4.第五章 专题1 四大全等模型（课堂本）-【中考零障碍】2025年广东中考数学复习

专题1四大全等模型 模型一平移型 模型图示 入人 B E C F B C(E)F BCE方 模型特点 有一组边共线或部分重合，沿同一直线l平移可得两三角形重合(BE=CF) (1)加（减）重合部分，得BC=EF; 解题思路 (2)利用平行线的性质找对应角相等 模型应用 1.@(广州中考)如图，点E,F在线段BC上，AB∥CD,∠A=∠D,BE=CF,求证：AE=DF 2.[变式]如图，点A,D,B,E在一条直线上，AD=BE,AC=DF,AC∥DF,求证：△ABC≌△DEF. D B E 阅盟学堂LZAZK GDSX83 模型二 轴对称型 共边 模型图示 共顶点（角） 模型特点 沿公共边或对称轴所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合 (1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等； 解题思路 (2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等 模型应用 3.@(教材改编)如图，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AB=AD. 4.[变式]如图，PB⊥AB,PC⊥AC,PB=PC,D是AP上一点.求证：∠BDP=∠CDP. 84阅盟学堂LZAZK GDSX 模型三 旋转型 模型图示 (1) 模型图示 (2) B (1)图示1，图形是中心对称图形，绕着对称中心旋转180°，两个三角形可以重合； 模型特点 (2)图示2，绕着公共顶点旋转一定角度，两个三角形可以重合 (1)加（减）共顶点的角的共角部分得一组对应角相等； 模型应用 (2)利用旋转的性质找对应角相等 模型应用 5.④如图，在△ABC中，点E在边BC上，AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得 ∠CAF=∠BAE,连接EF,与AC交于点G.求证：EF=BC. 6.[变式]如图，已知AD=AB,AE=AC,AD LAB,AE⊥AC.猜想线段CD与BE之间的数量关系与 位置关系，并证明你的猜想. D G 阅盟学堂LZAZK GDSX85 模型四 线三等角型 模型图示 B A P B 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 直角一线 4 三等角的 ED 变形 B C E B 三个等角（∠1=∠2=∠3）在同一条直线上，等角可为锐角、直角、钝角，其中等角为直角时，则 模型特点 称一线三垂直型，有几种常见的变形情况 一般通过一线三等角找等角或进行角度转换，直角一线三等角还常用同角（等角）的余角相等证 解题思路 明角相等，证三角形全等时必须还有一组对应边相等这个条件 模型应用 7.④如图，已知∠BAC=90°，AD是∠BAC内部的一条射线，若AB=AC,BE⊥AD于点E,CF⊥AD 于点F.求证：△ABE≌△CAF. D 8.[变式]如图，在△ABC中，D是边BC上一点，CD=AB,点E在边AC上，且AD=DE, ∠BAD=∠CDE. (1)如图1，求证：BD=CE; (2)如图2，若DE平分∠ADC,在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等 的角.（∠ADE除外） D 图1 图2 86阅盟学堂LZAZK GDSXr∠A=∠B, .·.△AEC≌△BFD(AAS) A0=B0, ∴.AC=BD L∠AOC=∠BOD. ∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD. .∴.△AOC≌△BOD(ASA) 选择③，理由如下： .'AC=BD. .AE∥BF,∴.∠EAC=∠FBD. (4)证明：在△ABC和△DEC中， 在△AEC和△BFD中， LB=LE, LEAC=∠FBD, ∠A=∠D AE=BF, LAC=DC, ∠E=∠F, ∴.△ABC≌△DEC(AAS). ∴.△AEC≌△BFD(ASA) .'AB=DE. ..AC=BD. (5)证明：∠A0B=90°， .·.AC-BC=BD-BC.即AB=CD, ∠A0C+∠B0D=180°， 10.(1)证明：.∠ACB=90°， .∠C0D=360°-90°-180°=90°. ∴.∠ECB+∠DCA=90°. 在Rt△OAB和Rt△OCD中， BE⊥CE, 「AB=CD, ∴.∠ECB+∠EBC=90°. LOA=OC. ∠CBE=∠DCA. ∴.Rt△OAB≌Rt△OCD(HL) 又AD⊥CE,BE⊥CE, 4.DE=EF(答案不唯一) '.∠ADC=∠CEB=90° 5.66.B 7.证明：∠BAE=∠CAD, 在△ACD和△CBE中， .∴.∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE, r∠ADC=∠CEB, 即∠BAC=∠EAD. ∠DCA=∠EBC, 在△ABC和△AED中， LAC=CB, AB=AE, ∴.△ACD≌△CBE(AAS); ∠BAC=∠EAD. (2)解：：△ACD≌△CBE LAC=AD, ∴AD=CE=25,CD=BE. .△ABC≌△AED(SAS) CD=CE-DE=25-17=8, 8.(1)证明：.∠B=∠AED, .BE=8. .180°-∠B=180°-∠AED, 11.8 即LBEA+∠BAE=LBEA+∠CED. 12.证明：B是AD的中点， .∠BAE=∠CED. ∴.AB=BD 在△BAE和△CED中， BC∥DE, r∠BAE=∠CED, .∠ABC=∠D. ∠B=∠C, 在△ABC和△BDE中， LBE CD, tAB=BD, ∴.△BAE≌△CED(AAS). ∠ABC=∠D. ∴.EA=ED. LBC =DE, ∴.∠EAD=∠EDA; ∴.△ABC≌△BDE(SAS), (2)解：如图，过点E作EF⊥AD于 .∠C=∠E. 点F, 13.证明：.·∠AOC=∠B0C PD⊥OA.PE⊥OB ∴.∠ODP=∠OEP=90. 在Rt△OPD和Rt△OPE中， r∠ODP=∠OEP, 由(1)知EA=ED, ∠DOP=∠EOP、 ∠AED=∠C=60°， LOP=OP. .∠AEF=∠DEF=30°. .∴.△OPD≌△OPE(AAS) .DE=4, 14.A ∴.EF=25. SAn=AD:Bf 15.证明：△ABC为等边三角形， ∴∠ABD=∠C=60°，AB=BC. 1 在△ABD和△BCE中， =2×4×25=45. rAB=BC. 9.解：选择①，理由如下： ∠ABD=∠C, AE∥BF,∴.LEAC=LFBD. BD=CE, .·CE∥DF,∴.∠ACE=∠BDF .△ABD≌△BCE(SAS) 在△AEC和△BFD中， ∴.AD=BE r∠ACE=∠BDF, 16.(1)证明：由正方形对角线平分每 ∠EAC=∠FBD, 一组对角可知： LAE BF, ∠DAE=∠BCF=45°， 阅盟学堂LZAZK GDSX10参考答案 在△ADE和△CBF中， AD=CB. ∠DAE=∠BCF, LAE =CF. ∴.△ADE≌△CBF(SAS). (2)解：AB=AD=42, .BD=√AB2+AD =√(4√2)2+(42)2=8， 由正方形对角线相等且互相垂直 平分可得：AC=BD=8, 0D=0B=4,0A=0C=4, 又.：AE=CF=2, ..0A-AE=OC-CF, 即0E=0F=4-2=2 ∴.四边形BEDF为平行四边形. 又：EF⊥DB,故四边形BEDF为 菱形， .∠D0E=90 .DE=√0D+0E=√4+2 =25, ∴.四边形BEDF的周长=4DE= 4×25=85. 17.解：(1)全等 三边对应相等的两个三角形全等 (2)画树状图如图所示： 开始 ① 2 ②③①③①② 所有可能出现的结果：（①②）（①③） (②①)（②③）（③①）（③②），共 有六种等可能的情况，符合条件的 有（①②）（①③）（②①）（③①） 有四种， 令△ABD≌△ACD为事件A, 则P()=子 专题1四大全等模型 1.证明：AB∥CD, ∴.∠B=∠C. 在△ABE和△DCF中， r∠A=LD, ∠B=∠C, LBE =CF, ∴.△ABE≌△DCF(AAS): .AE DF 2.证明：.AD=BE, .AD+BD=BE+BD, 即AB=DE, :AC∥DF, ∴.∠A=∠EDF 在△ABC和△DEF中， AB=DE, ∠A=∠EDF, LAC =DF, .∴.△ABC≌△DEF(SAS) 3.证明：∠ACB+∠3=180°， ∠ACD+∠4=180°，∠3=∠4， .∠ACB=∠ACD. 在△ACB和△ACD中， r∠1=∠2， AC=AC. I∠ACB=∠ACD, .△ACB≌△ACD(ASA). .AB =AD. 4.证明：PB⊥AB,PC⊥AC, 且PB=PC, .∠PAB=LPAC. :∠APB+∠PAB=90°， ∠APC+∠PAC=90°， ∴.∠APB=∠APC. 在△PDB和△PDC中， PB=PC, ∠DPB=∠DPC, LPD=PD. .△PDB≌△PDC(SAS). .∠BDP=∠CDP. 5.证明：.·∠BAE=∠CAF ∴.LBAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC, 即∠BAC=LEAF. 依题意，由旋转的性质可得 AC=AF 在△ABC和△AEF中， rAB=AE. ∠BAC=∠EAF, LAC=AF, ∴.△ABC≌△AEF(SAS). .EF =BC. 6.解：CD=BE,CD⊥BE.证明如下： AD⊥AB,AE⊥AC, ∴.∠DAB=∠EAC=90 ∴.∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB. 在△ACD和△AEB中， AD=AB, ∠CAD=∠EAB, LAC=AE, .△ACD≌△AEB(SAS). ∴.CD=BE,∠ADC=∠ABE 又.·∠AGD=∠FGB, .∴.∠BFD=∠BAD=90° ∴.CD⊥BE. 7.证明：∠BAC=90°， ∴.∠CAF+∠BAE=90. ·BE⊥AD,CF⊥AD, ∴.∠CFA=∠BEA=90°. ∴.∠C+∠CAF=90°. ∴∠C=∠BAE. 在△ABE和△CAF中， r∠BEA=∠AFC, ∠BAE=∠C, LAB=CA, .∴.△ABE≌△CAF(AAS) 8.(1)证明：在△ABD和△DCE中， AB=DC. ∠BAD=∠CDE, LAD =DE. 阅上 .△ABD≌△DCE(SAS). 14.证明：(1)由折叠可得：M,N分别 ∴.BD=CE 是AD,BC的中点 (2)解：△ABD≌△DCE, CD∥MN∥AB, .∠B=∠C. ∴.F为PG的中点，即PF=GF :DE平分∠ADC, 由折叠可得：∠PFA=∠D=90°， .∴.∠ADE=∠CDE=∠BAD 在△AFP和△AFG中， ·.·∠ADC=∠B+∠BAD rPF=GF, =∠ADE+∠CDE, ∠AFP=∠AFG, .∴.∠B=∠ADE=∠BAD=∠EDC LAF=AF, =∠C .△AFP≌△AFG(SAS). .与∠ADE相等的角有∠EDC, (2)由折叠知∠1=∠2， ∠BAD,∠B,∠C. 由(1)知△AFP≌△AFG, 第20课 特殊三角形 ∴.∠2=∠3=∠1=30°，AP=AG 1.(1)20°或80 ∴.∠PAG=∠2+∠3=60° (2)①CD ∠2 ②BD △APG为等边三角形. ③L 15.解：（1)①CE+CD=CA.理由 (3)是是否 如下： 2.(1)是是是(2)D :△ABC和△ADE是等边三角形， 3.(1)①90°②AB2③= ④BC .AB AC=BC,AD =AE DE (2)①D②是是是 ∠BAC=∠DAE=60. 4.35.C6.B ·∠BAC-∠DAC=LDAE-∠DAC, 7.(1)证明：CD⊥AB,BE⊥AC, 即∠BAD=∠CAE. ∴∠AEB=∠ADC=90 在△ABD和△ACE中， 在△ABE和△ACD中， rAB =AC, r∠AEB=∠ADC, ∠BAD=∠CAE, ∠BAE=∠CAD, LAD =AE, LAB=AC, .△ABD≌△ACE(SAS). .△ABE≌△ACD(AAS); .CE BD. (2)解：：△ABE≌△ACD, BD CD=BC, ..AD=AE=6. .CE+CD=CA. 在RL△ACD中， ②CA+CD=CE.理由如下 :△ABC和△ADE是等边三角形， AC=√AD+CD=√6+82=10， .AB AC=BC,AD AE DE .∴.AB=AC=10 ∠BAC=∠DAE=60° .BD=AB-AD=10-6=4. '.∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, 8.证明：(1)：D为BC的中点， 即∠BAD=∠CAE. ∴.BD=CD 在△ABD和△ACE中， BE∥AC, AB=AC, ,∠EBD=∠C,∠E=∠CAD. 在△BDE和△CDA中， ∠BAD=∠CAE, LAD =AE, r∠EBD=LC, .△ABD≌△ACE(SAS). ∠E=∠CAD .CE =BD. BD =CD, ,·CB+CD=BD .△BDE≌△CDA(AAS). .CA+CD=CE. (2)D为BC的中点，AD1BC, (2)过点E作EH∥AB交BC于点 ∴.直线AD为线段BC的垂直平分线 H,则△EHC为等边三角形. ·BA=CA ①如图4，当点D在点H左侧时， 由(1)可知△BDE≌△CDA, .BE =CA...BA =BE 9.C10.3 11.x2+22=(x+0.5)2 12.D 13.(1)证明：在△ABC和△ADE中， BC=DE, ∠B=∠D, LAB =AD, 图4 .△ABC≌△ADE(SAS). 易得ED=EF,∠DEH=∠FEC, (2)解：由(1)，得△ABC≌△ADE, EH=EC. ∴.AC=AE,∠BAC=∠DAE=60° ∴.△EDH≌△EFC(SAS) ,△ACE是等边三角形 .∠ECF=∠EHD=120° .∠ACE=60°. 此时△CEF不可能为直角三角形. 学堂LZAZK GDSX11参考答案