得，，均不合题意，舍去． 当点在上，即时， ，． ∵， ∴，解得(不合题意，舍去)． 不存在的值，使的面积为 ． （2）由题意，得 ，， ，． 当时，由题意，得，， ， ，即， 解得． 当时，在中，， 在中，， ，解得不合题意，舍去，． 综上：的值为或． 题型7：工程问题（一元二次方程的应用） 19．（22-23八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【思路引导】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【规范解答】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【考点剖析】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 20．（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人 (2)从B检测队中抽调了2人到A检测队 【思路引导】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人， 依题意得：，分解得： 答：A检测队有6人，B检测队有7人； （2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人， 依题意得：， 解得：，解得：，， 由于从B对抽调部分人到A检测队，则故， 答：从B检测队中抽调了2人到A检测队． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 21．（2024·重庆·二模）甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元． （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值． 【答案】（1）1000米；（2）4 【思路引导】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米， 依题意，得：8（2000-x）≥×6x， 解得：x≤1000． 答：甲最多施工1000米． （2）依题意，得：（6+m）（6+m）+8（6-m）=6×（6+8）+11m-8， 整理，得：m2-8m+16=0， 解得：m1=m2=4． 答：m的值为4． 【考点剖析】考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 题型8：行程问题（一元二次方程的应用） 22．（25-26九年级上·吉林白城·阶段练习）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)1 (2)共滚动了 (3)小球滚动用了2秒 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度等于速度变化÷小球运动速度变化的时间，掌握此关系式是关键． （1）从滚动到小球速度为平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用开始的速度与停止时的速度差除以时间等于速度平均每秒减小的量，即可求出小球从开始到停止滚动的时间，再利用求得小球从开始到停止滚动的距离； （3设小球滚动到时的时间为，根据得到方程，解方程即得到行驶时间． 【规范解答】（1）解：， 即小球的滚动速度平均每秒减少， 故答案为：1； （2）解：， ； 答：小球从开始到停止滚动时，共滚动了； （3）解：设小球滚动到时的时间为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：小球滚动用了2秒． 23．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【思路引导】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟 ，则小凤的跑步速度为每分 ．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可； （2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可． 【规范解答】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟 ，则小凤的跑步速度为每分 ， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【考点剖析】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 24．（2025·福建泉州·模拟预测）阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 【答案】(1) (2)秒 (3)秒 【思路引导】（1）由图可知，甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线，又因其过点，因而甲的速度与时间的函数解析式为，然后根据即可求出甲在秒内经过的路程； （2）由图可知，甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线，因而设，又因其过点，把代入，得，解得，则乙的速度与时间的函数解析式为，当甲、乙速度相等时，根据题意得，解方程即可求出的值； （3）甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等，甲的路程为，乙的路程为，根据题意得，解方程即可求出的值． 【规范解答】（1）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线， 又其过点， 甲的速度与时间的函数解析式为， 甲在秒内经过的路程为： ， 故答案为：； （2）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线， 设， 又其过点， 把代入，得：， 解得：， 乙的速度与时间的函数解析式为， 当甲、乙速度相等时，根据题意得： ， 解得：， 出发后，甲、乙速度相等的时间为秒； （3）解：甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等， 甲的路程为：， 乙的路程为：， 根据题意得：， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， 出发后，甲、乙相遇的时间为秒． 【考点剖析】本题主要考查了从函数的图象获取信息，求一次函数解析式，一元一次方程的应用（其他问题），一元二次方程的应用（行程问题），有理数乘法的实际应用等知识点，读懂题意，能够从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 题型9：图表信息题（一元二次方程的应用） 25．（24-25九年级上·全国·单元测试）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3吨；（3）见解析; 【思路引导】（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（7-a）+10=70，5a（5-a）+10=40，取满足两个方程的a的值即为本题答案；（3）结合当地水资源状况，叙述合理即可； 【规范解答】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元； （2）由题意得：5a（7-a）+10=70， 解得：a=3或a=4 5a（5-a）+10=40 解得：a=3或a=2， 综上，规定用水量为3吨； （3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林． 【考点剖析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 26．（24-25九年级上·山东·课后作业）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费． (1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元? (2)下表是9、10月份的用电和交费情况： 月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元) 9 80 25 10 45 10 根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？ (3)求8月份该户居民应交电费多少元? 