5.第三章 第14课 二次函数（2）（课堂本）-【中考零障碍】2025年广东中考数学复习

第14课 二次函数(2)） 品巴果马 回阳慰科 1.用函数观点看一元二次方程 2022年版课标知道二次函数和一元二次方 (1)若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为 程之间的关系 (m,0),(n,0),则方程ax2+bx+c=0的解 1.(1)抛物线y=x2-3x+2与x轴的交点为 为x1= ,x2= ;抛物线 ,一元二次方程x2 y=ax2+bx+c与y轴有且只有 3x+2=0的根为 交点( )； (2)抛物线y=x2-2x-1与x轴有 (2) 个公共点； 4=b2-4ac 方程ax2+bx+c 抛物线y=ax (3)抛物线y=x2-6x+c与x轴只有一个交 =0(a≠0) +bx+c(a≠0) △>0 有两个 的 与x轴有 点，则c= 实数根 个交点 (4)(2024长春)若抛物线y=x2-x+c(c是 有两个 的 △=0 与x轴有 实数根 个交点 常数)与x轴没有交点，则c的取值范围是 △<0 实数根 与x轴有 个交点 2.二次函数与一元二次不等式 2.如图，二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴 y<0指抛物线在x轴下方图象的部分； 的交点横坐标分别为-1,3，则 y>0指抛物线在x轴上方图象的部分； (1)当 时，y>0; (2)当 时，y=0; y=0指抛物线与x轴的交点. (3)当 时，x2<2x+3. 3.二次函数与一次函数 3.如图，y1=ax2+bx+c与y2=mx+n的图象 (1)求抛物线与直线的交点坐标 交于点A(-1,0),B(-4,2),则 方法：联立方程组求解。 (1)当 时，y1=y2; [y=ax2+bx+c, (2)当 时，ax2+bx+c≤mx+n; Ly=kx +m. (3)当 时，y2≥0. (2)两个函数y1,y2比较大小： y1>y2,是指y1比y2图象高的部分； y=y2,是指y1与y2图象的 部分； y<y2,是指 部分 阅盟学堂LZAZK GDSX55 核心考点 核心考点1 二次函数与方程、不等式关系 2022年版课标 知道二次函数与图象形状和5.(2024齐齐哈尔)如图，二次函数y=ax2+bx+ 对称轴的关系 2(a≠0)的图象与x轴交于(-1,0)，(x1,0),其 4.(2024眉山)如图，二次函数y=ax2+bx+c 中2<x1<3.结合图象给出下列结论：①ab>0; (a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0),与y轴 ②a-b=-2;③当x>1时，y随x的增大而减 交于点B,对称轴为直线x=1,下列四个结论： 小；④关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0 ①bc<0;②3a+2c<0;③ax2+bx≥a+b;④若 (a≠0)的另一个根是-子；⑤6的取值范围为 -2<c<-1,则-号<a+6+e<-，其中 正确结论的个数为 ( 1<b<号其中正确结论的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A.2 B.3 C.4 D.5 核心考点2二次函数的综合 6.④(2024内蒙古节选)如图，在平面直角坐标 7.【中考热点一无图题】(2024·北京)在平 系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经 面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2- 过原点和点A(4,0).经过点A的直线与该二次 2a2x(a≠0). 函数图象交于点B(1,3),与y轴交于点C (1)当a=1时，求抛物线的顶点坐标； (1)求二次函数的解析式及点C的坐标. (2)已知M(x1,y1)和N(x2,y2)是抛物线上 (2)P是二次函数图象上的一个动点，当点P 的两点.若对于x1=3a,3≤x2≤4，都有 在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴 y1<y2,求a的取值范围. 于点E,与直线AB交于点D,设点P的 横坐标为m.当m为何值时，线段PD的 长度最大？并求出最大值 56阅盟学堂LZAZK GDSX 广东中考 8.(2024广州)函数，=r2+bx+c与，=的图象如图所示，当，2均随着x的增大而减小 时，x的取值范围是 A.x<-1 B.-1<x<0 C.0<x<2 D.x>1 9.(2021深圳)二次函数y=ax2+bx+1与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图 象可能是 ( A B C D 10.(2020广东)如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1,有下列结论：①abc>0; ②b2-4ac>0:③8a+c<0;④5a+b+2c>0.其中正确的有 ( A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 11.(2022广东)如图，抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两点，已 知A(1,0),AB=4,P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q. (1)求该抛物线的解析式； (2)求△CPQ面积的最大值，并求此时点P的坐标 B 阅盟学堂LZAZK GDSX57 创新好题每日一练 12.(2024深圳)为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并 分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x,y轴建立如图1所示的平面直角坐标系，该数 学小组选择抛物线的不同位置测量数据并列表，设BD的读数为x,CD读数为y,抛物线的顶 点为C (1)①列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 6.25 9 ②描点：请将表格中的各点(x,y)描在图2中； ③连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式； (2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-h)2+k的顶点为C,该数学兴趣小 组用水平和竖直直尺测量其水平跨度AB,竖直跨度CD,且AB=m,CD=n.为了求出该 抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善 过程： 方案一：将二次函数y=a(x-h)2+k平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析 式为y=ax2, ①点B'的坐标为 ； ②将点B'的坐标代人y=ax2中，解得a= ;(用含m,n的式子表示) 方案二：设点C的坐标为(h,k), ①此时点B的坐标为 ②将点B的坐标代入y=a(x-h)2+k中，解得a= ;(用含m,n的式子表示) (3)如图4，已知平面直角坐标系xOy中有A,B两点，AB=4且AB∥x轴，二次函数C1:y1= 2(x+h)2+k和C2:2=a(x+h)2+b都经过A,B两点，且C,和C2的顶点P,Q距线段 AB的距离之和为10，求a的值 -10123456789 O(C) 图1 图2 图3 图4 58阅盟学堂LZAZK GDSX3 或6合 ly=4 c( 第13课二次函数(1) 1.≠1 2.(1)D (2)y=-(x+1)2+2-1大2 (3)<(4)y轴1 3.(1,2) 4.解：抛物线的顶点为(1,2)， ∴.设该抛物线的解析式为 y=a(x-1)2+2. 该抛物线过点(2,3)， .3=a(2-1)2+2,解得a=1. ∴.该抛物线的解析式为 y=(x-1)2+2. 5.(1)y=-x2+10x (2)=525 6.D7.D 8.解：(1)把点A(-2,0),B(1,0)代 入y=-x2+bx+c,得 {仁10得2 (2)由(1)知，二次函数解析式为 y=-x2-x+2, 设点P坐标为(m,-m2-m+2), :△PAB的面积为6， AB=1-(-2)=3, .Somye =分x3×-m-m+2l =6. .m2+m-2=4, 即m2+m-2=4或m2+m-2=-4 （无解)， 解得m=-3或m=2. ∴.点P的坐标为(-3，-4)或 (2,-4). 9.解：(1)将点A(-2,0),C(0,-2)代 人y=x2+bx+c,得 4-26+c=0,解得6=1) lc=-2, lc=-2. 二次函数的表达式为 y=x2+x-2. (2)设P(m,n)(m<0,n>0), :△PDB的面积是△CDB的面积 的2倍， 280 SACDB -=2, 1BD·CO 即0=2 又：C0=2,n=2C0=4. .m2+m-2=4, 解得m1=-3,m2=2(舍去). .点P的坐标为(-3,4). 阅盟学堂 0.解：(1)设y与x之间的函数关系 式是y=x+b,由表格可得 则(--子3+ 4 1解得[6产 -)+4=3+ 50k+b=124, y与x之间的函数关系式是 解得t= (负值合去 y=-4x+324(30≤x≤80，且x是 整数). GM=2=2 (2)依题意，得 0=x(-4x+324)-2000 答：两个正方形装置的间距GM的 =-4x2+324x-2000 长为分m (30≤x≤80). 16.解：设该果商定价x万元时，每天 (3)由(2)知 的“利润”为心万元，每天的“销售 w=-4x2+324x-2000 收入”为y万元，则 +4561, w=(x-2)[100+50(5-x)] 30≤x≤80，且x是整数， =-50(x-4.5)2+312.5, ·-50<0, ∴当x=40或41时，0取得最大 .当x=4.5时，0有最大值，最大 值，此时0=4560： 答：该影院将电影票售价定为40元/ 值为312.5； 张或41元/张时，每天获利最大，最 y=x[100+50(5-x)] 大利润是4560元. =-50(x-3.5)2+612.5, 1.解：(1)栅栏总长为80m, .当x=3.5时，y有最大值，最大 值为612.5. .x+y+x=80 y=80-2x, 答：该果商定价为4.5万元时才能 S=y·x=(80-2x)x 使每天的“利润”最大，其最大值为 =-2x2+80x. 312.5万元，定价为3.5万元时才能 使每天的“销售收入”最大，其最 (2)能. 令S=750,则-2x2+80x=750, 大值为612.5万元. 即x2-40x+375=0, 35 11. 解得x1=25,x2=15. 18.B 墙长为42m, .0<80-2x≤42， 19.(1)157 4 (2)C 解得19≤x<40. ..x=25. 第14课 二次函数(2) 故矩形实验田的面积S能达到 知识要点 750m2,此时x的值为25. 1.(1)m n 一0c (3)S=-2x2+80x (2)不相等2相等1无0 =-2(x-20)2+800. 3.(2)交点y1比y2图象低的 …-2<0,19≤x<40, 1.(1)(1,0)和(2,0)x1=1,x2=2 当x=20时，矩形实验田的面积 S最大，最大面积为800m2. (2)2(3)9(4e>4 2.A13.C14.B 2.(1)x<-1或x>3 5.解：(1)：AB=3m, (2)x=-1或3 AD=BC=4m,E(0,4), (3)-1<x<3 A(-2,3),B(-2,0),C(2,0), 3.（1)x=-1或-4 D(2,3). (2)-4≤x≤-1 设抛物线的表达式为 (3)x≤-1 y=ax2+bx+c, 4.C5.C 将A,D,E三点的坐标代入表达 6.解：(1)二次函数的图象经过点 4a-2b+c=3, 0(0,0),A(4,0),B(1,3), 式，得{4a+2b+c=3, .将三点坐标代入解析式，得 1c=4, c=0, ra=-1, 16a+4b+c=0,解得{b=4, 「a=- 4 La+b+c=3, Lc=0, 解得{ b=0, 二次函数的解析式为y=-x2+4x lc=4. :直线经过A,B两点，设直线AB ∴抛物线的表达式为 的解析式为y=kx+n, y=-子+4 将A,B两点代入，得 (2)设G(-t,3), 0解 ln=4. ZAZK GDSX7参考答案 .直线AB的解析式为y=-x+4. :C是直线与y轴的交点， .令x=0,则y=4.∴.C(0,4) (2)如图， A B D EA :点P在直线AB上方，.1<m<4. 由题知P(m,-m2+4m), D(m,-m+4), .PD =yp-yo =-m+4m+m-4 =-m2+5m-4 .-1<0, 当m=时，PD取得最大值子 7.解：(1)把a=1代入y=ax2-2a2x, 得y=x2-2x=(x-1)2-1, 抛物线的顶点坐标为(1，-1) (2)抛物线的对称轴为直线 ∴点M(3a,y1)关于对称轴的对称 点为(-a,y). 分两种情况讨论： ①当a>0时，如图1， 奉 3a 图1 y1<y2, ∴.点N在点M右侧，即3a<3, 解得a<1. ∴.0<a<1. ②当a<0时，如图2. -0 图2 y1<y2, .-a>4,解得a<-4. 综上所述，a的取值范围为 0<a<1或a<-4. 8.D9.A10.B 11.解：(1)A(1,0)且AB=4, .B(-3,0). 将点A,B代入抛物线的解析式，得 696:06标0化2 ·抛物线的解析式为 y=x2+2x-3. 阅盟学堂 (2)如图，过点Q作QE1x轴于点 第四章统计与概率 E,过点C作CF⊥x轴于点F, 第15课统计 1.B2.B P FE 3.(1)5(2)7(3)5 B 4四)号 (2)B 5.C6.D7.A8.C 9.乙 10.解：(1)依题意，得 设P(m,0),则PA=1-m, y=x2+2x-3=(x+1)2-4, m=8.2+8.4=8.3, 2 C(-1,-4),CF=4. 故答案为8.3. PQ∥BC,∴.△PQA∽△BCA. (2)①初中部的中位数为8.5， =4北，即E_1-m CF=AB .∴.a≥10. 4 41 依题意，得b=4+5=9， .QE =1-m. .∴.a>b. .SACPO=SAPCA -SAPOA 故答案为>. g ②800×20=360（人）. =子(1-m)×4 答：估计高中部对食堂“非常满 意”的学生人数为360. 1-m1-m时 11.解：(1)本次随机抽取的学生人数 为94÷47%=200（人）， =-2(m+12+2 .∴.m=200×25%=50. ,-3<m<1,根据二次函数的性 ..n=200-50-94-16=40. 质可知，当m=-1时，Sac有最 故答案分别为50,40， 大值为2， (2)补全条形统计图如图所示 .△CPQ面积的最大值为2，此时 人数 点P的坐标为(-1,0). 100 12.解：(1)描点连线绘制函数图象如 80 图2所示. 60 50 VA 40 40 20 65 0 A B C 432 D组别 (3)360×0 =72 -10123456789 故答案为72. 图2 抛物线过点O,故设抛物线的表达 (4)200×40t06=560(名). 200 式为y=ax 答：估计该校参加竞赛的2000名 将点(2,1)代入上式，得4a=1, 学生中成绩为优秀的人数为560. 解得a=4 1 12.C13.甲 14.解：(1)学校A的平均数为 y与的关系式为y=}(≥0. 0×(28+30+40+45+48+48+ (2)方案一 48+48+48+50)=43.3, 学校B的众数为25，中位数为 方案二：①h+2m,+n 45+50=47.5, 2 (3)对于二次函数C1:m=4, 故答案分别为43.3,25,47.5. 由a0得2=8n=8, (2)小明爸爸应该预约学校A,理 由如下： 则C,距线段AB的距离的n为2. 因为两所学校的平均数接近，但学 当a>0时，a-=42=7 校A的方差小于学校B,即学校A m 的预约人数比较稳定，所以小明爸 当a<0时，同理可得a=-2 1 爸应该预约学校A.(答案不唯一) 15.B16.D17.8018.C19.B 综上所述，a=±2 20.A LZAZK GDSX8参考答案