【课件】“新高考1卷 第11题 ”-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（北部）

该高中数学课件聚焦解三角形中的三角函数关系，通过2025年新高考I卷第11题，展示二倍角公式、正弦定理等知识的综合应用，以条件预处理、思维导图及多种解法搭建学习支架，帮助学生衔接三角函数公式与三角形性质推导。 其亮点在于融合数学思维与创新意识，通过六种解法（如差化积、消元）培养逻辑推理与运算能力，结合试题溯源（苏联奥林匹克题）和变式训练激发探究兴趣。采用思维导图辅助几何直观，学生能深化知识理解，教师可提升教学效率。

溯源立本，以题促思 ——2025年全国数学新高考I卷第11题的分析探究 参赛人：贾福林 郭晶晶 杨红朝 所在单位：河南大学附属中学 试题呈现 条件预处理 本题要求学生具备较高标准的逻辑推理能力。 在日常教学中，可重点引导学生有效审题，寻找隐藏条件，探索事物之间的关联。 思维导图                               试题解答 解法1合理猜测并证明 公式1和差化积消元 公式2积化和差公式消元 试题溯源 试题改编 为了能判断出cos(A-B)>0 变式一解法 变式二解法 《三角乾坤》 新题破壁弃陈痕，反套轻算重思深。 正弦余弦织经纬，和差化积隐玄门。 六法通幽证直角，一题融汇见真魂。 溯源立本千帆过，数理澄明自通津。 试题链接 【2025年新高考I卷第11题】 已知的面积为，若，， 则（） (1). (2)， 二倍角公式得， (3)， 可得，，于是. A选项： 解法 已知， 所以， 故. 因为，所以. 已知，由正弦定理得，由射影定理，两式作差得.通过射影定理以及式猜测. 若，因为， 所以,. 若，则与同号，不妨设为正，，，即，，所以，，矛盾.故. 由，得，由，得，，故， ，所以. 解法2分类讨论 已知，所以，由正弦定理得，由余弦定理得，所以，因为，所以. 若，此时，所以，则， 结合式得， 显然不成立，所以不成立，所以. 由，得，由，得，，所以，，所以. 解法3压缩角的范围 已知，由正弦定理得，其中为外接圆半径，由余弦定理得， 所以. 因为，所以，由式得，所以，所以，即，则，所以，故. 由，得，由，得，，所以，，所以. 解法4和差化积 已知，所以，由正弦定理得，由余弦定理得，所以，因为，所以. 由式得，由和差化积公式得，代入得，此时，,若，,则，显然不成立，所以. 下法同上. 解法5消元 已知，由正弦定理得，其中为外接圆半径，由余弦定理得， 所以. 由， 又因为，所以， 所以. 因为， ， ， 所以，整理得. 由式、得，化简得，所以，所以. 由，得，由，得，，所以，，所以. 解法6合一公式 已知，，所以，整理得， 令，，则 所以，则，所以，，因为，所以，所以，故. C选项： 因为，所以，，故，所以. D选项： 因为，所以. 【第17届苏联数学奥林匹克】 已知，均为锐角，满足，求的值. 解：，故，因为均为锐角，故，则，，因为，所以，，故，所以， 为以角为直角的直角三角形. 如果从限制角度的范围来研究，那么原题中来提供，可考虑替换该条件，而提供，两条件结合进一步得到，不过可以发现只是一个充分条件，因此可 考虑将替换. 变式1 已知面积为，，，求. 变式2 在中，，，求证：为直角三角形. 因为,,所以，若且，则，，不成立，则且，则，.由，所以，因为，所以则， 由余弦定理得，. 由式得，，故，化简得，故,.所以，所以，则，，故，解得. 证明：，故，由余弦定理得，，，因为，所以，，故，故，为以角为直角的直角三角形. 1．已知的内角的对边分别为，则如下判断正确的是（） A．若，则是锐角三角形 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．在锐角中，不等式恒成立 D．若的面积，则 【答案】BCD 【分析】根据正弦定理结合余弦定理判断A，根据角的范围计算判断三角形形状判断B，应用正弦单调性判断C，应用面积公式结合余弦定理结合角的范围判断D. 【详解】对于A：由正弦定理转化为，，所以，但无法判断的范围，A错误； 对于B：由得：或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确； 选项C：因为是锐角三角形，所以，所以，又，所以，又因为在单调递增，所以，C正确； D选项，因为面积，即，所以，即，因为， 所以，故D正确， 故选：BCD． 2．在中，角的对边分别是，，则（） A． B．若角平分线与相交于点，，则的最小值为9 C．若为的中点，且，则的面积的最大值为 D．若，则的周长的最大值为 【答案】ABC 【分析】A.利用正弦定理求解判断；B.由三角形面积公式得到，再利用基本不等式求解判断；C.由为的中点，得到，再结合基本不等式，利用三角形的面积公式求解判断；D.利用正弦定理求得三角形外接圆的半径，再利用时间恒等变换和三角函数的性质求解判断. 【详解】解：因为，所以，因为，所以，则，因为，所以，故A正确； 由题意得：，即，即，即，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确； 因为为的中点，且，所以， 则，所以，当且仅当时，等号成立，所以，故C正确； 若，则的外接圆半径为：，，，，，周长的最大值为9，故D错误； 故选：ABC $