专题07 直线交点坐标与各种距离全方位总结（九大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题07 直线交点坐标与各种距离全方位总结（九大题型） 考点01 由直线交点的个数求参数 考点02 三线围成三角形面积问题 考点03 直线交点系方程 考点04 两点间距离公式的妙用 考点05 由点到直线距离求参数 考点06 点关于线对称问题 考点07 平行线间距离考点 考点08 线关于点及线关于线对称问题 考点09 将军饮马求最值问题 考点01 由直线交点的个数求参数 1．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是 . 2．已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数k，使得直线的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C．对任意的实数k，直线与直线都不重合 D．对任意的实数k，直线与直线都不垂直 3．写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 4．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程. 5．已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点02 三线围成三角形面积问题 6．已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 7．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．平面直角坐标系Oxy中，射线，，过作直线分别与交于A，B两点. (1)若，求直线的方程; (2)求面积的最小值. 9．设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 10．已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 考点03 直线交点系方程 11．已知点，和直线l：（），直线l与线段AB有公共点，则m的取值范围是 . 12．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 13．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 14．已知直线：，. (1)证明直线过定点，并求出点的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程； (3)若直线不经过第四象限，求的取值范围. 15．已知直线，，，以下结论正确的是（ ）． A．不论a为何值时，与都互相垂直 B．直线过定点，过定点 C．如果与交于点，则点M的轨迹方程为 D．如果与交于点，则的最大值是 考点04 两点间距离公式的妙用 16．在平面上的线段及点，在上取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. 设是长为2的线段，则点集所表示图形的面积是 . 17．已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为 ． 18．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则的取值范围是 . 19．已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为 ． 20．在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（   ） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 考点05 由点到直线距离求参数 21．若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 22．（1）已知三角形的三个顶点是，，，边上的高所在直线为，求直线关于点对称的直线的方程. （2）已知两条直线，若，求的值. 23．已知三个顶点分别是． (1)当时，求边的高所在的直线方程； (2)若的面积为，求点的坐标满足的关系． 24．已知点到直线的距离为3，则实数等于（   ） A．3 B． C．0或3 D．0或 25．将直线向下平移2个单位长度得到直线；将直线绕坐标原点逆时针旋转得到直线，则（    ） A．， B．， C．， D．， 考点06 点关于线对称问题 26．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则（    ）. A． B． C． D． 27．已知点P在直线上，点，则的最小值为 28．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 29．已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 30．已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点， (1)求反射光线所在的方程； (2)在直线上求一点，使；若点在直线上运动，求的最小值． 考点07 平行线间距离考点 31．下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距是 C．过点且在轴截距相等的直线方程为 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 32．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 33．已知三条直线：，，，且与间的距离是， (1)求 的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由 34．已知点到直线的距离均为，求直线的方程． 35．已知直线． (1)求经过点，且垂直于直线的直线的方程； (2)求与直线平行，且到直线的距离为的直线的方程． 考点08 线关于点及线关于线对称问题 36．下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 37．以下四个命题为真命题的是（    ） A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．直线关于对称的直线方程为 38．点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 39．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线与相交于点 B．直线和轴围成的三角形的面积为 C．直线关于原点O对称的直线方程为 D．直线关于直线对称的直线方程为 40．已知直线与关于原点对称，则恒过点（    ） A． B． C． D． 考点09 将军饮马求最值问题 41．已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 42．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 43．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 44．已知点，，在直线上，则的值可能为（   ） A． B． C． D．3 45．三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为 . 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 直线交点坐标与各种距离全方位总结（九大题型） 考点01 由直线交点的个数求参数 考点02 三线围成三角形面积问题 考点03 直线交点系方程 考点04 两点间距离公式的妙用 考点05 由点到直线距离求参数 考点06 点关于线对称问题 考点07 平行线间距离考点 考点08 线关于点及线关于线对称问题 考点09 将军饮马求最值问题 考点01 由直线交点的个数求参数 1．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 2．已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数k，使得直线的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C．对任意的实数k，直线与直线都不重合 D．对任意的实数k，直线与直线都不垂直 【答案】ABD 【分析】举例即可说明A、C；分以及，得出直线与直线的关系，即可得出B项；根据直线垂直列出方程，求解方程，即可说明D项. 【详解】对于A项，当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角为，故A项正确； 对于B项，当时，直线的方程为，与重合，此时两直线有公共点； 当时，有，即一定相交. 综上所述，对任意的实数k，直线与直线都有公共点，故B项正确； 对于C项，由B可知，当时，直线与重合，故C项错误； 对于D项，要使直线与直线垂直，则应有，该方程无解， 所以对任意的实数k，直线与直线都不垂直，故D项正确. 故选：ABD. 3．写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 【答案】，3，（写出一个即可） 【分析】根据方程组无解，讨论其中一方程无解、两方程表示的直线平行、一方程表示直线过，另一方程表示直线不过该点的情况得解. 【详解】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解； 当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点， 若两直线平行，则，解得. 若两直线不平行时，过点，即，解得或， 此时，不过点，方程组无解. 综上，的取值为. 故答案为：，3，（写出一个即可） 4．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程. 【答案】 【分析】设其中一个交点坐标，结合对称性可得方程，即可得解. 【详解】设l1与l的交点为A(a，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上， 代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4， 即点A(4，0)在直线l上， ∴直线l的方程为即x＋4y-4＝0. 5．已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意联立方程得，再解不等式即可得答案； 【详解】联立，得， ∵直线与射线恒有公共点， ∴， 解得. ∴m的取值范围是. 故选：C. 考点02 三线围成三角形面积问题 6．已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【详解】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C 7．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，求得的坐标，可得的面积的表达式，然后把各选项代入，根据方程解的个数即可判断. 【详解】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，， 令，得；令，得，则， 所以的面积为， 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，此方程无解， 所以满足条件的直线有2条，故A错误； 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，解得， 所以满足条件的直线有3条，故B正确； 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，解得， 所以满足条件的直线有4条，故C错误； 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，解得， 所以满足条件的直线有4条，故D错误. 故选：B. 8．平面直角坐标系Oxy中，射线，，过作直线分别与交于A，B两点. (1)若，求直线的方程; (2)求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线上去交点坐标，由向量的关系，建立方程，解得一个交点坐标，写出直线方程； （2）讨论直线斜率是否存在，当斜率不存在时，显然没有三角形，舍去；当斜率存在时，设直线方程，联立方程组求解出点坐标得到的值，由点到直线的距离公式得到三角形的高，用三角形面积公式得到三角形面积的表达式，通过的取值范围得到函数的最小值. 【详解】（1）设，， 则， ∵，∴，∴， 则，∴，即 （2）当直线与的斜率不存在时，，与两个交点重合，舍去； 当直线与的斜率存在时，设，联立方程组解得，即； 同理，联立方程组，解得，即， 原点到直线的距离 ∵，∴，当时，最大，此时取最小值， ∴最小值为. 9．设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【分析】写出对应直线的方向向量，讨论直线垂直求参数a，再根据所得参数值研究直线的位置情况，即可得答案. 【详解】由题设，的方向向量分别为，，， 若，则， 此时，，，它们交于一点，不符； 若，则或或， 当时，，，，满足题设； 当时，，，，满足题设； 当时，，重合，不符； 若，则或， 当时，，，，满足题设； 当时，同上分析，不符. 综上，、、时满足要求，故有3组. 故选：B 10．已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 【分析】联立方程组解得交点坐标，列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可. 【详解】由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得； 当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得. 故的值为. 故答案为：（只需写出其中一个即可）. 考点03 直线交点系方程 11．已知点，和直线l：（），直线l与线段AB有公共点，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先求直线所过的定点，再求边界的斜率，再利用数形结合，写出范围. 【详解】，得，所以直线过点， ，， 若直线与线段有公共点，所以直线斜率的取值范围是. 故答案为： 12．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【分析】设交点系方程，结合直线过求方程即可. 【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 13．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解. 【详解】直线，当，得， 即点， 直线，当，得，即点， 且两条直线满足，所以，即， ， ，当时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A 14．已知直线：，. (1)证明直线过定点，并求出点的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程； (3)若直线不经过第四象限，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，点的坐标为 (2)或 (3) 【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点； （2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可； （3）分①，②，③，且三种情况进行讨论分析解决. 【详解】（1）证明：整理直线的方程，得， 所以直线过直线与的交点， 联立方程组， 解得， 所以直线过定点，点的坐标为. （2）当截距为0时，直线的方程为，即， 当截距不为0时，设直线的方程为， 则， 解得， 直线的方程为，即， 故直线的方程为或. （3）当时，直线的方程为，符合题意； 当时，直线的方程为，不符合题意； 当，且时，， 所以 解得或， 综上所述，当直线不经过第四象限时， 的取值范围是：. 15．已知直线，，，以下结论正确的是（ ）． A．不论a为何值时，与都互相垂直 B．直线过定点，过定点 C．如果与交于点，则点M的轨迹方程为 D．如果与交于点，则的最大值是 【答案】ABD 【分析】A.根据两直线垂直的公式，即可判断； B.根据含参直线过定点问题，即可判断； C.取特殊点，即可判断； D.首先求交点的坐标，代入两点间距离公式，即可判断. 【详解】对于A，恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确； 对于B,无论为何值，直线过定点，过定点，故B正确； 对于C，（0，0）能使方程成立，但不能使直线方程成立，故C不正确； 对于D，联立，解得，即， 所以，所以的最大值是，故D正确． 故选：ABD． 考点04 两点间距离公式的妙用 16．在平面上的线段及点，在上取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. 设是长为2的线段，则点集所表示图形的面积是 . 【答案】 【分析】先分析出该集合所对应的图形形状，再分别计算各部分图形的面积，最后将各部分面积相加得到总面积. 【详解】已知集合所表示的图形是一个边长为的正方形和两个半径是的半圆.如图所示. 将正方形面积和圆的面积相加，可得点集所表示图形的面积. 故答案为：. 17．已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为 ． 【答案】或， 【分析】表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，即可得到直线方程. 【详解】因为直线与轴、轴分别交于点、点， 所以直线的斜率存在，可设直线的方程为， 所以，，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 此时直线的方程为或， 故答案为：或， 18．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设点，由距离公式得到，则，求出的取值范围，即可得解. 【详解】设点，依题意可得， 即， 则， 所以， 因为，当且仅当时取等号， 由，解得，所以，则， 所以. 故答案为： 19．已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为 ． 【答案】 【分析】由则函数的图象关于点中心对称，不妨设直线AC的方程为，由，解得或或，则，同理可得，由，即，即可求解. 【详解】函数的图象关于点中心对称， 不妨设直线AC的方程为， 由，得， 解得或或， 则， 同理可得， 由，得， 即， 即， 即， 令，则这两条直线的斜率之和为． 故答案为： 20．在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（   ） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式、两点间距离公式逐项分析判断. 【详解】对于A，直线的斜率，直线的斜率， ，即，为直角三角形，A正确； 对于B，直线的斜率，点共线，B错误； 对于C，在中，，， ，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD    考点05 由点到直线距离求参数 21．