中考创新题密训(第25天)(第26天)(第27天)-【中考零障碍】2025年广东中考数学复习

中考创新题密训（第25天） 姓名： 班别： 座号： 评价： 1【黄金矩形(2024·鸯阳)宽与长的比是5的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感， 世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，已知四边形ABCD是黄金 矩形(AB<BC),P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为 () A.3 B.2 C.1 D.0 2.【黄金三角形】(2023·宁夏)综合与实践 【问题背景】数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极 大兴趣并展开探究. 【探究发现】如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC. (1)操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是E,折痕交AC于点D,连接DE, DB,则∠BDE= ,设AC=1,BC=x,那么AE= (用含x的式子表示)； (2)进一-步探究发现，5'这个比值夜称为黄企比在(1的条件下试证明：瓷-5 【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形，例如，图1中的 △ABC是黄金三角形.如图2，在菱形ABCD中，∠BAD=72°，AB=1,求这个菱形较长对角线的长 图1 图2 阅盟学堂LZAZK GDSX25中考创新题密训 中考创新题密训（第26天） 姓名： 班别： 座号： 评价： 1.【几何创新考法】(2024·上海)四边形ABCD为矩形，分别过点A,C作对角线BD的垂线，分别过点B, D作对角线AC的垂线，如果四条垂线拼成一个四边形，那么这个四边形为 () A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形 2.【生物中的数学知识】(2024·青秀区三模)一个数学兴趣小组在上综合与实践课时发现：在大自然里， 存在很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶子、刚生长出的幼苗的部分轮廓线，可以近似地看作由抛物线 的一部分沿直线折叠而成，如图1与图2所示 A 图1 图2 图3 图4 图5 【问题发现】如图3，为了确定一片心形叶子的形状，建立平面直角坐标系，发现心形叶子下部轮廓线可 以看作是二次函数y=mx2-4mx-20m+5图象的一部分，且过原点，求这个抛物线的表达式及顶点D 的坐标 【问题探究】如图3，心形叶片的对称轴直线y=x+2与坐标轴相交于A,B两点，直线x=6分别交抛物线和 直线AB于点E,F,点E,E是叶片上的一对对称点，EE交直线AB于点G,求叶片此处的宽度EE的长 【拓展应用】兴趣小组同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线均可以看作是二 次函数y=mx2-4mx-20m+5图象的一部分，如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应【问题发现】中的 二次函数.若直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D'时，叶尖Q 落在射线OP上（如图5所示），求此时一片幼苗叶子的长度. 阅盟学堂LZAZK GDSX26中考创新题密训 中考创新题密训（第27天） 姓名： 班别： 座号： 评价： 1.【材料阅读与应用】(2024·罗湖区校级模拟)【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫 做顶角的正对(sad),在△0MN中，0M=ON,顶角0的正对记作sad0底边=C,由此可知一个角 的大小与这个角的正对也是相互唯一确定的.所以我们可按上述角的正对定义，确定正对值，例如， sad60°=1，sad90°=√2. 请根据材料，解答下列问题： 如图1，P是线段AB上一动点（不与点A,B重合），C,D分别是线段AP,BP的中点，以AC,CD,DB为边 分别在AB的同侧作等边△ACE,△CDF,△DBG,连接PE和PG. (1)【阅读应用】①若等边△ACE,△CDF,△DBG的边长分别为a,b,c,则a,b,c三者之间的数量关系为 ②sad∠EPG= (2)【猜想证明】如图2，连接EF,FG,猜想sad∠EFG的值是多少，并说明理由. (3)【拓展应用】如图3，连接EF,EG,若AB=12,EF=2√7，则△EPG的周长是多少？此时AP的长为 多少？ 图3 阅盟学堂LZAZK GDSX27中考创新题密训中考创新题密训（第24天） 1.8 2.(1)①证明：四边形ABCD为正 方形， ∴.BC=CD ∠BCD=∠DCF=90°. 在△BCE和△DCF中， BC=DC. ∠BCE=LDCF, LCE =CF, ·.△BCE≌△DCF(SAS). ②解：如图1，连接BD, D 图1 :△BCE≌△DCF, ∴.∠CBE=∠CDF. .·∠CBE+∠CEB=90°， ∠CEB=∠GED, ∴.∠CDF+∠GED=90°. .∠DGE=90. ∴.BG⊥DF G是DF的中点， BG为DF的垂直平分线。 ∴.BD=BF. ∴∠F=∠BDF 四边形ABCD为正方形， ∴∠DBC=45°. ∴∠F=∠BDF =180°-∠DBF 2 =67.5° 故答案为67.5. (2)解：如图2，过点G作GH∥BC, 交DC于点H, A H 图2 :GH∥BC,G为DF的中点， .GH为△DCF的中位线. .CH-CF DH-HC-CD-1. 设GH=x,则CE=CF=2x, .HE=1-2x. GH∥BC, 阅盟学 .△GHE∽△BCE. DC⊥BC,HM⊥BC, 器器 .·.EC∥HM. .△BCE∽△BMH. 即22 BEBCEC ∴B原FBM-HM 解得x=-1±√2（负数不符合题 BE =5EH, 意，舍去) BC EC 5 .x=-1+√2 小Bm6 .CE=2x=-2+22. .BEC 5 (3)解，CB的长为片或号或2 CM=BM-BC-4 理由如下： ·CE=CF,∠ECF=90°， :四边形ABCD是矩形， .∠CEF=∠CFE=45. AB=3,AD=4, .∠HFM=180°-∠EFH-∠CFE .CD=AB=3,BC=AD=4. =45. .CE<BC,∠BEC>∠CBE. .∠BEC>45°. M=N=号C CE=CF, ·.∠CEF=∠CFE=45. CM-CF+FM-CE+CE ∴.∠FEH=180°-∠FEC-∠BEC<90 c= 4 ①当∠H=90时， 如图4所示， 66是 综上所述，CE的长为导或号或2 中考创新题密训（第25天） 1.D 图4 2.(1)72°1-x 设CE=CF=m,则BF=m+4, (2)证明：由(1)知 BE=√/16+m. ∠ABC=∠C=∠BDC=72°， BE=5EH, ∠A=∠ABD=36°， M=号E=号6+m ∴，△ABC∽△BDC,AD=BD. .∠BCE=∠H=90°， 品能产 ∠EBC=∠FBH, .△BEC∽△BFH. 解得x-5(负配合去)， 服品。 =5-1 :AC =21 即Y16+m2 【拓展应用】 m+4 5V16+m 6 解：如图2，该菱形较长对角线为 AC,在AC上截取AE=AD,连 解得m=2或m= 4 接DE, CE=2或号 ②当∠EFH=90时，如图5，过点H 作HM⊥BC,交BC的延长线于 点M, 图2 四边形ABCD是菱形， LACD=7∠BCD=36, 图5 ∠DAC=7∠DMB=36, LZAZK GDSX94参考答案 AE=AD=AB=1,CD∥AB, E(1,8) .∠ADE=∠AED=72°， .EE=√(6-1)2+(3-8)2=5√2. ∠ADC=180°-∠DAB=108° 【拓展应用】由抛物线的表达式知D 结合(2)可知 (2,-1), DE=5-AD=5-1 :直线PD与水平线的夹角为45°， 2 2 ∴.直线PD的表达式为y=-x+1 .·∠CDE=∠ADC-∠ADE =108°-72°=36°=∠ACD, 联立y=-和y=-+1, CE=DE= 可得P(-2,3),则D'(2,3). 将点D'的坐标代入 AC=AE+CB=1+5-L=5+1 y=mx2-4mx-20m+5,得 2 2 4m-8m-20m+5=3, 即这个菱形较长对角线的长 为5+1 解得m=d 21 则抛物线的表达式为 中考创新题密训（第26天） 1.A y分+号 2.解：【问题发现】：二次函数y= 由点P的坐标，得直线OP的表达 mx2-4mx-20m+5的图象过原点， 式为y=一子， .-20m+5=0, 联立上述两式，得 解得风=子 + =- 2, 则抛物线的表达式为 解得x=-4或x=-10(舍去). y=4-x .Q(-4,6), .D(2,-1). 由点Q,D'的坐标，得 【问题探究】当x=6时， D'Q=√(-4-2)2+(6-3) y=-=3,即(6,3 =3V5, 即一片幼苗叶子的长度为3√5. 当x=6时，y=x+2=8, 即F(6,8). 中考创新题密训（第27天） 则EF=8-3=5. 1.解：(1)①b=a+c②w3 如图3，过点E作x轴的平行线交 (2)sad∠EFG=√5，理由如下： AF于点T,连接TE',E'F, 如图2，连接FP, 图2 :C是AP的中点，△ACE,△CDF 图3 都是等边三角形， 令y=x+2=3,得x=1, .∴.CE=AC=CP, .T(1,3) ∠ECF=∠PCF=60° .ET=EF=5. 又.CF=CF 由对称，可知EF=EF,ET=ET, ..△ECF≌△PCF(SAS). 又：ET⊥EF, ∴.∠EFC=∠PFC. ∴.四边形ETEF是正方形 同理可得∠GFD=∠PFD. 阅盟学堂LZAZK GDSX95参考答案 .∠EFG=2∠CFD=120° ∴.sad∠EFG=sad120°=√3. (3)△EPG的周长是2√2I+65, 此时AP的长为4或8，理由如下： 如图3，连接FP,FG, H 图3 由(2)知△ECF≌△PCF, .EF=PF. 同理可证GF=PF, .EF=GF. ∠EFG=120°，EF=2√7， .EG=√3EF=2√21. 设等边△ACE,△CDF,△DBG的边 长分别为a,b,c, C,D分别是线段AP,BP的中点， .PC=AC=CE=a, PD=BD=DG=c, ∠ECP=∠PDG=120. .EP=√3PC=√3a, PG=5PD=√5c. .EP+PG=√3(a+c）=√3b -20=6,a .EG+EP+PG=2/21+63, 即△EPG的周长是2√/2I+65. 如图3，过点F作FH垂直CE的延 长线于点H, CF=CD=b=- AB=6, ∠ECF=60°， .FH=CF.sin60°=35， CH=CF·co860°=3. 在Rt△EFH中， HE=√EF-F=1, .CE=CH-HE =2. .AP=2CE=4. EF=FG,根据对称性，AP的长另 一种可能的值为 12-4=8, .AP的长为4或8.