26. 第26课 正方形（作业本）-【中考零障碍】2025年广东中考数学复习

第26课 A组夯实基础 1.已知正方形的一条边长为2，则它的对角线长 为 2.(2023·怀化)如图，P是正方形ABCD的对角线 AC上的一点，PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到 直线AB的距离为 3.（2022·深圳)下列说法错误的是 A.对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B.同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线垂直且相等的平行四边形是正方形 4.如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为 等边三角形，那么∠DCE= 第4题图 第5题图 5.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,H为边CD的中点，正方形ABCD的周长为 8,则OH的长为 () A.4 B.3 C.2 D.1 6.如图，正方形ABCD内部有一个等边三角形 ABE,则∠DAE= 第6题图 第7题图 7.(河南中考)如图，平行四边形ABCD的对角线互 相垂直，要使四边形ABCD成为正方形，还需添加 的一个条件是 (只需添加一个即可) 阅盟学堂LZAZK GDSX5 正方形 B组能力提升 8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O,点E,F在对角线BD上，且BE=DF,OE= OA.求证：四边形AECF是正方形 9.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形， 若两个小正方形的面积分别为S,和S2,比较S 与S,的大小关系为 () S2 A.S>S2 B.S=S2 C.S <S2 D.不能确定 10.(2024·重庆)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E是BC上一点，F是CD延长线上一点，连接 AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE= DF=1,则DM的长度为 () D A.2B.5 C.6 D. 5 1 分层作业本 C组思维拓展 11.(2023·枣庄)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.E为BC上一点，CE=7,F为 DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为 D 第11题图 第12题图 第13题图 12.(2023·宜宾)如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接MC,AM,并延长 AM交CD于点P.若PM=PC,则AM的长为 () A.3(3-1) B.3(3√3-2) C.6(3-1) D.6(3√3-2) 13.（2023·扬州)如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E,F分别在边AD,BC上，将正方形沿着EF翻 折，点B恰好落在边CD上的点B'处.如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，那么线段 FC的长为 .........--.. 创新好题每日一练 14.（2023·广州)如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与点A,D重合），边BC关于BE对 称的线段为BF,连接AF. (1)若∠ABE=15°，求证：△ABF是等边三角形 (2)延长FA,交射线BE于点G ①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由. ②若AB=√3+√6，求△BGF面积的最大值，并求此时AE的长 D 阅盟学堂LZAZK GDSX52分层作业本8129号 10.(1)证明：在口ABCD中，AB∥CD, AD∥BC,AB=CD,AD=BC. E,F,G,H分别是口ABCD各边 的中点， 1 ·AE=2AB=2CD=CG, AE∥CG. ∴.四边形AECG为平行四边形. 同理可得四边形AFCH为平行四 边形， ∴.AM∥CW,AN∥CM. ∴.四边形AMCN是平行四边形. (2)解：①AC⊥BD ②如图4所示，即为所求. 连接AC,作直线MN交AC于点 0,然后作ND=2ON,MB=2OM, 然后连接AB,BC,CD,DA即可. 图4 第25课矩形与菱形 1.242.∠B=90°（答案不唯一） 3.574.B5.C 6.证明：四边形ABCD是菱形， AB=AD,∠B=∠D. 在△ABE和△ADF中， r∠AEB=∠AFD, ∠B=∠D, LAB=AD. .△ABE≌△ADF(AAS). ∴.BE=DF 7.(1)证明：：DE∥AC,CE∥BD, ∴.四边形OCED是平行四边形. 又：在矩形ABCD中，OC=OD, .平行四边形OCED是菱形. (2)解：SE形BCn=BC·DC =3×2=6 1 3 Sa0m=4×6=2 S装am=2x号=3 8.证明：(1).AF∥BC, .∠AFE=∠DCE. :E为AD的中点， ∴.AE=DE. 在△EAF和△EDC中， LAFE=∠DCE, ∠AEF=-∠DEC, LAE=DE. .△EAF≌△EDC(AAS). .∴.AF=CD D是BC的中点， .CD=BD...AF BD. (2)AF∥BD,AF=BD, 阅盟学堂 ∴.四边形AFBD是平行四边形 .·AB=AC,BD=CD. ∴.∠ADB=90. .平行四边形AFBD是矩形. 510.8511.27 图2 2.（1)证明：四边形ABCD是平行 再作线段ML的垂直平分线，分别 四边形，∠ABC=90°， 交MN,MH于点O,G,四边形 .四边形ABCD是矩形 MGLO即为所求. ..AC=BD. 第26课正方形 (2)解：如图，过点0作OH⊥BC于 点H,则∠OHE=∠0HC=90°， 1.222.33.C4.155.D D 6.30° 7.∠ABC=90(答案不唯一) 8.证明：四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,OA=C0,OB=OD. EH BE =DF,..OE OF. :∠ABC=90°，AB=6,BC=8, 四边形AECF是菱形 又.·0E=0A. .AC=√AB+BC=√6+82=10 片0c=0A=24c=5 ∴.0E=0F=0A=0C,即 EF=AC. .∠CE0=∠COE,·.CE=OC=5. .菱形AECF是正方形. 0c=0A=24c, 9.c1oD1.号2c13.8 0B=0D=寸8D,且AC=BD. 14.(1)证明：四边形ABCD是正方 形，.∠ABC=90°，AB=BC. .·∠ABE=15°，..∠CBE=75° 0C=0BiC=B=78c=4 由轴对称的性质，得BF=BC, .EH=CE-HC=5-4=1. ∠FBE=∠CBE=75. OA=OC,HB=HC. .∠ABF=∠FBE-∠ABE=6O, ∴.OH是△ABC的中位线。 AB=BF. :0H=2AB=3, .△ABF是等边三角形. (2)解：①能，由(1)可知 m2cB0-9册=3 BF=BC=BA. E是边AD上一动点， 3.(1)①证明：DF∥AC,DE∥AB, ∴.BA<BE<BG 点D,E,F分别在三边BC,CA,AB ∴B不可能是等腰三角形BGF的 上，∴.DF∥AE,DE∥AF. 顶点. 四边形AFDE为平行四边形. 若F是等腰三角形BGCF的顶点，则 ②证明：如图1，延长BA至点G,使 有∠FGB=∠FBG=∠CBG,此时 得AG=AC,连接AD,CC, 点E与点D重合，不合题意， ∴.仅有GF=GB一种情况. 如图1，连接CG交AD于点H. D 图1 则∠G=∠ACG, 架品肥 图1 DC .·BC=BF,∠CBG=∠FBG, ·LABD=∠GBC, BG=BG, .△BADn△BGC. .△CBG≌△FBG(SAS). .∠BAD=∠G.∴.AD∥GC. .CG=FG,∠BCG=∠BFG .∠DAC=∠ACG BA BC BF, .∠BAD=∠DAC. ∠BFA=∠BAF. 又AB∥DE,.∠BAD=∠ADE AD∥BC,.∠AHG=∠BCG .∠DAE=∠ADE.∴.AE=DE. .∠BAF+∠HAG=∠AHG+ .四边形AFDE为菱形. ∠HAG=180°-∠BAD=90°. (2)解：如图2，作∠WMH的平分 .∠FGCC=180°-∠HAG-∠AHG 线，与NH相交于点L, =90°. ZAZK GDSX52参考答案 LBGF=∠BcC=7LPGH=6 12.8 13.(1)证明：：ED=EC, .GF GB,GF=GC,.'.GB=GC. ∴.LC=∠EDC. ∴，LGBC=LGCB 四边形ABED内接于⊙O. =2(180-∠Bc) .∴.∠ABE+∠ADE=180°. 又：∠EDC+∠ADE=180°， =67.5 ∴.∠ABE=∠EDC. ∴，∠ABE=∠ABC-∠GBC .∠ABE=∠C.∴.AB=AC =90°-67.5°=22.5° (2)解：如图，连接AE. ②由①知，△CBG≌△FBG,要求 △BGF面积的最大值，即求△BGC 面积的最大值， 在△GBC中，底边BC是定值，故 求高的最大值即可， 如图2，过点G作GP⊥BC于点P, :AB是⊙0的直径， 连接AC,取AC的中点M,连接GM, ∴.∠AEB=90°. 又：AB=AC,.BE=EC=√5. .·∠ABC=∠C=∠EDC, ..△ABC∽△EDC B PN …铝%即合品 5 CD 图2 过点M作MW⊥BC于点N, .CD=2 设AB=2x,则AC=2√2x, 14.解：如图，连接0A, 由①知∠AGC=90°， :M是AC的中点， D .GM-]AC-/2s.MN-ARx .PG≤GM+MN=(√2+1)x. AB⊥CD,且AB=10寸， 当G,M,N三点共线时取等号，此 AE=BE=5寸 时△BGF面积的最大值为 设⊙0的半径OA的长为x寸，则 3c.PG=n+1) 0C=0D=x寸， CE=1寸，.0E=(x-1)寸. =(2+1)x(5+62 在Rt△AOE中，根据勾股定理，得 x2-(x-1)2=52, =21+152 解得x=13. 4 .CD=20C=26(寸) 如图3，设PG与AD相交于点Q, 15.7cm或23cm G 16.解：(1)AD-BD=CD (2)AD-BD=CD,理由如下： 如图2，延长BD至点E使DE= CD,连接CE, B P(N) 图3 则四边形ABPQ是矩形， .'.AQ=PB=x,PQ=AB=2x .QM=MP=x,GM=√2x. E ..QG=GM -OM=(-1)x. 图2 易证△ABE∽△QGE, .CA=CB,∠ACB=60°， 益即防产 AE ∴.△ABC为等边三角形 ∴∠BAC=LACB=∠ABC=60° 四边形ABDC为圆的内接四边 整理，得AE= 2x √2+1 形，.∠CDE=∠BAC=60. 又DE=CD, 2x=5+√6，AE=5. .△CDE为等边三角形 第27课与圆有关的概念及性质 ∴.CE=CD,∠DCE=60. 1.C2.703.A4.B5.56.B ∴.∠ACD=∠ACB+∠BCD 7.B8.169.40°10.C11.60 =60°+∠BCD. 阅盟学堂LZAZK GDSX53参考答案 .·∠BCE=∠BCD+∠DCE =60°+∠BCD, .∴.∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中， CA=CB. ∠ACD=∠BCE, CD=CE, .△ACD≌△BCE(SAS). ∴.AD=BE. BE-BD =DE CD. .'AD -BD CD. (3)①当点C,D在AB同侧时，如 图3，延长BD至点E,连接CE,使 CE=CD,过点C作CF⊥DE于 点F ○ 图3 ..AC=CB,LACB=a, LCMB=∠CBA=90°-受 ·四边形ABDC为圆的内接四边形， ·.∠CDE=LCAB=90°-a 2 .·CE=CD .∠E=∠CDE=90°- 2 ∠DCE=a. 又CF⊥DE, ∴.LDCF=∠ECF=& 21 :DF=BF=CD·sim受 DB=2DF=2CD:sim受 .·∠ACD=∠ACB+∠BCD =+∠BCD, ∠BCE=∠BCD+∠DCE =a+∠BCD, .∠ACD=∠BCE. LADC=LABC=90°-号， ..∠ADC=∠E. 在△ACD和△BCE中， r LACD=∠BCE, CD=CE, L∠ADC=∠E, .∴.△ACD≌△BCE(ASA). .'AD BE. .·BE=BD+DE =BD+2 CD.sin-号， AD-BD=2GD:sin受； ②当点C,D在AB两侧时，如图4， 延长DB至点E,使BE=AD,连接