若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 22．（1）已知三角形的三个顶点是，，，边上的高所在直线为，求直线关于点对称的直线的方程. （2）已知两条直线，若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用两点斜率公式与直线的垂直关系，结合直线的点斜式方程求得的方程，再利用点线距离公式，结合中心对称性的性质即可得解； （2）利用两直线平行的性质得到关于的方程，解后再进行检验即可得解. 【详解】（1）因为点，，所以， 因为，所以，且直线经过点， 所以直线的方程为，即. 设直线的方程为， 由点到直线和直线的距离相等， 所以，解得或（舍去）， 所以直线的方程为. （1），又， ，解得或， 当时，，此时； 当时，，此时重合，舍去； 综上，. 23．已知三个顶点分别是． (1)当时，求边的高所在的直线方程； (2)若的面积为，求点的坐标满足的关系． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出，即可得到边的高所在直线的斜率，再由点斜式计算可得； （2）首先求出直线的方程与，设点到直线的距离为，由面积公式求出，再利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 当时，所以边的高所在直线的斜率， 所以边的高所在的直线方程为，即； （2）因为直线的方程为，即， 又， 设点到直线的距离为，因为的面积为，所以，即，解得； 又，则或，即或， 所以点的坐标满足的关系为或. 24．已知点到直线的距离为3，则实数等于（   ） A．3 B． C．0或3 D．0或 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故选：D 25．将直线向下平移2个单位长度得到直线；将直线绕坐标原点逆时针旋转得到直线，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平移的规律求出；由题意得，且原点到两直线的距离相等，求得，结合图形检验即可. 【详解】将直线即，向下平移2个单位长度得到直线，即， 因为直线，所以； 因为将直线绕坐标原点逆时针旋转得到直线， 所以，且原点到两直线的距离相等， 所以，解得或， 则直线方程为或， 作出图形如下，    由图可知，直线不符合“直线绕坐标原点逆时针旋转得到直线”， 直线符合题意，此时. 故选：B. 考点06 点关于线对称问题 26．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求图纸的折痕所在的直线方程，由题意得点在直线上，得，又直线与直线以及轴相交于点，即可求，进而求解. 【详解】由题意有：，点的中点， 所以图纸的折痕所在的直线方程为，即，令，得，即， 又由轴与直线也正好重合，则点在直线上， 所以， 又因为直线与直线以及轴相交与点， 所以，代入，解得， 所以， 故选：D. 27．已知点P在直线上，点，则的最小值为 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值. 【详解】如图，设关于直线的对称点为，则， 解得，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 28．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 29．已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【答案】(1). (2). (3) 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【详解】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 30．已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点， (1)求反射光线所在的方程； (2)在直线上求一点，使；若点在直线上运动，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，求出点关于直线的对称点的坐标，反射光线为直线两点式写出方程，化简整理成一般式方程； （2）点是线段的垂直平分线与的交点，求出线段的垂直平分线，解方程组求交点坐标即可，设，整理之后为， 转化为求的最小值，这是与线段中点的距离的平方，其最小值为到直线的距离的平方． 【详解】（1）如图所示： 设线段中点，点关于直线的对称点，直线与直线交于， 因为直线与直线垂直，并且过点， 所以其方程为，即， 由，，解得，，即坐标为， 因为、两点关于直线对称，所以关于点对称， 所以，， 点坐标为， 根据光线反射定律，反射光线经过、两点， 由直线的两点式方程得： 直线方程为， 即反射光线所在直线的方程为 （2）线段的垂直平分线为，因为， 所以点在直线上，又因为点在直线上， 所以点为直线与交点， 由，的坐标可知， 线段中点，直线斜率为， 所以其垂直平分线斜率， 因其经过点，由直线的点斜式方程得直线的方程为 ，即， 与直线的方程联立 解方程组得点坐标为 设点坐标为，令， 则 ， 要使最小，则当且仅当最小， 可表示为点到点的距离的平方， 当，即计算点到直线的距离时取到最小值， 此时是点到直线的距离，由点到直线距离公式得 ， 所以． 考点07 平行线间距离考点 31．下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距是 C．过点且在轴截距相等的直线方程为 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 【答案】ABD 【分析】利用变换主元法确定直线过定点可判定A项；利用截距的定义可判定B项；分类讨论截距是否为零结合截距式可判定C项；利用直线平行的充要条件及距离公式可判定D项. 【详解】对于A，由，显然时，恒成立， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B，根据直线的斜截式定义可确定直线在y轴上的截距是，故B正确； 对于C，若截距均为0，则该直线为； 若截距不为0，可设该直线方程为，代入点可得， 即，故C错误； 对于D，由两直线平行可知， 此时方程可化为，故两直线距离为， 故D正确. 故选：ABD 32．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 【答案】或13 【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，即可得到答案． 【详解】由题意，，因为，所以，解得，所以：，即， 由两平行直线间的距离公式得，解得或． 在中，令，得，故直线在x轴上的截距为或13. 故答案为：或13. 33．已知三条直线：，，，且与间的距离是， (1)求 的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由 【答案】(1)； (2)存在点. 【分析】（1）由两平行线间距离公式代入数据即可求解； （2）由点在第一象限，结合点到线的距离公式列出等式求解即可. 【详解】（1）， 与间的距离为， 即 ， ， ； （2）假设存在，设点， 由条件知，点在与平行的直线上， 且， 或， 或， 由条件知，， ，即或， 因为点在第一象限，，舍， 或 解得（舍），， 所以存在点同时满足①②③． 34．已知点到直线的距离均为，求直线的方程． 【答案】或或 【分析】分别讨论点的位置，再利用平行线间距离公式和点到直线距离公式建立方程，求解参数，最后得到直线方程即可. 【详解】当点在直线的同侧时，得到， 由斜率公式得直线的斜率为， 故直线的方程为，化简得， 则可设直线的方程为， 因为两平行直线间的距离为，所以，解得或， 直线的方程为或， 当点在直线的两侧时，得到线段的中点在直线上， 即点在直线上，且直线的斜率存在，可设直线为， 由点到直线的距离公式得，解得． 所以直线的方程为． 综上，直线的方程为线或或． 35．已知直线． (1)求经过点，且垂直于直线的直线的方程； (2)求与直线平行，且到直线的距离为的直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系好点斜式方程可得； （2）设出所求方程，利用平行直线的距离公式求解可得. 【详解】（1）由题知，直线的斜率为，所以，所求直线的斜率为， 又直线过点，由点斜式方程得所求直线方程为， 整理得． （2）设所求直线方程为：， 则，，或， 或为所求． 考点08 线关于点及线关于线对称问题 36．下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 【答案】D 【分析】求出三角形的面积判断A；求出两点的中点坐标判断B；在直线上取点，求出对称点判断C；求出关于点的对称直线的方程判断D. 【详解】对于A，直线与两坐标轴交于，则所求三角形面积为，A错误； 对于B，点和的中点不在直线上，则点关于直线的对称点不是，B错误； 对于C，在直线上取点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，而点不在直线上，C错误； 对于D，在所求方程的直线上任取点，则该点关于点的对称点为在直线上， 于是，即，因此所求的直线方程为，D正确. 故选：D 37．以下四个命题为真命题的是（    ） A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．直线关于对称的直线方程为 【答案】BCD 【分析】举例说明判断A；求出直线斜率的范围，进而得倾斜角范围判断B；求出直线所过定点计算判断C；利用对称求出直线方程判断D. 【详解】对于A，在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线可以过原点，方程为，A错误； 对于B，直线的斜率，当时，倾斜角； 当时，倾斜角，因此倾斜角的范围是，B正确； 对于C，直线恒过定点，当且仅当与直线垂直时，点到该直线距离最大，此时直线的斜率，因此，C正确； 对于D，设所求直线上任意点，则它关于对称的点在直线上， 则，整理得，D正确. 故选：BCD 38．点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 39．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线与相交于点 B．直线和轴围成的三角形的面积为 C．直线关于原点O对称的直线方程为 D．直线关于直线对称的直线方程为 【答案】AC 【分析】通过联立方程组求得交点坐标，结合三角形的面积、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由解得，所以交点坐标为，A选项正确. 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线过原点，由图可知，直线和轴围成的三角形的面积为， 所以B选项错误. 由上述分析可知，直线关于原点O对称的直线过点， 所以直线关于原点O对称的直线方程为， 所以C选项正确. 点关于直线的对称点是； 点关于直线的对称点是， 所以直线关于直线对称的直线方程为， 即，所以D选项错误. 故选：AC 40．已知直线与关于原点对称，则恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线恒过点，然后利用关于原点对称的性质求出其对称点，即可得解. 【详解】因为直线恒过点，点关于原点对称的点的坐标为， 所以直线恒过点. 故选：A 考点09 将军饮马求最值问题 41．已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 42．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【详解】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 43．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点为，则最短路程为.根据点关于 直线的对称问题，列方程组，可求得，再应用两点间的距离公式求即可. 【详解】如图，作点关于直线的对称点为，    则，解得， 所以. 则“将军饮马”的最短总路程为. 故选：C. 44．已知点，，在直线上，则的值可能为（   ） A． B． C． D．3 【答案】BC 【分析】利用对称性以及两点间的距离公式来求得正确答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即关于的对称点为，且， 所以，当三点共线时取等号， 故BC选项符合题意， 故选：BC 45．三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为 . 【答案】 【分析】利用轴对称求得对称点，结合图象，可得答案. 【详解】由，则其关于轴的对称点为， 设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 作图如下： 的周长. 故答案为：. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $