各位专家，各位领导，各位老师，大家下午好。2025年6月7日下午，数学考试结束后，高考数学再次难上热搜。新一卷更是以选择题送分，大题送命爸爸新一卷圆我大专梦、后面两个解答题基本没人写等等讨论层出不穷。新一卷19题到底有多难？同学们在答题中怎样才能把握得分点？接下来由成都七中英才代表队带来解说。大家好，我们是来自成都七中英才学校的代表队。我们将以三角和导数交汇体全称与特征较量为主题，探究2025年新一卷19题的解法。我们将从以下六个方面进行阐述。题目呈现，试题以三角函数导数作为知识背景，考察了三角函数的周期性、对称性、最值、常用逻辑用语等内容。对学生的数形结合、逻辑推理、假设与猜想、分类讨论的能力就有较高的要求，是一道综合性很强的题目。在培养司机发展四能、提高数学核心素养的同时，彰显了创新思维。第一问要求FX等于五倍cosine x减cosine 5X在定区间上的最大值。一般可以从函数和不等式两个角度出发思考。函数角度可以借助导数工具，有三种解题思路。也可以从原函数FX的结构出发直接进行化简，有三种思路。还可以考虑情深不等式，重点讲解思路1到3，接下来逐一进行分析。思路一，在对FX求导后，需要讨论导函数的正负。如何判断正负呢？注意到X5X与2X3X的关系，那么可以利用和差化积将导函数化为乘积的形式，便于以判断正负，这也是难点题目。给定X在0到4分之派，容易得到sine 2X大于等于0，那所以只需要判断cosine 3X的符号即可，进而确定导函数的单调性，求出最值。这是思维导图。如果思路一的过程略显复杂，那我们还可以关注到导函数是由两个系数相同的同名三角函数构成。所以可以直接讨论sin x sin 5X的大小，将讨论导函数的正负问题转化为比较三角函数大小的问题。如图分别讨论五倍X在X到派减X以及到在派减X到4分之5派两种情况。进而确定导函数的原函数的单调性，求出最值。借助图像分析会更加直观，体现了数形结合的思想。这是思维导图。由思路二分析，导函数是由两个系数相同的同角三角函数构成。那导函数等于零非常容易解得。那我们是否可以考虑计算到原函数的极值点能否借助对值存在定理呢？是的，根据最值存在定理，连续函数在闭区间上的最值在极值点或者端点处取得，那所以可以令导函数等于0，这里要注意X和5倍X有两个关系，所以求出原函数在0到4分之派的极值点为零或者六分之派，所以取极值以及含端界函数值的最大值即为所求。这三种思路如果进行比较的话，思路一相对来说比较常规，那需要对和差化积公式比较熟悉。思路二对公式依赖度低，当涉及到更为复杂的三角函数的组合的时候，适用性就会降低。思路三普适性比较强，同样的对于导函数的结构要求比较高，对于高次或者超越方程无法准确求解，这是前面三种思路。后面四种思路都是从FX的结构出发，对FX进行变形，然后再选择不同的工具进行求解，最值原函数。出现了五倍的X如何进行化简呢？那可以很容易想到将倍数降低，于是有了思路四到思路六的三种处理方式，最终都用cosine x来表示FX再求最值。第一种化简方式，利用二倍角和两角和差公式直接进行展开，然后可以再换元利用导数法求出最值。这是思维导图。第二种化简方式可以考虑三倍角公式对5 cos 5X进行化解。三倍角公式是在人教B版教材上出现过，所以也可以直接使用，这样也可以化解FX除了换元利用导数法求最值，我们还可以再结合均值不等式和定积最大求解最值。这里出现的是cosine x的3次方和平方，如何直接凑合为定值呢？因为次数不同且不是整数倍，所以我们可以考虑先平方，然后再进行配凑，这也是难点所在，这是思维导图。还有一种化简方式，根据蒂姆佛定理的特征，可以将N次幂化成负数，负角的N倍，再结合二项式定理，可以用他们同时将cos x加上A倍的sine x的5次方展开，取十不相等，也可以得到cosine 5X的这个结构。那么以下的这个过程和思路三和思路四的过程相同。这也是难点，就是要对蒂姆夫定理和二项式定理的结构特征要熟悉。蒂姆夫定理是在人教A版必修2，这是选学内容，所以掌握该定理的学生可能不是很多，有一定的难度。这三种思路用不同的方法对原函数进行化简，然后选择不同的工具求解最值都需要对五倍角进行化简，相较于前三种思路而言，计算量比较大，所以可以优先选择前三个思路，这也体现了试题多想少算的设计理念。根据FX是两个同名三角函数的情况，是否还可以考虑使用情深不等式解决呢？是的，根据情深不等式，余弦函数在区间上是凸函数，情深不等式是函数值的均值小于等于自变量均值的函数值，所以要求最大值关键在于凑自变量的和为定值。所以需要将先将cos 5X变成cos派减5X那么再凑出六项函数值的均值形式，再使用情深不等式即可求出最值。琴生不等式在高中阶段虽然不做要求，但学生可以根据凹凸性也能对比得出。这种方法对学生的推理能力和抽象能力要求比较高，这是第一问的解析。那第二问又该如何解决呢？接下来由我给大家带来第二问的讲解。第二问是一个存在性问题，只需找到一个Y满足条件即可。由于问题中变量较多，且A为全体实数，所以可利用三角函数的周期性奇偶性缩小A的范围，再进行分类讨论。有5种思路也可以利用单位圆结合抽屉原理求解。有两种思路，还可利用反证法有三种思路。该问考察了化繁为简、数形结合、分类讨论等思想，重点讲解思路15789，接下来进行逐一解析。缩小A的范围，借助单位圆幽湖BC对应的角满足cos y小于等于cosine x它的区间长度为2派减二西塔。此时注意Y的范围是一个长度为二西塔的区间，所以它一定与幽湖BC有交集，即上市成立。本思路借助数形结合，利用周期性化解问题。几何直观性较强，逻辑性连贯自然，但是依赖几何直观，所以需要思考出为什么任意2C塔区间一定与油壶对应的区间有交集。我们还可以利用集合语言，结合区间长度和抽屉原理来得证。缩小A的范围，利用函数图像分类讨论A加西塔与派的大小，将存在性问题转化为最小值问题，同样可得证延续思路3，也可以借助数轴分析西塔与A减西塔A加西塔的大小，展开讨论存在。性问题。那是不是也可以转化为最值问题呢？是的，我们也可以将问题转化为最小值小于等于cosine西塔。结合最值存在定理可知，以是否存在极小值点来分类讨论，若存在极小值点时，最小值为负一命题成立。若不存在取单界函数值的最小值即为HA只需证明当A大于等于0小于2派时，HA小于等于cos西塔。我们借助思路四展开讨论，从而命题成立。该方法常规，容易想到把复杂的存在性问题拆解成可逐一分析的子问题。缺点是几何直观性弱，不如思路一几何方法直观好动。我们还可以将问题转化为两个函数，值域有交集，可按照极值点个数分类讨论。同时我们还可以先缩小A的范围，将问题转化为一式。那如何判断cosine y减cosine西塔的正负呢？我们可以考虑将cosine y减cosine西塔转化为乘积形式，可利用和差化积公式展开问题，转化为为20万元后，分析T在整个区间范围内存在Y使T大于等于0。我们先来分析极端情况，A在0到2派减2西塔二西塔2派范围上命题成立。为什么先取区间端点值呢？注意到T的结构与Y的范围可达到化简的目的。A在0到2派减2C塔范围内命题成立，同时A在二西塔2派范围内命题也成立。又因为A属于R所以我们需考虑A不在这两个范围内的情况，即当A大于2派减二西塔，小于二西塔时派在区间内，使得命题成立。该思路对和差化积公式的记忆与应用能力要求高，换元简化表达式结构，但需注意分类情况较多，逻辑思维要求高。不等式放缩同上，即正一式不等式放缩后，再用和差化积公式展开，所以需正二式成立。我们可以将其记为FY集镇。FY在区间上存在零点，由区间端点值的关系结合零点存在性定理值FY存在零点。本思路构造FY用和差化积展开转化为函数零点问题较上一思路方法新颖，逻辑简洁易推导。由于原命题是存在性命题，若直接分析对于Y的举例并不容易，那正难则反，是否也可以考虑利用反证法将特称命题转化为全称命题呢？的确，我们还可以考虑反证法，假设命题不成立，由图解出cosine y大于cos西塔得到直接关系，那么我们是否可以从B区间范围更大来将包含关系代数化？那接下来又该如何得到矛盾呢？我们可以从以下三种方式得到，矛盾，方式一，由不等关系的矛盾。方式2，取特值当A等于2K派时关系不成立的矛盾。方式3，由抽屉原理和区间长度可知，假设不成立，所以原命题成立。该思路的优点，以反证法为核心，三种方式从不同角度推导矛盾方式灵活多样，将抽象三角问题代数区间化，降低理解难度，体现划归思想的优势。但反正思维跳跃，大难上手，矛盾的识别对知识覆盖面要求更高。我们同样还可以利用结合结合结合反证法和抽屉原理，使得命题证明成立。同理，利用假设法，利用反证法，假设交集为空集，利用整数性质得出矛盾存在性问题。虽然在高中教材里出现的不多，但是在数学和其他基础学科的研究中时有出现，这也是培养学生在未来从事研究时所需的基础能力。接下来由我给大家带来第三问的讲解，拿到题目映入眼帘的便是五倍cos x减cosine 5X加斐，比第一问只多了饭，我们是否可以借助第一问的相关结论呢？而且本小问仍然有存在性的问题，是否可以延续第二小问思路进行探究？可以做以下尝试，当斐等于零时用第一问求得B的最小值。为什么取斐等于零呢？由于余弦函数的周期性缩小斐的范围，结合第一问我们可以求得Y等于零时B的最小值，因此可以猜想B大于等于三倍根号三结合反证法对猜想进行假设，即证以下命题成立。我们可以通过举反例的方式证明全称命题为假，其中任意的斐在0到2派上可找到X满足不等式大于等于三倍根号3即可。此时可以与第二问结构进行对比，再利用第二问找到反例与假设矛盾，假设不成立，则猜想成立。为什么取负的六分之派到6分之5派呢？我们可以从五倍cosine x减cosine 5X加斐两项系数分别是五合一出发，将三倍根号三分成2分之5倍根号3，二分之根号3对应三角函数值，恰好与六分之派相关。此方法以第一二问作为载体，结合猜想反正的技巧，可以简化运算，但考察考生的逻辑推理、观察和构造能力，综合性强，思维难度大，不易想到。本想问是关于X和Y的双变量问题，在教学中我们经常考虑将双变量转化为单变量，我们也可以尝试用消元法进行解决。结合思路2，我们发现只是震得任意的斐，在零到派上找到一个X能使不等式成立即可。那此时我们也可以对斐的范围进行分类讨论，使得不等式成立。解法一对题干进行直接分析，利用余弦函数的周期性、对称性、放缩范围，合理的利用猜想，反正消元、分类讨论等技巧，结合全称霍特称命题的特征得到证明题干。是恒成立能成立的。双逻辑问题能不能转化为最值问题呢？是的，可以分成内外两层命题转化为最值求解。那我们可以思考从函数或不等式的角度寻找解题思路，得到以下四种思路。著名数学家华罗庚说过，数形结合百般好，隔离分家万事休。利用导数研究最值结合，经常我们会结合函数图像，但是为了降低作图难度，我们可以有效的利用和差化积公式将导数变为乘积形式，分析导函数的正负，便可确定原函数的单调性。为什么取cosine 3X和sine 2X图像呢？由于Y一等于cosine sine x加二分之匪和Y2等于sine 2X加二分之匪初项相同，可以由这两个函数平移相同的单位得到。因此可以借助这两个函数图像分析我们需要的图像。导函数的正负是一致的，再利用单调性，我们可以求得极大值，这是极值点和极值。极值点该如何计算呢？我们可以将3X加二分之派看成一个整体，利用正余弦函数计算我们的极值点并比较大小去求得最大值的范围，最后我们再转化为最值即可。该思路的优点可以将导函数变为乘积形式，方便分析单调性和最值，方法直白，但是需要观察函数解析式的共同之处，且考察和差化积公式，且对作图能力有一定要求。我们是否可以直接分析函数的最值呢？对于内存命题的恒成立，我们可以转化为最大值，直接通过导函数的零点可以去确定原函数的极值点，就是极致点。求出极值以后，我们就可以研究极值的大小。以GX2为例. 为什么该先研究GX2呢？由于GX2的系数更大，取到最大值的可能性也更大。因此先研究GX2解题时，我们需要警惕惯性思维，反思质疑，先想后算。再结合三角函数的周期性X2，将单位圆分成六个不同的区域。根据余弦函数的对称性，我们只需要探究一二三个区域。结合图像我们会发现GX2的最大值点会落在我们的一号区域比较大小以后，我们可以得到最大值的范围。从这里我们可以发现GX2的最大值的最小值都为三倍根号3，大于GX1的最大值。这里也反向的证明了我们只需要研究GX2，最后再结合外层命题化为最值即可。该思路比较常规，容易想到，但驻点多，计算量很大。结合第一问的解法，我们可以尝试用cosine x表示cosine 5X利用五倍角公式化为同角函数，将GX转化为一式和2式的和。为什么不用cosine 5X表示cosine x呢？因为5X加斐为负角，化解更为复杂，因此我们将X转化为5X第二步，我们再利用换元法和导数即可求出HX也就是我们二式的最大值，然后再利用辅助角公式，我们可以将一式化为同名函数求最值。由于斐可以取全体实数，所以说无论X取何值，总能找到一个匪能满足三式的最大值为二倍的sine 2分之匪的绝对值。后续同时入伍，此方法比较前几种，它无需要计算原函数驻扎的附点，但是他把GX转化为了两个同角函数之和。利用三角函数的同名或者是同角来求娶我们的最值。缺点是五倍角公式计算量仍然比较大。这三个思路将导数和三角作为载体，利用数形结合或者是换元的思想，从函数角度将恒成立和能成立问题转化为最值问题。和我们平时的练习深度相关，不能观察出这三个小问结构的同学，可以通过456这3个思路尝试进行得分。十九题一出，很多同学们讨论到最后一问是竞赛一试的题目难度，难道我们的高考难度都要升级到竞赛题了吗？从竞赛角度思考，我们也可以结合情深不等式进行解题，但这是不是出题者的真正意图呢？试题以三角函数极值作为载体，一二问为铺垫解决第三问。在思考解题思路的时候，可以通过对题干的结构特征进行观察，用第一问结合第二问的思路推出第三问的解题思路，达到出题者多想少算的设计理念，也降低了第三问的实质难度。一直以来，常用逻辑用语部分很难的题设计出有难度、有区分度的题。这一问以求带变量的函数最值为载体，可深入考察学生的逻辑能力、本题对学生的知识储备和教学能力都有较高的要求，是一道高质量的综合性题目。有网友发现本题第一问是2019年之前变难的考题，那么为什么出题者不改变第一题的数据呢？当系数为五的时候，究竟有什么奇妙之处？以下是19题，原函数在直角坐标系下的图像，如图一。但如果我们把方程转化为极坐标，在极坐标系下的图像得到的是一个心形，如图2。除此以外，我们还可以发现，若改变FX的系数，在极坐标下的图像，如图左系数为奇数的时候，图像更为简单。当系数为五的时候，形状特殊。既表示出出题人对考生的美好期许，又体现出教材上提到的让学生领略数学之美、感受数学体会提升思维的快乐之旅。试题来源于如何让两个波叠加后产生振幅最小的一类问题。教材必修一第五章第250页提到，声音中也含正弦函数，当振幅相同时可以计算合成后的振动，但当相位相同的时候，我们可以计算振动的最值。所以说我们可以将GX中的斐看作调节的相位参数。通过调节斐，我们可以使得相位协同吉利斐等于0，让五倍的cosine x与cosine 5X加斐的相位重合，那此时可以产生罪止。会回到我们问题一中的情形。本题已从数学和物理的角度出发，将特殊问题一般化，再将一般问题特殊化求解。以三角和导数交汇体，全称与特称较量。但如果将问题一般化，第一二问的解决本质上并无多大变化，第三问的解决无法迁移，原来的想法甚至变成了一个更高难度的问题。这也有可能是出题人对于为何选五的原因。出题者希望考生使用比较同名三角函数的方法，而不是用cosine x来表示cosine XKX的方法结合零点最好的特殊情况是K. 等于五好，这是问题。推广可以从参数个数、类型或者同时考虑来作为推广思路。这里由于时间原因不展开阐述。好，这是对于这一道提的教学的一些建议。好，谢谢大家。