吉林省辽宁省名校2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

绝密★启用前（点石联考） 2025一2026学年度上学期高一年级10月份联合考试 数 学 回路缘回 本卷满分150分，考试时间120分钟。 ☆注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题 卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的) 1.方程x十2025=x十2026的所有解组成的集合为 A.0 B.{0》 C. D.{} 2.已知集合A=[-2,2],B={a,0},且B二A,则a的取值范围是 A.[-2,2] B.[-2,0)U(0,2] C.(-2,2) D.(-2,0)U(0,2) 3.2024年某大学强基计划规定，高考数学达145分的考生，可直接入围该大学强基计划.设甲：考 生高考数学达145分；乙：可直接人围该大学强基计划，则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4.下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成集合的是 A.Chinese B.Mathematics C.English .Physics 5设全集0=R,集合A=女0，B=N,则图中的阴影部分表示的集合为 U A.{1》 B.(1,2} C.{2) D.{1,2,3} 6.已知命题p:任何实数的平方都为正数；命题q:存在一个无理数使得其三次方为有理数，则 A.一饣和g都是真命题 B.p和q都是真命题 C.p和一q都是真命题 D.一p和g都是真命题 7.为了更加深人地了解辽宁，某地区高一某班倡导学生利用周末时间去参观沈阳故宫，兴城古城， 本溪水洞这三个地方，经统计该班共有55名同学，其中31个同学去了沈阳故宫，21个同学去了 兴城古城，30个同学去了本溪水洞，同时去了沈阳故宫和兴城古城的有10人，同时去了兴城古 城和本溪水洞的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方 的有 A.19人 B.22人 C.25人 D.28人 (点石联考)高一数学第1页（共4页） 8.定义集合间的运算A☒B={(x1y·22y2)|(1y1)∈A,(x2,y2)∈B},若A={(x,y)|x|+|y ≤2，x,y∈Z},B={(x,y)|x2+y2≤1，x,y∈Z),则A⑧B的非空真子集的个数为 A.2 B.3 C.6 D.7 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)】 9.已知集合A={x|-1<x<2},B={x3x-2>1},则 A.A∩B={x|1<x<2) B.AUB=(xlx>1) C,(CRA)∩B={x|x≥2} D.CR(AUB)={x|x≤-2} 10.设实数a,b,c满足-3<a<1<b<2<c,则下列不等式一定成立的有 A.1<2b-a<7 B.√c2+1<√6+1 C.bca D.|c+2|>a-1 11.若实数a,b满足a2+3b2=4+2ab,则 A.|a+bl≤23 B.ab≤√3+1 C.a2+b2≤4+√2 D.a2+3b2≤6+2√3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.设命题p:3x>1,x2=一x,则p的否定形式为 13.配平化学方程式可以通过解方程组来完成.例如，Mg在O2中燃烧生成Mg0,可以设方程式为 Mg十y0,点燃Mg0,其中x,y,之均为正整数，且它们的最大公约数为1.由方程式两边的同 种原子数目相等可得，令y=1,则x=2,2=2因此配平后的化学方程式为2g十 ,点燃2Mg0.用这种方式配平化学方程式NH,十yO, 化剂2N0十wH,0,四为正整数，则 xy,之，0分别为 14.已知不等式：x-1≤x2+ax+b≤2x2-3x+1恒成立，则a-b 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 设全集U=R,集合A={x|-3<x<5},B={x|x>m}. (1)当m=一2时，求AU(CB); (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求m的取值范围（最终答案用集合的形式表示）. (点石联考)高一数学第2页（共4页） 16.(本小题满分15分) 已知不等式ax2一3x+b<0的解集为(1,2). (1)求a,b; (2)若不等式amx2+amx+3≥0恒成立，求m的取值范围. 17.(本小题满分15分) 为贯彻绿水青山就是金山银山的发展理念，现规划一块沙漠中如图所示的矩形区域用于绿洲 灌溉.要求绿洲部分为面积为2.000m2的矩形.考虑到灌溉设备的布局，绿洲部分的两长边处需额 外留出宽8m的设备通道，两短边处需额外留出宽10m的设备通道.设绿洲部分的宽与长之比为 a(a≤1). (1)求使得规划区域面积最小的绿洲部分的a值； (2)若一共需要铺设200长的设备通道，求此时绿洲部分的长.（不考虑通道宽度） 设 10m 备通 绿洲部分 设备通道8m 18.(本小题满分17分) 已知集合A={xax=1},B={xx2-ax十b=0. (1)若a=2,且A二B,求b的值； (2)当a2≥4b时，若B二A,求a,b的值； (3)若A二B,讨论a,b的取值范围. 19.(本小题满分17分) 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函 数y=[x]称为高斯函数，现定义：[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.2]=1，[一1.2]=一2， 利用题干所给信息解决下列问题， (1)证明：Vx∈R,[x]-[x-1]=1; (2)求不等式2[x]+[x]一1<0的解集； (3)若[x]2一2[x]一a2+1≤0的解集为{x0≤x<3},求a的取值范围. (点石联考)高一数学第4页（共4页）点石联考10月高一联考 数学 回张回 参考答案 ▣ 2025一2026学年度上学期高一年级10月份联合考试·数学 说明： 二、 本解答给出的解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分；如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 c B A B A D C 二、多选题 9 10 11 AC ACD ABD 三、填空题 12.Hx>1,x2≠-x13.4,5,4,6(少写或者错写均不得分)14.-1 四、解答题 15.解：(1)当m=-2时，集合B={xx>-2}, (2分) 又因为全集U=R, 所以CB={xx≤一2}， (4分) 又因为集合A={x|一3<x<5},所以AU(CB)={xx<5}. (7分) (2)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A二B, (9分) 又因为集合B={.x|x>m},A={x|-3<x<5},所以m≤-3， 即m的取值范围为{mm≤一3}. (13分) 16.解：(1)由题意知，1和2是方程a.x2-3x十b=0的两根，x∈R. (2分) 1十，=3=3 由韦达定理可得 (4分) 0·2=2=2 a 第1页共5页 点石联考10月高一联考 数学 a=1 解得 (6分) b=2 (2)由(1)可知a=1,则可转化为不等式m.x2十m.x十3≥0恒成立， (7分) 则当m=0时，不等式0十0+3>≥0恒成立； (9分) 当m≠0时，不等式m.x2十m.x+3≥0对于x∈R均成立， (10分) m>0 等价于 (13分) L△=m2-12m≤0 解得m∈(0,12]，综上可得m∈[0,12]. (15分) 17.解：(1)设矩形绿洲的长为x,则宽为ax,由绿洲区域面积为2000m2,可知ax2=2000, 故a=2000 (1分) x2 因为存在设备通道，故规划区域的宽为ax十2×8=a.x+16, (2分) 长为x十2×10=x+20, (3分)》 故S=(ax+16)(.x+20)=ax2+20ax+16x+320=2320+16x+40000, (5分) 由基本不等式，16z+40000≥2,16z.40000-1600, (7分) 当且仅当16=40000，即x=50时等号成立， (8分) x 故此时a=2000、4 x2 5 (9分) (2)因为4=2000≤1，所以x≥205. x2 (10分) 由(1)知铺设管道长度等于绿洲部分的周长，故总共需要铺设的管道长度为2ax十2x=200,则(a+1)x =100, (12分) 又因为a=2000 整理得一元二次方程x2-100x+2000=0,解得x=50士10√5. (14分) 因为x≥20√5，所以x=50+10√5. （15分) 18.解：(1)a=2时，A= (1分) 由A二B可得(2)°-1十6=0，解得6=是 4 (2分) (2)当a≥4b时，方程x2-ax十b=0至少有一解. (4分) 当a=0时，A为空集，要使B二A,则B也为空集，即方程x2十b=0无解，显然矛盾，舍去； (6分) 当a≠0时，A-日}，若BEA,则方程2-a+6=0有且仅有一部为日 (8分) 则2-1+6=0，且4=a2-46=0:整理得方程a-4(1-）=0, (10分) 第2页共5页 点石联考10月高一联考 数学 解得c=2,故a=士E,6=子 (11分) (3)当a=0时，A为空集，必有A三B; (12分) 当a≠0时，A=日}，若ACB,若方程2-ax+6=0有且仅有一解为日 由上知：则a=士反，6= (14分) 若方程x2-a.x十b=0有两解，则2-1十b=0且△=a2-4b>0, 解得a≠0且a≠士E6=1-<1且分 (16分) 综上，当a=0时，b可以为任意实数：当a≠0时，b<1. (17分) 19.解：(1)对于A,设x的整数部分为a,小数部分为b,当a>0时，[x]=a,[x-1]=a-1,故[x]- [x-1]=1. (2分) 当a<0,b≠0时，[x]=a-1,[x-1]=a-2,故[x]-[x-1]=1;当a<0,b=0时，[x]=a,[x-1]= a-1,[x]-[x-1]=1,得证. (4分) (2)由2[]3+[]-1<0可得：(2[x]-1)(]+1D<0,解得-1<[]<号，又因为[x]≥0，故0≤[z] <3 (6分) 而[x]是整数，则得[x]=0,故0≤x<1,即不等式的解集为{x0≤x<1}. (8分) (3)不等式[x]2-2[x]-a2+1≤0，即([x]+a-1)([x]-a-1)≤0， 由方程([x]+a-1)([x]-a-1)=0可得[x]=1-a或1十a. (10分) ①若a=0,不等式为[x]-2[x]+1≤0，即[x]=1,所以1≤x<2,显然不符合题意； (12分) ②若a>0,1-a<1+a,由([x]+a-1)([.x]-a-1)≤0，解得1-a≤[x]≤1十a, 因为不等式的解集为{x|1一a≤[x]≤1十a}={x|0≤x<3}={x-1<[x]<3}, (13分) -1<1-a≤0 所以 ,解得1≤a<2. (14分) 2≤1+a<3 ③若a<0,1+a<1-a,由([x]+a-1)([x]-a-1)≤0，解得1+a≤[x]≤1-a, 因为不等式解集为{x|1十a≤[x]≤1-a}={x0≤x<3}={x-1<[x]<3}, (15分) -11+a0 所以 ,解得-2<a≤-1. 2≤1-a<3 综上所述，-2<a≤-1或1≤a<2.故a的范围为(-2，-1]U[1,2). (17分) 第3页共5页 点石联考10月高一联考 数学 答案详解 一、单选题 1.C【解析】原方程化简得2025=2026，显然无解，故原方程的所有解组成的集合为空集.故选C. 2.B【解析】由于B二A,则a的取值范围是[-2,0)U(0,2].故选B. 3.A【解析】由题意，高考数学达145分的考生，可直接入围该大学强基计划，但入围该大学强基计划不一 定只有考生高考数学达145分这一种方法，所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选A. 4.C【解析】根据集合的互异性，单词中包含相同字母的均不能以自身包含的所有字母为元素组成集合，故 仅C项符合条件.故选C. 5B【解析】市题意可得A-{女二≥0)=(<1或≥3，故A=(x1<<3,由韦恩图可知图 中表示的集合为(CA)∩B={1,2}.故选B. 6.A【解析】对于命题：易得0的平方仍为0，不是正数，故p是假命题，则一p是真命题；对于命题q:对 于x=2是无理数，其三次方x3=(2)3=2是有理数，所以命题q是真命题，则q为假命题.故选A. 7.D【解析】设去了沈阳故宫的同学组成集合A,去了兴城古城的同学组成集合B,去了本溪水洞的同学组 成集合C,依题意，n(AUBUC)=55,n(A)=31,n(B)=21,n(C)=30,n(AB)=10,n(B∩C)=7,而 n(A∩B∩C)=0,由容斥原理得55=31+21+30-10-7-n(A∩C),解得n(A∩C)=10,所以只去了一 个地方的有55-10-7-10=28（人）.故选D. 8.C【解析】对于B={(x,y)x2十y≤1，x,y∈Z},由于x,y∈Z,所以x,y至少有一个为0，故x2y=0, (x2y2)∈B.对于A={(x,y)|x十|y≤2，x,y∈Z,由于x,y∈Z,若有一方为士2，则另一方必定为0， 故此时必有x1y=0,(x1,y)∈A;若二者均不为0，则必有二者分别均为1或一1，此时x1y1=士1， (x1,y1)∈A,故A☒B中共有三个元素(1,0)，(0,0)，(-1,0)，A☒B的非空真子集的个数为23-2=6.故 选C. 二、多选题 9.AC【解析】解得B={xx>1},所以A∩B=《x1<x<2},故A正确；AUB={xx>一1}，故B错误； CRA={xx≤-1或x≥2}，故(CRA)∩B={xx≥2}，C正确；CR(AUB)={xx≤-1}，故D错误.故 选AC 10.ACD【解析】对于A,由题意可得-1<-a<3,2<2b<4,故1<2b-a<7,故A正确；对于B,由c>b >1可知c2+1>b+1,故√c2+1>√十I,故B错误；对于C,易得bc>2>a,故C正确；对于D,易得 -4<a-1<0,c+2>4,故|c十2>|a-1|,故D正确.故选ACD. 11.ABD【解析】因为a2+3b=4+2ab,所以(a-b)2十2b2=4,令t=a+b,则原式整理得6b-4tb十(t2- 第4页共5页 点石联考10月高一联考 数学 4)=0,由于b为实数，方程判别式需非负，有△=（一4t)2一4×6×(t2一4）=一8t2+96≥0，解得t≤12， 即a+b≤2√3，故A正确；a2+3b≥2√5ab,所以4+2ab≥2√3ab,整理得ab≤√3+1，当且仅当a2= 36时等号成立，故B正确：取a2=36,则此时a2+6=4十2ab-2b=4+4y5>4十V2,故C错误：a2+ 3 8b-4=2ab=23×aX3b≤23×a十3次，解得(3-3)a+3)≤12.解得a+36≤6+23，故D 3 2 正确.故选ABD. 三、填空题 12.Vx>1,x≠一x【解析】由存在量词命题的否定为全称量词命题可得p:Vx>1,x2≠一x.故答案为 /x>1,x2≠-x. (N:x=x 13.4,5,4,6(少写或者错写均不得分)【解析】由同种原子数目相等，有H:3.x=2w,令x=2,则心=3， 0:2y=x+w 之=2，y=2.5,由于各数均需要为整数，故同时乘2，所以x,y,之，心分别为4,5,4,6.故答案为4,5,4,6. 14.一1【解析】设函数y=x2十a.x十b,y1=x一1，y2=2.x2-3.x十1，由题意可得y≤y≤y2,注意到y(1)= y2(1)=0,故必然有y(1)=0,故1十a+b=0,b=-a-1,y=x2十a.x-a-1=(x十a十1)(x-1.而y2= 「(x+a)(x-1)≥0① (2x-1)(x-1),故x-1≤(x+a+1)(x-1)≤(2x-1)(x-1),可得 均恒成 (x-a-2)(x-1)≥0② 立，由①可得a=一1，将a=一1代人②式发现仍恒成立，则b=0,故a一b=一1，故答案为一1. 第5页共5页