2.2.1 有理数的乘法 基础讲义 2025-2026学年 青岛版（2024）数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦有理数的乘法法则及倒数概念，前承小学乘法意义与有理数加减运算，通过生活收支情境构建问题链，结合数轴直观抽象法则，后接实例解析与练习巩固，形成完整学习支架。 该资料以生活情境培养数学眼光，通过问题链发展推理意识，数轴与实例结合提升数学表达能力。课中辅助教师引导学生抽象法则，课后帮助学生巩固运算步骤与概念辨析，有效发展运算能力与应用意识。

2024新版·7年级上册数学讲义·青岛版 第2章 有理数的运算之2.2.1 有理数的乘法 2.2.1 有理数的乘法 在小学,我们已经学习了自然数、小数及分数的乘法计算。引入负数后,如何进行有理数的乘法运算呢？ 导入新课： 1. 在小学里我们学习了非负数的乘法,你知道2×3，3×的意义吗? 2×3可以表示2个3相加，也可以表示3个2相加； 3×可以表示3个相加，也可以表示3的。 求几个相同加数的和，叫作乘法。 一个数乘整数就是求几个相同加数和的运算， 一个数乘分数就是求这个数的几分之几。 乘法是加法的简便运算。 2. 在有理数加减运算中关键点是什么? 和小学里所学的加减运算的主要不同点是什么? 有理数的加减是先确定符号，再进行正数的加减，因此确定结果的符号是有理数加减运算的关键点，这也是与小学加减运算最主要的不同点。 由前面的学习我们知道，正数的加减法可以扩充到有理数的加减法，那么乘法是否也可以扩充呢? 引入负数后,如何进行有理数的乘法运算? 观察与发现 活动一: 探究有理数乘法法则 为开展生活垃圾分类工作,小莹所住的小区以有偿的方式对可回收物进行回收.小莹记录了每周投放可回收物、购买文具的收支情况,其中收入为正,支出为负.下表是她近两周的收支情况(单位:元)。 时间 项目 可回收物 文具 第一周 +5 -2 第二周 +3 -6 问题1: 如果小莹连续3次投放可回收物,每次收入2元.共收入多少元? 如果每次收入2元，记作+2元，那么连续3次投放可回收物共收入6元，记作+6元。 师：你能用算式表示这个计算过程吗? 生：由乘法的意义可得(+2)×3=+6；用加法求(+2)+(+2)+(+2)=+6。 师：你能把算式(+2)×3=6在数轴上表示吗? 生：运算(+2)×3=6的实质就是(+2)+(+2)+(+2)=+6，因此模仿有理数加法在数轴上的表示方法，把算式(+2)×3=+6在数轴上表示,如图所示： 问题2: 小莹连续3次购买文具,每次支出2元,共支出多少元? 你能用算式表示这个计算过程吗? 如果每次支出2元,记作-2元，连续3次购买文具共支出6元，记作-6元.用算式表示为(-2)×3=-6。 你能把这个算式在数轴上表示出来吗? 把算式(-2)×3=-6在数轴上表示,如下图所示： 问题3:观察算式(+2)×3=+6和(-2)×3=-6,你发现了什么? 可以从因数的符号和积两方面找规律。 从因数上看,2到-2，变为其相反数； 3到3,没变； 而积是由6到-6,变为其相反数(可从数轴上看出)。 （+2）×3=+6 这一过程可用右图直观表示: （-2）×3=- 6 相反数 相反数 即当将两个因数中的一个变为它的相反数时,积也变为原来积的相反数。有 (-2)×3=-[(+2)×3],即(-2)×3=-(2×3)。 问题4 :由(-2)×3=-(2×3),可以得出(-2)×3是负数,并把它们的绝对值2和3相乘.那么,把2×3中的3变为它的相反数,即2×(-3)该怎么计算呢? 把3变成0,即(-2)×0该怎么计算呢? 2×(-3)=-(2×3)=-6，(-2)×0=0。 问题5 :按照这种规律,你能算出(-2)×(-3)等于多少吗? 从(-2)×3=-6入手,将3换成-3,然后根据前面发现的规律,得到(-2)×(-3)=-(-6)=6.这一过程可用右图直观表示: （-2）×3 =- 6 （-2）×（-3）=+ 6 相反数 相反数 也可以按下列思路思考:从(-2)×3=-(2×3)入手，将3换成-3，然后根据前面发现的规律,得到(-2)×(-3)=-[(-2)×3]=-[-(2×3)]=6。 你能从以上的运算中,得到有理数乘法法则吗? 举出几个类似的算式,验证你的结论。 知识点一 有理数乘法法则 1. 法则 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘，仍得这个数。 拓展：有理数的乘法法则有以下结论 （1） 如果两个数的积为正数，那么这两个数同正或同负； （2） 如果两个数的积为负数，那么这两个数一正一负； （3） 如果两个数的积为0，那么这两个数中至少有一个是0； （4） 一个数与1相乘，积仍是这个数； （5） 一个数与-1相乘，积为这个数的相反数。同号得正 - ×（- ）= +（×）=， + ×（- ）= -（×）=- 。 2. 有理数乘法运算的步骤 (1) 1根据因数的符号确定积的符号；绝对值相乘 (2) 根据因数的绝对值确定积的绝对值。异号得负 举例说明（见右图）：绝对值相乘 例1 计算： （1）（-4）×（-6）； （2）2.5×（-4）； （3）（-）×1； （4）（-）×（-5）； （5）（-2025）×0。 思考：进行有理数乘法运算的第一步干什么? 怎样确定积的符号? 先确定积的符号,再把绝对值相乘。 解：（1）（-4）×（-6） （同号两数相乘） =+（4×6） （积的符号为正，并把绝对值相乘） =24。 （2）2.5×（-4） （异号两数相乘） · =-（2.5×4） （积的符号为负，并把绝对值相乘） =-10。 （3）（-）×1 = -（×）=-。（带分数化为假分数） （4）（-）×（-5）=1。 （5）（-2025）×0=0。 注意： （1） 书写乘法算式时称号后面的负因数必须带括号。例如2.5×（-4）不能写成2.5×-4。 （2） 在进行乘法运算时，带分数要化成假分数，以便于约分；当因数中既有分数又有小数时，可根据算式的特点，把分数化为小数或把小数化为分数再相乘。 知识点二 倒数 1. 倒数的定义 问题:在小学,大家学习过乘积是1的两个数是什么关系? 乘积是1的两个数互为倒数。 像例(4)这样,（-）×（-5）=1,我们说-与-5互为倒数。 有理数范围内倒数的定义: 与正有理数倒数的意义相同,乘积是1的两个有理数互为倒数。 拓展： （1）如果ab=1，那么ab互为倒数；反之，如果a，b互为倒数，那么ab=1。 （2）判断所求倒数是否正确，可检验它们的乘积是不是1。 2. 求倒数的方法 类型1：求非零整数a的倒数 方法：用这个数作分母，1作分子，即写成 示例：3的倒数是，-3的倒数是- 类型2：分数（m≠0，n≠0）的倒数 方法：把这个数的分子和分母交换位置，即的倒数为 示例： - 的倒数是- ，的倒数是 类型3：带分数的倒数 方法：先把带分数化成假分数，再交换分子和分母的位置 示例： - 1 = -，所以- 1 的倒数是- 类型4：小数的倒数 方法：先把小数化成分数，再求其倒数 示例：- 0.5= - ，所以- 0.5的倒数是-2 注意：因为0不能作除数，所以0没有倒数。有理数中只有0没有倒数。 提示：倒数等于本身的数是±1。 例2 写出下列各数的倒数： （1）-12； （2）0.25； （3）；（4）-5； （5）1；（6）-1。 解：（1）-12的倒数是- 。 （2）0.25的倒数是4。（将0.25化为） （3）的倒数是。 （4）-5的倒数为- 。（将带分数-5化成假分数-） （5）1的倒数是1。 （6） -1的倒数是-1。 提示： 倒数与相反数辨析 相同点 都是成对出现 不 同 点 内容 相反数 倒数 性质 若a,b互为相反数，则a+b=0 若a,b互为倒数，则a×b=1 判定 若a+b=0，则a,b互为相反数 若a×b=1，则a,b互为倒数 结果 正数的相反数是负数， 负数的相反数是正数， 0的相反数是0。 正数的倒数是正数， 负数的倒数是负数， 0没有倒数。 练习（p39） 计算： （1） （-3.6）×（-2）； （2）（+0.4）×（-125）； （3）（- ）×（- ）； （4）6× （- ）。 解： （1）（-3.6）×（-2）=+（3.6×2）=7.2。 (2) （+0.4）×（-125）=-（0.4×125）=-50。 (3) （- ）×（- ）=+（×）=。 (4) 6× （- ）=-（6×）=-4。 重点内容总结 乘法法则 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘，积仍得0。 有 理 数 的 乘法 乘积是1的两个有理数互为倒数 倒数 1 学科网（北京）股份有限公司 $