【课件】“新高考1卷 第11题 ”-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（南部）

该高中数学课件聚焦解三角形、三角函数及三角恒等变换，以2025年高考真题为导入，通过条件精析引导学生用二倍角公式、正弦定理等工具，建立三角恒等到几何特征的联系，为复杂问题突破提供学习支架。 其亮点在于融合多种解法（如角化边、分类讨论）和变式训练，以数学眼光挖掘三角条件中的几何本质，用数学思维培养逻辑推理与运算能力，结合教材溯源与结构化教学，助力学生深化知识理解，也为教师提供丰富的教学资源与素养导向方法。

解构溯源启示： 2025年高考全国Ⅰ卷第11题的多维探析 参赛人：金蓓霜 苏贺凌 所在单位：浙江省杭州第七中学 真题赏析 01 特色评析 03 试题讲解 02 试题溯源 04 目 录 试题变式 05 教学启示 06 【2025年新高考Ⅰ卷第11题】已知三角形△ABC 的面积为 则（ ） A. B. C. D. 真题赏析 解三角形、三角函数、三角恒等变换 本题难点在于：如何从复杂的三角函数恒等式中寻找突破口。 A：首先请看真题赏析，这是一道三角函数与解三角形的综合应用题，巧妙融合了二倍角公式、三角形面积公式、和差化积以及锐角范围分析等核心内容，重点考查学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等关键能力。 本题难点在于：如何从复杂的三角函数恒等式中抽丝剥茧，寻找问题突破口。 已知△ABC 的面积为 则（ ） A. B. C. D. 面积条件① 三角恒等式② 乘积条件③ 一、试题讲解 步骤1 方程破译：条件精析与三角恒等化归 优先处理哪个条件？ 面积条件 ① 需引入 𝑎,𝑏，变量增多 难度高联立多方程 乘积条件 ③ 需角度拆分无直接变形 难度中需分类讨论 三角恒等式② 二倍角公式降次即可 难度低需关键等式 结构相同：相加形式，含A、B、C三个角 本题巧妙融合了二倍角公式、三角形面积公式、和差化积以及锐角范围分析等核心内容，重点考查学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等关键能力。 本题难点在于：如何从复杂的三角函数恒等式中抽丝剥茧，推导角度关系。 已知△ABC 的面积为 则（ ） A. B. C. D. 一、试题讲解 步骤1 方程破译：条件精析与三角恒等化归 三角恒等式② 二倍角公式降次即可 操作难度低，得关键等式 结构相同：相加形式，含A、B、C三个角 即A选项正确 面积条件① 三角恒等式② 乘积条件③ 本题巧妙融合了二倍角公式、三角形面积公式、和差化积以及锐角范围分析等核心内容，重点考查学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等关键能力。 本题难点在于：如何从复杂的三角函数恒等式中抽丝剥茧，推导角度关系。 一、试题讲解 步骤2 直角定形：边角关系破译与矛盾锁定 S= ① ③ ② B. C. D. 问题等价于 均为边、角的特定值 消元求解边角值 本题巧妙融合了二倍角公式、三角形面积公式、和差化积以及锐角范围分析等核心内容，重点考查学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等关键能力。 本题难点在于：如何从复杂的三角函数恒等式中抽丝剥茧，推导角度关系。 一、试题讲解 步骤2 直角定形：边角关系破译与矛盾锁定 ③ 思路一：利用角化边（消元法） 消去 余弦定理 即C 为直角 化简 本题巧妙融合了二倍角公式、三角形面积公式、和差化积以及锐角范围分析等核心内容，重点考查学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等关键能力。 本题难点在于：如何从复杂的三角函数恒等式中抽丝剥茧，推导角度关系。 一、试题讲解 步骤2 直角定形：边角关系破译与矛盾锁定 能否优化思路一？ 角化边 余弦定理 即C 为直角 化简 正弦定理 本题巧妙融合了二倍角公式、三角形面积公式、和差化积以及锐角范围分析等核心内容，重点考查学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等关键能力。 本题难点在于：如何从复杂的三角函数恒等式中抽丝剥茧，推导角度关系。 一、试题讲解 步骤2 直角定形：边角关系破译与矛盾锁定 思路二：从角度范围出发（分类讨论） 正弦定理 齐次放缩 余弦定理 非齐次式 思路二 角范围的特殊性：通过思路一发现三个条件可以确定一个三角形，结合B、C、D选项的因此猜想三角形具有特殊性。 一、试题讲解 步骤2 直角定形：边角关系破译与矛盾锁定 假设 消去 ③ （或者互换） 求值 即C 为直角 验证满足 条件 假设 分类 分类 思路二：从角度范围出发（分类讨论） 本题巧妙融合了二倍角公式、三角形面积公式、和差化积以及锐角范围分析等核心内容，重点考查学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等关键能力。 本题难点在于：如何从复杂的三角函数恒等式中抽丝剥茧，推导角度关系。 一、试题讲解 步骤2 直角定形：边角关系破译与矛盾锁定 ③ 锐角 分类 假设 思路二：从角度范围出发（分类讨论） 本题巧妙融合了二倍角公式、三角形面积公式、和差化积以及锐角范围分析等核心内容，重点考查学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等关键能力。 本题难点在于：如何从复杂的三角函数恒等式中抽丝剥茧，推导角度关系。 一、试题讲解 步骤2 直角定形：边角关系破译与矛盾锁定 锐角 三角函数性质 构造二次 两式相加 ， 与式取等“=”条件矛盾,假设不成立，舍去 思路二：从角度范围出发（分类讨论） 如何想到？ 即C 为直角 本题巧妙融合了二倍角公式、三角形面积公式、和差化积以及锐角范围分析等核心内容，重点考查学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等关键能力。 本题难点在于：如何从复杂的三角函数恒等式中抽丝剥茧，推导角度关系。 一、试题讲解 步骤2 直角定形：边角关系破译与矛盾锁定 构造二次 思路二：从角度范围出发（分类讨论） 如何想到？ （1） （2） 本题巧妙融合了二倍角公式、三角形面积公式、和差化积以及锐角范围分析等核心内容，重点考查学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等关键能力。 本题难点在于：如何从复杂的三角函数恒等式中抽丝剥茧，推导角度关系。 一、试题讲解 步骤2 直角定形：边角关系破译与矛盾锁定 思路三：利用三角恒等变形（先猜想后证明） 猜想 为0 一、试题讲解 步骤2 直角定形：边角关系破译与矛盾锁定 思路三：利用三角恒等变形（先猜想后证明） 锐角 ，与, ，证毕. 结合 条件 一、试题讲解 步骤2 直角定形：边角关系破译与矛盾锁定 思路四：利用和差化积公式变形 ② 和差 化积 锐角 即C 为直角 当然如果对和差化积运用比较熟练的，也可以直接从将cos2a+cos2b转化成2cosa+bcosa-b 这样化简完后判断cosa-b一定为正。只可能是sinc为1满足 一、试题讲解 步骤2 直角定形：边角关系破译与矛盾锁定 思路五：利用射影定理（数形结合） 正弦定理变形 射影定理 变形 假设 左式矛盾，假设不成立 即C 为直角 二级结论 当然如果对和差化积运用比较熟练的，也可以直接从将cos2a+cos2b转化成2cosa+bcosa-b 这样化简完后判断cosa-b一定为正。只可能是sinc为1满足 一、试题讲解 步骤2 直角定形：边角关系破译与矛盾锁定 思路六：利用托勒密定理（数形结合） 托勒密定理 二级结论 圆内接四边形，两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积. 如图，设△ABC的顶点所对边分别为a,b,c, 三角形的外接圆直径为d，记. 运用托勒密定理可得， c 当然如果对和差化积运用比较熟练的，也可以直接从将cos2a+cos2b转化成2cosa+bcosa-b 这样化简完后判断cosa-b一定为正。只可能是sinc为1满足 一、试题讲解 步骤2 直角定形：边角关系破译与矛盾锁定 思路六：利用托勒密定理（数形结合） 二级结论 c 下证时，不成立. 若推出矛盾，只需证明即可 证弧，即 ∵为半圆，而是优弧。即，同理 ∴. 矛盾。 ∴C为直角。 当然如果对和差化积运用比较熟练的，也可以直接从将cos2a+cos2b转化成2cosa+bcosa-b 这样化简完后判断cosa-b一定为正。只可能是sinc为1满足 一、试题讲解 步骤2 直角定形：边角关系破译与矛盾锁定 思路六：利用托勒密定理（数形结合） 二级结论 c 托勒密定理 下证,上式不成立. 一、试题讲解 步骤3 精准求解：直角定性与边角量化 关键步骤：当 时 ，， 代入条件乘积条件③ ： 解 → 或 利用对称性：取 （或互换），避免重复计算. BCD选项的分析： ①计算角 ②计算边 ,故选项C正确. 思想方法：消元思想 + 对称简化 当然如果对和差化积运用比较熟练的，也可以直接从将cos2a+cos2b转化成2cosa+bcosa-b 这样化简完后判断cosa-b一定为正。只可能是sinc为1满足 一、试题讲解 步骤3 精准求解：直角定性与边角量化 BCD选项的分析： ①计算角 ②计算边 关键步骤： 直角三角形面积公式 ，得 由正弦定理： 代数技巧： 解 → （选项B正确、选项D错误） 思想方法：面积模型 + 边角互化 当然如果对和差化积运用比较熟练的，也可以直接从将cos2a+cos2b转化成2cosa+bcosa-b 这样化简完后判断cosa-b一定为正。只可能是sinc为1满足 已知△ABC 的面积为 则（ ） A. B. C. D. 面积条件① 三角恒等式② 乘积条件③ 一、试题讲解 思路七：特殊值法破解多选题（选项狙击 ） 三个条件 判断其余选项 角度 特殊化 条件检验 特殊角正弦值 重新回到原题。我们观察C选项。这是一个直接的两角的正弦的和是二分之根号六。 这大胆猜测A\B角的正弦一定是含有根号六这一项的。而在高中阶段接触到的目前只有 sin15和sin75.而且刚好满足AB互余的条件。而且cosacosbsinc同样也满足。所以猜测A就是15，B就是75. 三角变换 思路七：特殊值法破解多选题 三角恒等 变形问题 思路一：利用角化边（消元法） 思路二：从角度范围出发（分类讨论） 思路三：利用三角恒等变形（先猜后证） 思路四：利用和差化积公式变形 思路五：利用射影定理（数形结合） 思路六：利用托勒密定理（数形结合） 二级结论 特殊代值 针对A选项，我们整理了以下三种思路六中解法，其中解法一到解法四都是通过分类讨论发现矛盾从而证明C为直角。 其中解法一是通过角度的大小转化成三角函数值大小进而放缩成1。但此法不同情况不能用同种方法判断。 故将第一种解法进行优化。直接放缩和sinc比大小。 解法三和解法四都是通过几何的角度数形结合。其中解法四更加直观，通过边的不等关系放缩得出矛盾 解法五是通过C选项代特殊值。计算方便简洁。 解法六则是通过和差化积直接计算分析得到c 为直角。这一部分内容虽是书本上拓展内容。但在考卷上以经常出现。而且在大题压轴也出现了。 二、试题特色评析 数学核心素养 考查体现 逻辑推理 从复杂三角条件中提取 隐含几何关系（） 数学建模 将三角等式与面积约束 整合为解三角形模型 数学运算 多重公式链推导 （二倍角+和差化积+勾股定理） （1）宏观层面：核心素养导向 从宏观层面上看，这道题集中体现了新课标下“核心素养导向”的命题趋势，试题重点考查了逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养，分别体现在从复杂三角条件中提取隐含几何关系，将三角等式与面积约束整合为解三角形模型，以及多重公式链的推导. 25 二、试题特色评析 （2）微观层面：命题创新点 维度 核心特点 考查目的 知识范围 三角变换、三角函数、解三角形 紧扣课标，强调基础性 数学思想 转化化归、分类讨论、消元； 结合参数范围发现 不等关系→相等关系 提升思维严谨性 与灵活性 能力要求 创新突破：通过值域分析（如 sinC≤1）发现几何特征 选拔具备 分析新问题能力的考生 知识能力：紧扣基础，突出思维深度 一、知识能力：紧扣基础，突出思维深度 本题看似考三角变换，实则考思维品质： 知识层面：仅涉及课内主干（三角公式、正余弦定理），禁用任何竞赛技巧，彰显公平性； 思维难点：突破常规“消元求解”模式，要求考生从条件 cosAcosBsinC=1/4 中敏锐发现 A,B必为锐角，并结合 sinC≤1 的有界性，从不等关系中捕捉相等关系（如推出 C=90°）。 命题意图：选拔具备“数学直觉”和“逻辑严密性”双素养的学生，而非机械刷题者。 26 二、试题特色评析 （2）微观层面：命题创新点 解法类型 核心路径 一般性解法 边视角： 利用余弦定理将三角关系转化为边长关系，化简得直角三角形 角视角 ：根据已知条件，结合有界性证 C=90° 多选题专属策略 ① 选项引导：A选项提示关键变形方向 ② 暗示突破：C选项的 √6/2 联想 sin75° 推测直角 ③ 假设验证：假设 sinC=1 反推条件成立 ④ 递进联动：沿选项顺序解题（A→C→B） 解法策略：多路并进，选项即线索 本题提供两种思维路径，且多选题选项设计暗藏“解题脚手架”： 一般性解法 边视角：利用余弦定理将三角关系转化为边长，直接证得直角三角形。 角视角：对关键式变形，合理猜想 sinA=cosB； 共性：均需结合参数范围分析。 多选题专属技巧 选项A（简单变形）：指引初始方向，稳定考生心态； 选项C（含 √6/2）：触发数感联想（如 sin75°≈0.965），推测含特殊角的直角三角形； 假设验证法：直接令 sinC=1（即假设直角），反向验证条件，高效突破； 递进式解题：沿选项顺序（A→C→B）推进，形成逻辑闭环。 命题智慧：将难题拆解为“分层闯关”，选项不仅是答案，更是解题的“阶梯”。 27 二、试题特色评析 （2）微观层面：命题创新点 命题设计：精准调控难度，导向教学本质 设计维度 具体实现 效果与导向 难度控制 分层选项、难点前置：A（基础分）→ C（中等推理）→ B（综合计算） 稳定考生心态， 区分能力层次 创新性 题干简洁新颖，突破常规消元模式； 选项隐含线索（如特殊值、几何意义） 体现"多想少算"理念 公平性 与导向 明确引导教学回归课本 保障考试公平，聚焦核心素养 命题设计：精准调控难度，导向教学本质 本题为何区分度高？关键在于“三精”设计： 精准难度分层：A选项（基础分）→ C选项（推理分）→ B选项（综合分），让不同水平学生各有所得； 精巧线索植入：题干简洁，但选项暗藏几何特征,引导“观察联想”； 鲜明教学导向：教学必须回归课本，聚焦核心思想而非技巧堆砌。 28 关键关联 导 =C = . 三、试题溯源 三角面积公式 本题中的三角面积公式可追溯到人教A版新教材中的内容，定位在选择性必修二习题6.4第10题. 题目利用三角形的边和角的正弦表示面积, 与高考试题中面积条件相对应，是解析选项B中边长关系的基石。 29  三、试题溯源 关键关联 =C C= 三角面积公式的变形 此外，选择性必修二习题6.4第18题揭示了角度乘积与边长的隐含关系， 结合该公式可将题目条件变形结合正弦定理得到，与面积公式可得到核心结论C=90° 30 核心本质：利用三角恒等式和锐角约束推导角度关系 核心考点：三角函数恒等式（和角、二倍角公式） 锐角性质（确定角度范围） 不等式与极值分析（如应用） 三、试题溯源 关键关联 经典三角恒等式 另外，“第42届俄罗斯数学”也涉及到一个经典的三角函数问题，该题属于三角恒等式证明与角度关系问题， 核心是通过给定等式推导角度和，与高考试题思路一致，完美覆盖了高考考点：三角函数恒等式、锐角性质、不等式与极值分析。 31 三、试题溯源 三角恒等变形常用二级结论 若，则; 若，则 若则 射影定理 在 正切恒等式 本题中运用到常见的二级结论，如直角三角形中的射影定理。此外，在三角形中常见的恒等变形还有正切恒等式，当三角形中两角和分别满足90°，45°，60°的时有以下三条等式。 32 三、试题溯源 三角恒等变形常用二级结论 正弦平方和公式 + + +2cosAcosBcosC=1 余弦平方和公式 正弦平方差公式 余弦平方差公式 余正弦 平方差公式 当然也涉及正、余弦平方和、平方差公式，常见的有以下5条。 33 变式1 在，, 求证：在是直角三角形. 变式2 在，, 求证：在是直角三角形. 四、试题变式 改变条件幂的次数， 由 “非对称结构 ”变为“齐次对称结构 ” 基于原题和链接试题，作如下几个变式： 变式1、变式2通过改变条件的幂次，将问题变式为齐次对称结构； 其中变式1简化为利用正弦定理+直角三角形性质即可解决； 而变式2与高考试题相同，均采用“三角平方和——和差化积——角度范围分析 ”的通法，但变式题弱化了锐角范围限制，改为任意角； 34 四、试题变式 变式3 在△ABC中，角A、B为锐角， △ABC的面积为4，且则△ABC 周长的最小值（ ）. A.4 4 4 4 C. 2 4 D.2 2 改变两个约束条件，强化函数思想 变式4 在△ABC中，角A、B为锐角， △ABC的周长为 4 4 ，且则△ABC 面积的最大值为 . 变式3、4则改变原题中两个约束条件，通过求解周长最小值、面积最大值强化函数思想。 35 四、试题变式 变式5 无人机观测点P距离地面A、B均为1km，这三点构成的三角形面积为0.25km，若俯角满足，求视角. 改变问题情境，融入生活化背景 A B P 空间问题 平面问题 数学建模思想 变式5则保留了原题的核心数学模型——三角形中的正弦平方和关系及面积应用，从基础模型出发，通过升维、应用背景和新增条件，创建综合性变式，既考察几何本质，又强化空间思维，深化了数学建模思想。 36 变式1 在，, 求证：在是直角三角形. 附 变式题答案 解：由正弦定理，有（其中为外接圆半径），代入给定条件：即： 两边同乘，得： 由勾股定理逆定理，可知△ABC是以为直角的直角三角形。 37 变式2 在，, 求证：在是直角三角形. 附 变式题答案 解：利用恒等式，将给定方程整理得：  设，则，且方程化为：即： 令，则，且，其中。 38 变式2 在，, 求证：在是直角三角形. 附 变式题答案 解：方程变为：简化得：因此： 情况一：，由于，故： 在△ABC中，，所以，即。 意味着：此时△ABC是以C为直角的直角三角形。 39 变式2 在，, 求证：在是直角三角形. 附 变式题答案 解： 情况二：由，有，因此：由，得：余弦相等意味着： (1)若，此时△ABC是以A为直角的直角三角形。 (2)若，即，但此时△ABC是以B为直角的直角三角形。综上，命题得证. 40 四、试题变式 变式3 在△ABC中，角A、B为锐角， △ABC的面积为4，且则△ABC 周长的最小值（ ）. A.4 4 4 4 C. 2 4 D.2 2 解：由条件可得： （同试题此处不再赘述）. 所以 ，所以三角形 的周长 ，当且仅当 时等号成立， 所以三角形 的周长的最小值为 ． 41 四、试题变式 变式4 在△ABC中，角A、B为锐角， △ABC的周长为 4 4 ， 且则△ABC 面积的最大值为 . 解：由条件可得： （同试题此处不再赘述）.根据题意得：. 设 ，，则：，且，代入化简得：，所以S. 42 四、试题变式 变式4 在△ABC中，角A、B为锐角， △ABC的周长为 4 4 ， 且则△ABC 面积的最大值为 . 解：由于 ，且 ，，有：。同时， 且 ，即 ，所以：，因此：。所以 。 43 附 变式题答案 变式5 无人机观测点P距离地面A、B均为1km，这三点构成的三角形面积为0.25km，若俯角满足，求视角. 解：俯角定义：从点P的水平视线向下看地面点A、B的角度分别为α、β。 因此，P到地面的垂直距离（高度）：对A： km。对B： km。由 且α、β为锐角，得 α = β。 ，直接解得：(舍去)。已知 ，且α = β：代入 ：这与α = β = 30°符合题意。 44 以P53第10题"用正弦表示三角形面积"为例，应当引导学生追溯公式的推导过程。可以通过以下步骤展开探究： 回顾向量数量积的几何意义，建立与三角形面积的联系； 从坐标几何角度推导面积公式； 通过作高法，利用三角函数定义重新证明公式。 这种多角度的推导过程，不仅能深化学生对公式本质的理解，更能培养其数学建模和逻辑推理能力。 五、教学启示 1.教材是命题之源——重视教材公式的生成过程 五：教学启示 1.教材是命题之源——重视教材公式的生成过程 以P53第10题“用正弦表示三角形面积”为例，引导学生追溯公式的推导过程，通过向量法、坐标法、几何法多角度推导，培养学生的数学建模和逻辑推理能力。 45 五、教学启示 2.素养是解题之本——强化公式的结构化应用 P54第18题要求证明的变形公式，实际上构建了一个联系边角关系的知识网络。在教学中我们可以： 设计公式变形链：从基础面积公式出发，通过正弦定理进行系列变形； 建立关联图谱：将面积公式与余弦定理、射影定理等知识节点相连； 创设应用情境：如结合地理测量中的三角定位问题，让学生体会公式的实际价值。 这种结构化教学能帮助学生形成系统化的知识体系。 2.素养是解题之本——强化公式的结构化应用 针对P54第18题要求证明的变形公式，在教学中我们可以通过设计公式变形链、建立相关知识点的关联图谱、创设应用情境等角度出发进行公式变形，帮助学生形成系统化的知识结构。 46 五、教学启示 3.融合是未来所向——精心设计跨章节跨学科综合训练 当下数学测评越来越注重知识的交叉融合。因而建议： 开发“三角+几何”综合题组：如将三角形面积与圆幂定理等相结合 设计"代数+三角"问题链：如研究三角形面积与二次函数极值的关联； 创设"向量+三角"应用情境：如分析力学问题中的矢量三角形面积。 这类训练能有效提升学生综合运用知识解决复杂问题的能力。 3.融合是未来所向——精心设计跨章节跨学科综合训练 当下数学测评越来越注重知识的交叉融合。因而建议：开发“三角+几何”综合题组：如将三角形面积与圆幂定理等相结合设计"代数+三角"问题链：如研究三角形面积与二次函数极值的关联；创设"向量+三角"应用情境：如分析力学问题中的矢量三角形面积。这类训练能有效提升学生综合运用知识解决复杂问题的能力。 47 分析条件寻思路，公式背后藏妙趣。 面积角度双约束，直角结论终破局。 三线归一启示深，生成关联跨模训。 教材源头活水丰，变式创新有依据！ 好题不靠“偏难怪”，而在于用课内知识承载高阶思维。它像一面镜子：照见学生“从条件发现隐含关系”的思维品质，也照出教学是否扎实落地核心素养。让我们以题为鉴，回归数学本质——教思维而非套路，教逻辑而非技巧！ 48 A：首先请看真题赏析，这是一道三角函数与平面几何的综合应用题，通过创新性情境设计，融入转化与化归、分类讨论、消元等数学思想，实现了对三角变换、三角函数、解三角形等核心知识的深度考查，以及综合运用所学知识分析新问题、解决新问题的创新能力． 本题巧妙融合了二倍角公式、三角形面积公式、和差化积以及锐角范围分析等核心内容，重点考查学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等关键能力。 本题难点在于：如何从复杂的三角函数恒等式中抽丝剥茧，推导角度关系。 $