专题01 特殊的平行四边形（期中复习课件）九年级数学上学期北师大版

该初中数学课件聚焦特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形），通过“研·期中学情”明确考情规律，“记·必备知识”梳理定义、性质与判定，“破·重难点题型”分层突破，构建从基础到综合的知识支架，帮助学生系统复习。 其亮点在于以考情为导向，用表格对比性质判定、符号语言结合图示，培养几何直观与抽象能力（数学眼光），通过解题技巧和中考真题训练推理与应用（数学思维）。学生能夯实基础提升能力，教师可直接用于分层教学，提高效率。

专题01 特殊的平行四边形 九年级数学上学期 期中复习大串讲 北师大版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 菱形的性质与判定 掌握菱形的定义、性质和判定方法，能运用这些知识解决与菱形相关的计算和证明问题 高频考点，常与矩形、正方形等知识综合考查，在选择题、填空题、解答题中均有出现 矩形的性质与判定 掌握矩形的定义、性质和判定方法，能运用这些知识解决与矩形相关的计算和证明问题 高频考点，常结合三角形、菱形、正方形等知识综合考查，在各类题型中广泛出现 正方形的性质与判定 掌握正方形的定义、性质和判定方法，能运用这些知识解决与正方形相关的计算和证明问题 核心考点，是菱形和矩形知识的综合，常与其他特殊四边形、三角形等知识结合，在几何综合题中高频考查 四边形综合 能综合运用各种特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形）的性质与判定，解决复杂的四边形相关问题 重要考点，多为几何综合题，考查对特殊四边形知识的综合运用能力，在解答题中较为常见 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 菱形的性质与判定 知识点01 1. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 性质 符号语言 图示 边 菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC 对角线 菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 2. 菱形的性质： 1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质； 2）菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形； 3）菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形； 菱形的性质与判定 知识点01 【解题技巧】 3. 菱形的面积公式： 1）菱形的面积=底×高，即. 2）菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半， 即. 4. 菱形的判定 判定定理 符号语言 图示   边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC， ∴▱ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形 矩形的性质与判定 知识点02 1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 性质 符号语言 图示 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 2. 矩形的性质 1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； 2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形， 经常会用到等腰三角形的性质解决问题. 3）利用矩形的性质可以推出： 在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 矩形的性质与判定 知识点02 【解题技巧】 3. 矩形的判定 判定定理 符号语言 图示     角 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中，∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形 正方形的性质与判定 知识点03 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 正方形的定义： 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 2. 正方形的性质： 1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【补充】 3. 正方形的判定： 定义法 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 判定 定理 已知是矩形时 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+一组邻边相等 对角线互相垂直的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 已知是菱形时 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+一个角是直角 对角线相等的菱形是正方形 菱形+对角线相等 四边形综合 知识点04 特殊平行四边形的性质对比 四边形 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形、 中心对称图形 菱形 对边平行且四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、 中心对称图形 正方形 对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、 中心对称图形 2. 矩形、菱形、正方形的判定 四边形 边 角 对角线 矩形   1）平行四边形+一直角 2）四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 2）四边形+四条边都相等   平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 菱形+对角线相等 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 利用菱形的性质求解 题型一 解｜题｜技｜巧 1）菱形的对角线互相垂直平分，因此涉及菱形的问题常会在直角三角形中解决； 2）菱形的四条边相等，因此菱形与等腰三角形、等边三角形的综合应用较多，利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合. 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）在菱形中，E，F分别是、上的点，是等边三角形，若，则的度数是 ． 解：如图所示： 在菱形中，、分别在、上， 且是等边三角形，， ，， ， 设，则， 故，则， 四边形是菱形 ，， ， ， 解得：，即， 利用菱形的性质求解 题型一 ∵， ∴． 2．（24-25九年级上·广东茂名·阶段练习）菱形的两条对角线分别为和，则菱形的周长为 ． 解：菱形周长为： ； 菱形的周长为； 利用菱形的性质求解 题型一 3．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，于点H，则的面积为 ． 利用菱形的性质求解 题型一 解：∵在菱形中，对角线和相交于点， ∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， 由菱形的性质可得，∴， 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在菱形中，°，，是边上的一点，分别是的中点，则线段的长为 ． 解：如图，连接． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ． 利用菱形的性质求解 题型一 5．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在菱形中，是延长线上一点，是延长线上一点，连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由． 利用菱形的性质证明 题型二 解：四边形是菱形． 理由：四边形是菱形， ， ， ， 又， ， ， 同理得：， ∴，， ∵， ， ∵， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 6．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，在菱形中，，点在对角线上，将线段绕点顺时针旋转角，得到，连接、，求证：． 证明：四边形为菱形， ，， 由旋转性质知：，， ， ， 在和中， （）． 利用菱形的性质证明 题型二 7．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知菱形中，，，为射线和上一点，． (1)如图，若点，分别在边，上，求证：； (2)在图中，若，求四边形的面积． 利用菱形的性质证明 题型二 （1）证明：连接， ∵菱形中，， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 7．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知菱形中，，，为射线和上一点，． (1)如图，若点，分别在边，上，求证：； (2)在图中，若，求四边形的面积． 利用菱形的性质证明 题型二 （2）解：如图，过C作于H， ，， ∴，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积 ． H ∟ 证明四边形是菱形 题型三 解｜题｜技｜巧 判定一个四边形是菱形的关键是能把已知条件转化为判定菱形时所需要的条件，如在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件即可判定其为菱形;若在四边形的基础上，则需四条边都相等才可判定其为菱形. 8．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（    ） A． B．平分 C．， D． 解：∵四边形是平行四边形， ∴ A、当时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形， 故本选项不符合题意； B、当平分时，， ∵，∴，∴， ∴，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形， 故本选项不符合题意； 、当，时，不能证明是菱形，故本选项符合题意； D、当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形， 故本选项不符合题意； 证明四边形是菱形 题型三 重难点一 ：添一个条件使四边形是菱形 C 9．（24-25九年级上·全国·课后作业）的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③平分；④． 其中使得是菱形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 证明四边形是菱形 题型三 解：四边形是平行四边形， ①若，则可得其为菱形，故①正确； ②中一组邻边相等，也可得到一菱形，故②正确； ③如图，∵，∴，∴， 若平分，∴，∴，∴， ∴是菱形，故③正确； ④若则，所以四边形为矩形不一定是菱形，故④错误； 则能使是菱形的有①②③，共3个． C 10．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，D是的中点，E是上一点，连接ED并延长ED到点F，使．连接，，请添加一个条件使四边形为菱形，并加以证明． 证明四边形是菱形 题型三 解：添加一个条件：当时，四边形为菱形， 证明：若添加， ∵，D是中点， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是菱形． 证明四边形是菱形 题型三 重难点二：证明四边形是菱形 11．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分．求证：四边形是菱形． 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 12．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形，，连接，点为的中点，连接并延长交于点，，连接．求证：四边形是菱形． 证明：∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 证明四边形是菱形 题型三 13．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知：如图，在等腰梯形 中，，、 分别为 、 的中点，、 分别是 、 的中点．求证： (1)； (2)四边形 是菱形． （1）证明：四边形是等腰梯形， ，， 是的中点， ， 在和中， ， （）； 证明四边形是菱形 题型三 13．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知：如图，在等腰梯形 中，，、 分别为 、 的中点，、 分别是 、 的中点．求证： (1)； (2)四边形 是菱形． 证明四边形是菱形 题型三 （2）解：由（1）得：， ， 、分别是线段、的中点， ，， ， 又是的中点， 、是的中位线， ，， ， 四边形是菱形． 根据菱形的性质与判定求解 题型四 解｜题｜技｜巧 判定一个四边形是菱形的关键是能把已知条件转化为判定菱形时所需要的条件，如在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件即可判定其为菱形;若在四边形的基础上，则需四条边都相等才可判定其为菱形. 14．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， 根据菱形的性质与判定求解 题型四 ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 15．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． （1）证明：∵点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 根据菱形的性质与判定求解 题型四 15．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 根据菱形的性质与判定求解 题型四 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． (1)求证：是菱形； (2)若，求的面积． （1）证明： ∵为对角线上的中点， 且， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形； 根据菱形的性质与判定求解 题型四 16．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． (1)求证：是菱形；(2)若，求的面积． 根据菱形的性质与判定求解 题型四 （2）解：如图： ∵， ∴， 设 ∴， ∵，∴， ∴， 解得： ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴． 利用矩形的性质求解 题型五 解｜题｜技｜巧 运用矩形的性质可以证明线段相等或倍分关系，以及直线的位置关系、角的等量关系.运用时应注意： 1）矩形的性质是证明线段相等、角相等、线段平行或垂直的常用依据和手段； 2）矩形的四个角都是直角，据此，常把矩形的有关问题放到直角三角形中解决； 3）矩形的两条对角线相等且互相平分，并将矩形分割成四个等腰三角形，因而矩形的有关问题也常放在等腰三角形中解决. 17．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，点是矩形对角线的延长线上的一点，连接，若，，则 ． 利用矩形的性质求解 题型五 解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 18．（23-24九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，四边形是矩形，，，点C在第二象限，则点C的坐标是 ． 解：过作轴交于， 过作轴交于， ， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 利用矩形的性质求解 题型五 在和中 ， （）， ， ， ， ， 故答案为： F ∟ E ∟ 解：∵把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案， ∴，， ， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 19．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，已知，，则的长为 ． 利用矩形的性质求解 题型五 20．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，分别为的中点，若，四边形的周长是40，则矩形的面积是 ． 利用矩形的性质求解 题型五 解：在和中， ∵ ， ∴， ∴， 同理， 即四边形为菱形． 又∵四边形的周长是40cm， ∴ ． 192 ∵， 设，则． 由勾股定理得， ， 即， ∴， 矩形的面积． 21．（2024·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在矩形中，点E，F在上，．求证：． 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 利用矩形的性质证明 题型六 22．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 利用矩形的性质证明 题型六 （1）证明：四边形是矩形，， ，， ， 又， ， 在和中， ， ； （2）解：由可知， ， 又，, ， 矩形的面积是： ． 23．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，判断的形状并说明理由． 解：是等腰直角三角形 理由：矩形与矩形全等， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 利用矩形的性质证明 题型六 斜边的中线等于斜边的一半 题型七 解｜题｜技｜巧 1）性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，D为BC的中点， 则AD=___________. 2）拓展： ①∠1=∠2，∠3=∠4； ②∠ADB=______=2∠4,∠ADC=______=2∠2 一半 BC 2∠3 2∠1 24．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（    ） A．6 B． C． D．3 解：根据题意得到 ， ∴点是的中点， ∴， 斜边的中线等于斜边的一半 题型七 D 25．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于（    ） A．5 B．4 C．2 D．2.5 解：∵，分别为，边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵于，点是的中点， ∴, 斜边的中线等于斜边的一半 题型七 A 26．（24-25九年级上·云南丽江·期末）如图，在中，，，垂足为D，E是的中点，若，则 ． 解：∵在中，，垂足为D， ∴是直角三角形； ∵E是的中点． ∴ （直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）； 又∵， ∴； 斜边的中线等于斜边的一半 题型七 10 证明四边形是矩形 题型八 解｜题｜技｜巧 1）在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件即可判定该平行四边形为矩形. 2）在四边形的基础上，有三个角是直角(第四个角必是直角)，则可判定该四边形为矩形. 27．（23-24九年级下·甘肃平凉·期中）如图，点在的边上，．请从以下三个选项中：①，②，③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．你添加的条件是 ．（填序号） 解：当时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是矩形， 重难点一 添一个条件使四边形是矩形 证明四边形是矩形 题型八 ① 28．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是 ． 证明四边形是矩形 题型八 解：①∵有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴此项成立； ②∵菱形是平行四边形，它的对角线也互相垂直，但它不是矩形，∴此项不成立； ③∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴此项成立； ④∵平行四边形的对角线互相平分，由可得它的对角线相等，∴此项成立． ①③④ 29．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，对角线，相交于点，，在对角线上，且 (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形(不需要证明 （1）证明： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 证明四边形是矩形 题型八 在和中， ， ， ； 29．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，对角线，相交于点，，在对角线上，且 (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形(不需要证明 证明四边形是矩形 题型八 （2）解：当时，四边形为矩形， 理由：由（）知： ， 则，， 故四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形； 当时，四边形为矩形， 理由：由（）知： ，则，， 故四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形． 由上可得，当时或当时，四边形为矩形． 30．（24-25九年级上·广东清远·期末）已知：如图，在菱形中，对角线、相交于点O，分别过点C、D作、的平行线，两线相交于点P，求证：四边形是矩形． 证明：由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 证明四边形是矩形 题型八 重难点二 证明四边形是矩形 31．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，分别是及其邻补角的平分线，于点E，于点F，四边形是矩形吗？请证明你的结论． 解：四边形是矩形．理由： ∵分别是及其邻补角的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形． 证明四边形是矩形 题型八 32．（24-25九年级上·广东河源·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在，，，上，连接而成的四边形是矩形，且，求证：四边形是矩形． 解：∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 证明四边形是矩形 题型八 根据矩形的性质与判定求解 题型九 解｜题｜技｜巧 1）利用矩形的性质可证明线段相等或互相平分、角相等、直线平行等； 2）证明是矩形可以直接证明三个角等于90°或者先证明是平行四边形再证明一个角是90°或对角线相等. 33．（23-24八年级下·重庆南川·期中）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 根据矩形的性质与判定求解 题型九 （1）证明：，， ， 在和中， ， ，， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得： 四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中， ， ． 34．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，四边形是菱形，延长至点E，使，再延长至点F，使，连接，，，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，则四边形的面积是______． 根据矩形的性质与判定求解 题型九 （1）证明： ，， ∴四边形为平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ． 35．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若平分，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 根据矩形的性质与判定求解 题型九 （1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）由（1）知平行四边形为矩形， ∴， 设，则： ，， 在中，由勾股定理，得： ， 解得：， ∴． 利用正方形的性质求解 题型十 解｜题｜技｜巧 在正方形问题中，一般可以通过证三角形全等来得到等线段或等角，也可以利用正方形的角是直角来构造直角三角形，利用勾股定理解题.在正方形中，也常用对角线互相垂直平分证明线段相等. 36．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形的对角线上取点E使，连接，过点E作交BC于点F，则的大小为 ． 利用正方形的性质求解 题型十 解：∵四边形是正方形，， ∴ ， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 37．（24-25九年级上·全国·期末）如图，正方形的边长为，点在的延长线上，，作 交延长线于点，则的长为 ． 解：如图所示，在上取一点F使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 利用正方形的性质求解 题型十 ∴，， ∴ ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， 10 38．（21-22八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的顶点，若两个正方形的边长都是2，则两者重合部分的面积是 ． 利用正方形的性质求解 题型十 解：设与交于点E，与交于点F，如图所示， 四边形是正方形， 所以，， ． ． 又， ． ． ． E F 正方形边长为2， 正方形面积， ． 所以阴影部分面积为1． 1 39．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形ABCD是正方形， (1)在CB延长线上存在一点G，使绕着A点逆时针旋转后能与重合，请在图上画出； (2)证明：． 根据正方形的性质证明 题型十一 （2）证明： ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， 由（1）中作图知：， ∴， ∴，， （1）解：如图，即为所求， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴． 40．（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）如图是一个正方形花园，是它的两个门且分别是的中点，要修两条路和． (1)如图这两条路等长吗？它们有什么位置关系？直接写出结果． (2)如图若点不是正方形的边的中点但满足那么这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请说明理由？ （1）解：，，理由如下： 如图，设与交于点， 根据正方形的性质证明 题型十一 ∵四边形是一个正方形， ∴，， ∵分别是的中点， ∴，，∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 40．（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）如图是一个正方形花园，是它的两个门且分别是的中点，要修两条路和． (1)如图这两条路等长吗？它们有什么位置关系？直接写出结果． (2)如图若点不是正方形的边的中点但满足那么这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请说明理由？ 根据正方形的性质证明 题型十一 （2）解：，，理由如下： 如图，设与交于点， ∵四边形是一个正方形， ∴，， ∵， ∴，∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 41．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，正方形是绿地公园的一块空地，其边长为．公园设计部门为了给儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形（E在上，F在上）部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出入口，即点D，E，F，而且根据实际需要，要使得，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草． (1)证明：； (2)若，请计算儿童活动区的面积． 根据正方形的性质证明 题型十一 （1）证明：如图，将绕点D逆时针旋转得到． ，． ．即． 在和中， ， ． 41．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，正方形是绿地公园的一块空地，其边长为．公园设计部门为了给儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形（E在上，F在上）部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出入口，即点D，E，F，而且根据实际需要，要使得，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草． (1)证明：； (2)若，请计算儿童活动区的面积． 根据正方形的性质证明 题型十一 （2）解：∵四边形是正方形 ．． 由（1）可知，，设， 则，． 在中，， ，即， ． 故儿童活动区的面积为． 证明四边形是正方形 题型十二 解｜题｜技｜巧 在判定一个四边形是正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来判定的，判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． 42．（22-23九年级上·山西运城·期末）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）． 证明四边形是正方形 题型十二 重难点一 添一个条件使四边形是正方形 解：依题意，由四边形是菱形加上条件: 不能证明四边形成为正方形； 由四边形是菱形加上条件: 不能证明四边形成为正方形； 当四边形是菱形加上条件: ，则证明过程如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ③ ∴ ∴， ∴四边形是正方形； 43．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中在（4）处填写的条件可以是 ． 解：∵四边形是菱形， ∴当时，四边形是正方形． 证明四边形是正方形 题型十二 44．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点E，，点G为的中点，连接的延长线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请增加一个条件，使得四边形为正方形．（不需要说明理由） 证明四边形是正方形 题型十二 （1）证明： 四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ； 44．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点E，，点G为的中点，连接的延长线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请增加一个条件，使得四边形为正方形．（不需要说明理由） 证明四边形是正方形 题型十二 （2）解：当时，四边形是正方形． 证明： 由（1）知，， 又 ， ， 四边形是平行四边形， 由（1）知，， ， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形． 45．（20-21九年级上•陕西榆林•期末）如图，在△ABC 中， ∠ B=90 ° ，AB=2BC ，点D 、 E分别为AB 、AC 的中点，连接DE ，将 △ADE绕点 E旋转180 ° 得到△CFE ．试判断四边形BCFD 的形状，并证明． 证明四边形是正方形 题型十二 重难点二 证明四边形是正方形 解：四边形BCFD 是正方形．证明如下： ∵点 D、E点 分别是AB 、AC 的中点， ∴AB=2BD， DE是△ABC 的中位线， ∴ DE∥BC，∴ ∠ADE= ∠B=90 ° ． 又∵ △CFE 是由△ADE 绕点E 旋转180 ° 而得， ∴ ∠ F= ∠ BDF= ∠B =90 ° ，点D 、E 、F 在一条直线上， ∴四边形BCFD 是矩形． ∵ AB=2BD，AB=2BC ， ∴ BD=BC， ∴四边形BCFD 是正方形． 46．（23-24八年级下•广西防城港•期中）已知：如图，在矩形 ABCD中，M、N分别是边 AD,BC的中点，E、F分别是线段BM,CM 的中点，设 AB:AD=a． (1)求证：△ABN≌△DCM； (2)当a为何值时，四边形 MENF是正方形？ （1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴ AB=CD, ∠A=∠D=90°M， ∵点M 是 AD的中点， ∴AM=MD=AD， 在△ABM 和 △DCM中， ， ∴ △ABM ≌ △DCM (SAS)； 证明四边形是正方形 题型十二 46．（23-24八年级下•广西防城港•期中）已知：如图，在矩形 ABCD中，M、N分别是边 AD,BC的中点，E、F分别是线段BM,CM 的中点，设 AB:AD=a． (1)求证：△ABN≌△DCM； (2)当a为何值时，四边形 MENF是正方形？ 证明四边形是正方形 题型十二 （2）解：当AB:AD=a= 时， 四边形MENF 是正方形，理由如下： ∵AB:AD=， AB=CD，∴AB=CD=AD， ∵AM=DM=AD， ∴AB=AM=CD=DM， ∵∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠AMB=45° ∠DMC=∠DCM=45°, ∴∠CMB=180°－∠AMB－∠DMC=90° ∵△ABM∴≌△DCM，∴BM=CM， ∵点N 是 BCM的中点， ∴∠MNC=∠MNB=90°， ∵ E,F分别是线段 BM,CM的中点， ∴EN=ME=BM，NF=MF=CM ， ∴NE=EM=MF=NF， ∴四边形MENF 是菱形， ∵∠BMC=90°， ∴四边形 MENF是正方形． 47．（24-25八年级下•河北承德•期末）已知：如图，▱ABCD 中，O为对角线AC,BD 的交点，BD 平分∠ABC ． (1)求证： ▱ABCD是菱形． (2)在 OA上截取OE=OD ，在 OC上截取 OF=OD．连结 DE、EB、BF、FD．判断四边形BFDE 的形状并证明． ◊ 证明四边形是正方形 题型十二 （1）证明：∵平行四边形 ABCD， ∴ AB∥CD， ∴ ∠CDB=∠ABD， ∵ BD平分 ∠ABC， ∴ ∠ ABD= ∠ CBD， ∴ ∠CDB=∠CBD ， ∴ CB=CD ， ∴平行四边形 ABCD是菱形． （2）解：四边形BFDE 是正方形， ∵菱形 ABCD， ∴ OD=OB,BD ⊥ OD， ∵ OE=OD,OF=OD，∴ OE=OF， ∴四边形DEBF 是平行四边形， ∴平行四边形DEBF 是菱形， ∵ OE=OF=OB=OD， ∴ EF=BD， ∴四边形 DEBF是正方形． 正方形的性质与判定综合 题型十三 解｜题｜技｜巧 48．（24-25九年级上·辽宁·期中）如图，四边形是平行四边形，，，是边的延长线上的动点，连接，过点作于点． (1)求证：四边形是正方形． (2)当是的中点，且时，求的面积． 正方形的性质与判定综合 题型十三 （1）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， 又， 菱形为正方形， （2）连接，如下图所示： 于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ，， ， 四边形为正方形， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， （负值舍去）， ． 49．（22-23八年级下·山东烟台·期中）已知，如图，在四边形中，，，，垂足为点E． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 正方形的性质与判定综合 题型十三 M ∟ （1）证明：过点D作，交的延长线于点M， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，∴； 49．（22-23八年级下·山东烟台·期中）已知，如图，在四边形中，，，，垂足为点E． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 正方形的性质与判定综合 题型十三 M ∟ （2）解：由（1）得：， ∴矩形是正方形 ∵， ∴， ∴ ∴ ， ∴四边形的面积为． 50．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，点D、E、F分别在边上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，平分，那么四边形是正方形． 其中，正确的有 （只填写序号） 特殊平行四边形的判定定理的理解 题型十四 解：∵ ∴四边形是平行四边形，①正确； 若， ∴平行四边形为矩形，②正确； 若平分， ∴ 又∴ ∴ ∴ ∴平行四边形为菱形，③正确 由可得四边形是菱形，但不一定为直角， 故菱形不一定为正方形；④错误， ①②③ 51．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，四边形的对角线相交于点O，，则下列说法中错误的是（    ） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 解：∵， ∴四边形是平行四边形 （对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵， 特殊平行四边形的判定定理的理解 题型十四 ∴平行四边形是矩形，A正确，不符合题意； ∴，∴， ∵平分，∴， ∴，∴， ∴平行四边形是菱形 （一组邻边相等的平行四边形是菱形）， B正确，不符合题意； ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴平行四边形是正方形，C正确， 不符合题意； ∵或， 四边形是平行四边形， ∴都只能证明平行四边形是菱形， D错误，符合题意． D （1）解：当点O运动到中点时，四边形是矩形，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 52．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，中，点是边上一个动点（不与重合），过作直线，设交平分线于点，交的外角平分线于点． (1)当点运动到何处，四边形是矩形？并说明理由． (2)在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？ (3)当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由． 特殊平行四边形的判定定理的理解 题型十四 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴与相等且互相平分， ∴四边形是矩形； 52．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，中，点是边上一个动点（不与重合），过作直线，设交平分线于点，交的外角平分线于点． (1)当点运动到何处，四边形是矩形？并说明理由． (2)在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？ (3)当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由． 特殊平行四边形的判定定理的理解 题型十四 （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 52．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，中，点是边上一个动点（不与重合），过作直线，设交平分线于点，交的外角平分线于点． (3)当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由． 特殊平行四边形的判定定理的理解 题型十四 （3）解：四边形不会是菱形，理由如下： 如图所示，连接交于G， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 若四边形是菱形，则， 但在中，不可能存在两个角为， ∴四边形不会是菱形． 53．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，平行四边形的对角线、交于点O，分别过点C、D作，，连接交于点E． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为矩形？请说明理由． (3)当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． (4)当满足______时，四边形为正方形（填空，不用证明） （1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 特殊平行四边形的判定定理的理解 题型十四 ∵平行四边形的对角线、交于点O， ∴， ∴， ∴； 53．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，平行四边形的对角线、交于点O，分别过点C、D作，，连接交于点E． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为矩形？请说明理由． (3)当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． (4)当满足______时，四边形为正方形（填空，不用证明） 特殊平行四边形的判定定理的理解 题型十四 （2）解：当满足时，四边形为矩形， 理由如下： ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； 53．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，平行四边形的对角线、交于点O，分别过点C、D作，，连接交于点E． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为矩形？请说明理由． (3)当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． (4)当满足______时，四边形为正方形（填空，不用证明） 特殊平行四边形的判定定理的理解 题型十四 （3）解：当满足时，四边形为菱形，理由如下： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴平行四边形是菱形； 53．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，平行四边形的对角线、交于点O，分别过点C、D作，，连接交于点E． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为矩形？请说明理由． (3)当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． (4)当满足 时，四边形为正方形（填空，不用证明） 特殊平行四边形的判定定理的理解 题型十四 （4）解：当满足， 时，四边形为正方形， 证明如下： 由（2）（3）可知可同时证明平行四边形是矩形且平行四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 多结论问题 题型十五 解｜题｜技｜巧 对每个结论进行逐一求证和求解，已经验证的正确结论可以作为已知条件使用. 54．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 多结论问题 题型十五 解：∵四边形是矩形，∴， ， ∴． ∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，∴， 又∵，∴四边形是平行四边形 ∴，即①②③都是正确的． ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴． ∴当时，， ∴是等边三角形， ∴，∴， ∵，∴， ∴， ∴，∴四边形是菱形，故④正确． D 55．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形中，，联结的平分线交于点，在上截取，联结，分别交，于点，点是线段上的动点，于点，联结．下列结论： ①；②；③；④的最小值是． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①② C．①③ D．①4 多结论问题 题型十五 解：过D作于点M，连接， 则， ∵在正方形中， ，且， ∴， ∴， ∴， ∴，∴，故①正确； M ∟ 55．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形中，，联结的平分线交于点，在上截取，联结，分别交，于点，点是线段上的动点，于点，联结．下列结论： ①；②；③；④的最小值是． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①② C．①③ D．①4 多结论问题 题型十五 ∵平分，∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故②正确， M ∟ 55．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形中，，联结的平分线交于点，在上截取，联结，分别交，于点，点是线段上的动点，于点，联结．下列结论： ①；②；③；④的最小值是． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①② C．①③ D．①4 多结论问题 题型十五 ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故③不正确； M ∟ 55．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形中，，联结的平分线交于点，在上截取，联结，分别交，于点，点是线段上的动点，于点，联结．下列结论： ①；②；③；④的最小值是． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①② C．①③ D．①4 多结论问题 题型十五 ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴的最小值为长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故④正确； 综上，所有正确结论的序号是①②④， A M ∟ 56．（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在菱形中，．为边中点．将菱形沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：；；；，则正确结论有（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 多结论问题 题型十五 解：如图所示，连接，交于点， 四边形是菱形， ， ， 和是等边三角形， 是边的中点， ， 将菱形沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处， ， ， ， ，故正确； ，， ，故正确； 56．（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在菱形中，．为边中点．将菱形沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：；；；，则正确结论有（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 多结论问题 题型十五 ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，故正确； 56．（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在菱形中，．为边中点．将菱形沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：；；；，则正确结论有（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 多结论问题 题型十五 N ∟ 过作于， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ，故④错误． B 103 最值问题 题型十六 解｜题｜技｜巧 解决此类问题，关键是分辨出“动”和“定”，探寻“动点”的运动轨迹，这个轨迹一般是直线(线段)或圆，探究最值问题的理论依据有:直线外一点与这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短以及三角形的三边关系等. 55．（2021·青海·中考真题）如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为 ． 解：∵四边形是正方形， ∴点关于的对称点是点． 连接，，且交于点， 与交于点，此时的值最小． ∵，正方形的边长为8， ∴，． 由，知． 又∵点与点关于对称， ∴且平分． ∴． ∴． ∴的最小值是10． 最值问题 题型十六 10 56．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 最值问题 题型十六 解：如图，连接，  ∵，分别为，的中点， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 四边形是菱形， ，， 当时，， 的最小值， 的最小值为． 57．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在正方形中，，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为 ． 最值问题 题型十六 H ∟ 解：如图，过点作于，， 四边形是正方形， ，，， 由旋转的性质可得：，， ， ， ，在和中， ， ， ， 点在与平行且与的距离为的直线上， 根据垂线段最短可知，当点在边上时， 最小且， 的最小值为， 58．（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，直线的表达式为，与轴交于点，与轴交于点，点为线段上的一个动点，作轴于点，轴于点，连接，则线段的最小值为 ． 最值问题 题型十六 解：连接，如图，∵轴于点，轴于点， ∴， 又∵，∴四边形是矩形， ∴， 当时，有最小值，如图， ∵直线的解析式为， ∴当，；，， ∴，，∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 折 叠 问 题 题型十七 解｜题｜技｜巧 在初中数学中，图形的折叠是我们常见的一种数学问题，这类问题的解决是有规律可循的.由于图形的折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状及大小，因而在图形的折叠变换中，保持了许多图形定量的不变性，如图形中线段的长短不变，图形中角的大小不变等.这些图形的不变性，在求解几何全等型问题时，具有很重要的运用价值.一些要通过作辅助线进行全等证明的数量关系，由图形的折叠变换就可以直接得到. 59．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）如图，在矩形中，点F在上，点E在上，把这个矩形沿折叠后，使点D恰好落在边上的点G处．若矩形面积为且，，则折痕的长为 ． 折 叠 问 题 题型十七 解：由折叠的性质可知， ，，，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ， ∴． ∴， ∴ ． ∵， ∴，∴， ∴． ∵矩形的面积为， ∴， ∴，∴． 2 60．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，有一张矩形纸片，，，点E是的中点．连接，将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接， 则（1） ，（2）的长为 ． 折 叠 问 题 题型十七 解：如图：设与相交于点O， ∵将纸片沿直线折叠，使点B落在点， 连接，点E是的中点， ∴， ∴，， 又∵三内角之和为， ∴， ∴， ∴， 解得：； O 60．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，有一张矩形纸片，，，点E是的中点．连接，将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接， 则（1） ，（2）的长为 ． 折 叠 问 题 题型十七 解：在中，由可得： ， ∵， ∴，解得：， ∵将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接， ∴点是点B关于直线的对称点，∴垂直平分， O ∴， 在中，． 61．（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点E处，已知， ， 则 ， ． 折 叠 问 题 题型十七 解：由长方形的性质可知， ， 由折叠的性质可知， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴，解得，即， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴； 62．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在菱形中，点E是边的中点，动点P在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则 ，的最小值是 ． 折 叠 问 题 题型十七 解：∵点E是边的中点， ∴， ∵以为折痕将折叠得到， ∴， ∴点F在以E为圆心，为半径的半圆上， ∵， ∴当D、E、F在同一直线上时，最短， 如图，过点E作于点H，连接， ∵在边长为4的菱形中 ，点E是边的中点， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴的最小值． 2 动 点 问 题 题型十八 解｜题｜技｜巧 一般有两种情况，一种情况是有一个动点，一种情况是有两个动点，经常与其他知识点相结合，要求学生既要有数形结合的能力，还需要洞察出可能的多解，分类讨论. 63．（2025•四川广元•中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(-3,3)，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，∠BAC=90 °，则OB－OC= ． 动 点 问 题 题型十八 E ∟ E ∟ 【详解】解：作AE⊥x 轴于点 E， AF⊥y轴于点 F， 连接 BC，如图，∵ A(-3,3)，∴ AE=AF=3，∠FAE=90° ， ∴四边形AEOF 为正方形，∴ OE=OF=3， 又∵∠BAC=90° ，∴ ∠BAE＋∠EAC＝∠FAC＋∠EAC＝90°， 即∠BAE= ∠FAC ， 在 △ABE和 △ACF中， ，∴ △ABE ≌ △ACF (ASA)， ∴ BE=CF， ∵ BE=OB － OE， CF=OC ＋ OF， ∴ OB － OE=OC ＋ OF， ∴ OB － OE=OC ＋ OF =3 ＋ 3=6． 6 64．（24-25八年级下•山东日照•期末）如图1，在矩形ABCD 中，AB=6 ，BC=8 ，点E从A出发，沿AC 方向匀速运动到点C停止，点F从C出发，沿CA 方向匀速运动到点A停止，E，F的运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段 EF的长； (2)如图2，点P，Q分别是边AD ，BC 上的点，连接PE ，PF ，QE ，QF ． ①若P，Q分别是AD ，BC 的中点，当t= ________时，四边形PEQF 是矩形； ②若P，Q分别是动点，点P从A出发，沿AD 方向匀速运动到点D停止，点Q从C出发，沿CB 方向匀速运动到点B停止，P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，P，Q，E，F均同时出发，是否存在某一时刻，使得以P，Q，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求此时EF 的长；若不存在，请说明理由． 动 点 问 题 题型十八 117 64．（24-25八年级下•山东日照•期末）如图1，在矩形ABCD 中，AB=6 ，BC=8 ，点E从A出发，沿AC 方向匀速运动到点C停止，点F从C出发，沿CA 方向匀速运动到点A停止，E，F的运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段 EF的长； 动 点 问 题 题型十八 （1）解：∵在矩形ABCD 中， AB=6，BC=8 ， ∴AC==10 ， ∵E，F的运动速度均为每秒1个单位长度， ∴E，F相遇的时间为 10＋(1＋1)=5（秒）， E，F运动的总时间为 10＋1=10（秒）， ∴当 0≤t≤5时， EF=10－2t； 当5＜t≤10 时，EF=2t－10 ； 118 64．（24-25八年级下•山东日照•期末）如图1，在矩形ABCD 中，AB=6 ，BC=8 ，点E从A出发，沿AC 方向匀速运动到点C停止，点F从C出发，沿CA 方向匀速运动到点A停止，E，F的运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒． (2)如图2，点P，Q分别是边AD ，BC 上的点，连接PE ，PF ，QE ，QF ． ①若P，Q分别是AD ，BC 的中点，当t= ________时，四边形PEQF 是矩形； 动 点 问 题 题型十八 （2）解：①如图，连接PQ ，∵P，Q分别是 AD， BC的中点， ∴ AP=AD， BQ=BC，∴ AP=BQ， ∵在矩形 ABCD中， ， ∴四边形APQB 为平行四边形， ∵ ∠B=90°， ∴四边形 APQB为矩形， ∴ PQ=AB=6， ∵四边形 EQEP为矩形， ∴ EF=PQ， 由①可得当0≤t≤5 时， EF=10 － 2t； 当5＜t≤10 时，EF=2t － 10 ， 故当0≤t≤5 时，10 － 2t=6 ，解得 t=2， 当 5＜t≤10时，2t － 10=6 ，解得t=8 ， 综上所述， 当 t=2或8时，四边形 PEQF是矩形； 2或8 119 64．（24-25八年级下•山东日照•期末）如图1，在矩形ABCD 中，AB=6 ，BC=8 ，点E从A出发，沿AC 方向匀速运动到点C停止，点F从C出发，沿CA 方向匀速运动到点A停止，E，F的运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒． ②若P，Q分别是动点，点P从A出发，沿AD 方向匀速运动到点D停止，点Q从C出发，沿CB 方向匀速运动到点B停止，P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，P，Q，E，F均同时出发，是否存在某一时刻，使得以P，Q，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求此时EF 的长；若不存在，请说明理由． 动 点 问 题 题型十八 ②存在．连接 MN，交 AC于点O，连接 AQ，PC ． ∵四边形 PEQF为菱形， ∴PQ ⊥ EF ，OP=OQ ，OE=OF ， ∵ AP=CQ， AP ∥ CQ ∴四边形 APCQ是平行四边形∴ OA=OC， ∴PQ 是AC 的垂直平分线，∴ AP=PC， 设 AP=PC=x，则 DP=8 － x， 由勾股定理可得： ＋= t=÷1= ∵ 5＜＜10 ∴ EF=2t－10=2×－10=． 即： ＋=， 解得：x= ，即 AP= 120 65．（2025•吉林松原•模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD ， ∠A=90 °，AB=8cm ，AD=3cm ，CD=5cm ．动点P从点A出发，以2cm/s 速度沿线段AB 向终点B运动．过点P作PQ⊥AB 交折线DC－CB 于点Q，以 PQ为边向右侧作正方形PQMN ．设点P的运动时间为xs(x＞0) ，正方形 PQMN与四边形 ABCD重叠部分图形的面积为 y． (1) ∠B=____________ °． (2)当点M与点C重合时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 动 点 问 题 题型十八 H ∟ （1）解：（1）过C 作 CH⊥AB于H ， ∵AB∥CD ，∠A=90°, ∴∠D=∠A=∠CHA=90°， ∴四边形AHCD 是矩形， ∴CH=AD=3cm，AH=CD=5cm, ∴BH=AB－AH=3(cm)，∴CH=BH， ∴ △CHB是等腰直角三角形， ∴∠B=45°； 45 121 65．（2025•吉林松原•模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD ， ∠A=90 °，AB=8cm ，AD=3cm ，CD=5cm ．动点P从点A出发，以2cm/s 速度沿线段AB 向终点B运动．过点P作PQ⊥AB 交折线DC－CB 于点Q，以 PQ为边向右侧作正方形PQMN ．设点P的运动时间为xs(x＞0) ，正方形 PQMN与四边形 ABCD重叠部分图形的面积为 y． (2)当点M与点C重合时，求x的值． 动 点 问 题 题型十八 H ∟ （2）解： AB∥CD ，∠A=90°，PQ ⊥ AB ， ∴ ∠ D= ∠ A= ∠ QPA=90 ° ， ∴四边形APQD 是矩形，∴ PQ=AD ∵四边形PQMN 是正方形，∴QM=PQ ， ∵ AD=3cm，CD=5cm ，∴ PQ=AD=QM=3cm， ∴出发时CM=CD － QN=5 －3=2 cm， ∵动点P从点A出发，以 2cm/s速度沿线段 AB向终点B运动，设点P的运动时间为xs ， ∴ x=2 ÷ 2=1(s)； 122 65．（2025•吉林松原•模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD ， ∠A=90 °，AB=8cm ，AD=3cm ，CD=5cm ．动点P从点A出发，以2cm/s 速度沿线段AB 向终点B运动．过点P作PQ⊥AB 交折线DC－CB 于点Q，以 PQ为边向右侧作正方形PQMN ．设点P的运动时间为xs(x＞0) ，正方形 PQMN与四边形 ABCD重叠部分图形的面积为 y． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 动 点 问 题 题型十八 H ∟ （3）解：如图①， 由（2）可知，当x=1 时， 点M与点C重合， ∴当0 ＜ x ≤ 1 时， 则 PN=PQ=AD=3； ∴y==9 123 65．（2025•吉林松原•模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD ， ∠A=90 °，AB=8cm ，AD=3cm ，CD=5cm ．动点P从点A出发，以2cm/s 速度沿线段AB 向终点B运动．过点P作PQ⊥AB 交折线DC－CB 于点Q，以 PQ为边向右侧作正方形PQMN ．设点P的运动时间为xs(x＞0) ，正方形 PQMN与四边形 ABCD重叠部分图形的面积为 y． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 动 点 问 题 题型十八 如图②，当点Q与点C重合，此时X=5 ÷ 2= ， ∴当1＜x ≤时，则AP=DQ=2 x，PN=QM=PQ=AD=3 ， ∴CM=DQ＋QM－CD= 2x＋3－5= 2(x－1) 由（1）可知，∠B=45° ， ∵ AB∥CD，∴ ∠MCE=∠B=45°， ∵ ∠CME=90°，∴ ∠MEC=∠MCE=45°， ∴ CM=ME=2(x－1) ∴y=－=9－ = -2 ＋ 4x ＋ 7， 124 65．（2025•吉林松原•模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD ， ∠A=90 °，AB=8cm ，AD=3cm ，CD=5cm ．动点P从点A出发，以2cm/s 速度沿线段AB 向终点B运动．过点P作PQ⊥AB 交折线DC－CB 于点Q，以 PQ为边向右侧作正方形PQMN ．设点P的运动时间为xs(x＞0) ，正方形 PQMN与四边形 ABCD重叠部分图形的面积为 y． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 动 点 问 题 题型十八 如图③，当点P与点B重合，此时x=8÷2=4 ， ∴当＜x≤4 时，则PB=PQ= 8－2x ， ∴ y== =2 － 16x ＋ 32， 综上所述，y= ． 125 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期中重难突破练 1．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知：如图，在矩形中，M、N分别是、的中点，P、Q分别是、的中点． (1)求证：； (2)四边形是怎样的特殊四边形，请说明理由； (3)矩形的边长与满足什么长度关系时四边形为正方形，请说明理由． （1）证明：四边形是矩形， ， M、N分别是、的中点， ，， ； 期中重难突破练 1．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知：如图，在矩形中，M、N分别是、的中点，P、Q分别是、的中点． (1)求证：； (2)四边形是怎样的特殊四边形，请说明理由； (3)矩形的边长与满足什么长度关系时四边形为正方形，请说明理由． （2）解：四边形是菱形，理由如下： 四边形是矩形， ，， 由（1）可知，， 四边形是平行四边形， ，， P、Q分别是、的中点， ， 四边形是平行四边形， ，，， 四边形是矩形， ， 在中，P是的中点， ， 四边形是菱形； 如图，连接， 期中重难突破练 1．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知：如图，在矩形中，M、N分别是、的中点，P、Q分别是、的中点． (1)求证：； (2)四边形是怎样的特殊四边形，请说明理由； (3)矩形的边长与满足什么长度关系时四边形为正方形，请说明理由． （3）解：，理由如下： 由（2）可知，四边形是菱形，四边形是矩形， 若四边形为正方形，则， P是的中点， 垂直平分，， N是的中点，， ，， ． 期中重难突破练 1．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图1、图2，P是矩形所在平面内任意一点，连接、、、． (1)如图1，，点P、A、C三点共线，，求． (2)如图2，求、、、四者关系． (3)应用新知：如图3，在中，，，D是内一点，且，，求的最小值． （1）解：连结，交于点O， 四边形是矩形，， 矩形是正方形， ，，， ， ， ，点P与点O重合， O ， ； 期中重难突破练 1．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图1、图2，P是矩形所在平面内任意一点，连接、、、． (1)如图1，，点P、A、C三点共线，，求． (2)如图2，求、、、四者关系． (3)应用新知：如图3，在中，，，D是内一点，且，，求的最小值． （2）解：过点P作于点F，交于点E， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 即； F ∟ ， ， ， ， 当点C、D、E三点共线时， 取最小值， 即的最小值为． 期中重难突破练 1．（24-25九年级上·广东广州·开学考试） (3)应用新知：如图3，在中，，，D是内一点，且，，求的最小值． 解：以，为边作矩形，连结，， 过点C作，分别交、的延长线于点G、F， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形，， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $