9.重难题型九　实践活动与项目式学习（课堂本）-【中考零障碍】2025年广东中考数学复习

重难题型九实践活动与项目式学习 类型1 测量类 1.(2024湖北)某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下表： ·名师点拨。 活动项目 测量校园中树AB的高度 (1)常考测量树高、 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 楼高、湖长等 (2)常用方法是：① 构造全等；②相似； 方案示意图 ③锐角三角函数； ④勾股定理， ①选取与树底B位于同一水平 技巧由于阅读量 ①选取与树底B位于同一水平 地面的，点E处； 较大，应迅速把有 地面的点D处； ②测量E,B两，点间的距离； 用的数字标到图形 ②测量D,B两点间的距离； ③在点E处水平放置一个平面 中，转化为纯数学 实施过程 ③站在点D处，用测角仪测量从 镜，沿射线BE方向后退至点 问题来解 眼睛点C处看树顶A的仰 D处，眼睛C刚好从镜中看到 角∠ACF; 树顶A; ④测量点C到地面的高度CD ④测量E,D两点间的距离； ⑤测量点C到地面的高度CD ①BD=10m; ①BE=10m; 测量数据 ②∠ACF=32.5°； ②DE=2m; ③CD=1.6m ③CD=1.6m ①图上所有点均在同一平面内； ①图上所有点均在同一平面内； ②AB,CD均与地面垂直； 备注 ②AB,CD均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物 ③参考数据：tan32.5°≈0.64 理学知识可得∠CED=∠AEB 请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度. 192阅盟学堂LZAZK GDSX 类型2 折纸设计类 2.(2024福建)在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸AB ·名师点拨 CD,要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒.小明按照图2的 方式裁剪（其中AE=FB),恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折 近年中考有生活 成一个礼品盒，如图3所示 化、常识化趋势，常 裁剪 裁剪 考“身边中的数 底 学”，例如“削菠萝 裁剪 裁剪 皮的数学优化问 1 图2 图3 图4 题”，其中折纸设计 把的值为 类常考： (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如 ①折圆锥（如2024 意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 年广东第21题)与 吉 祥 早 祥 吉 化学仪器漏斗跨学 罩 如 如 罩 如 科考察； B ②折长方体（如本 (3)今有三种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示： 卡纸型号 型号I 型号Ⅱ 型号Ⅲ 题，改编于教材)； 规格/cm 30×40 20×80 80×80 ③折圆柱等 单价/元 3 5 20 技巧(1)熟悉数学 现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE,EF的 比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒.如果要制作27个这样的 常见几何体的构 礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸 造，尤其与生活紧 的张数)，并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼 密相关的几何体 品盒，其展开图在卡纸上的分布情况)，给出所用卡纸的总费用. (要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画 (2)此类题特点是 出设计方案：②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设 文字多，但一般比 计；③所用卡纸的数量及总费用直接列出表格表示；④本题将综合 考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低 “纯数学难题”简 的才能得满分) 单，平时多做，以消 80 除恐惧 80 80 30 型号I 型号川 型号Ⅲ 阅盟学堂LZAZK GDSX193 类型3 新定义多边形（中考热点—结合作图）】 3.(2024山西)阅读与思考 ·名师点拨。 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务。 (1)一般第(1)题 关于“等边半正多边形”的研究报告 是送分题，也是打 博学小组 开第(2)题的一个 研究对象：等边半正多边形 感性认识或阶梯。 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念一性质一判定”的路径，由一 (2)新定义多边形 般到特殊进行研究。 是近年中考热点， 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明 常与作图结合考 研究内容： 查，阅读量大，但难 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相 度比纯数学压轴题 间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为“等边半正多边 要简单 形”.如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形， 类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么AB=BC =CD=DE=EF=FA,∠A=∠C=∠E,∠B=∠D=∠F,且∠A≠∠B. 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲° 对角线：… 图1 图2 (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： (2)如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形.连接对角线AD,猜想 ∠BAD与∠FAD的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知△ACE是正三角形，⊙0是它的外接圆，请在图4中作一个 等边半正六边形ABCDEF.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 图3 图4 194阅盟学堂LZAZK GDSX:函数y=的图象经过点A,C, d22,41, D(空，Dc=k-2 :把矩形ABCD沿BD折叠， 点C的对应点为E, BB=BC=夸-1， ∠BED=LBCD=90°， 能-2 如图2，过点D作DH⊥y轴于点H, 过点B作BF⊥y轴于点F, H A D 图2 AD∥x轴，∴H,A,D三点共线. .∠DEH+∠BEF=90°， ∠BEF+∠EBF=90°， ∴.∠DEH=∠EBF. 又：∠DHE=∠EFB=90°， .∴.△DHE∽△EFB. DH_HE-DE-2. 8f=1,0H= 六服=2，F=会 那=2+会 由图知HF=DC, 2+经=k-2k=曾 (3)解：把矩形ABCD沿BD折叠， 点C的对应点为E,且点E,A重合， .AC⊥BD. :四边形ABCD为矩形， ∴.四边形ABCD为正方形 .∠ABP=∠DBC=45°. ·AB=BC=CD=DA=AP sin 450 =√2AP, 1 AP=PC=BP=2AC,BP⊥AC BC∥x轴， ∴.直线y=ax为一、三象限的夹角 平分线。 .直线y=ax的解析式为y=x. 当⊙0过点B时，如图4所示，过点 D作DH⊥y轴于点H, 图4 阅盟学 AD∥x轴， 5.10132 6.B7.222n+2 H,A,D三点共线 2023 :以点O为圆心，AC长为半径作 8.49.- 1o(3) ⊙0,0P=3√2， 11.256 12.19 ∴.OP=OB+BP=AC+BP =2AP+AP=3AP=3√2. 1316√%-√6+系 .AP=2 (2)(n+1)√(n+1)2-1 n+1 AB=AD=√2AP=2, BO =AC=BD=2AP=22. n+1 :AB∥y轴，.△DHO△DAB. =√n+1+(n+1)2-1 HO DH DO 14.C ·AB-DA-DB 重难题型九实践活动与项 H0-DH_22+22 目式学习 22 22 1.解：“测角仪”方案： ∴.H0=HD=4. CD⊥BD,AB⊥BD,CF⊥AB, .∴HA=HD-DA=4-2=2 .四边形CDBF是矩形. A(2,4)..k=2×4=8; .'CF=BD=10 m, 当⊙0过点A时，根据点A,C关于 BF CD =1.6 m. 直线OD对称知，⊙0必过点C,如 .·∠ACF=32.5° 图5所示，连接A0,C0,过点D作 ∴.AF=CF·tan32.5°≈10×0.64 DH⊥y轴于点H, =6.4(m) AB=AF+BF=6.4+1.6=8(m). 答：树AB的高度约为8m. “平面镜”方案： CD⊥BD,AB⊥BD, .∠CDE=∠ABE=90° :∠CED=∠AEB, .△CDE△ABE. …品即始品 2 图5 .A0=OC=AC, .'.AB =8 m. .△AOC为等边三角形. 答：树AB的高度约为8m.(从以上 两种方案中任选一种作答即可) .OP⊥AC, 2.解：(1)2(2)C :LA0P=2×60°=309 (3)需要卡纸如表所示，理由如下： 卡纸型号 型号I型号Ⅱ型号Ⅲ .AP=tan30°·0P=%x3v2 所需卡纸的数量/张 1 3 2 =6=PD. 所用卡纸总费用/元 58 .'..AC=BD=2AP=26, 根据（1)和题意，得卡纸每格的边 AB=AD=√2AP=25, 长为5cm,则边长为10cm的正方 体的展开图如图5所示 0D=OP+PD=3√2+√6. :AB∥y轴，∴.△DHO△DAB. HO DH DO AB DA DB H0_DH_32+6 图5 2√52526 .型号Ⅲ卡纸如图所示，每张这样 .H0=HD=3+√5. 的卡纸可制作10个正方体： 80 .HA=HD-DA=3+5-25 =3-√5. .A(3-5,3+5) .k=(3-3)×(3+√3)=6. 综上所述，当⊙0与△ABC的边有交 点时，k的取值范围为6≤k≤8. 重难题型八规律探究 1.132n+12.963×2-1 3.49(n+1)24.56 型号Ⅲ LZAZK GDSX33参考答案 型号Ⅱ卡纸如图所示，每张这样的 (2)CE=√2BP.理由如下： 卡纸可制作2个正方体； 如图2，连接AC, 80 2】 型号Ⅱ 型号I卡纸如图所示，每张这样的 卡纸可制作1个正方体. 图2 四边形ABCD是正方形， 30 ∴.AB=DA,∠BAD=∠ABC=90. .·.∠ABP=∠ACE=∠BAC=45° 型号I mLAC-光-号 ∴.可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ :△APE是等腰直角三角形， 卡纸3张，型号I卡纸1张， 则10×2+2×3+1×1=27（个）， .∴.∠PAE=∠AEP=45° ∴.∠BAC-∠CAP=∠PAE-∠CAP, 所用卡纸总费用为 即∠BAP=∠CAE. 20×2+5×3+3×1=58(元)： .△ABP△ACE. 3.解：(1)240 (2)∠BAD=∠FAD.理由如下： AB BP AC CE 如图3，连接BD,FD, BP_2,即CE=DBP …CE2 (3)如图3，连接AC交BD于点F, 过点E作EG⊥BP交直线BP于 D 点G, 图3 :六边形ABCDEF是等边半正六 边形， .AB BC CD DE EF FA. ∠C=∠E ∴.△BCD≌△FED(SAS). 图3 .BD FD. :四边形ABCD是正方形， 在△ABD和△AFD中， rAB=AF, AB=22, BD=FD ∴.BC=AB=22,∠BAD=90°， LAD =AD. AC⊥BD. ∴.△ABD≌△AFD(SSS). .∠ABD=45° ∴.∠BAD=∠FAD. ∠AFB=∠AFD=90°. (3)如图4所示，六边形ABCDEF ..∠BAC=45° 即为所求.（答案不唯一） ∠FAP+∠APF=90°. .∴.BF=AF=AB·sin45°=2 在Rt△APE中，∠APE=90°， .∠APF+∠EPG=90. ∴.LFAP=∠GPE. .·EG⊥BG 图4 .∠AFP=∠PGE=90° 重难题型十数学活动与探究 又：AP=PE, 1.解：(1)BP=CE.理由如下： ∴.△FAP≌△GPE(AAS). 四边形ABCD是菱形， ∴.FP=GE,PG=AF=2. .'AB BC. 在Rt△EGB中，由勾股定理，得 .:∠ABC=60° BG2 +EG2 BE2, ∴.△ABC是等边三角形 设FP=EG=x, .∴.AB=AC,∠BAC=60°. .(2+x+2)2+x2=(62)2, :△APE是等边三角形， 解得x1=4√2-2，x2=-4√2-2 ∴.AP=AE,∠PAE=60°. (舍去) ∴.∠BAP=∠CAE=60°-∠PAC. .∴.△BAP≌△CAE(SAS) SAm=分BP·BG=7×(2+ ∴BP=CE. 42-2)×(42-2)=16-42. 阅盟学堂LZAZK GDSX34参考答案 }2.解：(1)D (2)①如图3，连接BP,BD, D 图3 则BD=√4+4=4√2， 由(1)知x2+y2=22+PD2 当PD最小时，x2+y2最小 而PD≥BD-BP=4√2-2（等号成 立时，点P位于BD上)， .x2+y2的最小值为 22+(42-2)2=40-16√2. ②如图4，在BA,BC上分别截取BM =BN=1,连接PM,PN,MW, D BN 图4 PB=2,BM=1,BA=4, 、PBBA .PB2=BM·BA.BM=PB 又：∠PBM=∠ABP, .△PBM△ABP. ..PM:AP PB:AB =1:2. Pm=安 同理可得PN=2PC=之， 1 :|PM-PN|≤MN=√2， .|x-y≤22（等号成立时，点P在 直线MW与⊙B的交点处，如图5)· x-y的最大值为2√2. 如图5，连接BD,AC,BD交MN于 点F,则BD⊥AC, BN 图5 :MN∥AC,∴.MW⊥BD, :MW=2,BD=4√2， an=竖r=7 PF=V√PB2-BF =√2-( 2 ∴PD=√DF2+PF =27.