精品解析：江苏省靖江市斜桥中学2025-2026学年高二上学期第一次月考检测数学试题

2025-2026高二数学月考检测训练 一、单选题(每小题5分，共8小题，满分40分) 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率，倾斜角范围为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 2. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用两条直线互相垂直列式求解. 【详解】由直线与直线垂直，得，所以. 故选：C. 3. 过点，，的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由弦的垂直平分线确定圆心坐标，求得半径即可. 【详解】由题意圆心在的垂直平分线上即在上， 也在的垂直平分线上即在上， 所以圆心坐标为：，， 所以圆的标准方程为：， 故选：A 4. 已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 5. 已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【详解】由，得， 所以直线的方程恒过定点，斜率为． 因为， 所以． 由题意可知，作出图形如图所示， 由图象可知，或， 所以实数的取值范围为． 故选：B． 6. 若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 即直线与圆相离，又点在该圆上， 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：A 7. 若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】求出平行线间距离，从而求得直线与两平行线间的夹角后可得结论． 【详解】因为直线与平行，所以与之间的距离． 设直线与的夹角为，因为直线被直线与截得的线段长为， 所以，解得． 因为直线的斜率为1，所以其倾斜角均为，所以直线的倾斜角为或． 故选：B． 8. “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先分析曲线的图形，再结合直线与该曲线的位置关系，再判断 “” 与 “直线与曲线恰有1个公共点” 之间的条件关系. 【详解】曲线表示圆心，半径为的圆的上半部分（包括与轴的交点）， 直线的斜率为1，在轴上的截距为， 当直线与曲线恰有1个公共点时，该直线与曲线相切或有一个交点， 如图所示： 相切时，圆心到直线距离等于2，则， 即或（舍去，因为当时与下半部分相切，不符合题意）. 由图象可知，有一个交点时，. 综上可知，当直线与曲线恰有1个公共点时，或. 于是，当“”时，直线“与曲线恰有1个公共点”，则充分性成立； 当直线与曲线恰有1个公共点时，或，则必要性不成立. 所以， “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 二、多选题（每小题6分，少选给部分分，共3小题，满分18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 点关于直线的对称点为 D. 过，两点的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，分别令和，求出直线与坐标轴交点，再结合面积公式判断即可；选项B，特殊情况不成立；选项C，求出对称点坐标即可判断；选项D，利用两点式的前提条件可判断. 【详解】A，令得，令得， 则直线与两坐标轴围成的三角形的面积，故A正确； B，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线还有过原点的直线，故B错误； C，设关于直线对称点坐标为， 则，解得，故C正确； D，两点式使用的前提是，故D错误； 故选：AC. 10. 已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（ ） A. 的最小值为12 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 11. 已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（ ） A. 圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B. 直线l与圆O相交弦长 C. 过点P的圆O的切线方程是 D. 过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离即可判断AB，根据圆上切线特点即可判断C，再根据切线长的计算公式可得最值，即可判断D. 【详解】A选项：如图所示，由已知圆，则圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，A选项正确； B选项：由A知弦长为，B选项正确； C选项：当直线的斜率存在且不为0时，此时斜率为， 则切线斜率为，此时切线方程为， 即，即， 当直线的斜率不存在或为0时，切线方程适合上式， 故过点P的圆O的切线方程是，故C错误； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 当三点共线，且P在O，M之间时取等号， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共3小题，满分15分） 12. 若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是__________. 【答案】． 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，，由斜率与倾斜角关系得到不等式，再结合正切函数的图象性质即可得解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，因为，所以， 如图，根据正切函数的图象性质，可得直线的倾斜角. 故答案为：. 13. 若点在圆外，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】因为点在圆外， 则，解得， 故答案为：. 14. 已知圆，斜率为1的直线与交于，，以为直径的圆过原点，则直线的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先设出直线方程，然后联立直线与圆的方程，得到交点坐标的关系，再根据以为直径的圆过原点得出向量垂直的条件，进而求解直线方程. 【详解】直线的斜率为1，设直线的方程为，联立，得， 设，，则，， 又直线与圆有两个交点，判别式，解得， 以为直径的圆过原点，，，即， ，即，解得或， 符合题意的直线有两条，其方程分别为或． 故答案为：或. 四、解答题（本大题共5小题，13分+15分+15分+17分+17分，满分77分） 15. 已知直线过点，. （1）若直线的倾斜角为，求实数的值； （2）若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式和斜率为倾斜角的正切值可得. （2）倾斜角为钝角时，斜率小于，再利用斜率公式可得. 【小问1详解】 由题意得，得. 【小问2详解】 由题意得，得， 故实数的取值范围为 16. （1）已知两直线.求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线的方程为．直线交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求直线方程的一般式和的周长． 【答案】（1）；（2），周长 【解析】 【分析】（1）先求两直线的交点，再根据垂直关系求所求直线斜率，进而得直线方程； （2）先确定直线过定点，再求出与坐标轴正半轴交点的坐标表达式，结合面积最小利用基本不等式计算即可求周长. 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2）由可得，， 令，解得，所以直线过定点． 由题意可设直线的方程为，直线与轴、轴正半轴的交点分别为， 令，得；令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小. 此时直线：，化成一般式为：. 且，， 的周长为． 所以当面积最小时，直线的一般式方程为：，的周长为． 17. 在平面直角坐标系中，已知的顶点； （1）若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； （2）若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用垂直关系得到直线的斜率，再利用点斜式求解即可； （2）设点坐标，利用已知信息求得点坐标，再求点关于直线的对称点，由两点式可求直线方程. 【小问1详解】 因，且，则， 因， 则直线的方程为，即. 【小问2详解】 设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称得点， 则，得，即， 因三点共线，则, 直线所在的直线方程为，即. 18. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解； （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； （3）由弦长公式即可求解. 【小问1详解】 由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即， 半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得， 此时切线的方程为：， 即， 综上所述：过的切线方程为或. 【小问3详解】 圆心到直线的距离为， 所以弦长. 19. 在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）1；（ⅱ）过定点. 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）（i）由可得，且，根据三角形面积公式和基本不等式求最大值即可；（ⅱ）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入求出与的关系进而可得定点. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 由已知可得：，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，因为，所以， 从而直线经过圆心，是直角三角形，且， 设，，则， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以. （ⅱ）由已知得：直线的斜率必存在， 设直线的方程为，，， 由，消去得：， 当时，，，（※） 又， 即， 代入（※）得：， 即，解得：，或， 当时，此时直线的方程为，过定点（舍去）， 当时，此时直线的方程为，过定点， 故当，动弦过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高二数学月考检测训练 一、单选题(每小题5分，共8小题，满分40分) 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 过点，，的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为（　　） A. B. 或 C. D. 或 8. “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题（每小题6分，少选给部分分，共3小题，满分18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 点关于直线的对称点为 D. 过，两点的直线方程为 10. 已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（ ） A. 的最小值为12 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 11. 已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（ ） A. 圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B. 直线l与圆O相交弦长 C. 过点P的圆O的切线方程是 D. 过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 三、填空题（每小题5分，共3小题，满分15分） 12. 若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是__________. 13. 若点在圆外，则实数的取值范围为______． 14. 已知圆，斜率为1的直线与交于，，以为直径的圆过原点，则直线的方程为______． 四、解答题（本大题共5小题，13分+15分+15分+17分+17分，满分77分） 15. 已知直线过点，. （1）若直线的倾斜角为，求实数的值； （2）若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 16. （1）已知两直线.求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线的方程为．直线交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求直线方程的一般式和的周长． 17. 在平面直角坐标系中，已知的顶点； （1）若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； （2）若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 18. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）求直线上被圆所截得的弦长. 19. 在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $