27. 第27课 与圆有关的概念及性质（作业本）-【中考零障碍】2025年广东中考数学复习

第27课与圆有 A组夯实基础 1.(2024·湖南)如图，AB,AC为⊙0的两条弦，连 接0B,0C,若∠A=45°，则∠B0C=( A.60° B.75° C.90° D.135° D 第1题图 第2题图 2.如图，⊙0是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC= 110°，则∠ADC= 3.(2023·枣庄)如图，在⊙0中，弦AB,CD相交于 点P.若∠A=48°，∠APD=80°，则∠B=( A.32° B.42° C.48° D.52° R D 第3题图 第4题图 4.(2024·广东)如图，AB是⊙0的直径，∠BAC= 50°，则∠D= A.20° B.40° C.50° D.80° 5.如图，AB为⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,已知 CD=6,EB=1,则⊙0的半径为 第5题图 第6题图 6.(2024·重庆)如图，AB是⊙0的弦，OC⊥AB交 ⊙0于点C,D是⊙0上一点，连接BD,CD.若 ∠D=28°，则∠OAB的度数是 ( A.28° B.34° C.56° D.62° 7.(2023·宜昌)如图，OA,0B,0C都是⊙0的半 径，AC,OB相交于点D.若AD=CD=8,OD=6, 则BD的长为 () A.5 B.4 C.3 D.2 B 第7题图 第8题图 8.(2023·永州)如图，⊙0是一个盛有水的容器的 横截面，⊙0的半径为10cm.水的最深处到水面 AB的距离为4cm,则水面AB的宽度为 cm. 阅盟学堂LZAZK GDSX5 关的概念及性质 B组能力提升 9.(2024·山东)如图，△ABC是⊙0的内接三角 形，若OA∥CB,∠ACB=25°，则∠CAB的度数 为 D 50 B B 第9题图 第10题图 10.(2024·吉林)如图，四边形ABCD内接于⊙O. 过点B作BE∥AD,交CD于点E.若∠BEC= 50°，则∠ABC的度数是 ( A.50° B.100°C.130°D.150° 11.(2024·滨州)如图，四边形ABCD内接于⊙0， 若四边形OABC是菱形，则∠D= 0 第11题图 第12题图 12.(2024·眉山)如图，△ABC内接于⊙0，点0在 AB上，AD平分∠BAC交⊙O于点D,连接BD.若 AB=10,BD=25,则BC的长为 13.已知△ABC,以AB为直径的⊙0分别交AC,BC 于点D,E,连接ED.若ED=EC. (1)求证：AB=AC; (2)若AB=4,BC=25,求CD的长 3分层作业本 C组思维拓展 14.(2023·东营)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不 知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙0的直 径，弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长度是多少？ B 15.已知⊙0的半径为17cm,弦AB与弦CD平行，AB=30cm,CD=16cm,则AB和CD之间的距离 为 创新好题每日一练 16.(2024·扬州)在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想 结论，然后再研究一般情况，证明结论. 如图，已知△ABC中，CA=CB,⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上(AD>BD),连接AD,BD,CD. (1)如图1，若∠ACB=60°，点D在A0延长线上，则AD-BD与CD的数量关系为 (2)如图2，若∠ACB=60°，点C,D在AB同侧，判断AD-BD与CD的数量关系并说明理由； (3)若∠ACB=a,直接写出AD,BD,CD满足的数量关系.（用含α的式子表示） 图1 图2 备用图1 备用图2 阅盟学堂LZAZK GDSX54分层作业本LBGF=∠BcC=7LPGH=6 12.8 13.(1)证明：：ED=EC, .GF GB,GF=GC,.'.GB=GC. ∴.LC=∠EDC. ∴，LGBC=LGCB 四边形ABED内接于⊙O. =2(180-∠Bc) .∴.∠ABE+∠ADE=180°. 又：∠EDC+∠ADE=180°， =67.5 ∴.∠ABE=∠EDC. ∴，∠ABE=∠ABC-∠GBC .∠ABE=∠C.∴.AB=AC =90°-67.5°=22.5° (2)解：如图，连接AE. ②由①知，△CBG≌△FBG,要求 △BGF面积的最大值，即求△BGC 面积的最大值， 在△GBC中，底边BC是定值，故 求高的最大值即可， 如图2，过点G作GP⊥BC于点P, :AB是⊙0的直径， 连接AC,取AC的中点M,连接GM, ∴.∠AEB=90°. 又：AB=AC,.BE=EC=√5. .·∠ABC=∠C=∠EDC, ..△ABC∽△EDC B PN …铝%即合品 5 CD 图2 过点M作MW⊥BC于点N, .CD=2 设AB=2x,则AC=2√2x, 14.解：如图，连接0A, 由①知∠AGC=90°， :M是AC的中点， D .GM-]AC-/2s.MN-ARx .PG≤GM+MN=(√2+1)x. AB⊥CD,且AB=10寸， 当G,M,N三点共线时取等号，此 AE=BE=5寸 时△BGF面积的最大值为 设⊙0的半径OA的长为x寸，则 3c.PG=n+1) 0C=0D=x寸， CE=1寸，.0E=(x-1)寸. =(2+1)x(5+62 在Rt△AOE中，根据勾股定理，得 x2-(x-1)2=52, =21+152 解得x=13. 4 .CD=20C=26(寸) 如图3，设PG与AD相交于点Q, 15.7cm或23cm G 16.解：(1)AD-BD=CD (2)AD-BD=CD,理由如下： 如图2，延长BD至点E使DE= CD,连接CE, B P(N) 图3 则四边形ABPQ是矩形， .'.AQ=PB=x,PQ=AB=2x .QM=MP=x,GM=√2x. E ..QG=GM -OM=(-1)x. 图2 易证△ABE∽△QGE, .CA=CB,∠ACB=60°， 益即防产 AE ∴.△ABC为等边三角形 ∴∠BAC=LACB=∠ABC=60° 四边形ABDC为圆的内接四边 整理，得AE= 2x √2+1 形，.∠CDE=∠BAC=60. 又DE=CD, 2x=5+√6，AE=5. .△CDE为等边三角形 第27课与圆有关的概念及性质 ∴.CE=CD,∠DCE=60. 1.C2.703.A4.B5.56.B ∴.∠ACD=∠ACB+∠BCD 7.B8.169.40°10.C11.60 =60°+∠BCD. 阅盟学堂LZAZK GDSX53参考答案 .·∠BCE=∠BCD+∠DCE =60°+∠BCD, .∴.∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中， CA=CB. ∠ACD=∠BCE, CD=CE, .△ACD≌△BCE(SAS). ∴.AD=BE. BE-BD =DE CD. .'AD -BD CD. (3)①当点C,D在AB同侧时，如 图3，延长BD至点E,连接CE,使 CE=CD,过点C作CF⊥DE于 点F ○ 图3 ..AC=CB,LACB=a, LCMB=∠CBA=90°-受 ·四边形ABDC为圆的内接四边形， ·.∠CDE=LCAB=90°-a 2 .·CE=CD .∠E=∠CDE=90°- 2 ∠DCE=a. 又CF⊥DE, ∴.LDCF=∠ECF=& 21 :DF=BF=CD·sim受 DB=2DF=2CD:sim受 .·∠ACD=∠ACB+∠BCD =+∠BCD, ∠BCE=∠BCD+∠DCE =a+∠BCD, .∠ACD=∠BCE. LADC=LABC=90°-号， ..∠ADC=∠E. 在△ACD和△BCE中， r LACD=∠BCE, CD=CE, L∠ADC=∠E, .∴.△ACD≌△BCE(ASA). .'AD BE. .·BE=BD+DE =BD+2 CD.sin-号， AD-BD=2GD:sin受； ②当点C,D在AB两侧时，如图4， 延长DB至点E,使BE=AD,连接 CE,过点C作CF⊥DE于点F. D 图4 CA=CB,∠ACB=a, LCAB=LCBA=900-受 :四边形ACBD为圆的内接四边 形，.∠CBE=∠DAC. 在△CAD和△CBE中， CA=CB. ∠CAD=∠CBE, LAD =BE. .∴.△CAD≌△CBE(SAS). ∴.CD=CE,∠ADC=∠E, ∠ACD=∠BCE. ∴.∠BCE+∠BCD=∠ACD+∠BCD, 即∠ECD=∠ACB=a. :LADC=LCBA=90°-g , 六∠B=90°-受 CF⊥DE,CD=CE, ÷∠DCF=LECF=受 DF=EF=CD·s血受 DE=2CD·sim受 DE=BD +BE =BD +AD, A0+BD=2CD:sim受 综上所述，若LACB=a, AD,BD,CD满足的数量关系为 AD-BD=2CD·血受或 AD+BD=2CD·s血受 第28课与圆有关的位置关系 1.D2.C3.B4.1255.B 6.(1)证明：如图，连接0D, :直线l与⊙0相切于点D, ∴.OD⊥CE. AE⊥CE,∴.OD∥AE. ∴.∠ODA=∠EAD. OA=OD,.∠ODA=∠OAD. ∴∠OAD=∠EAD. .AD平分∠CAE. (2)解：设⊙0的半径为t,则 OB=OD=T, 在Rt△OCD中， 0D=r,CD=3,0C=r+1, 阅盟学 .2+32=(r+1)2, .Rt△ADE≌Rt△ADH(HL) 解得r=4,即⊙0的半径为4. .DH=DE. 7.(1)证明：0C是⊙0的半径，C为 设DH=DE=a,则CD=3a. AB的中点， .∴.BE=CH=DH+CD=4a. OC垂直平分AB. .∴.BD=BE+DE=5a. 又.·CD∥AB,.OC⊥CD ∴.0A=0D=2.5a. CD是⊙0的切线。 ∴.0E=0D-DE=1.5a (2)解：OA=0C=0B=3,BD=2, .AE=√0A2-0E=2a. ..OD=OB+BD=3+2=5. .AD=√AE+DE=√5a. .∠0CD=90°， .cos∠ADE= .CD=√0D-0C=√3-3=4 AD smm-00=7×4x3=6 AB=AC,.∠ADE=∠ABC 8.证明：如图，过点0作OF⊥AB于 cos∠ABC=os∠ADE=写 点F 13.(1)证明：如图，连接0C, AB是⊙0的直径， A0平分∠CAB, ∴.∠ACB=90°. OC⊥AC,OF⊥AB, .0C=0F. ∴.∠BC0+∠0CA=90°. .OB=OC,∴.∠B=∠BCO ∴.0F为⊙0的半径. ∠PCA=LB,∴∠PCA=∠BCO. .AB是⊙0的切线 ∴.∠PCA+∠0CA=90°. 9.D10.2√711.C .OC⊥PC..PC是⊙0的切线. 12.(1)证明：如图，连接0A, H (2)证明：m8=子， .∠B=30°..∠PCA=∠B=30° 由(1)知LACB=90°， ∴∠CAB=60°. .∠P=∠CAB-∠PCA=30. .∠PCA=∠P..AC=AP. :BD是⊙O的直径， (3)解：设AD=x, .∠BAD=90° 在Rt△ACB中，CD⊥AB, .∠OAB+∠OAD=90° .CD2=AD·BD=6x. .OA=OB,..∠OAB=∠OBA. ∠P=∠P,∠PCA=∠B, .·∠DAF=∠ACD,∠OBA=∠ACD, .∴.∠DAF=∠OAB. △PAC△PaR是-路 .∠DAF+∠OAD=∠OAB+ .PC2=PA·PB=4(6+4+x) ∠OAD=90°，即∠OAF=90. =4(10+x). .OA⊥AF 在Rt△PCD中，由勾股定理得 又：OA是⊙0的半径， PD2+CD2=PC,即 .AF是⊙0的切线. (4+x)2+6x=4(10+x), (2)解：如图，延长CD交AF于点 整理，得x2+10x-24=0, H,延长AO交BC于点G,连 解得x1=2,x2=-12(舍去). 接0C, 故AD=2。 BD是⊙0的直径， 第29课与圆有关的计算 .∠BCD=90°，即CH⊥BC. AB=AC,OB=OC, 1c2c3.15m425-号 .OA垂直平分BC. 5.156.C .AG⊥BC.∴.AG∥CH. 7.解：(1)直线AC与⊙0相切，理由 ∠OAF=90°，AE⊥BD, 如下： .∠AEB=∠AHC=90°. .'∠ABC=45°，AB=AC, 又：∠ABE=∠ACH,AB=AC .∴.∠ABC=∠C=45 .△ABE≌△ACH(AAS). ∴.∠BAC=180°-2×45°=90. .AE=AH,BE CH. .BA LAC. 又AD=AD, :AB是⊙0的直径， LZAZK GDSX54参考答案