第3章 命题点12 反比例函数的图象与性质&命题点13 反比例函数的应用-【一战成名新中考】2026数学真题分类分层练

命题点12反比例函数的图象与性质 A基础分点练 考向1 反比例函数图象上点的坐标特征与表达式的确定 (2025年0考，2024年53考，2023年85考) 1[2025重庆]反比例函数，=-12的图象一定经过的点是 ( 2. A.(2,6) B.(-4,-3) C.(-3,-4) D.(6,-2) 2[福跳]若反比例函数y=冬的图象过点(-2,1，则常 数k= 3.[2025青岛]如图，正八边形ABCDEFGH的顶点A,B,G,H在坐标轴 上，顶点C,D,E,F在第一象限.点F在反比例函数y=二(x>0)的图 象上，若AB=√2，则k的值为 y G D B 第3题图 第4题图 4.[2025烟台]如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA=3,反比 例函数y=二(x>0)的图象过点C和菱形的对称中心M,则k的值 为 ( A.4 B.4√2 C.2 D.2√2 考向2反比例函数图象与增减性(2025年12考，2024年1考，2023年7考) 5.开放性试题[2025上海]已知一个反比例函数，在每个象限内，y随 x的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是 (只需写出一个) 6.学科融合[2025成都]某蓄电池的电压为定值.使用此电源时，用电 器的电流(4与电阻(0)之间的函数关系为1=泊。则电流1的值 随电阻R值的增大而 (填“增大”或“减小”) 7.[2025浙江]已知反比例函数y=7.下列选项正确的是 A.函数图象在第一、三象限 B.y随x的增大而减小 C.函数图象在第二、四象限 D.y随x的增大而增大 8.[2025河北]在反比例函数y=4中，若2<<4，则 1 A2<1 B.1<x<2 C.2<x<4 D.4<x<8 9[2025兰州]若点A(2,x)与B(-2,2)在反比例函数y=2的图象 上，则y1与y2的大小关系是 A.y<y2 B.y1≤y2 C.yi>y2 D.y1≥y2 变式 开放性试题[2025甘肃省卷]已知点A(2,y1),B(6,y2)在 反比例函数y=(k≠0)的图象上，如果>，那么k= (请写出一个符合条件的k值) 3 10.[2025内蒙古]已知点A(m,y1),B(m+1,y2)都在反比例函数y=- x 的图象上，则下列结论一定正确的是 () A.y>y2 B.y1<y2 C.当m<0时，y1<y2 D.当m<-1时，y1<y2 11.[2025天津]若点A(-3,),B(1,2)）,C(3,y3)都在反比例函数y=- 9 的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是 ( A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1 C.y1<y3<y2 D.y2<y3<y1 考向3与k的几何意义有关的计算(2025年s考，2024年0烤，2023年20烤)》 12.[2025山东省卷]如图，在平面直角坐标系中，A,C两点在坐标轴上， 四边形OABC是面积为4的正方形.若函数y=一(x>0)的图象经过 点B,则满足y≥2的x的取值范围为 ) A.0<x≤2 B.x≥2 C.0<x≤4 D.x≥4 y 0 A 第12题图 第13题图 第14题图 13.。二题多[2025绥化]如图，反比例函数y=左经过A,C两点，过点 A作AB⊥y轴于点B,过点C作CD⊥x轴于点D,连接OA、OC、AC 若SAco=4,CD:0B=1:3,则k的值是 () A.-12 B.-9 C.-6 D.-3 14.[2025威海]如图，点A在反比例函数y=4的图象上，点B在反比例 函数y=-2的图象上，连接OA,0B,AB.若A01B0,则an∠BA0 B能力提升练 15.[2025广西]如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的 所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC=DE=FG=1,点A,C,E, 真题分类分层练·数学 版权归一战成名新中考 G均在双曲线y=的一支上.若点A的坐标为(4，)，则第三级阶 梯的高EF= () 1 B.3 5 A.4 0 B 0 第15题图 第16题图 16.[2025北京]如图，在平面直角坐标系x0y中，A,B分别是横、纵轴正 半轴上的动点，四边形0ACB是矩形，函数y=L(x>0)的图象与边 AC交于点M,与边BC交于点N(M,N不重合).给出下面四个结论： ①△COM与△CON的面积一定相等：②△MON与△MCN的面积可能 相等：③△MON一定是锐角三角形：④△MON可能是等边三角形. 上述结论中，所有正确结论的序号是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 《创新考法 》》 17.数学文化[2025贵州]小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔 槔(g0)的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上0点， 并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N 的物体，且OB=1m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F,当改变 点A与点0的距离1时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与 有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如下表： ,点A与，点O的距离/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200150120 (1)表格中a的值是 (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与1之间的关 系.在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画 出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还 是减小？请说明理由 T竹 F/N 300F 石 200 100 1 2345l/m 图① 图② 第17题图 5 命题点13反比例函数的应用 A基础分点练 考向1反比例函数与一次函数结合(2025年9考，2024年21考，2023年2烤) ab 1.[2023泰安]一次函数y=ax+b与反比例函数y=(a,b为常数且均 不等于0)在同一坐标系内的图象可能是 令文 2.[2025连云港]如图，正比例函数y1=k1x(k1<0)的图象与反比例函数 k2 y2=二(k2<0)的图象交于A、B两点，点A的横坐标为-1.当y1<y2 时，x的取值范围是 A.x<-1或x>1 B.x<-1或0<x<1 C.-1<x<0或x>1 D.-1<x<0或0<x<1 第2题图 第3题图 第3题变式题图 3.[2025陕西]如图，过原点的直线与反比例函数y=·(>0)的图象交 于A(m,n),B(m-6,n-6)两点，则k的值为 变式 [2025深圳]如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y= r与反比例函数)=2-“相交于点A和点B.若A的横坐标为1，则B 的坐标为 4.[2025贵州]如图，一次函数y=x(x≥0)与反比例 9 函数y=9(20)的图象交于点C,过反比例函数 图象上点A作x轴垂线，垂足为点D,交y=x的图 象于点B,点A的横坐标为1.有以下结论： ①线段AB的长为8： ②点C的坐标为(3,3)； 第4题图 ③当x>3时，一次函数的值小于反比例函数的值， 其中结论正确的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 5.[2025达州]如图，直线y=kc+b(k≠0)与双曲线y=”(m≠0)交于点 A(2,2),点B(-4,a) (1)求一次函数与反比例函数的表达式： (2)点P在x轴上，SA4Op=3,求点P的坐标. 第5题图 6.[2025扬州]如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=仁的图象与 一次函数y=ax+b的图象交于点A(-1,6),B(m,-2): (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)求△OAB的面积. 第6题图 7[2025江百1如图，直线1：y=子+m与反比例函数y=（k≠0)的图象 2 交于点A(6,2): (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)一题多解将直线1向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交 于点C,连接OA,OC,当∠1=∠2时，求点C的坐标及直线1平移的 距离. 第7题图 真题分类分层练·数学 8.[2025南充]如图，一次函数与反比例函数图象交于点A(-3,1), B(1,n) (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)分类罚论点C在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为“， 过点C作x轴的垂线，交AB于点D,CD=了求a的值 Y D 第8题图 考向2反比例函数与几何图形结合(2025年8考，2024年5考，2023年35考)》 9.[2025德阳]如图，已知菱形OABC,点C在x轴上，反比例函数y= (x>0)的图象经过菱形的顶点A(3,4),连接OB,OB与反比例函数 图象交于点D (1)求反比例函数解析式： (2)求直线OB的解析式和点D的坐标. 第9题图 10.[2025河南]小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系 xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含 45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为(2,2)，反比例函数y= (>0)的图象经过点C (1)求反比例函数的表达式； (2)将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落 在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标， 第10题图 考向3反比例函数与一次函数、几何图形结合(2025年1烤，2024年考 2023年27考) 11.[2025齐齐哈尔]如图，在平面直角坐标系中，一次 函数y=--1的图象与反比例函数y=(k≠O) 的图象在第二象限内交于点A,与x轴交于点B, 点C坐标为(0,3)，连接AC,BC,若AC=BC,则 实数k的值为 第11题图 12.[2025苏州]如图，一次函数y=2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A, B两点，与反比例函数y=人(k≠0，x>0)的图象交于点C,过点B作 x轴的平行线与反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象交于点D,连 接CD. (1)求A,B两点的坐标： (2)若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值 0 第12题图 考向4反比例函数的实际应用(2025年考，2024年10烤，2023年21考) 13.学科融合[2025长春]在功W(J)一定的条件下，功率P(W)与做 功时间t(s)成反比例，P(W)与t(s)之间的函数关系如图所示.当 25≤t≤40时，P的值可以为 A.24 B.27 C.45 D.50 ↑P(W) 20 60 t(s) 第13题图 第16题图 第17题图 14.学科融合[2025辽宁]在电压不变的情况下，电流I(单位：A)与电 阻R(单位：2)是反比例函数关系.当R=4时，I=5.则电流1与电 阻R之间的函数表达式为I= 15.学科融合[2025连云港]某气球内充满了一定质量的气体，在温度 不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比 例函数.当V=1.2m3时，p=20000Pa.则当V=1.5m3时 P= Pa. B能力提升练 16.与扇形的面积结合[2025吉林省卷]如图，在平面直角坐标系中，过原 点0的百线与反比例函数3的图象交手A.B两点，分别以点 A,点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B.当⊙A,⊙B分别与x轴相 切时，切点分别为点C和点D,连接AC,BD,则阴影部分图形的面 积和为 ·(结果保留π) 4 17.[2025宜宾]如图，0是坐标原点，反比例函数y=--(x>0)与直线 =-2x交于点1，点B在y=手(>0)的图象上，直线AB与)轴交 于点C,连接OB.若AB=3AC,则OB的长为 52 A.√10 √130 B. 2 C.√34 D 2 18.[2025凉山州]如图，一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2= (x>0)的图象交于点A(6,1),B(2,m). (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图象，直接写出不等式x+b>的解集为 真题分类分层练·数学 版权归一战成名新中考 (3)在x轴上找一点C,使△ABC的周长最小，并求出最小值. B2,m) A(6,1) 第18题图 《《创新考法●》》 19.新定义[2025广东省卷]定义：把某线段一分为二的点，当整体线段 比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个 点称为中外比点. (1)如图①，点P是线段MN的中外比点，MP>PN,MW=2,求PN的长. M 第19题图① (2)如图②，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中 外比.（保留作图痕迹，不写作法） A 0 第19题图② (3)分类罚论如图③，动点B在第一象限内，反比例函数y=“ (k>0,x>0)的图象分别与矩形OABC的边AB,BC相交于点D,E, 与对角线OB相交于点F.当△ODE是等腰直角三角形时，探究点 D,E,F是否分别为AB,BC,OB的中外比点，并证明 Y D 0 A 第19题图③ 1790 ·点E的横坐标为 =9,.E(9,0) 设线段EF所在直线的函数解析式为y=x+b(k≠0)， 把E(9,0),F(15,90)代入， 得%t6-0。解得{ (k=15. (15k+b=90, 6=-135 .线段EF所在直线的函数解析式为y=15x-135; (3)机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机器人 甲、乙相距30米.【解法提示】设机器人乙行进的时间为1分 时，机器人甲、乙相距30米，当甲和乙都未到达B区时，两 机器人相向而行，则(150-20)+(90-10)=30，解得t=7,即 机器人乙行进的时间为7分时，机器人甲、乙相距30米：当 甲到达B区，乙未到达时，由(1)(2)可得，甲、乙到达B区 的时间相差9-7.5=1.5（分），.1.5×10=15（米）<30米，不 符合条件；当乙从B区返回C区，且甲仍在B区停留时，则 15-135=30,解得1=11，即机器人乙行进的时间为11分 时，机器人甲、乙相距30米；当甲、乙均从B区向C区行进 时，两机器人同向而行，由题意可得甲离开B区的时间为7 5+4.5=12(分)，当12≤x≤15时，设机器人甲距B区的距 离y(米)与机器人乙行进的时间x(分)之间的函数解析式 为y1=kx+b1（k≠0)，把(12,0)，F(15,90)代入，得 24+6,=0,解得=30， y1=30x-360,则(15-135) (15k,+b1=90, (b,=-360, -(30[-360)=30,解得t=13,即机器人乙行进的时间为13 分时，机器人甲、乙相距30米.综上所述，机器人乙行进的 时间为7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米. 7.B8.A9.0.8 10.解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)， 则59%6=256+b,解得=2， (606=30k+b, 1b=546 .y与x的函数关系式为y=2x+546; (2)令y=700, 则2x+546=700,解得x=77】 答：停止加热时的气体温度为77℃ 11.解：(1)由题图可知，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲 种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个 长方形 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个， 根据题意得任+2y=20, (4x+3y=400 每时行仁0 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个； (2)设作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片，则制作 甲种纸盒(100-m)个， 由题意得心=2m+(100-m)=m+100, :1>0,w随m的增大而增大， .当m最小时，w有最小值. 100 根据题意得m≥2(100-m),解得m≥ 3 其中最小整数解为34， 当m=34时，0=34+100=134 参考答案 答：至少需要134张正方形硬纸片， 12.解：(1)20,3800： (2)设AB所在直线对应的函数表达式为y=x+b(k≠0)， 将(60,2700)，(80,3800)代入， 得606+6=270解得=5， (80k+b=3800, 守\b=-600 .AB所在直线对应的函数表达式为y=55x-600; (3)110. 13.解：(1)设购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要a 元和b元， 根标海要得化m 多4化网 答：购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要350元和 200元： (2)设购买A型芯片m颗，所需资金w元，则购买B型芯 片(8000-m)颗， 根据题意得w=350m+200(8000-m)=150m+1600000, .·150>0, .心随m的增大而增大， 购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍， .m≥3(8000-m),解得m≥6000， .m取正整数， .当m=6000时，w取最小值，1w=150×6000+1600000 =2500000. 答：当购买A型芯片6000颗时，所需资金最少，最少资金 是2500000元； (3)①80； ②1.5或4.5或6.5.【解法提示】设y甲的解析式为y甲=kx (k2≠0)，将点(3,240)代入，得240=3k2,解得2=80，.y甲 =80x.当函数yz的图象在函数y甲图象的上方时，60x+60- 80x=30,解得x=1.5;当函数y2的图象在函数y甲图象的下 方时，80x-60x-60=30,解得x=4.5;当甲车到达N地，乙 车距离N地30km时，60x+60=480-30,解得x=6.5.综上 所述，当甲、乙两车相距30km时，x的值为1.5或4.5或 6.5. 命题点12反比例函数的图象与性质 1D2-232+万4D5y=(答案不唯-) 6.减小7.C8.B9.C变式1（答案不唯一） 10.D11.D12.A 13.D【解析】解法一：如解图①，延长 DC,BA交于点E,设CD=a(a>0), CD:0B=1:3,..OB=3a,.AB L y 轴，CD⊥x轴，点A的纵坐标为3a, 点C的纵坐标为a,a= D ∴.xc= 000=，4B=、第13题解图① a 名：反比例函数)=左经过A.C两点SaSa- 数学 9 :∠ED0=∠D0B=∠EB0=90°，四边形OBED是矩 k 形，BE=0D=-k,DE=0B=3a,AE=BE-AB= 2k CE a 3a =0e-60=2a,Sac=4E.0E=-semn=00 OB=-kx3a-3=4.Sow-SAm0c-SANOW 5c=8am即-k-(空-（空}-(5=4=-3 》一题多解 解法二：如解图②，过点A作AF⊥OD 于点F,S△Aor=S△oCD,.S国边ACr= SAAOC,CD·OD=AB·OB,又：CD:OB =1:3,.OD:AB=OD:0F=3:1,将函 数图象用单元格等分，设每个小矩形 的面积为m,易得S四边形cor=4m=4, D FO m=1,S助0s=k1=3,图象在第第13题解图② 二象限，.k=-3. 4 2 【解析】如解图，过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作 BD⊥y轴于点D,∴.∠BD0=∠AC0=90°，.·A0⊥BO ∴.∠DOB+∠DB0=∠COA+∠DOB=90°，.∠DBO= ∠COA,∴.△DBO△COA,. △m=(OB,点A在反 、OA 比例函数y=4的图象上，点B在反比例函数y=-2的图 0B-(负值已舍去)，：A01B0an∠BA0 0B√2 0A2 0A 2 Y= 第14题解图 15B【解析】：点A(4,子)在双曲线y-上6=4×子 6 6,双曲线的表达式为y=:由题意得BC,DE,5G均 与x轴平行，EF∥y轴，且BC=DE=FG=1,.点E的横坐 标为4-1-1=2，点G的横坐标为4-1-1-1=1，把x=2代 人y=6得y=3,把x=1代入y=6得y=6,BF=6-3=3 16.B【解析】四边形OACB是矩形，.SANOC=S△0c,又： SA=A0M COM-A00S0= S△BN,.S△ow=SACON,故结论①正确；设点M坐标为(a, 之.点N兰标，方.则Aa0).0,方.da方 1 1 .OR-AC=0A=BC=a.BN-b.AM-1.CN-a-b.CM- 10 参考答 11 1 2(a-b)(- 2Sa-5om8oc (a-b) b2 22b-2a6,当△M0N与△AMcv的面积相等时. 1(a-b)2a2-b a2-b2_(a-b)2 2b=2b,即a=6,当a=b时，M,N重合，与题意不 符，故结论②错误；·等边三角形和反比例函数图象都是 轴对称图形，当∠NOM=60°，点M与点N关于直线y=x(x> 0)对称时，△M0N是等边三角形，如解图①，故结论④正确： 如解图②，当M,N在直线y=x(x>0)的同侧时，△MOW是钝角 三角形，故结论③错误综上，正确结论的序号是①④. 图① 图② 第16题解图 17.解：(1)100；【解法提示】根据表格中的数据发现：1×300= 1.5×200=2×150=2.5×120=300,因此，点A与点0的距离l 与拉力F的乘积不变，∴.a= 300 =100. 3 (2)F与1之间的函数图象如解图所示； F/N -G 300 200 100 01234 5 l/m 第17题解图 (3)当OA的长增大时，拉力F诚小.理由：由函数图象可 知：F是1的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根 据反比例函数的性质可知，F随1的增大而减小，.当OA 的长增大时，拉力F减小. 命题点13反比例函数的应用 1.D2.C3.9变式(-1，-1)4.C 5.解：(1)：双曲线y=m(m≠0)经过点4(2,2)，B(-4,a), ∴.m=2×2=4=-4a,.a=-1, 4 .B(-4,-1),反比例函数表达式为y=一 .直线y=x+b(k≠0)经过点A(2,2),点B(-4,-1), (-4k+b=-1 解得 2 (2k+b=2, b=1, ∴一次函数表达式为y=2+1: (2)点P在x轴上，SAA0m=3, 20P·%=3, 20Px2=3,0P=3, 1 案·数学 ∴.点P的坐标为(3,0)或(-3,0) 6.解：(1)由题意得，将点A(-1,6)代入y=÷,得k=-16=-6, “反比例函数的表达式为y=6 6 将点B(m,-2)代入y=- 得m=- 23,B(3,-2), 将点A(-1,6),B(3,-2)代入y=ax+b, 得a+6=6,解得{a=-2, (3a+b=-2, （b=4, .一次函数的表达式为y=-2+4: (2)如解图，设一次函数的图象与x轴的交 点为点C, 将y=0代入一次函数y=-2x+4, 得-2x+4=0,解得x=2, ∴.C(2,0),∴.0C=2, 由(1)得A(-1,6),B(3,-2), 第6题解图 .△A0C中0C边上的高为161=6，△B0C 中0C边上的高为1-21=2， 1 1 △0AB的面积为S△oc+Swe=2X2X6+ ×2×2=8. 2 7解：(1：直线14=子m与反比例函数)=点子0的圆 象交于点A(6,2), 2-子×6rm…合2 k .m=-2,k=12, 一次函数的解折武为y=子-2，反比例函数的解折式为 t (2)解法一：如解图，过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作 CE⊥y轴于点E, 则∠AD0=∠CE0=90° ·∠1=∠2，..△A0D∽△COE, 提0 A(6,2),.AD=2,0D=6, 元00e=0e, 第7题解图 设CE=a,则0E=3a, C(a,3a）, :点C在反比例函数y=12的图象上， ∴a·3a=12,解得a=2或a=-2(舍去)，∴.C(2,6); 设直线1平移后的解析式为y=了+”， 2 2 14 “号X2+n=6,解得n=3 3(2)20 一直线1向上平移的距离为n-m 3 参考答案 》一题多解 解法二：如解图，过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥ y轴于点E, :∠1=∠25lanL1=ian∠2，OD0E AD CE .A(6,2),.AD=2,0D=6, AD 2 1 0D6 30E=3CE, 后同解法一，得C(2,6),直线1向上平移的距离为n-m= 片(2=9 20 8解：()设反比例函数的解析式为y(k,≠0)， 反比例函数图象经过点A(-3,1),k=-3, 一反比例函数的解析式为)=-3 B1,n)在y=-3的图象上n=-3.B(1,-3》. 设一次函数的解析式为y=k,x+b(k,≠0)， -3k2+b=1, k2=-1, 解得 (k2+b=-3, (b=-2, .一次函数的解析式为y=-x-2; （2CD1轴Ca,之)，Da,-a-2). 当点C在点A左侧时， =2(-a-2)-37 CD=7 a2 即2a2+11a-6=0, 解得a=-6或a=2: 1 点C在第二象限，.a=-6: 当点C在点A右侧时， 7 CD= 7.-3 2 -(-a-2)= 2 即2a2-3-6=0,解得a=3社57 4 3-√57 点C在第二象限，a= 4 3-√57 综上所述，a的值为-6或4 9.解：(1)把A(3,4)代入y=,得=3×4=12， 、反比例函数解析式为y=气 12 (2):A(3,4),.0A=√32+4=5， 四边形OABC是菱形 AB=0A=5,AB∥0C,B(8,4), 设直线OB的解析式为y=mx(m≠0)， 1 把B(8,4)代入得4=8m,m=2 ·.直线0B的解析式为y=2, 1 点D是反比例函数与正比例函数图象的交点， 数学 11 12 Y=- .联立解析式 1 y=2, 解得=26或 =-2√6」 y=√6 (y=-√6 x>0,.D(26,6). 10.解：(1)：含45°角的三角板0AC的直角顶点C的坐标为 (2,2),反比例函数)y=（心0)的图象经过点C. ∴.k=2×2=4 反比剂晒数的表达式为一兰 (2)C(2,2), :.C02=22+22=8 含45°角的三角板OAC为等腰直角三角形，∠AC0 =90°， .AC=C0,A0=√C0+AC=4, 如解图，将△OAB绕点O顺时针旋 B D 转90到△OEF的位置，设点D的对 应点为点G, ∴.0E=0A=4 4 D的对应点G在y=—的图象上， 第10题解图 .ye=1,∴.EG=1, 由旋转可得AD=GE=1, .D(-1,4) 11.-6 12.解：(1)在y=2x+4中，令y=0得2x+4=0, 解得x=-2, 点A的坐标为(-2,0)； 在y=2x+4中，令x=0得y=4, .点B的坐标为(0,4)； (2)如解图，过点C作CE⊥BD,垂足 为E, .·△BCD是以BD为底边的等腰三角 形，.CB=CD A CE⊥BD,.BE=DE, 在y=中，令y=4得x= 第12题解图 以年BE=E= 81 在中令有得=8 cg8. 点C在一次函数y=2x+4的图象上， 8=2x令4，解得6=16， .k的值为16， 18c140 15.16000 12 参考答 16胥【解析】：当⊙A,⊙B分别与x轴相切时，切点分别为 点C和点D,.AC⊥x轴，BD⊥x轴，⊙A和⊙B的半径为 1AC=BD=1,点A的纵坐标为1，把y=1代入y= x 解得x=√3，.A(5,1),.OC=√3，tan∠0AC= .∠0AC=60°，.第一象限中阴影部分图形的面积为 60×1=”,同理，第三象限中阴影部分图形的面积为 3606 6, S阴影=3 T 17.D【解析】如解图，过点A作AD⊥x 轴于点D,过点B作BE⊥x轴交于点 E,“反比例函数y=-4(x>0)与直 线y=-2x交于点A4 =-2x,解 第17题解图 得x=√2（负值已舍去），.OD=√2， OC⊥x轴，AD⊥x轴，BE1x轴，.OC/AD/BE,AC AB 形（平行费分线段成比例），AB=31C3=D ,.DE= DO 32,0B=2+35=42,将=42代人y=-4,得y 4.2 20B=O+BR130 2 18解：(1)：反比例函数与=(20)的图象经过点A(6,1), 1合解得=6， 、反比例函数的解析式为，=6（x>0). 在，=6(x>0)中，当x=2时=？=3，B(2,3), 6 6 :一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=亡(x>0)的 图象交于点A(6,1),B(2,3), 1 (6a+b=1, 解得 a=-2' （2a+b=3. b=4, 1 一次函数的解析式为%=2+4： (2)2<<6: (3) 》关键点拨利用将军饮马模型 先将求△ABC周长的最小值转化成求线段AB和AC+BC的 最小值，再利用轴对称的性质，将同侧线段转化到异侧，连 线定位置，即可得出结论. 如解图，作点B关于x轴的对称点D,连接BD,AD,AD交x 轴于点C,连接BC,则D(2,-3), 由轴对称的性质可得DC=BC, 案·数学 A(6,1),B(2,3) ∴.AB=√(2-6)+(3-1)7=25， B(2,m) .△ABC的周长为AC+BC+AB= A(6,1) AC+DC+2√5 0 .当AC+DC的值最小时，△ABC 的周长最小， D 当A,C,D三点共线时，AC+DC的 第18题解图 值最小，此时△ABC的周长最小，为AD+25, A(6,1),D(2,-3), .AD=√(2-6)+(-3-1)7=42， .△ABC周长的最小值为42+25， 设直线AD的解析式为y=kx+b1, 则/6+6，=1， （k=1, 解得 (2k+b1=-3,(b1=-5, .直线AD的解析式为y=x-5, 当y=0时，x=5,.C(5,0), .当点C的坐标为(5,0)时，△ABC的周长最小，最小值为 42+25. 19.解：(1)设PW=x,则MP=MN-PN=2-x, 根据题意得MP 即2=2=x MP PN'2-x x 整理，得x2-6r+4=0,解得x,=3+5,2=3-√5， …3+5>2, .=3+5舍去， .PW=3-√5； (2)如解图，点C即为所求； 0 第19题解图 (3)当△ODE是等腰直角三角形时，点D,E,F分别为AB, BC,OB的中外比点.证明如下： ①当△ODE是以∠OED为顶角的等腰直角三角形时， ∠OED=90°，OE=ED, .∠OEC+∠BED=90 .·四边形OABC是矩形， .∠OCE=∠EBD=90°， .∠COE+∠OEC=90°， .∴.∠COE=∠BED, .△COE≌△BED(AAS), .OC=EB,CE=BD 设点E的坐标为(m,n),则EB=OC=n,BD=CE=m, 点D的坐标为(m+n,n-m), :点D,E在反比例函数y=(>0,>0)的图象上 参考答案· k (m+ =n-m②， 由①得k=n,将其代入②得m=n-m, m+n 整理得n2-mn-m2=0, 解得n= m±√(-m)-4×1×(-m)m±5m 2 2 1+√5 .n= 2m(负值已舍去)， 1+W5 3+5√5-1 3+W51+W5 m,2m）,D(2m,2m), 2m,2m）, 2m60s3+5 EB=1+/ —2z。生=213—大5 2m, 3+√5 1+5 BC 2 m m 1+5 BE 2 1+√5 ·BE1+52'CEm 2 1+W5 AB、2m 1+V5BDm=1+5 BD m 2’ADW5-1 2 BC BE AB BD BE CE'BD AD .点E,D分别为BC,AB的中外比点， :点E在反比例函数y=(k>0,20)的图象上， 1+W5 .∴.k=mn= 2m2, 反比例函数的解析式为y23 设直线OB的函数解析式为y=ax(a≠0)， 2m,2m)代入，解得a=5-1 3+√51+√5 将B( 2 ·直线0B的函数解析式为y=5-」 2x, √5-1 Y= 2, 5+1 联立 m, 1+5, 解得x 2 2m1 ly=m, (* 2m,m),易得B0F5+1 OF BF 2 点F为OB的中外比点； ②当△ODE是以∠ODE为顶角的等腰直角三角形时， ∠ODE=90°，0D=DE, .·.∠ODA+∠EDB=90°， .·四边形OABC是矩形， ∴.∠OAD=∠EBD=90°， 数学 13 .·.∠ODA+∠DOA=90° .∴.∠EDB=∠DOA, ∴.△DBE≌△OAD(AAS) 同①得点D,E,F分别为AB,BC,OB的中外比点； ③当△ODE是以∠EOD为顶角的等腰直角三角形时，点 E,D分别位于y轴、x轴上，与反比例函数不符，因此这种 情况不存在 综上所述，当△ODE是等腰直角三角形时，点D,E,F分别 为AB,BC,OB的中外比点. 命题点14二次函数的图象与性质 1.D2.D3.B4.4 5.C 》一题多解利用对称轴比较函数值大小 解法一：异侧转同侧结合增减性比较.需求出点关于对称轴 对称的点的横坐标，然后利用同侧的增减性比较 :二次函数的解析式为y=-(x-2)2+c,函数图象开口向 下，对称轴为直线x=2,“.在对称轴右边，函数值y随x的 增大而诚小，画出该函数的大致图象如解图（利用图象可 快速得到答案)，则只有(-2，y1)在对称轴左侧，关于对称 轴对称的点的坐标为(6，y),:3<6<7,.y2>y1>y (3,y2) 02 (-2,y) (6,y) (7,y) 第5题解图 解法二：距离法.先定开口方向，再算“距离”，开口向上，距 离对称轴越远的值越大，开口向下，距离对称轴越远的值 越小 :二次函数的解析式为y=-(x-2)2+c,.函数图象开口向 下，对称轴为直线x=2,.离对称轴越远，函数值越小，点 （-2,y)到对称轴的距离为1-2-21=4，点(3，y2)到对称轴 的距离为13-21=1，点(7，y3)到对称轴的距离为17-21=5， .1<4<5.y2>y1>y3 6.A【解析】小：y=3x2+bx+1,.当x=0时，y=1,.抛物线y= 3x2+bx+1过点(0,1)，抛物线y=3x2+bx+1的开口向上， 、对称鈾为直线三6、=-6，·抛物线上的点窝称轴越」 远，函数值越大，3<6<4,2<-b<-1…2+1.1 3<-6<-2,·2 2 >名20-1名点4(2)到对轴的E离大于 点(0,1)到对称轴的距离，小于点B(1,y2)到对称轴的距 离，.1<y1<y2 7.C【解析】y=x2-2x=(x-1)2-1,∴.抛物线的对称轴为直 线x=1,且顶点坐标为(1，-1).1-(-1)=3-1，x=-1和 x=3时的函数值相等.：-1≤x≤1-1，当x=-1时，函数取 14 参考答 得最大值，t-1≤3，又当x=1时，函数取得最小值，.- 1≥1，.1≤1-1≤3，解得2≤1≤4. 8.D【解析】函数y=a-b的图象经过第一、二、四象限， <0,<0名0.国数y=三e≠0)的图象分别位于第 二、四象限，∴c>0,.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口 向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交点在正半轴上，只有选项 D符合 9.C【解析】由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为直线x= 2a>0,抛物线与y轴交点在负半轴上，a>0,6<0,c<0 abc>0,故A选项错误：由图象知对称轴直线x<1,即-<山， a>0,∴.-b<2a,∴.2a+b>0,故B选项错误；由图象知对称 b-1+21 轴直线=2222-6>aa+<0,当x=2时，y 4a+2b+c=0,.4a+4b=2b-c,∴.2b-c=4(a+b)<0,故C选项 正确；当x=-1时，y=a-b+c>0,故D选项错误， 变式D【解析】小：抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，∴ a>0,c>0,抛物线与x轴交于点A(1,0),点B(3,0),当x= -1时y>0,.抛物线的对称轴是直线x=2,b2-4ac>0,a-b+c b >0,故结论③④正确；2a2,即6=-4a<0,6+4a=0,故结 论②正确；∴abc<0,故结论①正确.综上，说法正确的有 4个. 10.D【解析】由图象可知，抛物线的开口向下，与y轴交于正 半轴，“a<0,c>0,”对称轴为直线x=-二三2，∴6=4拉 0,.bc>0,4a+b=0,故选项A,B正确，不符合题意；ax+ bx1=ax+bx2且x1≠x2,∴.ax+bx1+c=ax+bx2+c,∴.（x1,ar +bx,+c)和(x2,a22+bx2+c)关于对称轴直线x=2对称， x+x2=4,故选项C正确，不符合题意；抛物线的开口向 下.抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，(-1， y1),(3,y2)两点都在抛物线y=ax2+bx+c上，1-1-21>13- 21,y1<y2,故选项D错误，符合题意. 》解题技巧二次函数y=ar2+bxtc(a≠0)与a、b、c的特殊关系 1.利用对称轴公式 看到2a+6,比较品和1的大小： 看到2a-6,比较2和-1的大小： 2.赋值法 ①看到a+b+c,令x=1看y的值； 看到a-b+c,令x=-1看y的值； ②看到4a+2b+c,令x=2看y的值； 看到4a-2b+c,令x=-2看y的值； 温馨提示：如出现其他形式，可结合对称轴公式和赋值法进 行推导 1 11.74 12.C【解析】由图象可知，抛物线的开口向下，交y轴于正半 案·数学