【答案】(1)超过部分应交(元)；(2) ；(3) 8月份该户居民交电费元． 【思路引导】根据题意直接一元二次方程求解，即可得到题目所问. 【规范解答】解：(1)超过部分应交(元)； (2)由9月份交电费元，该户9月份用电量已超过规定的，所以9月份超过部分应交电费，即，解得，，由10月份的交电费元看，该户10月份的用电量没有超过，所以．所以． (3)当时，超过部分应交元，所以8月份该户居民交电费元． 【考点剖析】本题考查了学生对一元二次方程在实际生活中的应用，掌握根据题意列方程是解决此题的关键. 27．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某旅行社一则旅游消息如下： 旅游人数 收费标准 不超过人 人均收费元 超过人 每增加一人，人均收费减少元，但人均收费不低于元 (1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社元和元，甲公司员工有__________人． (2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社元，乙公司员工多少人？ 【答案】(1)15； (2)乙公司人． 【思路引导】（1）设甲公司员工有x人，根据第一次、第二次支付的费用和人均收费标准，判断出两次都不超过10人，直接用总费用除以人均收费，即可得出答案； （2）设乙公司员工人，根据支付的费用先判断出公司去的人数超过了10人，再根据每增加一人，人均收费减少60元，列出方程，求出的值，再根据人均收费不低于1500元，即可得出乙公司去的人数． 【规范解答】（1）解：设甲公司有人， ， ， （人）． 故答案为： （2）设乙公司人， ， ，， 若，每人费用：，不符舍去， 若，每人费用：，符合， 答：乙公司人． 【考点剖析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意正确列式和列方程是解题的关键． 题型10：其他问题（一元二次方程的应用） 28．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一次亲子活动中，一对父子搭档表演的一个精彩节目得到了观众的高度赞扬．演出后记者到后台对这对父子进行了采访．当记者问到他们的年龄时，儿子说：“三年前，我父亲的年龄恰好是我年龄的平方，今年我们父子的年龄和为36．”，请你根据他们谈话的信息求出这对父子今年的年龄． 【答案】父亲今年的年龄为28岁，儿子今年的年龄为8岁 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设儿子今年的年龄为岁，则父亲今年的年龄为岁，根据三年前，父亲的年龄恰好是儿子年龄的平方建立方程，解方程即可得． 【规范解答】解：设儿子今年的年龄为岁，则父亲今年的年龄为岁， 由题意得：， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 则， 答：父亲今年的年龄为28岁，儿子今年的年龄为8岁． 29．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查列一元二次方程． 设这批椽的数量为株，可得一株椽的价钱为文，根据题意列方程即可． 【规范解答】解：∵这批椽的数量为株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴一株椽的价钱为文， 依题意得， 故选：A． 30．（2025·贵州铜仁·模拟预测）随着贵州旅游业的高速发展，让越来越多的人看见了贵州的大好山河．暑期来临，两队户外徒步露营爱好者计划同一天从贵阳市出发，沿两条不同的路线徒步游完乌蒙山周边自然景观，最后在九龙镇汇合．甲队走路线，全程120千米；乙队走路线，全程160千米．由于路线的路况没有路线好，甲队每天行驶的路程是乙队每天行驶路程的，最终甲队比乙队晚2天到达九龙镇． (1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地； (2)在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致．两队共需花费17640元，求的值． 【答案】(1)甲队计划6天到达目的地，则乙队计划4天到达目的地 (2) 【思路引导】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意找到等量关系建立对应的方程是解题的关键： （1）设甲队计划x天到达目的地，则乙队计划天到达目的地，根据甲队每天行驶的路程是乙队每天行驶路程的建立方程求解即可； （2）分别用含x的代数式计算出两队的费用，再根据总费用为17640元建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲队计划x天到达目的地，则乙队计划天到达目的地， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队计划6天到达目的地，则乙队计划4天到达目的地； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）． 题型11：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 31．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（    ） A． B． C．x D． 【答案】A 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，设数学兴趣小组人数为x人，根据“每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张新年贺年卡”列方程解答即可． 【规范解答】解：设数学兴趣小组人数为x人，列方程为， 故选：A． 32．（24-25八年级下·山东淄博·期末）列方程解决下列问题． 材料一：2023年7月6日~8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 材料二：2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 【答案】材料一：共有30支队伍参赛；材料二： 【思路引导】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用． 材料一：设共有支队伍参赛，根据赛程安排3天，每天安排145场比赛，建立一元二次方程求解即可； 材料二：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是，根据这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人用时比松延动力机器人少小时建立方程求解即可． 【规范解答】材料一：解：设共有支队伍参赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）或． 答：共有30支队伍参赛． 材料二：解：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是， 由题意得：， 整理得：， 解得（舍去）或， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：松延动力机器人的平均速度是． 33．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）瑞安市举行中学生象棋比赛实行的是循环赛，因此每个选手都必须与其他选手赛一场，既若有人参加，共赛一局；若有人参加，共赛局；若有人参加，共赛局……并且规定：每局赢者得分，输者得0分，如果平局，两个选手各得分．经统计，全部选手总分为分，试问如果选手这次比赛共得分，有无可能成为冠军？（    ） A．无可能 B．有可能 C．不能确定 D．一定能 【答案】D 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用—比赛积分问题，先根据比赛规定，可知选手的总人数为人；则每位选手比赛的场次为场，而选手这次比赛共得分，即选手每场都获胜，即可得出结论．了解单循环赛的规则及积分规定，求出参加比赛选手的总人数是解题的关键． 【规范解答】解：∵全部选手总分为分， ∴比赛的场次为， 设选手人数为人， 依题意，得：， 解得：，（舍去）， ∴选手人数为人， ∵每局赢者得分，每位选手比赛的场次为场，每位选手最高可得（分），又∵选手这次比赛共得分， ∴选手一定能成为冠军． 故选：D． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $