大家好，我们我是本次负责讲解的王老师。大家好，我是本次参加学习的刘同学。今天我们讲解的题目是新高考一卷的17题。新高考一卷17题作为一道立体几何题，它的第三小问是一个常规的几何垂直的问题和夹角问题。第二小问是一个新颖的与球体结合类的问题。我们将以下对以下三个小问进行分析。首先是第一小问，第一小问当中我们要证明面PAB垂直于面PAD是一道面面垂直的问题。那这里我想问一下刘老师，我们通常在证明面面垂直的问题的时候，有什么样的思考方向呢？我们可以使用平面与平面垂直的判定定理，也就是在一个平面当中寻找一条直线与另外一个平面垂直即可。那我如何去找直线与平面垂直呢？那就在该平面当中寻找两条相交直线与该直线垂直即可。比如说在这一道题当中，我们要证明面PAB垂直于面PAD，可以在面PAB当中去找一条直线AB垂直于面PAD那要证明线面垂直，我们就要证明AB垂直于面PAD内两条相交直线。在这里我们通过题当中已知找的是AD和AP两个直线。那么王老师我用的方法是在平面PAD当中寻找AD直线与平面PAB相互垂直。因为我们根据题目已知条件容易证明AD垂直于PAAD也垂直于AB那这个问题也可以得到解决。对，这样也是可以的。根据我们刚刚的讲解，我们对垂直的问题来进行一定的总结。垂直的问题主要分成三类，线线垂直线面垂直和面面垂直。但是我们线线垂直和面面垂直最后的落脚点一定是大概率情况下是落脚在线面垂直的过程中。王老师我在证明直线与平面垂直的过程大致是没有什么问题的。但是在证明直线与直线垂直，平面与平面垂直，将其问题转化为直线与平面垂直的过程当中，我要去寻找哪一条直线垂直于哪一个平面，有没有什么比较好的方法呢？刘同学问的这个问题非常好啊，这也会是我们大部分同学的一个纠结的点。就是最终我在转成线面垂直的过程中，我具体去找哪个线垂直于哪个面呢？这里我们做了一个小的经验总结，我们给它取名为比正口诀，是谁正谁不变，什么意思呢？我们将由接下来两道例题为大家进行讲解。比如说下道题，我们要证明面PAC垂直于面PBC那大家可以观看我们说谁正，这个正什么意思呢？就说我们一般情况下，我们水平的平面和我们垂直的平面会比倾斜的平面更正一点。这里看图我们能够得到我的面PAC和PBC相比，我PAC这个面更正，那我就PAC更正，PAC就不变，我就在PBC当中去找一条直线和它垂直，找谁呢？找BC就可以得到转化为线面垂直是BC垂直于面PAC好，我们再来一个线垂直类的问题，比如说该题我们要证明CD这个直线垂直于AEE这个直线，那我们会发现CD这个直线跟正，那它更正它就不变。我们就在AEE当中去找一个平面和它垂直，找哪个平面呢？通过图和已知条件，我们可以观察出更倾向于去找AEEBA这个平面。不知道上述的方法同学们是否听懂了呢？根据王老师刚才的讲解，我大致是理解了这个比真的方式。好的，那就由刘同学来实验一下接下来的题。好的，下面这个问题，第一个问题要证明AN垂直于MN根据刚才的经验总结，我们发现MN是要更正一些。那我们MN就不变，就去寻找这个AN所在的平面，用MN垂直于平面PAC即可。对，很好。第二个问题要证明BM垂直于大M相比之下大M更正一些，我们只需要证明这个DM垂直于平面ABM即可。这是两个线性垂直。那我们再来点面面垂直。第三一道题要证明平面ACE垂直，平面PB大。那么从图我们可以观察得到平面PB大跟这些平面PB大不变，那么我们就在ACE当中寻找一条直线AC垂直平面PB大即可。第四个问题要证明平面PBE垂直于平面PAC。相比之下，平面PAC更正一些。那么平面PAC不变这个地方，我发现一个问题，在平面PBE当中好像是不好找某一条直线垂直于平面PAC的。对，因为在该题当中我们已有的PBPEBE感觉都和PAC不是特别垂直。但是我们可以把我们的平面进行扩充。当我把平面PBE扩到平面PBD当中，能否找到呢？在空间的一个平面是可以无限延伸的。如果将平面PBE延伸到平面PBD的话，我就可以寻找到BD与平面PAC垂直。看来刘同学已经掌握的非常的熟练了。接下来我们来进行本题的第二小问，也是我们今天讲解的重点与球体相结合类的题。在此之前我们再来回顾一下题当中给我们的条件。题当中告诉我们PAABADBC它们的边长，并且告诉我们PBCD在同一球面上，该球的球心为O需要我们证明O在面ABCD上。那这里我想问一下同学们，当我们出现PBCD在同一球面上这个点之后，我们马上会联想到什么呢？在这个地方我可以联想到球心到球面上的距离相等。你从这个题目当中我们就可以得到PO等于BO等于CO等于DO. 那我如何去得到这个等式呢？我们可以建立空间直角坐标系，用两点之间的距离表示线段的长度。在这道题当中你为什么会想到这空间直角坐标系呢？在第一问当中我们证明其实已经可以得到ADAP和AB2两相互垂直，并且已经知道很多线段的长度。对那我们相应的利用我们长常规的建空间直角坐标系描点，去设定我们的方程解出O点的坐标，就可以判断我的O与面ABCD的位置关系。但在这里的过程中大家要注意，我们这里设立的方程POBOCODO它们都等于我们的半径R这个方程是相对来说比较复杂的，所以说这里我们也需要进行一定的调解。王老师这个地方，我发现这个地方条件AD等于1加根号3。是否能在AD上面寻找一个特殊点，恰好将AD分为一和根号三的长度。那这个特殊点的坐标会不会就恰好满足我们这个方程组呢？刘同学观察的非常仔细，他通过一些特殊的数据想的是ADAO等于1，OD等于根号三会不会刚好满足？其实同学们对于这方面有思考的话，我们也可以进行验证。最后的结果当然是满的，但是同时我们也要对该方程的常规解法有一定的了解。当我们列出这个方程的时候，不要想着去硬解，我们要学会观察他们之间的关系。比如说这里我的OBOC，大家会发现除了Y以外，其他的都是一样的。所以说我们可以直接通过Y方面求解Y方等于Y减2的平方，从而解出Y的值，再代入验证。这个计算就会相对来说更加的简单。这是我们第一个方法，是一个纯代数的方法。相信也是大部分同学拿到该题的第一想法。对的，王老师还有没有其他的方法可以解决这个问题？当然有来，我们接着来看我们的第21个方法。在讲第二个方法之前，我先问一下刘同学，他说让我们证明O在面ABCD上。那如果说O在面ABCD上的话。我们能得到什么呢？在直角坐标系当中，如果O在平面ABCD上，那它的竖坐标应该是等于0。对，是O点的竖坐标为零。那现在我们只是不知道了它的横纵坐标，那我单纯去解决横纵坐标的话，我能否把它放在一个平面当中去解决呢？可以将它放在XAY当中解决。这个平面当中，我们就可以使用平面当中直线的知识来解决这个问题。怎么去解决呢？如果说O在平面ABCD上，那么O就应该是三角形BCD的外形。那么我们做BC和C大的垂直平分线，垂直平分线的交点就应该是这一个O点。那么O点计算出来或者说找到之后应该是在A. 大上好，这里我们可以通过一个降维的方法，利用我们的平面直角坐标系构建直线方程来求解。然后在一定程度上可以达到化简的目的，同时解决同学们觉得计算量过大的问题。好，那么分析前面两个方法，我们发现前面两个方法它都具有一个共同点，就是它都需要建立空间直角坐标系来进行求解。那我们能否直接求解不建立空间直角坐标系呢？好，这里我想问一下刘同学，我们找外接球球心的通法是什么？可以用两个不平行的平面去截一个球，那么可以截得两个圆面，再过两个圆面圆心做对应圆面的垂线，两条垂线的交点就应该是球心。对，很好。那该题能否用这个方法呢？如果用这个方法，我想问的是我们找哪一个面更加合适？如果在这个题当中使用这个方法的话，我首先会去寻找这个三角形BC大的外形，也就是这一个圆面的圆心。然后这个外星用几何法做出来的话，是BC和C大的中垂线交点，那么做出来这个点应该是在A大上。但是我在做题的过程当中会发现这个O点在A大上，如果要证明这一点的话，过程非常的繁琐和复杂。对，其实很多同学如果用纯几何法去做的同学，很多采用这个方法。但是会在刚刚刘同学说的那里有一点丢分，为什么呢？你们在找BC和C大中垂线的交点的时候，很多同学直接就把他的交点O写在了A大上，但是并没有去进行解释说明。除此之外，我们也能不能找一个其他的平面来简化这个解释说明呢？比如说大家看一看我的PBC这个三角形具有一个什么样的特点。根据已知条件的话，我们会发现三角形PBC实际上是一个等腰直角三角形。然而等腰直角三角形的外心就恰好在斜边的中点，我们这个方就可以取PC的中点OE。对，那我们找到了PBC的外形，我们就需要过OE去做这个面PBC的垂线。这里我们考虑是我的球心O就该在这个垂线上，但同时它又需要我们证明O点在面ABCD上。那说明最后我们。就可以猜测条垂线与平面ABCD的焦点为球心O对。我们可以猜测我们的焦点即为我们的球形O，但是在猜测的过程中，最后我们还需要进行证，那该怎么去验证呢？我们就去验证O点是否为三角形BCD的外形。对，然后通过算出OBOCOD它的距离是否相等，就可以求解证出O为三角形BCD的外形之后，我们再过O做该面的垂线，那么两垂线的交点O即为我的球心。王老师这个地方我发现咱们在做平面的垂线的时候，其实可操作性并不强。那这个地方这个问题有没有什么好的解决方式呢？在这道题当中，刘同学提的这个问题相信也是大家的问题，就是说我如何去过OE做面PBC的垂线呢？这里其实我们可以先通过其他的垂直关系来证明。大家看我们取PB的中点E这里根据前面的条件，我们是能得到我的AE垂直于面PBC的那这个时候过OE再做面PBC的垂线的话，那么这个垂线和我的AE就该是平行的当这个该垂线与面ABCD相交于O点的时候，那么它围成的四边形OAEOE就应该是一个。平行四边形。对，那我们就能得到我的AO和EOE是相等的，它们该同时等于2分之1BC从而算出AO的长度为一。最后我们再通过计算OBOCOD它的边长都为一，得到了我的O为BCD的外形。后面相信大家都会做了，就可以证明他们两个的焦点是为我的O点，且在面ABCD上。好，第21个小问的最后一个方法是一个纯几何的方法。使用该方法的同学他需要具备较强的空间思维能力和逻辑推理能力。那么第二小问解决了之后，接下来是我们的第三小问。第三小问是求AC与直线PO所成角的余弦值。对于这道题的同学你是怎么做的呢？我们可以用一般方式就是建立空间直角坐标系，然后寻找AC与PO的方向向量。那么再根据异面直线所成角与方向向量夹角之间的关系，从而得到答案。那么我们在做这里这道题的过程中，大家首先不要忘了加绝对值。其次我们一定要学会区分异面之间所成角和向量角之间的区别与联系。好，通过对上述题的一个试题分析，我们进行了一个小结。首先一题多解是高中数学解题过程中的一个基本现象。多角度的解决问题有利于我们学生的思维开发。那在考试的过程中，我们建议学生应该选取一个较好的方法解决问题。那么什么是好的方法呢？我们认为一思路要清晰，过程要流畅。二过程要在有逻辑的前提下尽量的简洁，我们的计算要尽量的简单。第31个要符合我们自身的思维方式，就像我们刚刚的三种思考方向，有纯代数的方法，第二个是几何与代数相结合的方法，还有第31个纯几何的方法，同学们可以选择自己适合的方法去进行求解。同时该题体现了数学当中的司机，尤其是基础知识、基本思想，需要学生拥有发现问题的能力、提出问题的能力、分析问题的能力和解决问题的能力，重点体现了我们六大核心素养当中的逻辑推理、直观想象、数学运算等。第21个部分是我们的试题溯源，我们还是按照小题来进行的分类。首先第一个面面垂直的问题其实在我们的教材当中是多次出现的。该题的第一小问与我们的高考题的思路和方法几乎完全一致。我们选择的是人教A版必修第二册171页的复习参考题。这道题我们也可以运用我们前面的思考方向，通过采用比较的方式来寻找BC垂直于面PAC。第二小问是一个较为新颖的题，它需要学生拥有一定的几何直观想象，学会去猜想与论证，需要思考球星的寻找方法。最近在25年的八省联考的第19题当中，出现了外界球找球星的问题，我们已将其视为辨识。实际上这种类型的题在2011年的福建省高考题当中也有出现。如图所示，该题的第一小问和我们第三小问与我们今年的高考题几乎是高度的相似。我们我们一直在说相似度基本上达到了90%，因为它的图形和条件基本上是一模一样的。在该题当中我们要求的是基点与PBCD的距离相等，实际上也就是找球心。好，第三小问是我们的夹角类问题。夹角类问题作为一个高考的常考题型，我们有异面直线所成角，直线与平面所成角，平面与平面的夹角以及二面角。在这里我们需要注意空间角和向量角之间的区别和联系，同时还要着重去区分平面与平面的夹角与二面角之间的区别。不知道大家对于上述的方法是否掌握清楚呢？就像上面所说，我们将25年八省联考的题作为了本次的面试。接下来就由刘同学带大家一起来做一下。好的，第一问证明平面PAC垂直于平面PAB可以利用刚才真的经验，我们在平面ABC当中寻找直线A寻找AB垂直于平面。PAC那么第一个问题就可以。第二个问题就是去求球的半径。和刚才一样，我们可以建立空间直角坐标系，先运算出长他们的这个点到球心的距离距离相等，可以构造方程组，解出方程组就可以找到球心，同时找到半径。好看。对于刘同学而言，他更倾向于用代数的方法。当然这一道题我们也可以用纸盒的方法去进行求解。最后是我们的复习建议，立体几何创新类的题，我们要以基础知识为我们的核心考点，构建自己的思维导图。同时学生要进行错题的一个归因，要学会去找自己的逻辑断层处和我们计算失误的点。最后大家在考试的过程中要有得分意识，要学会踩点得分，要学会规范答题。最重要的还是回归教材。通过我们刚刚的试题溯源，大家会发现我们大部分的题其实都是来源于教材。我们通过对教材的例题辨识以及实体解答进行多角度多深度的解读，可以更有利于大家对于思维方面的拓展。最后我们用一首打油诗来结束今天的分享，立体几何有诀窍，垂直关系很重要。线线面面面判定比较多。思考外接球儿找球心，顶点等距是核心，垂直帮忙定位置，半斤一算就分明。谢谢大家。