专题11 双曲线标准方程及其性质全方位总结（十大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题11 双曲线标准方程及其性质全方位总结（十大题型） 考点01 利用双曲线的定义求方程 考点02 双曲线上点到焦点的距离最值问题 考点03 焦点三角形周长面积问题 考点04 双曲线轨迹问题 考点05 有关双曲线渐近线考点 考点06 求双曲线离心率定值问题 考点07 求双曲线离心率取值范围问题 考点08 双曲线对称问题 考点09 直线与双曲线联立问题 考点10 等轴双曲线问题 考点01 利用双曲线的定义求方程 1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆相切的条件，结合双曲线的定义求轨迹方程. 【详解】由已知圆半径为， 如图，当两圆外切时，设的中点为，即为圆心， ，即， 取，连接，O是中点，则， 因此， 当两圆内切时，记动点为，的中点为D， 则，所以， 因为点、分别是、的中点，所以， 所以， 所以动点P满足，而， 所以点P轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， ，则，又，因此， 双曲线方程为， 故选：A. 2．在平面直角坐标系xOy中，已知是动点．下列命题正确的是（   ） A．若，则M的轨迹的长度等于2 B．若，则M的轨迹方程为 C．若，则M的轨迹与圆有交点 D．若，则的最大值为3 【答案】AD 【分析】根据选项中的的关系，列出关于的等式，分析等式的几何意义即可求解. 【详解】对于A，因为，所以的轨迹为线段， 从而的轨迹的长度等于2，故A正确； 对于B，因为， 由双曲线的定义，知的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 而选项中的方程中未限制范围，故B错误； 对于C，由，得， 化简，得，联立，方程组无解， 所以的轨迹与圆没有交点，故C错误； 对于D，由，得， 化简得，所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 等于在轴上的投影的长度，由图知其最大值为3，故D正确. 故选：AD． 3．在平面直角坐标系中，已知点点的轨迹为.则的方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义待定系数法求解即可，由于是双曲线的一支，注意横坐标的范围. 【详解】由题，点M的轨迹是为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， 故可设C的方程为， 由题：，解得：, 故C的方程为. 故答案为：． 4．代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程的的值为 . 【答案】 【详解】方程变形后，几何意义为平面内一点到两定点距离之差为，由双曲线定义得到点在双曲线左支上，代入求出. 【分析】由， 得， 其几何意义为平面内一点到两定点距离之差为， 由于，由双曲线定义可得点在双曲线的左支上， 所以，解得或（舍去）. 故答案为：. 5．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出，即得动圆圆心的轨迹和轨迹方程. 【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切， 则，， 则， 故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支. 又因，解得，故其轨迹方程为. 故选：D. 6．一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意，， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 故答案为： 7．已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程. 【详解】因为，故的轨迹为双曲线的右支， 且半焦距，实半轴长，故虚半轴长为， 的轨迹方程为：. 故答案为：. 8．在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内切圆的性质，结合双曲线的定义，可得答案. 【详解】如图，设与圆的切点分别为，则有，所以. 根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（右顶点除外）， 即，又，所以，所以方程为. 故选：B. 9．在直角坐标平面内，已知，若，则点所在曲线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意判断满足双曲线的定义，通过双曲线的定义求出所求的方程即可． 【详解】因为在直角坐标平面内，已知，， 所以点满足双曲线的定义，到与到的距离的差是常数2，轨迹是双曲线的一支． 由题意可知，，所以， 所求的点所在曲线的方程为：，即． 故答案为：． 10．在平面直角坐标系中，已知是动点．下列命题正确的是（    ） A．若，则的轨迹的长度等于2 B．若，则的轨迹方程为 C．若，则的轨迹与圆没有交点 D．若，则的最大值为3 【答案】ACD 【分析】对于A，确定M点轨迹，即可判断；对于B，结合双曲线定义进行判断；对于C，求出M点轨迹方程，联立方程或利用向量数量积判断与圆的交点情况，即可判断；对于D，求出动点M的轨迹方程，进而求解数量积最值，即可判断. 【详解】选项A：因为，所以的轨迹为线段， 从而的轨迹的长度等于2，故A正确； 选项B：因为，由双曲线的定义知，的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 而结论的方程中未限制范围，故B错误；（由，得的轨迹方程为） 选项C：解法一：由，得， 化简得，，联立，得， 这与矛盾，所以方程组无解，故的轨迹与圆没有交点，故C正确； 解法二：若有交点，则， 又，矛盾， 所以的轨迹与圆没有交点，故C正确； 选项D： 解法一：由得，， 化简得， 所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 等于在轴上的投影的长度， 由图知其最大值为3，故D正确； 解法二：同法一得的轨迹是以为圆心，半径为的圆， ，由圆的方程知可取到最大值3，故D正确； 解法三：由得，， 当在的反向延长线上时取等号， ①； ②当在的反向延长线上，且时， 满足条件，此时， 所以的最大值为3，故D正确； 故选：ACD． 考点02 双曲线上点到焦点的距离最值问题 11．已知双曲线，若上一点到一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离为 . 【答案】13 【分析】根据双曲线定义求解. 【详解】由双曲线，得，设其左、右焦点分别为， 则由双曲线的定义得，， 不妨设，则有(舍去)或， 故P到另一个焦点的距离为13. 故答案为：13. 12．双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【详解】双曲线，. 设双曲线的两个焦点为，，已知，由双曲线定义，即. 当时，可得； 当时，可得.所以或. 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为. 对于双曲线，可得. 那么，因为，，所以. 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值. 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B 13．已知P为双曲线上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，若，则的值为 （   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，去绝对值求解即可. 【详解】由双曲线的定义及标准方程可知：，即， 解得或（舍去）. 故选：D. 14．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【答案】A 【分析】根据双曲线定义可求得，再根据或或即可得解. 【详解】根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 15．如图，椭圆和双曲线的公共焦点分别为，是椭圆与双曲线的一个交点，则 . 【答案】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义得到的方程组，由此可求，则的结果可知. 【详解】由椭圆定义可知：，由双曲线定义可知：， 解得，所以， 故答案为：. 16．双曲线的左焦点为，，点为双曲线右支上的动点且周长的最小值为14，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义将转化为，然后利用三点共线时取最小值求解即可. 【详解】∵，， ∵周长的最小值为14， ∴的最小值为14，即的最小值为， 设右焦点为，则，即， 则，即三点共线且依次排列时等号成立， 此时，即最小值为，得， ∵，∴离心率. 故选：A. 17．已知双曲线上一点P到左焦点的距离为12，那么点P到右焦点的距离为 . 【答案】2/22 【分析】根据双曲线的定义可求得结果. 【详解】已知双曲线，则， 设点P到右焦点的距离为， 根据双曲线上一点到两焦点距离差的绝对值等于可得，， 解得或，经验证均符合题意， 故答案为：2或22. 18．下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．若直线经过第一象限、第二象限、第四象限，则 C．已知双曲线左焦点为，是双曲线上的一点，则的最小值是 D．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，则的最小值是 【答案】BC 【分析】举例说明判断A；利用直线横纵截距符号判断B；利用双曲线的意义求出最小值判断C； 利用椭圆定义求出最小值判断D. 【详解】对于A，当时，直线与直线垂直，A错误； 对于B，直线的横纵截距分别为，依题意，，因此，B正确； 对于C，双曲线实半轴长，半焦距，为左焦点， 当为左顶点时，，C正确； 对于D，点在椭圆外，其长半轴长，点， 而，则， 当且仅当是线段与椭圆的交点时取等号，D错误. 故选：BC 19．已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可. 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 20．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】D 【分析】首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求的最小值，再联立方程求交点坐标. 【详解】由题意并结合双曲线的定义可得 ， 当且仅当，，三点共线时等号成立. 而直线的方程为，由可得，所以， 所以点的坐标为. 所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为. 故选：D. 考点03 焦点三角形周长面积问题 21．若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为 . 【答案】4 【分析】由题意，易知为直角三角形，根据勾股定理和双曲线的定义计算可得，结合三角形的面积公式计算即可求解. 【详解】双曲线中，解得， 所以，得，所以， 故为直角三角形，得， 由双曲线的定义知， 所以， 得，所以. 故答案为：4 22．设满足，且，则的面积为（   ） A．3 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】根据点的轨迹方程及可得，结合勾股定理及可得从而得的面积. 【详解】依题意，所以， 所以． 又，即， 所以，所以. 故选：A． 23．已知点为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的内切圆半径为，由，得到，结合双曲线的定义，求得，再由，得到，即可求解. 【详解】设的内切圆半径为，因为， 所以，可得， 因为点为双曲线右支上一点， 所以，可得，解得， 又因为，可得，整理得， 即，解得或（舍去）. 故选：C. 24．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于 . 【答案】24 【分析】利用双曲线定义易得，结合得为直角三角形，即可求面积. 【详解】由题设，令且，则，即， 所以，而，则， 所以为直角三角形，且，故其面积为. 故答案为： 25．已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【分析】由双曲线的定义求解即可； 【详解】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12， 故选：A 26．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右支分别交于的内切圆半径为的内切圆半径为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根举双曲线的定义表示各边，在和中应用余弦定理，根据面积比求出答案. 【详解】设， 则，， 故在和中由余弦定理可得， 即，解得，则 又因为，则， 故选：D. 27．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射关线的反向延长线经过双曲线的左焦点．设，若双曲线：的左，右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点，，，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义及勾股定理求解即可. 【详解】由，，则，， 设，，则，， 由双曲线定义得，， ，解得， 所以，， 在直角三角形中，， 则，即，又， ，解得. 故答案为：3. ， 28．已知为坐标原点，在双曲线的左支上，是该双曲线的左焦点.为的中点，则 . 【答案】5 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】设是双曲线的右焦点，连接，    又在双曲线的左支上，所以， 又，所以， 又为的中点，为的中点， 所以. 故答案为：. 29．已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先由的面积得，再由勾股定理结合双曲线的定义以及即可求解. 【详解】由题得，所以， 因为，所以， 则，所以即， 又，所以即. 故选：B. 30．设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 【答案】1 【分析】根据题意结合双曲线对于可得，，结合勾股定理可得，即可得面积. 【详解】由双曲线方程可得， 不妨设，则，， 若，则，可得， 即，则， 所以的面积为. 故答案为：1. 考点04 双曲线轨迹问题 31．若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可. 【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得，所以, 所以，点的轨迹为双曲线的右支. 设双曲线的方程为，则，，， 所以，点的轨迹方程为. 故选：D. 32．已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得. 【详解】设点，则， 化简即得：. 即点的轨迹方程为：. 故选：B. 33．已知点与点关于直线对称. (1)求点的坐标m，n（用表示）； (2)若点在曲线上，求点所在曲线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用对称特性列出方程组求解即得. （2）由（1）的结论，与联立消去即可得解. 【详解】（1）依题意，，解得. （2）依题意，，所以. 整理得：（其中）， 所以点所在曲线的方程为. 34．方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件利用双曲线的定义、标准方程，求得双曲线的标准方程. 【详解】根据， 可得点到点的距离差的绝对值等于， 结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线， ，则，，所以，， 故方程为：， 故选：A. 35．已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，根据斜率得到，化简即可. 【详解】设，由题意可知，， 整理可得动点的轨迹方程为. 故答案为：. 36．动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数，动点M的轨与经过点且倾斜角为的直线交于D、E两点． (1)求动点M的轨迹方程； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得，整理得M的轨迹方程； （2）直线方程为代入得由弦长公式求. 【详解】（1）设，由已知得， 整理得，即动点M的轨迹方程为； （2）由已知条件得直线方程为， 由与消y得 ，∴直线与双曲线有两个交点， 设，则 所以. 故线段的长. 37．已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出动点坐标为，根据斜率之积为4列出等式，化简即可. （2）首先直线斜率存在且经过点，设出直线方程并将其与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件算出斜率，进而由弦长的计算公式直接计算即可. 【详解】（1）设点的坐标为，因为，，所以， 化简得：.所以的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意； 设，，直线方程为， 与联立得：， 由且，解得且， 由韦达定理得， 因为线段中点在第一象限，且纵坐标为， 所以，解得或（舍去）， 所以直线为，所以， 所以. 38．已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得. 【详解】圆，即，圆心为，半径， 设动圆的半径为， 若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 若动圆与圆相外切，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 综上可得动圆圆心的轨迹方程是. 故选：C 39．已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设圆的半径为，根据题意可得，两式相减，再结合双曲线的定义即可得解. 【详解】设圆的半径为， 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为圆与圆、圆外切， 则， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 又，则， 所以其轨迹方程为． 故答案为：． 40．在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线的斜率之积等于，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线交于，两点，直线与交点是否在一条定直线上？若是，求出这条直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)点在直线上 【分析】（1）设，由斜率公式得到方程，整理即可得解； （2）依题意直线的斜率不为，设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线、的方程，即可得到直线，的交点的坐标满足，根据韦达定理求出，即可求出，从而得解. 【详解】（1）解：设，则，得，即， 故轨迹的方程为：． （2）解：根据题意，直线的斜率不为， 设直线的方程为， 由，消去并整理得， 其中． 设，，则，． 显然， 从而可设直线的方程为①， 直线的方程为②， 所以直线，的交点的坐标满足：． 而 ， 因此，，即点在直线上． 考点05 有关双曲线渐近线考点 41．已知曲线（其中为参数），下列说法正确的有（    ） A．若，，则曲线是椭圆 B．若，则是双曲线，其渐近线方程为 C．方程不能表示直线 D．当，时，曲线C的离心率等于 【答案】BD 【分析】A，整理成标准椭圆方程的形式，以此判断； B，，说明异号，方程可转化为双曲线标准方程形式，可得渐近线方程； C，判断当或时，方程是否为直线方程； D，方程可转化为双曲线标准方程形式，代入双曲线离心率公式求解. 【详解】若，，则曲线的方程可整理成，显然，，则曲线是椭圆， 当时，曲线C是圆，不是椭圆，A错误； 当时，若，，方程化为：，令，， 若，，方程化为：，令，， 渐近线方程为，B正确； 当，时，方程为，即（两条平行直线）， 当，时，方程为，即（两条平行直线）， 当时，方程无意义，故方程可表示直线，C错误； 当，时，方程化为：，令，， 则，即曲线C的离心率等于，D正确. 故答案为：BD. 42．已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线．垂足为．若恒成立，则的离心率的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意画出草图，结合草图找到不等关系，再利用双曲线的离心率公式化简求范围. 【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为， 设，则点到渐近线的距离. 由双曲线的定义可得，故， 所以，即的最小值为， 因为恒成立，所以恒成立，即恒成立， 所以，，即，即， 所以，，即，解得. 故答案为：. 43．费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出双曲线的一些性质，例如，若点是双曲线（、为的两个焦点）上的一点，则在点处的切线平分.双曲线的左、右焦点分别为、，右顶点到一条渐近线的距离为，右支上一动点处的切线记为，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．当轴时，则内切圆圆心横坐标为 C．当轴时，则与轴交点横坐标为 D．过点作，垂足为， 【答案】ACD 【分析】利用点到直线的距离公式求出的值，结合双曲线的离心率公式可判断A选项；利用切线长定理结合双曲线的定义可判断B选项；求出、的值，结合角平分线定理可判断C选项；利用延长、交于点，利用双曲线的定义、中位线的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，双曲线的渐近线方程为，即， 则点到渐近线的距离为，解得， 所以，双曲线的离心率为，A对； 对于B选项，如下图所示： 设的内切圆圆分别切三边于点、、， 由切线长定理可得，，， 所以， 所以，解得，即内切圆圆心横坐标为，B错； 对于C选项，设直线交轴于点，由题意，，则， 易知点，将代入双曲线的方程得，解得，即， 由双曲线的定义可得，故， 由角平分线定理得，故， 即，故，C对； 对于D选项，延长、交于点， 因为，且，故，即为的中点，， 又因为为的中点，所以，D对. 故选：ACD. 44．已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，曲线表示半径为的圆 B．当时，曲线表示离心率为的椭圆 C．当时，曲线表示轴所在的直线 D．当时，曲线表示渐近线为的双曲线 【答案】ABC 【分析】分别将代入，得到不同的方程，再根据方程的特点，说明曲线类型即可判断. 【详解】对于A，当时，曲线，即， 所以曲线表示的是以原点为圆心，半径为的圆，故A正确； 对于B，当时，，即， 所以，所以， 所以曲线表示离心率为的椭圆，故B正确； 对于C，当时，，即， 所以曲线表示轴所在的直线，故C正确； 对于D，当时，，即， 所以，所以曲线表示渐近线为的双曲线，故D错误. 故选：ABC. 45．已知点在左、右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 【答案】BC 【分析】根据方程可求渐近线方程和离心率，求出可判断CD选项. 【详解】由题意可得，焦点在轴上，所以， 渐近线方程为，离心率为，A错误，B正确； 不妨设点在双曲线的右支上，所以， 因为，所以， 所以，C正确； ，所以，D错误. 故选：BC 考点06 求双曲线离心率定值问题 46．已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】2 【分析】由题意得，再结合即可求解. 【详解】渐近线方程为， ∵点F到渐近线的距离为，∴，即，所以． 故答案为：. 47．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】结合双曲线的定义求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】由题意得得， 在中，由余弦定理得， 得，则， 得（负值舍去）． 故选：C 48．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，过作垂直于轴的直线与两渐近线分别交于点，若为等边三角形，则的离心率为 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，求出双曲线渐近线，进而求出，再由正三角形的性质建立方程求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为，直线方程为， 由对称性得，令，则， 由为等边三角形，得，即， 解得，所以的离心率. 故答案为：2 49．如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设曲线与圆锥的底面圆交于点，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，得到及点坐标，即可求出，从而求出离心率. 【详解】设曲线与圆锥的底面圆交于点，, 则,为等边三角形， 设为的中点，取的中点， 过作，交直线于点，过点作轴， 建立如图平面直角坐标系，设双曲线方程为， 得到,又,所以, 则 则，故， 从而求出离心率. 故选：A. 50．若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】 根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线的离心率. 【详解】 根据双曲线的定义，可得， 因为是等边三角形，即， 所以，即， 又，所以， 因为中，，，， 所以， 即，解之得， 由此可得双曲线的离心率． 故答案为： 考点07 求双曲线离心率取值范围问题 51．记双曲线的离心率为e，若直线与双曲线C有公共点，则离心率的取值范围为 ．（请用区间表示） 【答案】 【分析】由题意，转化为比较直线与渐近线的斜率，再求离心率的范围. 【详解】双曲线的渐近线的斜率， 若过原点的直线与双曲线C有公共点， 则直线的斜率小于，即，则， 所以离心率的取值范围是. 故答案为： 52．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用表示出，从而得到，结合的范围可得结果. 【详解】 设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，， 是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内， ， 即，，且，， ，，解得：． 在双曲线中，，； 在椭圆中，，； ； ，，则，， 可得：， 的取值范围为. 故答案为： 53．直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于C、D两点（从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线Γ的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先设直线方程及四个点，联立后分别求出两根和和两根积，根据得出，再利用，，成等差数列，可得，利用及韦达定理进行化简可得出，即可求离心率的范围. 【详解】由题意可知，直线的斜率存在，故设直线， 设， 联立，可得， 则，， 则 ， 联立，可得， 则，， 则， 因为，所以， 即， 则， 化简得， 因为，所以，所以，即得， 因为，所以中点为的中点，所以， 因为成等差数列，所以， 又因为从左到右依次排列，所以， 所以， 则 ， 得， 与联立得，， 因，则， 又，则，则，则， 综上， 双曲线Γ的离心率的取值范围是. 故答案为： 54．已知为椭圆与双曲线的公共左、右焦点，为它们在第一象限的一个公共点，且，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，利用椭圆、双曲线定义，结合余弦定理求出的关系，再借助三角代换求出最大值. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，椭圆及双曲线的半焦距为， 则，解得，，而，， 在中由余弦定理得，， 化简得，于是，令， 则，其中锐角由确定， 当时，取最大值. 故选：C 55．已知双曲线.若直线与有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线斜率与双曲线渐近线斜率关系结合离心率的齐次式即可求解. 【详解】双曲线的一条渐近线为， 因为直线与双曲线有公共点，故有，即， 所以，所以.所以， 所以的离心率的范围为. 故选：D. 考点08 双曲线对称问题 56．已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是 ． 【答案】/ 【分析】利用双曲线的对称性和题设条件，推出正三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化成关于的齐次方程，解方程即得. 【详解】    如图，因直线与双曲线的图象均关于原点对称，故， 且直线的斜率为，故倾斜角为，即，则是正三角形， 则可得点的坐标为，代入，整理得： ， 因，代入整理得：， 即，解得，因，故. 故答案为：. 57．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】联立的方程与渐近线方程，可得坐标，根据两点斜率公式结合平行求解的斜率，即可化简得，进而可求解离心率. 【详解】由题意可得，， 由于为平行四边形，故, 直线的方程为，渐近线方程， 联立， 故, 所以， 因此，化简得， 故离心率为， 故答案为：    58．函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的值为 . 【答案】2011 【分析】依题意，作出函数的图象，由方程有三个不同的实数根转化成函数图象与直线有三个不同的交点即得. 【详解】 当时，由化简可得，， 它表示椭圆在轴（含轴）上方的部分图象，如图所示； 当时，由化简可得，， 它表示双曲线在轴（含轴）上方的部分图形，如图所示. 则方程恰有三个不同的实数根，即函数的图象与直线由三个不同的交点，由图知. 故答案为：2011. 59．已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据对称性利用中位线性质求得，再利用渐近线的斜率与直角三角形中角的正切值相等关系待定，进而得到相关长度求面积即可. 【详解】由对称性，不妨设点关于渐近线的对称点为， 设与该渐近线交于点M，则，且. 由分别是与的中点，知且， 又右焦点，渐近线方程即， 故点到渐近线的距离为， 则在中，，解得， 所以由得，， 所以. 故选：D. 60．已知双曲线的焦点为，，点在上且其关于原点的对称点为,，四边形的面积为6，则双曲线的方程为 ． 【答案】 【分析】设双曲线方程，根据题设可推得矩形，利用四边形的面积为6求出，即得点的坐标，代入双曲线方程，计算即得. 【详解】 如图，设双曲线的方程为：， 过点作于点，因点关于原点对称，又，则四边形为矩形， ，由四边形的面积为6，得，因，则， 于是，如图可取, 代入双曲线方程可得，，解得，， 故双曲线的方程为. 故答案为：. 考点09 直线与双曲线联立问题 61．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意可设：，再代点即可得到双曲线的方程； （2）设，联立可得，再通过计算即可证明垂直. 【详解】（1）因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. （2）证明：设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以. 62．设双曲线，点，是双曲线的左右顶点，点在双曲线上．若，点 (1)求双曲线的方程； (2)，斜率为的直线过点，直线与双曲线只有一个交点，求的值 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求解即可； （2）当斜率等于渐近线斜率时，满足题意，当斜率不等于渐近线斜率时，联立双曲线方程与直线方程得，由判别式为0即可求解，结合以上两种情况即可得解. 【详解】（1）由题意有：，解得，所以双曲线的方程为． （2）（i）令，解得，所以的值可以是， （ii）当时，过点的斜率为的直线的方程为， 联立双曲线方程与直线方程得，化简得， 因为直线与双曲线只有一个交点， 所以，解得； 综上所述，的值为或. 63．已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 64．已知双曲线的焦点在轴上，离心率，且点在该双曲线上． (1)求的标准方程． (2)若直线与双曲线的右支相切于点，与直线相交于点，线段MN的中点为，则在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在轴上存在定点，使得，且点坐标为 【分析】（1）根据双曲线的离心率，以及点在双曲线上联立即可. （2）根据题意，设直线的方程，直线与双曲线联立方程组可得，直线与直线相交可求得，假设存在定点，使得，由题中条件可得，利用进行计算即可. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为（，）， 由已知得，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）依题意，直线的斜率必存在，设其方程为， 由，可得，因为直线与双曲线的右支相切于点， 设，则有， 整理得，由根与系数的关系可得，则， 于是，即，又直线与直线相交于点，所以， 假设存在定点，使得，如图，连接，，因为线段的中点为， 所以，即， 不妨设，则，， 得到， 所以有，解得，即， 故在轴上存在定点，使得． 65． 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【分析】（1）首先由点差法求出直线方程，然后联立直线方程与双曲线方程，判断判别式是否大于0即可； （2）联立直线与双曲线方程，根据题意列出的不等式即可求解. 【详解】（1）当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为， 又双曲线，右顶点为在直线l上， 所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段的中点，则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率，                所以直线l的方程为，即，     验证:将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点. （2）设直线l的方程为:， 将其代入双曲线方程得， 依题意有，解得. 考点10 等轴双曲线问题 66．已知曲线，则下列结论中错误的是（    ） A．曲线与直线无公共点 B．曲线关于直线对称 C．曲线与圆有三个公共点 D．曲线上的点到直线的最大距离是 【答案】D 【分析】分类讨论方程表示曲线的类型，画出曲线的图象，再逐项判断. 【详解】当时，曲线方程为，表示圆的一部分， 当时，曲线方程为，表示焦点在x轴上的等轴双曲线的一部分， 当时，曲线方程为，表示焦点在x轴上的等轴双曲线的一部分， 其图象如图所示：    A. 因为是等轴双曲线的渐近线，曲线与直线无公共点，故正确； B. 将方程中的互换后方程不变，所以曲线关于直线对称，故正确； C. 圆的圆心为， 又，即当时， 曲线与圆相切，所以有三个公共点，故正确； D. 作与直线平行的直线与曲线切于点上的点到直线的最大距离是，故错误； 故选：D 67．已知等轴双曲线的左、右焦点分别，，且焦距为，分别是在第二象限和第一象限上的一点，且. (1)求的方程； (2)若直线的斜率为，求直线的斜率； (3)若四边形的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据题意结合等轴双曲线的定义列式求，即可得方程； （2）设直线，，根据向量平行可得，结合韦达定理可得，代入运算求解即可； （3）根据双曲线方程利用两点间距离公式和倾斜角推得，，结合面积关系可得，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）可知：，    设直线，， 联立方程，消去可得， 则，可得， 因为， 若，则， 即，整理可得， 又因为， 可得，解得， 此时即为，解得或（舍去）， 此时，即， 所以直线的斜率. （3）设， 则，即， 可得， 设直线的倾斜角为，则， 可得，解得， 同理可得， 此时梯形的高为， 可知梯形的面积， 整理可得，解得或（舍去）， 可知或，则直线的斜率， 所以直线的方程，即. 68．已知反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到，若的三个顶点均在双曲线上，则垂心的轨迹方程是 ．（三角形三条高线交于一点，此点即为垂心） 【答案】 【分析】设垂心坐标为， 且三个顶点都在等轴双曲线上，即，再计算边的垂线方程，并求垂心的坐标，可得垂心的横纵坐标的乘积为，即垂心的轨迹方程就是等轴双曲线本身. 【详解】等轴双曲线上三点的垂心的轨迹方程就是等轴双曲线本身. 证明如下： 由题意，反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到， 故证明采用反比例函数. 设垂心的坐标为， 且三个顶点都在等轴双曲线上， 设三个顶点坐标为, 所以直线的方程为， 即， 因为,即， 所以直线的方程为， 同理由,即， 所以直线的方程为， 所以由， 解得的垂心坐标为， 即垂心的横纵坐标的乘积为， 所以垂心的轨迹方程就是原来的等轴双曲线本身. 故答案为：.    69．已知双曲线，则（    ） A．的取值范围是 B．时，的渐近线方程为 C．的焦点坐标为 D．可以是等轴双曲线 【答案】ACD 【分析】选项A，利用双曲线的标准方程，即可求解；选项B，根据条件，利用求双曲线渐近线的求法，即可求解；选项C，由选项A知焦点在轴上，再由，即可求解；选项D，利用等轴双曲线的定义，即可求解. 【详解】对于选项A，因为表示双曲线，所以，解得，所以选项A正确； 对于选项B，当时，双曲线方程为，其渐近线方程为，所以选项B错误； 对于选项C，由选项A得0，所以焦点在轴上，设的半焦距为， 则，解得，故其焦点坐标为，所以选项C正确； 对于D，若为等轴双曲线，则，解得，所以选项D正确， 故选：ACD. 70．圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，正确， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， 正确， 对于C，记，所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，错误， 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，正确， 故选：ABD. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 双曲线标准方程及其性质全方位总结（十大题型） 考点01 利用双曲线的定义求方程 考点02 双曲线上点到焦点的距离最值问题 考点03 焦点三角形周长面积问题 考点04 双曲线轨迹问题 考点05 有关双曲线渐近线考点 考点06 求双曲线离心率定值问题 考点07 求双曲线离心率取值范围问题 考点08 双曲线对称问题 考点09 直线与双曲线联立问题 考点10 等轴双曲线问题 考点01 利用双曲线的定义求方程 1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知是动点．下列命题正确的是（   ） A．若，则M的轨迹的长度等于2 B．若，则M的轨迹方程为 C．若，则M的轨迹与圆有交点 D．若，则的最大值为3 3．在平面直角坐标系中，已知点点的轨迹为.则的方程为 . 4．代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程的的值为 . 5．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6．一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 7．已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ． 8．在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 9．在直角坐标平面内，已知，若，则点所在曲线的方程为 . 10．在平面直角坐标系中，已知是动点．下列命题正确的是（    ） A．若，则的轨迹的长度等于2 B．若，则的轨迹方程为 C．若，则的轨迹与圆没有交点 D．若，则的最大值为3 考点02 双曲线上点到焦点的距离最值问题 11．已知双曲线，若上一点到一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离为 . 12．双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 13．已知P为双曲线上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，若，则的值为 （   ） A．4 B．6 C．8 D．10 14．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 15．如图，椭圆和双曲线的公共焦点分别为，是椭圆与双曲线的一个交点，则 . 16．双曲线的左焦点为，，点为双曲线右支上的动点且周长的最小值为14，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 17．已知双曲线上一点P到左焦点的距离为12，那么点P到右焦点的距离为 . 18．下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．若直线经过第一象限、第二象限、第四象限，则 C．已知双曲线左焦点为，是双曲线上的一点，则的最小值是 D．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，则的最小值是 19．已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 考点03 焦点三角形周长面积问题 21．若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为 . 22．设满足，且，则的面积为（   ） A．3 B． C．9 D． 23．已知点为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 24．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于 . 25．已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 26．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右支分别交于的内切圆半径为的内切圆半径为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射关线的反向延长线经过双曲线的左焦点．设，若双曲线：的左，右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点，，，，则的值为 ． 28．已知为坐标原点，在双曲线的左支上，是该双曲线的左焦点.为的中点，则 . 29．已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（   ） A． B．2 C． D．4 30．设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 考点04 双曲线轨迹问题 31．若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 32．已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 33．已知点与点关于直线对称. (1)求点的坐标m，n（用表示）； (2)若点在曲线上，求点所在曲线的方程. 34．方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 35．已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 36．动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数，动点M的轨与经过点且倾斜角为的直线交于D、E两点． (1)求动点M的轨迹方程； (2)求线段的长． 37．已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求. 38．已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 39．已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为 ． 40．在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线的斜率之积等于，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线交于，两点，直线与交点是否在一条定直线上？若是，求出这条直线方程；若不是，说明理由． 考点05 有关双曲线渐近线考点 41．已知曲线（其中为参数），下列说法正确的有（    ） A．若，，则曲线是椭圆 B．若，则是双曲线，其渐近线方程为 C．方程不能表示直线 D．当，时，曲线C的离心率等于 42．已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线．垂足为．若恒成立，则的离心率的取值范围是 43．费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出双曲线的一些性质，例如，若点是双曲线（、为的两个焦点）上的一点，则在点处的切线平分.双曲线的左、右焦点分别为、，右顶点到一条渐近线的距离为，右支上一动点处的切线记为，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．当轴时，则内切圆圆心横坐标为 C．当轴时，则与轴交点横坐标为 D．过点作，垂足为， 44．已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，曲线表示半径为的圆 B．当时，曲线表示离心率为的椭圆 C．当时，曲线表示轴所在的直线 D．当时，曲线表示渐近线为的双曲线 45．已知点在左、右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 考点06 求双曲线离心率定值问题 46．已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为 ． 47．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 48．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，过作垂直于轴的直线与两渐近线分别交于点，若为等边三角形，则的离心率为 ． 49．如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 50．若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为 . 考点07 求双曲线离心率取值范围问题 51．记双曲线的离心率为e，若直线与双曲线C有公共点，则离心率的取值范围为 ．（请用区间表示） 52．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 ． 53．直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于C、D两点（从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线Γ的离心率的取值范围是 ． 54．已知为椭圆与双曲线的公共左、右焦点，为它们在第一象限的一个公共点，且，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为（   ） A． B．5 C． D． 55．已知双曲线.若直线与有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 考点08 双曲线对称问题 56．已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是 ． 57．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为 . 58．函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的值为 . 59．已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 60．已知双曲线的焦点为，，点在上且其关于原点的对称点为,，四边形的面积为6，则双曲线的方程为 ． 考点09 直线与双曲线联立问题 61．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 62．设双曲线，点，是双曲线的左右顶点，点在双曲线上．若，点 (1)求双曲线的方程； (2)，斜率为的直线过点，直线与双曲线只有一个交点，求的值 63．已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 64．已知双曲线的焦点在轴上，离心率，且点在该双曲线上． (1)求的标准方程． (2)若直线与双曲线的右支相切于点，与直线相交于点，线段MN的中点为，则在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 65． 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 考点10 等轴双曲线问题 66．已知曲线，则下列结论中错误的是（    ） A．曲线与直线无公共点 B．曲线关于直线对称 C．曲线与圆有三个公共点 D．曲线上的点到直线的最大距离是 67．已知等轴双曲线的左、右焦点分别，，且焦距为，分别是在第二象限和第一象限上的一点，且. (1)求的方程； (2)若直线的斜率为，求直线的斜率； (3)若四边形的面积为，求直线的方程. 68．已知反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到，若的三个顶点均在双曲线上，则垂心的轨迹方程是 ．（三角形三条高线交于一点，此点即为垂心） 69．已知双曲线，则（    ） A．的取值范围是 B．时，的渐近线方程为 C．的焦点坐标为 D．可以是等轴双曲线 70．圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $