专项突破01 一元二次方程的解法（知识技巧点拨+9种高频考察题型 共36题）期中培优讲练-2025-2026学年苏科版数学九年级上册考前冲刺

专项突破01 一元二次方程的解法 （知识技巧点拨+9种高频考察题型 共36题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程 1 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 2 知识点梳理03：一元二次方程根的判别式 3 知识点梳理04：公式法解一元二次方程 3 知识点梳理05：因式分解法解一元二次方程 4 优选题型 考点讲练 4 题型1：解一元二次方程一直接开平方法 4 题型2：解一元二次方程—配方法 5 题型3：配方法的应用 6 题型4：公式法解一元二次方程 9 题型5：因式分解法解一元二次方程 10 题型6：换元法解一元二次方程 11 题型7：根据判别式判断一元二次方程根的情况 13 题型8：根据一元二次方程根的情况求参数 14 题型9：一元二次方程的根与系数的关系 15 知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 知识点梳理03：一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点梳理04：公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点梳理05：因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 题型1：解一元二次方程一直接开平方法 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是（　　） A．或1 B．或 C．或 D．1或3 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)当时，利用根的判别式判断方程根的情况； (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的的值．并求此时方程的根． 3．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)（用配方法）； (3) ； (4)． 4．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）解方程 (1)； (2)； (4) ， (4)． 题型2：解一元二次方程—配方法 5．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·阶段练习）解下列方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） 6．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 7．（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）解下列方程： (1) (2) (3)； 8．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3) （配方法）． 题型3：配方法的应用 9．（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”．解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________； (2)已知，则__________； (3)已知实数x、y满足，求的最值． 10．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有成立，所以，当时，有最小值． 【应用】 （1）代数式有最小值时，______； （2）代数式的最小值是______； 【探究】 求代数式的最小值，小明是这样做的： ． ∴当时，代数式有最小值，最小值为5． （3）请你参考小明的方法，求代数式的最小值，并求此时a的值． 11．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）（1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 12．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 题型4：公式法解一元二次方程 13．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段练习）已知关于的一元二次方程．． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若，求方程的解． 14．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）解方程 (1) (2) (3) 15．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）解下列一元二次方程： (1) (2) (4) (4) 16．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）解方程： (1)； (2)． 题型5：因式分解法解一元二次方程 17．（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)当方程的两个实数根都是整数时，求正整数的值． 18．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)当a取满足条件的最小整数值时，求方程的解． 19．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）阅读下面的例题： 解方程：． 解：原方程可化为：，即：． ∵，∴，∴，， ∴原方程的根是，． 请参照例题解方程：． 20．（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 题型6：换元法解一元二次方程 21．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为：     ，，  即或 (1)【引申】已知，则_____________． (2)【拓展】已知，求的值． 22．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读下面的例题． 解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成，解得，． 当时，；当时（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，． 请模仿上面的方法解方程：． 23．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）【阅读材料】解方程：． 解：设，则原方程可变形为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学中的转化思想． 【问题解决】请运用上述方法解方程：． 24．（25-26九年级上·四川成都·开学考试）解下列方程： (1)； (2)； (3) ； (4)． 题型7：根据判别式判断一元二次方程根的情况 25．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段练习）对于关于的一元二次方程，下列说法错误的是（　　） A．若方程的两个根是和，则 B．若，则方程有一个根是 C．若是方程的一个根，则一定有成立 D．若，且方程有实数根，则 26．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为2，求a的值； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根． 27．（24-25九年级上·四川·期末）已知方程组 (1)求证：不论k为何值，此方程组一定有实数解； (2)设等腰的三边长分别为a、b、c，其中，且 ，是该方程组的两个解，求的周长？ 28．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到化降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程： (1)； (2)； (3)已知实数a满足，则______． 题型8：根据一元二次方程根的情况求参数 29．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的所有整数的值为 ． 30．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有实数根． (2)若m为大于1的正整数，且该方程的根都是正整数，求m的值． 31．（25-26九年级上·山西晋城·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的一个根为，且m为负数，求m的值． 32．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程” (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于的一元二次方程．（是常数）是“邻根方程”，求的值． 题型9：一元二次方程的根与系数的关系 33．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料I：教材中我们学习了：若关于的一元二次方程的两根为，，根据这一性质，我们可以求出已知方程关于的代数式的值． 问题解决： （1）已知、为方程的两根，则：；；那么 ．（请你完成以上的填空） 阅读材料II：已知，且．求的值． 解：由可知 ． 又，且， 即， 是方程的两根． 问题解决： （2）若，且，则___________； （3）已知，，且．求的值． 34．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)证明：无论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根为，求它的另一个根和的值． 35．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． (1)根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； (2)若关于的方程是倍“梅石花”方程， ①请探究与之间的数量关系（用含的代数式表示）； ②直接写出的最小值是_________． (3)若方程为“状元来”方程，求证：． 36．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）已知关于的方程． (1)若该方程有一个根为3，求方程的另一根； (2)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破01 一元二次方程的解法 （知识技巧点拨+9种高频考察题型 共36题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程 1 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 2 知识点梳理03：一元二次方程根的判别式 3 知识点梳理04：公式法解一元二次方程 3 知识点梳理05：因式分解法解一元二次方程 4 优选题型 考点讲练 4 题型1：解一元二次方程一直接开平方法 4 题型2：解一元二次方程—配方法 8 题型3：配方法的应用 12 题型4：公式法解一元二次方程 16 题型5：因式分解法解一元二次方程 19 题型6：换元法解一元二次方程 22 题型7：根据判别式判断一元二次方程根的情况 26 题型8：根据一元二次方程根的情况求参数 30 题型9：一元二次方程的根与系数的关系 33 知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 知识点梳理03：一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点梳理04：公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点梳理05：因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 题型1：解一元二次方程一直接开平方法 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是（　　） A．或1 B．或 C．或 D．1或3 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，先将代入一元二次方程得到，将方程可化为，则，再解方程即可． 【规范解答】解：∵关于的一元二次方程的一个根为1， ∴，， ∴， ∷方程可化为， ∴， 解得，， 故选：C． 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)当时，利用根的判别式判断方程根的情况； (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的的值．并求此时方程的根． 【答案】(1)当时，方程有两个相等的实数根；当，且时，方程有两个不相等的实数根 (2)写出一组满足条件的的值为，此时方程的根为 【思路引导】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）先根据一元二次方程的定义可得，再求出一元二次方程根的判别式为，由此即可得； （2）先根据一元二次方程的定义可得，再求出一元二次方程根的判别式为，则可得一组满足条件的的值，然后代入解方程即可得． 【规范解答】（1）解：由一元二次方程的定义可知，， ∵， ∴关于的一元二次方程根的判别式 ， 当时，这个方程根的判别式，方程有两个相等的实数根； 当，且时，这个方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根； 综上，当时，方程有两个相等的实数根；当，且时，方程有两个不相等的实数根． （2）解：由一元二次方程的定义可知，， 关于的一元二次方程根的判别式， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴写出一组满足条件的的值为， 此时方程为，整理得：， 解得． 3．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)（用配方法）； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用直接开平方法求解即可； （）利用配方法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． 【规范解答】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或， ∴，； （3）解： ， 或 ∴，； （4）解：， 或， ∴，． 4．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）解方程 (1)； (2)； (3)， (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用因式分解法求解； （3）利用直接开平方法求解； （4）利用公式法求解． 【规范解答】（1）解： 或 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 或 解得，； （4）解： ， 解得，． 题型2：解一元二次方程—配方法 5．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·阶段练习）解下列方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查了解一元二次方程． （1）直接根据配方法求解即可； （2）直接根据公式法求解即可． 【规范解答】（1）解： 解得：， （2）解： ， 6．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，； 【思路引导】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）利用配方法求解方程即可； （2）利用因式分解的方法求解方程即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ， ，； （2）， ， ， 或， ，． 7．（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）解下列方程： (1) (2) (3)； 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【思路引导】本题主要考查解一元二次方程的能力，掌握直接开方法、配方法、公式法是解题的关键． （1）化系数为1，再直接开方求解即可； （2）两边同时加9，根据配方法解方程即可； （3）确定的值，运用公式法求解即可． 【规范解答】（1）， ， ， 解得或； （2）， ， ， ， 解得或； （3）， ， ， 有两个不同的根， 由求根公式 ， 所以解为或． 8．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 【答案】(1) (2) (3)， 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法步骤计算可得； （2）将常数项移到右边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得； （3）将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得． 【规范解答】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 题型3：配方法的应用 9．（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”．解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________； (2)已知，则__________； (3)已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为6，无最小值 【思路引导】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）把10分成1和9即可； （2）由，则且，然后分别求解即可； （3）先求出，则，然后由，从而即可求解． 【规范解答】（1）， 故答案为：； （2）， 且， 解得且， ． （3）∵， ∴， ， ， 的最大值为6，无最小值． 10．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有成立，所以，当时，有最小值． 【应用】 （1）代数式有最小值时，______； （2）代数式的最小值是______； 【探究】 求代数式的最小值，小明是这样做的： ． ∴当时，代数式有最小值，最小值为5． （3）请你参考小明的方法，求代数式的最小值，并求此时a的值． 【答案】（1）1；（2）3；（3）当时，代数式有最小值，最小值为 【思路引导】此题考查了配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质． （1）由可得时，取得最小值0； （2）由知可得答案； （3）把原式配方，再根据非负数的性质即可得出答案． 【规范解答】解：（1）代数式有最小值时，， 故答案为：1； （2）代数式的最小值在时，最小值为3， 故答案为：3； （3）， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 11．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）（1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当t的值为2时，的面积最大，最大值为 【思路引导】本题考查配方法的应用： （1）利用配方法求解； （2）利用配方法得出，即可求解； （3）用含t的式子表示出的面积，再利用配方法求解． 【规范解答】解：（1）， ，； 故答案为：； （2）， 当时，代数式有最小值，最小值是； 故答案为：； （3）解：由题意得：，则， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴当时，有最大值，最大值为4． 即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 12．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值 （2）①矩形鸡场的面积为；②当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米 【思路引导】本题主要考查配方法的运用，理解配方法的计算方法是关键． （1）根据材料提示的配方法求解即可； （2）①根据图示得到矩形的长及取值范围，由矩形的面积公式即可求解；②根据材料提示的配方法，结合矩形的面积公式即可求解． 【规范解答】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值； （2）①根据图示，矩形鸡场的长为米， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴矩形鸡场的面积为； ② ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值， ∴当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米． 题型4：公式法解一元二次方程 13．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段练习）已知关于的一元二次方程．． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若，求方程的解． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）利用公式法解方程即可． 【规范解答】（1）证明：在中， ， ， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：，且， ∴ 解得：． ， 解得， 方程的解为． 14．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)原方程无实数根 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）方程左边利用提公因式法分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先把原方程化为一般式，再把方程左边利用提公因式法分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （3）先把原方程化为一般式，再计算出判别式小于0，则原方程无解． 【规范解答】（1）解：∵ ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解；∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程无实数根． 15．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【思路引导】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法、因式分解法、公式法是解题的关键． （1）方程已为完全平方形式，通过开平方转化为两个一元一次方程即可求解； （2）先将方程转化为一元二次方程的标准形式，再通过因式分解法将方程转化为两个一元一次方程即可求解； （3）将方程通过移项，利用提取公因式法进行因式分解求解； （4）先确定一元二次方程的系数，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解方程的根． 【规范解答】（1）解：由，两边开平方得， 当时，， 当时，， ，； （2）由，移项得， ， 当时，， 当时，， ，； （3）由，移项得， ，即 当时，， 当时，， ，； （4）由，这里，，， ， ， ，． 16．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． 【规范解答】（1）解： ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，； （2）解： ， 或， 得，． 题型5：因式分解法解一元二次方程 17．（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)当方程的两个实数根都是整数时，求正整数的值． 【答案】(1)详见解析 (2)正整数的值为1或2 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程． （1）先求出，再根据根的判别式得出答案即可； （2）把方程的左边分解因式，求出方程的解，再根据方程的解是整数和m为整数得出答案即可． 【规范解答】（1）证明：， ， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）解：， ， 解得：，， ∵方程的两个实数根都是整数，即是整数， ∴正整数或2． 18．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)当a取满足条件的最小整数值时，求方程的解． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系，因式分解法解一元二次方程． （1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）求得a的最小整数值，代入得到，然后利用因式分解法求解即可． 【规范解答】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴a的最小整数值为0， 此时方程为， 则， 解得：，． 19．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）阅读下面的例题： 解方程：． 解：原方程可化为：，即：． ∵，∴，∴，， ∴原方程的根是，． 请参照例题解方程：． 【答案】或 【思路引导】此题考查了绝对值的性质和一元二次方程的解法，仿照题例解答即可求解，看懂题意是解题的关键． 【规范解答】解：原方程可化为，， 即， 因式分解得，， ∴或（不合，舍去）， 解得或． 20．（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，能根据方程选择恰当的解法是解题的关键． （1）将看作整体移项，再对方程左边进行因式分解，化为的形式，即可求解； （2）可求，，，，由求根公式，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， 或， ，； （2）解：，，， ， ， ，． 题型6：换元法解一元二次方程 21．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为：     ，，  即或 (1)【引申】已知，则_____________． (2)【拓展】已知，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【思路引导】本题考查了换元法在解复杂方程中的应用及非负代数式的取值判断，解题的关键是通过设新元将含平方、多项式乘积的复杂方程转化为一元二次方程，同时结合代数式（如平方数、二次三项式）的实际取值范围舍去不合理的解． （1）设（），将方程转化为，解一元二次方程后根据的非负性舍去负解； （2）设，将方程转化为，解一元二次方程后，通过配方判断的取值范围，舍去不符合的解． 【规范解答】（1）解：设， ∵，， ∴． 原方程变形为， 开方得或， 解得，． ∵， ∴舍去，即． 故答案为：． （2）解：设，原方程变形为， 整理得， 因式分解：， 解得，． 又∵， ∴不符合 条件， 故的值为． 22．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读下面的例题． 解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成，解得，． 当时，；当时（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，． 请模仿上面的方法解方程：． 【答案】， 【思路引导】本题考查了换元法解一元二次方程、绝对值的性质及一元二次方程的解法，解题的关键是通过换元法将含绝对值的复杂方程转化为普通的一元二次方程，再结合绝对值的非负性对解进行取舍． 先根据，将原方程化为；令，将方程转化为关于的一元二次方程，求解得，；根据绝对值的非负性，舍去；解，得，进而求出，． 【规范解答】解：原方程化为， 令，原方程化成， 解得：，， 当， ， 解得：，； 当时（舍去）． 则原方程的解是，． 23．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）【阅读材料】解方程：． 解：设，则原方程可变形为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学中的转化思想． 【问题解决】请运用上述方法解方程：． 【答案】，，， 【思路引导】本题考查解一元二次方程，理解题中解法是解答的关键．仿照题中解法，设，则原方程可变形为，解方程得，，进而分别解关于x的方程即可解答． 【规范解答】解：设，则原方程可变形为， 则 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，，，． 24．（25-26九年级上·四川成都·开学考试）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【思路引导】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，换元法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）用公式法求解； （2）用因式分解法求解； （3）先化为一般形式，再用公式法求解； （4）用换元法求解． 【规范解答】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， ，，， ， ， 即，； （2）， 两边同除以2，得， 方程左边分解因式，得， 所以或， 解得，； （3）， 去括号，得, 移项，得， 合并同类项，得， ，，， , 所以，； （4）设， 则原方程可化为， 去括号，得， 即， 所以， 所以或， 解得：或， 所以，， 解得：，． 题型7：根据判别式判断一元二次方程根的情况 25．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段练习）对于关于的一元二次方程，下列说法错误的是（　　） A．若方程的两个根是和，则 B．若，则方程有一个根是 C．若是方程的一个根，则一定有成立 D．若，且方程有实数根，则 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，根的与系数的关系，解一元二次方程以及根的判别式． 根据根的与系数的关系可判断A，根据一元二次方程的解法可判断B，根据一元二次方程的根可判断C，根据根的判别式可判断D，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：、∵方程的两个根是和， ∴， ∵， ∴， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，， ∴方程有一个根是，原选项说法正确，不符合题意； 、∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，原选项说法不一定正确，符合题意； 、∵， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 26．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为2，求a的值； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程解、根的判别式等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将代入方程得到关于a的方程求解即可； （2）利用一元二次方程根的判别式证明即可． 【规范解答】（1）解：∵该方程的一个根为2， ∴，解得：． （2）解：根据题意得：， ∴不论a取何实数，该方程都有两个实数根． 27．（24-25九年级上·四川·期末）已知方程组 (1)求证：不论k为何值，此方程组一定有实数解； (2)设等腰的三边长分别为a、b、c，其中，且 ，是该方程组的两个解，求的周长？ 【答案】(1)见解析 (2)10 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式和等腰三角形的性质，根据根的判别式和0的关系确定方程的根是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可得出方程根的情况，进而证明结论成立． （2）根据等腰三角形两腰相等可得出k的值，将其代入方程可求得b和c的值，再把a，b，c相加即可得的周长． 【规范解答】（1）把方程②代入①得：， 化简得： ∵ ∴原方程组一定有实数解． （2）∵是方程的两个解， ∴      ①．当是等腰三角形的腰时，则或 ∴方程必有一根为4， ∴   ∴， ∴方程为： ∵， ∴符合题意 ∴ ②．当是等腰三角形的底时，则， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴方程为：                                  ∴， ∵， ∴不合题意舍去． ∴的周长为10． 28．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到化降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程： (1)； (2)； (3)已知实数a满足，则______． 【答案】(1)， (2)，， (3) 【思路引导】本题主要考查了用换元法解方程，一元二次方程根的判别式，熟练运用换元法解方程是解题的关键． （1）设，把方程化为，求出，再代入，求出的值； （2）设，把方程转为，求出，再代入，求出的值； （3），将原方程化为关于的一元二次方程求解即可． 【规范解答】（1）解：， 设，则方程可化为：， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，此方程无实数根， 原方程的解是：，； （2）解： 整理得， 设， 则原方程可化为：， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，解得：， ∴原方程的解为：，，． （3）解：， 令， 则， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，此时，舍， 故答案为：． 题型8：根据一元二次方程根的情况求参数 29．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的所有整数的值为 ． 【答案】，， 【思路引导】本题考查了根据不等式组解的情况求参数，根据一元二次方程解的情况求参数，先求出不等式组的解集，根据解集的情况得出关于的不等式，求出的取值范围，再根据根的判别式及一元二次方程的定义求出的取值范围，进而综合两个解集即可求解，正确计算是解题的关键． 【规范解答】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴， 解得， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围为， ∴符合条件的所有整数的值为，，， 故答案为：，，． 30．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有实数根． (2)若m为大于1的正整数，且该方程的根都是正整数，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，已知方程的解求参数等知识. （1）求出判别式，证明判别式恒大于或等于零即可； （2）利用因式分解法求出方程的根，根据m为大于1的正整数，且该方程的根都是正整数即可求出m的取值． 【规范解答】（1）解：∵ ， ∴无论m取何值，此方程总有实数根； （2）解：方程可化为， ∴，， ∵m为大于1的正整数，且该方程的根都是正整数， ∴，解得， ∴． 31．（25-26九年级上·山西晋城·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的一个根为，且m为负数，求m的值． 【答案】(1)详见解析． (2)． 【思路引导】本题考查了一元二次方程跟的判别式，已知方程的解求参数． （1），当时，一元二次方程有两个不相等的实数根． （2）将代入方程中解关于m的一元二次方程即可． 【规范解答】（1）解：， ， 恒成立， 无论m取何值时，该方程总有两个不相等的实数根． （2）把代入得， 解得或， m为负数， ． 32．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程” (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于的一元二次方程．（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)是，计算见解析 (2)或 【思路引导】本题考查因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解一元二次方程，再根据题意即可得到答案； （2）根据题意利用公式法解一元二次方程，再列出两根相减等于1的式子，解出即可得到本题答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵符合“邻根方程”定义， ∴是“邻根方程”； （2）解：∵关于的二次方程．（是常数）是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴或， ①当时，即， 方程根为或， ∵， ∴， ∴，解得：； ②当时，即， 方程根为或， ∵， ∴， ∴，解得：； ③当时，即， 方程根为， 不符合题意，不存在的值使得其中一个根比另一个根大1， ∴综上所述：或． 题型9：一元二次方程的根与系数的关系 33．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料I：教材中我们学习了：若关于的一元二次方程的两根为，，根据这一性质，我们可以求出已知方程关于的代数式的值． 问题解决： （1）已知、为方程的两根，则：；；那么 ．（请你完成以上的填空） 阅读材料II：已知，且．求的值． 解：由可知 ． 又，且， 即， 是方程的两根． 问题解决： （2）若，且，则___________； （3）已知，，且．求的值． 【答案】（1）11；（2）；（3）． 【思路引导】本题考查一元二次方程根与系数的关系，能够正确的理解材料的含义，并熟练地掌握根与系数的关系是解答此题的关键． （1）根据根与系数的关系可求出和的值，然后利用完全平方公式将变形为，再代值求解即可； （2）根据材料中的解法将等式变形，然后将a、看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系，据此即可求解； （3）根据材料中的解法将等式变形，然后将m和看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系，据此即可求解． 【规范解答】解：（1）∵为方程的两根， ∴，， 故答案为：11； （2）， 由可知； ∴， ∴ 又，且，即； ∴a、是方程的两根， ∴，即； 故答案为：； （3）由可知； ∴， ∴， 又，且，即； ∴m、是方程的两根， ∴； ∴． 34．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)证明：无论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根为，求它的另一个根和的值． 【答案】(1)见详解 (2)它的另一个根为，的值为 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解；掌握一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根；、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键． （1）由根的判别式得，即可得证； （2）将该方程的一个根为代入方程即可求出的值，再由根与系数的关系得，即可求解． 【规范解答】（1）证明： ， 故该方程总有两个实数根； （2）解：该方程的一个根为， ， 解得：， 设另一个根为， ， 解得：， 故它的另一个根为，的值为． 35．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． (1)根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； (2)若关于的方程是倍“梅石花”方程， ①请探究与之间的数量关系（用含的代数式表示）； ②直接写出的最小值是_________． (3)若方程为“状元来”方程，求证：． 【答案】(1)4 (2)①；②1 (3)证明见解析 【思路引导】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． （1）利用因式分解法解方程可得，由此即可得； （2）①设这个方程的两个根为，则可得，，将代入化简即可得； ②先化简可得，再根据可得，由此即可得； （3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得，代入化简即可得证． 【规范解答】（1）解：， ， 解得， ∵， ∴是4倍“梅石花”方程， 故答案为：4． （2）解：①设这个方程的两个根为， ∴，， ∴， ∴． ②∵，为正整数， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为1， 故答案为：1． （3）证明：∵可化成， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 36．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）已知关于的方程． (1)若该方程有一个根为3，求方程的另一根； (2)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查的是一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系及根的判别式． （1）根据方程根的定义，把代入方程，求出的值，再由一元二次方程根与系数的关系得到方程的另一根； （2）根据一元二次方程的根的判别式列出关于m的代数式，再由完全平方式的非负性证明即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，将代入， 则， 解得， ∴方程为， 设另一个根为，则由一元二次方程根与系数的关系得： 解得， ∴另一个根为； （2）解：， ∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $