尊敬的各位评委，各位同仁，大家上午好。我们是来自四川省成都市天府新区高级中学的老师。此次比赛我们选择的是讲思维类，选择的试题是2025年全国数学新高考二卷第18题。接下来我们将从以下五个方面进行解析。真题成现实题，解析实例溯源便是拓展教学启示。下面将由我为大家带来真题呈现和试题解析部分。首先我们先一起回顾一下该题，此题是以函称函数为背景，重点考察了函数的单调性、极值点和零点等相关问题。而此题考察了函数与方程、转化与化归、分类与整合、数形结合等数学思想方法，对学生的观察能力、逻辑推理能力、数学运算能力都提出了较高的要求。下面我就第一题进行解析。首先来说第一题考察的是函数的极值点和零点问题。极值点是指的导函数的变化零点，因此第一题可以本质上是函数的零点问题。而我们在处理零点问题主要有以下三种方式。第一种方式，直接研究整体函数图像与X轴交点的横坐标。第二种方式，去解FX等于0所在方程的根。第三种方式，参变分离，转换成函数图像与图像的交点。而此题不论是去解超越方程的根还是进行参变分离都极为困难。因此我们选择的是研究函数的整体图像。对此，我们给出了两种求解方式。第一种，直接原函研究原函数的一阶导，通过因式分解求得极值点，进而判断出原函数的单调性，再通过放缩求放缩取点，结合零点存在性定理证明存在唯一的零点。第二种方式，不直接求出极值点，利用原函数和导函数的关系进行高阶求导，一层一层得出原函数的大致图像，再结合零点存在性定理证明存在唯一的极值点和零点。其中我们的思维导图如下。而我们的思路一重点考察学生对基本知识点通信通法的一个掌握程度。而思罗尔主要是考察学生对导函数和原函数的内在联系的深度理解。那么接下来我将就思路一进行解析。思路一只需要通过求一阶导代数整理变形，便可得到FX在零到正无穷上的单调变化情况，从而得出X存在唯一的值点且是极大值点。但在此过程当中，我们需要注意的地方是在求得导函数的零点时，需去判断出该点是否落在给定区间范围之内。作为学生的一个易错点，接下来我们只需要去画出函数的一个大致图像即可。而在画图的时候我们需要注意的点是在于先确定出函数在区间端点的函数值以及极值的符号，再借助极限思想或者是取点的方式，利用零点存在性定理判断函数图像是否穿过X轴。而这里我重点讲解的是如何取点。通过数形结合我们可以知道，我们只需要去找到一个点，使得FX的值小于零即可。这样便可证的存在唯一的零点问题。而这里我们可以观察到FX它的一个解析式的形式出现ln x和X因此这里我们借助了常见的不等式ln 1加X小于等于X进行放缩。这里只需要去令二分之X平方减去X3次方等于零即可，从而找到了2K分之一这样子的点。而对于放缩取点这种方式对于学生来说是一个难点，是需要我们以后去进行攻克的。接下来我们看一下我们的一个思路二思路主要是借助了导函数的符号决定原函数的单调这一关系，进行高阶求导，一层一层得出原函数的大致图像。因此此法的核心是在于研究导函数的一个符号，因此我们这里给到了FXC标的解析式。而对于此解析式未经过变形整理的情况下，它的单调和符号均是未定的。因此我们可以通过研究一阶导的整体图像，进而去判定其符号。而要去研究一阶导的整体图像，我们则需要去研究它的单调性。要去研究它的单调性，我们则需要通过去研究它导函数的符号，因此我们进行了二次求导。而对二次求导，我们的二阶导函数的单调和符号亦是未定的，因此我们进行了三阶求导。而对于这个三阶导函数，我们可以观察到它是一个单调递减的。所以这里我们解出了三阶导的一个零点。在通过极限思想画出了三阶导的一个大致图像。最后利用我们的一个三阶导的正负画出了二阶导的一个大致图像，再画出了我们一阶导的一个大致图像，最后得到了原函数的大致图像，再结合零点层的吸引力，得证我们存在唯一的一个零点问题。而此法主要是用到极限思想，所以在高考过程当中容易被扣分。因此这里我们给出了另外一种更为严谨的书写方式，那便是起点。通过以上的分析方法，我们知道我们只需要去找到3个点，分别使得原函数的函数值、一阶导的函数值、二阶导的函数值小于零即可。因此这里我们可以先去确定二阶导的一个函数值小于零的点。这里的话我们可以通过观察，可以将二阶导看成是由这两部分组成。其中这一部分是一个很小于零的，因此只需要让此式子成立即可，从而我们得到了6K分之一这样子的一个点。接下来我们只需要去确定FXCP，而对于FXC飘的话，我们可以得到这样的一个解析式。所以此时只需要让该不等式成立即可解得X的范围，最终确定了3K分之一这样子的一个点。而原函数的找点方式，我们已经在解法一当中进行了一个说明。而基于此法的情况下，我们同样的是可以去将三个函数图像，一阶导、二阶导以及原函数图像画在同一个平面直角坐标系当中，并且将我们的各点相应对齐。通过数形结合我们可以直接观察到，相对于这三个点，我们都可以去找到2K分之之一这样子的一个点。最后我们只需要带入证明函数值小于零即可。以上的话就是我们第一问的一个解析。接下来我们看一下我们的第二问。第二问首先我们先看一下第一小题。第一小题它实际上考察的是函数在给定区间上的一个单调的问题。而我们要去证明函数在给定区间上的一个单调，要么利用单调性的定义，要么就利用导函数的符号去证明单调。而这里利用定义来证明是极为困难的。因此我们选择了导数这些工具去证明GT飘在给定区间上小于等于零恒成立即可。因此该小问它的一个核心的研究点还是研究的是导函数的一个符号问题。所以这里我们给出了两种思路，5种求解方式。而思路一我们只需要求一阶导整体替换，对GT标进行引号。其中我们的解法1-1是直接将我们的函数代入再求导化解。一杠2到1杠4都是先整体求导再代入化解，那用的是不同的处理方式，最后达到定昊的目的。而我们的思路二是进行一个高阶求导，结合图像和极限分析对GT1飘进行定号。而这种解法跟我们的第一题的解法二是一脉相承的。接下来我们看一下我们的一个思维导图。思路一这里重点考察的是学生的一个数学运算能力以及观察能力。而思路二重点考察的是学生的一个思维分析能力。接下来的话，我将就第二问的第一种解法进行一个解析。首先我们看到解法1-1，这里是通过直接代入消元化简定号。我们既然要证明的是GT在给定区间上的一个单调，因此我们可以将T看成是我们函数的一个组员。所以我们先去表示我们的集体，而我们在表示的过程当中，我们发现我们的参数比较多。因此我们可以想着消掉参数的一个个数。而通过第一题解法一，我们可以得到的是关于X1和K的一个这样等式，而等式其中一个作用就是可以用来消元。因此此时我们可以想到的是消掉参数K或者是X1，而解法1-1是选择消掉X1。对于以下的一个化解过程，其中这部分主要是反复去利用，到了我们这个等式进行反复带入，最后化简的一个过程，最后得到了GT的一个表达式。而GT的表达式得到之后，我们只需要对它进行求导定号就可以了。而这里的话我们只需要对括号内的符号进行一个定号。这里我们借助了T的一个取值范围，在利用了不等式区间值的一个放缩，去得到了GT1瓢它的一个符号，最终得证。而这种方法运算量相对来说较大，对学生来说是一个挑战。接下来我们看一下我们的一个解法1-2，解法1-2我们选择的是消掉参数K它跟解法1-1不同的点是在于在表示GTP时，我们是先借助了负复合函数的单调求导，复合函数的求导法则，先将它整体求导。由于第一题我们已经知道了FXCP的解析式，因此此时只需要将我们的变量整体代入即可。但对于此法我需要强调的地方是在于这一部分的一个通分化简处理。这里通分的话我们不需要去运算，因为这样运算量会比较大。此时我们可以观察一下对于整个这个式子它的一个形式，我们可以去将我们的分母看成这两部分构成，然后再进行一个通分提公因式。利用分配律提公因式就可得到我们GT票最终的这样的一个表达式，最后进行一个定号处理，而这里只需要对分子所在部分进行定号，因此我们利用到了T的一个取值范围，对GT票进行了定号。而回到这一个问题的本质，我们实际上可以再次进行思考。既然我们要去确定的是GTPL的符号，所以对于整个未化简的过程当中的话，我们只需要去确定括号内这两个分式做差的一个符号即可。而此时我们可以观察到这里两个分式的一个共同特征。那么这里的话我们就可以想着去构造这样子的一个函数，MX等于1加X分之X平方。那么此时我们只需要去判断出MX的一个单调，那就可判断出括号内的符号。而这里判断单调可以通过求导，也可以利用这样的一个分式函数它的单调性质，我们可以判断出在零到正无穷上是一个单调递增的那最后达到一个引号的目的。基于我们的1-2和1-3，我们把我们的运算进行了优化，所以得到了一个1-3。对于1-3来说，此时我们不再需要进行一个消元。那我们只需要去利用这个等式去进行一个局部的化解，然后去判断整体的符号即可。而在中间化简的过程当中，这里的话跟我们前边1-2以及我们定号的一个过程跟1-2也是一致的。在此我就不再进行一个赘述了。接下来我们看一下我们的1-4，1-4我们还是先对GT进行了一个整体求导，得到计提飘。而我们这里是要去判断它的符号。因此我们需要去研究的是FXC飘这一个函数，它的一个符号以及它的一个相关性质。所以根据第一题，我们已经可以得到FX一飘这样的一个解释。可以把它看成是这样的一个分式函数和我们的一次函数的一个乘积。那么只需要分别去研究这两个函的符号以及它的一个相关性质即可。而为了分别表示，我们这里分别把它列成MX和HX。对此我们就可以将DTGTP表示成这样子的一个式子。而对于这个式子我们只需要进行一个化简定号处理即可。而在整个这个式子当中，我们可以发现到X1加T和X减其实上可以看成是两个变量。而对于双变量问题，我们的处理方式是想通过这样的一个等式去进行一个消炎处理，变成一个单变量。因此我们就需要分别去研究我们的HX和MX的相关性质了。而我们观察到HX它是一个关于X的一次函数，因此研究它的相关性质相对来说要容易的。而这里的话我们要利用函数的性质去建立等式的话，主要借助到的是我们的一个对称性和周期性。而我们知道对于X1加T和X1减T它本身都是落在了零到正无穷范围之内，且关于X一对称。那么此时对应到的HX的这样的两个点，他也是关于X1到0对称的那因此我们利用对称性就可以得到这样子的一个等式。那么我们再借助这样一个等式，等式带入到我们GTP的表达式当中，即可得到如下式子。因此我们只需要对这一个式子进行根号处理，而这里的话只需要分别判断这两部分的符号。而由我们的1-2我们可以知道的是，MX在零到正无穷上是一个单调递增的，因此括号内的符号是一个符号，而HX它又是一个单调递减的那所以HX1减T它是一个正号。那么对于这里来说，我们就达到了一个病号的目的。而此方法是比较创新的，整个一个运算量是较少的。而我们思考的一个入手点，其实是可以看成是由我们的1-2去构造MX去研究它的相关性质的时候，有这样子的一个启发。以上就是我们的思路一的四种解法。接下来我们看一下我们的一个思路二，思路二跟我们的第一题的思路二是一样的。所以此时我们还是选择了一个叫整体求导。整体求导我们先得出了GT票，同样的我们还是需要要去对GT标进行定好。但是对于这里来说，我们的符号和单调都是待定的。因此我们可以去通过研究一阶导的整体图像，进而研究它的一个符号。而要研究图像就要研究单调，因此我们进行了二次求导。而二阶导的话对于这个式子我们只需要判断它的符号即可。因此接下来我们只需要去研究的是这两个数的一个大小关系。而通过我们的第一题解法二，我们已经知道了我们的FX两飘在X4到正无穷上，它是一个单调递减的，并且X1是在X4的1个右侧。所以这个时候X1加T对应的函数，对应的二阶导的函数值是一个负数。那么的重点就是在去研究X1减T对应的二阶段的函数值。所以这里的话不管是X一减T它的函数值是一个负的还是一个正的那借助我们的单调的话，我们最终都可以得到GT2票是一个负数。从而可以得到GT飘是一个单调递减的，从而得到我们的GT是一个GTGT票是一个负数，从而得正。这里就主要体现了我们的一个转化与化归和我们的树形结合这样的一个数学思想。以上就是我们的第二题的第一一小问。接下来我们看一下第二题的第二小问。第二小问是比较两个数的大小，而这里直接去比较两个数的大小是很困难的。因此我们可以借助函数的一个单调性，将自变量的大小转换成函数值的大小。而通过上一问，我们已经构造了一个辅助函数，已经将我们的一个双变量转换成了一个单变量。因此此时我们只需要用上一轮的结论，就可以判断出这两个数的一个大小关系。通过这样子的一个题的话，实际上我们知道对于这一问的背景，它是一个极点偏移模型，而2个0点分别是零和X2，节点是X1。所以最终的一个结果等价于2分之0加X2小于XC1，算是一个70.6篇。由于这样子的构造的话，我们就回归到了问题的一个本质，做到了一个真正的反套路。以上就是我这一部分的解析，接下来将由我们的同事刘双耀老师为大家带来视频溯源部分。接下来由我为大家阐述第三部分试题溯源。今年新高考二卷第18题包含了三个小问，并且每个问题之间环环相扣，层次分明，每一问都在为后一问做铺垫。第一问证明了函数单调性，说明其存在唯一的极值点，并根据函数零点存在性定理证明了该函数存在着唯一的零点。第二问第一小问根据该函数极值点引入了一个辅助参函数并探索其单调性，为第二小问探索极值点与零点之间的关系指引了方向。其命题的特点与2011年辽宁高考理科第十9题、2019年天津高考文科第20题、2022年南昌三模理科第二十题一题均高度相似。另外本题第一问的解法一当中含参函数探寻零点所在区间的方法，与本题第二问给出的解法二均需说明函数，与解法二需说明函数的凹凸性，均可在教材当中找到出处此题的命题背景。此题的命题背景是一个极值点偏移问题，但是又没有陷入用套路解题，而是给考生搭了一个梯子，构造了一个辅助参函数，进而回归到了利用导数分析函数单调性的基本问题。另外，本题命题背景还涉及到了高等数学下的麦克劳林、展开式帕的逼近等知识，但是都均属于鞭长莫及了。这也是本题的妙处之一，就考察了学生基本知识和基本能力的掌握程度。接下来我们具体来看一下。该题在以往高考真题和模拟题当中的相似之处。第一道就是2011年辽宁高考理科第十9题。该题的第二疑问也类似于今年高考第十八题的第二问的第一小问构造了一个辅助差函数，而第三问也是结合第二一问，证明该函数是极值点左边的一个函数。第二道是2019年天津高考文科第20题，第三道是2022年南昌三模理科第21题，这两道题的最后一问均是证明函数极值点与零点之间的关。这几道题都可以说与我们今年的高考题高度相似。我们今后完全可以在备该专题课的时候，将这几个题合并在一起。该题在教材当中的体现，我们找到了两处。首先就是第一问的。首先就是第一问的。解法一当中我们通过放缩取点确定了该函数零点所在的区间，与教材选择性必修二复习参考题五当中第十九题它是属于相似的问题。然后该题的第二疑问，解法二当中需要借助二阶导数阐明原函数增减快慢的过程。在教材选择性必修二第68页历史当中也得到了体现。所以我们在今后的教学备课当中，必务必要回归教材课标，研究高考真题，才能把控高考的方向。我的阐述到此结束，接下来请陈骁老师为大家分析好。下面由我给大家来阐述第四和第五部分。第四部分是我们的辨识拓展，我们从四个不同的角度得到了四种不同的辨识。第一个角度是将结论和已知进行互换，相当于是已知我们的这一个FX在这个区间上有唯一的极值点和零点，反而来求参数的范围。好，这个便是跟原题的这样一个对比来看的话。首先它的第一个问其实是难度增加了的，它是相当于你要去确定一阶导函数后面的主要部分，一减去3KX加一的这样一个符号。由我们的原来这个条件当中存在FX存在唯一极值点这样一个必要性去探路。那么通过对K的这样一个范围的这样一个确定，K小于等于0和K大于它大于等于3分之1的时候，原一阶导函数均是在给定区间不变号，所以不存在极值点。这样子我们进而得到了当K是零到3分之1的时候，才原函数才存在唯一极值点。利用这样一个必要性探路之后，再通过K是零到3分之1的这样一个错，也是这个条件再去说明它是存在唯10点。这就是一个充分性说明，也就说明原题给出的K的范围其实是一个充分必要的。但是这个题目来说，相对而言先要通过唯一及时点去进行标签探路，然后再去说明通过说明它的在区间内存在唯10点，得到它的充分性。进而其实难度来说相比原题略高一点。好，我们的第二个辨识是通过对参数K的位置进行调换。原题当中是放到三次项系数，那我们现在通过调整把它放到一次项系数。由于ln 1加X的麦克劳林展开式的一次项系数实际上是一好，所以我们将K的范围限制为0到1，得到了如下的辨识。好，那么这个辨识跟原题的区别和联系主要就是它的一阶导函数。其实求完之后，它的这一个参数实际上是在常数位置。所以我们只需要求出二阶导，那么就很容易去掉参数，进而就对整个这个题目的分析就会很有利。甚至我们说在第二个问题求解的时候，我们也直接利用到2阶导函数。因为已经不含参了，那么我们处理起来也很容易。所以原题如果说是将三次项系数调到一次项系数之后，其实就降低了难度，并不能体现我们高考题这个压轴题的这样一个精妙之处。好，我们第三个辨识就是针对loan EX麦克劳林展开，是我们把它展开到四次项，那么这个难度一下就变高了。那么我们得到了如下的命题。好，这一个辨识来说，它的难点跟原题对比起来，就是在一阶导函数的整理部分，它必须要用到。如果在通分的情况下化简的话，它要用到立方和公式，相对而言比原题难度就更大。而在涉及到取点的部分，由于它的这个函数也比较复杂，所以我们在取点的部分也是会比原题要略难一些。好在第二个问的时候，这个时候其实就能够体现我们原题在一题多解的它的一个好处。我们参考原题的解法的1-4这样一个多想少算的这样一个思想，结合到后面这个仍然是一个4K倍的X加1减1这样一个一次函数的对称性进行化解，整个运算量就会显得非常小，仍然是延续我们原题的这个做法。只需要对MX的单调性，这个函数的单调性进行确定，就可以对GTGTGT的一些导函数进行病号。好，所以我们就利用了这样一个方法，得到了我们的这样这个题的一个解法。如果这个题要要用我们之前的第解法二，也就是高阶导的思想。由于它的这个参数在40项的位置，所以它要需要求到四阶导，对学生能力要求就太高了。好，那么我们第四个辨识的方向是将这个函数类型进行转化。我们将lan 1加X换成E的X次方，同样也利用他的麦克林展开式得到了下面这个命题。我们发现这个函数其实在区间负无穷的领域上仍然是一个极值点偏移模型。所以我们就会通过我们原来解原题的解法二，因为函数来说它求一阶导来说，包括甚至求二阶导都是一种超越形式求导这个直接求解比较困难。所以我们又借助了原题的解法二这种求高阶导的方式，进而去通过三阶导，得到二阶导的这样一个图像性质，进而得到一阶导，进而得到原函数的图像性质，整个来说就是一气呵成，这里就不过多赘述。此题来说跟原题来说，实际上是一个自媒体。而且确实这个题目来说，就用原题的解法二就能够比较容易解决。而用其他解法就不太容易，所以他切入角度其实也并没有原题那么多。所以我相信高考题它是经过深入打磨的。通过我们的面试的拓展，这部分我们就不过多赘述了。我们通过辨识的拓展发现，实际上我们的四个辨识都是围绕着极致点偏移设计的。通过面试拓展，其实我们对高考题的研究达到了一个更深入的层次。我们发现其实在研究一题多解的时候，我们对原题进行辨识，发现我们的多种方法在辨识当中都能够起到不同的效果。这也是我们研究一题多解的一个目的。好，当然我们尝试过删除原始原题当中某一个问。那么发现如果这个问题同学如果单纯的把它看成双边的问题的话，想去证明下面这个不等式难度就很大。所以原高考题是经过深入思考。第三点我们想说的是针对这一个原题的最后一个问。其实我们有些同学是在没有证明到第二个问的情况下，直接用第二问的结论来得到第三个问。所以我们发现如果对最后一个问的这个极值点偏移的本质进行变形的话，我们发现其实这个时候对学生的这个要求就提高了。好，所以我们的教学启示就是下面三个部分。第一个是我们要回归教材研究真题。我们要突出这一个概念性，讲的我们的知识的形成过程要创新辨识。第二个是要重视我们的通信通法，探索数学本质，注重一题多解，多题一解。第三个是要聚焦核心素养，注重思维能力，注重学生对数学本质的理解，注重对知识结构的构建，对问题的迁移。最后我们用一首诗来结束我们今天的这样一个汇报。极致点偏移。我们说极致点本居中对称美好轻松，不料参数捣个乱，左摇右晃偏西东。偏移问题怎么搞？差值函数是个宝，硬核计算不用怕，对称性来做简化，二阶导判，增减极值偏移不再难。压轴题里常相见，掌握本质笑开颜。这就是我们今天的汇报，谢谢大家。