专题01二次根式（期中真题汇编，浙江专用）八年级数学下学期新教材浙教版

专题01 二次根式 3大高频考点概览 考点01二次根式的定义 考点02二次根式的性质 考点03 二次根式的计算 一、选择题地 城 考点01 二次根式的定义 1.（24-25八年级下·浙江台州·期中）要使二次根式有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级下·浙江温州·期中）若二次根式有意义，则字母的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若代数式有意义，则实数a的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 5.（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列的式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6.（21-22八年级下·浙江宁波·期中）实数x，y满足，则的平方根为______． 7.（24-25八年级上·浙江宁波·期中）求 的最小值为_____． 8.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）二次根式中字母的取值范围是______． 9.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 10.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若的值为零，则的值是______． 11.（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为____． 12.（24-25八年级下·浙江金华·期中）若a、b都为实数，且， _____． 三、解答题 13.（24-25八年级下·浙江台州·期中）已知，求的值． 14.（23-24八年级下·浙江金华·期中）（1）若实数满足等式，求的值； （2）已知，求的平方根． 一、选择题地 城 考点02 二次根式的性质 1.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级下·浙江台州·期中）下列二次根式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级下·浙江丽水·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4.（24-25八年级下·浙江台州·期中）已知是正整数，则自然数n的最小值为（   ） A．12 B．6 C．4 D．3 5.（24-25八年级下·浙江温州·期中）化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6.（24-25八年级下·浙江温州·期中）化简，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 7.（23-24八年级下·浙江宁波·期中）设，则S最接近的数是（   ） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 二、填空题 8.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）化简的值为___． 9.（24-25八年级下·浙江台州·期中）根据下列等式：①；②；③；…的排列规律，可得第④个等式为__________． 10.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）当_______时，的值为3． 11.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）若二次根式的值为9，则的值为__________． 12.（24-25八年级下·浙江金华·期中）已知，则计算______________． 三、解答题 13.（22-23八年级下·浙江湖州·期中）阅读下列材料，解答后面的问题： 在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如： ①要使二次根式有意义，则需，解得：； ②化简：，则需计算， 而 ， 所以 (1)根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围； (2)利用①中的提示，请解答：如果，求的值； (3)利用②中的结论，计算： 一、选择题地 城 考点03 二次根式的计算 1.（21-22八年级下·浙江嘉兴·期中）对于，关于、的取值正确的说法是（   ） A． ， B．  ， C．， D．， 2.（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 3.（24-25八年级下·浙江台州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）下列各式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5.（21-22八年级下·浙江杭州·期中）______． 6.（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知一个直角三角形的周长是，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为________． 7.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值为______． 8.（24-25八年级下·浙江台州·期中）计算：__________． 三、解答题 9.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 10.（21-22八年级下·浙江宁波·期中）计算 (1)； (2)． 11.（21-22八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 12.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． (1)若m与是关于10的友好二次根式，求m； (2)若与是关于6的友好二次根式，求m． 13.（20-21八年级下·浙江杭州·期中）解答下列各题． (1)计算：； (2)已知：，求的平方根． 14.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知：，求的值．小启同学是这样分析与解答的： 解：， 则 ，即， 请你根据小启的分析过程，解决如下问题： (1)计算：__________； (2)计算的值； (3)若，计算的值． 15.（24-25八年级下·浙江台州·期中）观察下列等式，并回答问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)请直接写出第5个等式_______； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； (3)计算：． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式 3大高频考点概览 考点01二次根式的定义 考点02二次根式的性质 考点03 二次根式的计算 一、选择题地 城 考点01 二次根式的定义 1.（24-25八年级下·浙江台州·期中）要使二次根式有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件（被开方数为非负数 ）以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，再分析其在数轴上的表示． 【详解】解：∵ 二次根式有意义， ∴ ， ∴ ， 在数轴上表示，如图． 故选：． 2.（24-25八年级下·浙江温州·期中）若二次根式有意义，则字母的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，即，解此不等式即可确定的取值范围． 【详解】解：要使二次根式有意义，需满足被开方数． 解不等式： 两边同时加4，得： 因此，的取值范围是， 故选：A 3.（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于或等于0列出不等式解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：． 4.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若代数式有意义，则实数a的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，能正确得到相关不等式是解题的关键． 直接利用分式有意义的条件及二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：式子有意义，则且 解得：且 故选：D 5.（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列的式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不能确定的正负，故A选项不符合题意； B、，二次根式没有意义，故B选项不符合题意； C、是二次根式，故C选项符合题意； D、，二次根式没有意义，故D选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 6.（21-22八年级下·浙江宁波·期中）实数x，y满足，则的平方根为______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，求出x的值，代入求出y的值，再计算，最后求解的平方根即可． 【详解】解：由题意得，二次根式的被开方数非负， ∴， 解得， 将代入，得： ， ∴， ∴的平方根为． 7.（24-25八年级上·浙江宁波·期中）求 的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． 本题作，过点作，过点作，使，，连接，，设，则，说明的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，利用矩形和直角三角形的性质可求得的值即可． 【详解】解：作，过点作，过点作，使，，连接，，设，则，如图所示： ， 在和中，根据勾股定理可得： ，， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当点，，三点共线时，最小，即的最小值为的长， ∴的最小值为的长， 过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：； 8.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）二次根式中字母的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，掌握被开方数为非负数是关键，根据题意得到，由此求不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意，， 解得，， 故答案为： ． 9.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：． 10.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若的值为零，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质及解一元一次方程，根据题意得到，解一元一次方程即可确定答案．熟记二次根式性质及解一元一次方程的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：若的值为零，则， 解得， 故答案为：． 11.（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键． 将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 12.（24-25八年级下·浙江金华·期中）若a、b都为实数，且， _____． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，已知字母的值求代数式的值等．根据题意可得，，继而代入中即可求出本题答案． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∴， 故答案为：1． 三、解答题 13.（24-25八年级下·浙江台州·期中）已知，求的值． 【答案】64 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件得出，进而可求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14.（23-24八年级下·浙江金华·期中）（1）若实数满足等式，求的值； （2）已知，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查代数式求值，涉及非负式和为零的条件、立方根、二次根式有意义的条件、平方根等知识，熟记相关定义与性质是解决问题的关键． （1）根据非负式和为零的条件求出实数，代入代数式，根据立方根定义求解即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件求出实数，代入代数式，将值代入代数式，根据平方根定义求解即可得到答案． 【详解】解：（1） ， ，解得， ； （2） ， ，且， ，则， ，则的平方根是． 地 城 考点02 二次根式的性质 一、选择题 1.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需同时满足两个条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开方开得尽方的因数或因式．据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、的被开方数10不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、，不是最简二次根式． 2.（24-25八年级下·浙江台州·期中）下列二次根式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 3.（24-25八年级下·浙江丽水·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的判断；最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数或因式；②被开方数不含分母；根据定义逐一分析各选项即可． 【详解】解：A. ：，其中为完全平方数，故A不是最简二次根式； B. ：，被开方数含分母，故B不是最简二次根式； C. ：分母含根号，故C不是最简二次根； D. ：，无完全平方因数，且被开方数不含分母，满足最简二次根式的条件； 故选D． 4.（24-25八年级下·浙江台州·期中）已知是正整数，则自然数n的最小值为（   ） A．12 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的化简，理解“被开方数是平方数，那么二次根式的值为整数”是解题的关键． 因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数n为3． 【详解】解：∵，且是整数； ∴是整数，即是完全平方数； ∴n的最小正整数值为3． 故选：D． 5.（24-25八年级下·浙江温州·期中）化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：B 6.（24-25八年级下·浙江温州·期中）化简，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简二次根式，先计算出的结果，再根据二次根式的性质化简即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 7.（23-24八年级下·浙江宁波·期中）设，则S最接近的数是（   ） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 【答案】B 【分析】此题是数字规律题，主要考查了二次根式的性质，解答此类题目要探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 由可化为，由原式可以看出，被开方数都是1加连续两个自然数平方倒数和的形式；中间的算式都是1加第一个自然数的倒数，再减去第二个自然数的倒数；右边的结果为1加两个自然数乘积的倒数，进而求解即可． 【详解】设n为任意正整数， ∴ ∴ ， 因此与s最接近的整数是2009． 故选B． 二、填空题 8.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）化简的值为___． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的运算.根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 9.（24-25八年级下·浙江台州·期中）根据下列等式：①；②；③；…的排列规律，可得第④个等式为__________． 【答案】 【分析】根据平方差公式以及二次根式的性质，即可得到答案． 本题主要考查平方差公式以及二次根式的性质，找出等式的变化规律，是解题的关键． 【详解】解：∵①； ②； ③； ∴④． 故答案为：． 10.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）当_______时，的值为3． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次根式的运算， 先平方得，再求出解即可． 【详解】解：因为， 平方，得， 解得． 故答案为：4． 11.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）若二次根式的值为9，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据题意列出，进而可得，求平方根，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 12.（24-25八年级下·浙江金华·期中）已知，则计算______________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的非负性成为解题的关键． 由可得，，然后根据二次根式的性质化简即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：1． 三、解答题 13.（22-23八年级下·浙江湖州·期中）阅读下列材料，解答后面的问题： 在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如： ①要使二次根式有意义，则需，解得：； ②化简：，则需计算， 而 ， 所以 (1)根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围； (2)利用①中的提示，请解答：如果，求的值； (3)利用②中的结论，计算： 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据二次根式的被开方数不能为负数，且分母不能为0，列出不等式组，求解即可； （2）根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式组，求解可得a的值，将a的值代入已知等式可得b的值，最后求a与b的和即可； （3）利用②中的结论直接化简各个二次根式，再根据有理数的加减法法则计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 由①得， 由②得， ∴； （2）解：由题意得， ∴， ∴， ∴； （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；探索数与式的规律．解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 地 城 考点03 二次根式的计算 一、选择题 1.（21-22八年级下·浙江嘉兴·期中）对于，关于、的取值正确的说法是（   ） A． ， B．  ， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法法则，当，时，． 【详解】解：当，时，才成立． 2.（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式的判定、二次根式的性质等知识点，掌握同类二次根式的被开方数相同成为解题的关键．先运用二次根式的性质化简，然后根据同类二次根式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：① ，为整数，不是二次根式； ② 与的被开方数相同，与是同类二次根式； ③与的被开方数不同，与不是同类二次根式； ④与的被开方数相同，与是同类二次根式． 综上，与是同类二次根式的是②和④． 故选：C． 3.（24-25八年级下·浙江台州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算规则．根据二次根式的加减乘除法则逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，无法直接相加，故错误． B. 与不是同类二次根式，无法相减，故错误． C. ，根据二次根式乘法法则，计算正确． D. ，而非，根据除法法则，故错误． 故选：C． 4.（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）下列各式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、合并二次根式，判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，若被开方数相同，则可合并，由此逐项分析即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、，为有理数，与（无理数）无法合并，故不符合题意； B、，化简后被开方数为，与不同，不能合并，故不符合题意； C、，化简后被开方数为，与相同，可以合并，故符合题意； D、含未知数，无法确定是否为完全平方数，无法保证与合并，故不符合题意； 故选：C． 二、填空题 5.（21-22八年级下·浙江杭州·期中）______． 【答案】/ 【分析】本题考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式． 分子和分母同乘以进行分母有理化，消除分母中的根式． 【详解】解： 故答案为：． 6.（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知一个直角三角形的周长是，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为________． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、二次根式的乘法、完全平方公式．根据直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可求得斜边的长，再根据直角三角形的周长和勾股定理，可求得两直角边的长的乘积，由此可求出这个三角形的面积． 【详解】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c， 根据直角三角形的性质知：， ∴， 整理得， ∴，即， ∴， ∴， ∴这个三角形的面积． 故答案为：2． 7.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式可以合并的条件是化简后被开方数相同．化简，根据二次根式可以合并的条件进行计算即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与可以合并， ∴， ∴， 故答案为：． 8.（24-25八年级下·浙江台州·期中）计算：__________． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法计算即可． 【详解】． 故答案为：4． 三、解答题 9.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10.（21-22八年级下·浙江宁波·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案； （2）直接利用二次根式的性质、平方差公式化简，进而计算得出答案． 【详解】（1）解：+ ； （2）解： ． 11.（21-22八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． (1)若m与是关于10的友好二次根式，求m； (2)若与是关于6的友好二次根式，求m． 【答案】(1)2 (2)3 【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算即可； （2）利用多项式乘多项式以及二次根式的混合运算法则进行计算． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：根据题意得，， ∴． 13.（20-21八年级下·浙江杭州·期中）解答下列各题． (1)计算：； (2)已知：，求的平方根． 【答案】(1)； (2)的平方根为． 【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式有意义的条件，平方根，熟练掌握运算法则和正确理解相关概念是解题的关键． （）由二次根式除法，二次根式的性质，分母有理化进行化简，然后合并即可； （）由，可得，从而得出，，然后代入求平方根即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由，可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的平方根为． 14.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知：，求的值．小启同学是这样分析与解答的： 解：， 则 ，即， 请你根据小启的分析过程，解决如下问题： (1)计算：__________； (2)计算的值； (3)若，计算的值． 【答案】(1) (2)9 (3)2 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据分母有理化进行计算即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可； （3）仿照题干给定的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）原式 ； （3）∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴． 15.（24-25八年级下·浙江台州·期中）观察下列等式，并回答问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)请直接写出第5个等式_______； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； (3)计算：． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字规律，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合已有的式子过程，直接写出第5个等式，即可作答． （2）根据前5个等式的特征，得出，运用平方差公式进行化简，得即可作答． （3）结合前面的结论得，则原式，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式：， 故答案为：； （2）解：依题意，第n个等式:． 即第n个等式:， 证明如下： ； （3）解：由（2）得 ∴ ． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $