【课件】“新高考1卷 第17题 ”-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（南部）

该高中数学课件聚焦立体几何核心内容，系统分析新高考1卷第17题，涵盖垂直关系证明、外接球心确定及异面直线夹角计算，通过衔接教材原题与高考真题，搭建“基础判定-综合应用-拓展变式”学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于一题多解与题源溯源，结合“比正”口诀等特色教学法，培养数学眼光（几何直观）、数学思维（逻辑推理）和数学语言（向量表达）。例如用空间坐标系与几何法求球心，助力学生提升解题能力，教师可借分层资源优化教学效率。

讲解内容：新高考1卷第17题 参赛人：朱行强，刘明正，王梦 所在单位：四川省成都市天府新区综合高级中学 一.试题分析 常规垂直类几何问题 (2025新高考一卷，17题)如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值. 新颖的结合球体类问题 常规夹角问题 平面与平面垂直 直线与平面垂直 直线与直线垂直 要证：平面PAB⊥平面PAD 即证：AB⊥平面PAD 要证：AB⊥平面PAD 即证：AB⊥AD，AB⊥AP 已知：平面PA⊥平面ABCD即AB⊥AP同时AB⊥AD 试题分析-第（1）问 或AD⊥平面PAB 证明：平面PAB⊥平面PAD 试题分析-第（1）问 证明：在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. 证明：平面PAB⊥平面PAD 试题分析-第（1）问：垂直类问题总结 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 经验总结“比正”：谁“正”谁不变。 面PAC更“正”，面PAC不变，找面PBC的线，即BC⊥面PAC 如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC,PA⊥底面ABC.求证：平面PAC⊥平面PBC 线CD更“正”，线CD不变，找过，即BC⊥面PAC 求证： MN更“正”，找MN⊥AC所在平面，即面PAC 如图,AB是圆O的直径，PA与圆O所在平面垂直， C是圆O上一动点（不同于A,B),M是线段PB的中点N在线段PC上，且AN⊥PC. 求证AN⊥MN DM更“正”，找DM⊥BM所在平面，即面BAM 矩形𝐴𝐵𝐶𝐷所在平面和半圆弧𝐴𝑀𝐷所在平面垂直 求证： 面PBD更正，找面ACE的直线，即AC⊥面PBD 如图，在四棱锥P-BCD中，底面ABCD是菱形，BAD=120°，AB=2, AC∩BD=O, PO⊥底面ABCD, OP=2, 点E在棱AD上 求证： 面PAC更正，找面PBE的直线，即BD⊥面PAC 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD, PA=2,动点E在棱PD上移动，连接BE。 求证：面PBE⊥面PAC (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； 球心到球面上的点的距离相等 PO=BO=CO=DO 建立空间直角坐标系 利用点坐标建立方程 解出O点坐标 判断点O与平面ABCD位置关系 已知AB,AD,AP两两相互垂直且已知线段长度 巧解 试题分析-第（2）问：方法一 (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； 根据特殊数据AD=1+，猜想：AO=1,OD=是否满足条件？从而反向验证. 解法一：证明：在四棱锥中，，，，∥，，， 建立空间直角坐标系如图所示， 所以 ， 若，，，在同一个球面上，则，设球心，半径为 因为 方程形式复杂，畏难放弃计算 由得解得，再带入中得，解得. 将代入中，得，解得。 所以 点在平面上. 若O在平面ABCD上 O点的竖坐标为0,即O 建立空间直角坐标系,求值，只需在平面中 求三角形BCD的外心（中垂线交点） 解出O点坐标 证OP=OB=OC=OD，即O为球心 降维 试题分析 -第（2）问：方法二 (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； 解法二：证明：在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如图所示， 所以， 若，，，在同一个球面上，则， 在平面中，所以 ， 所以 线段中点坐标，直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， 所以 直线的方程：， 即， 当时，，解得：，所以 在立体几何中，， 因为 解得：， 所以 点在平面上. 三角形PBC为等腰直角三角形，在PC的中点上 外接球找球心通法 取PC的中点，三角形PBC的外心，过作面PBC的垂线 垂线与面ABCD相交于O点 结合垂直关系算出A0的长度，并证明O为面BCD的外心 过O作面ABCD的垂线，与O即为球心 试题分析-第（2）问：方法三 (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； 试题分析-第（2）问：方法三 (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； 解法三：证明：取PC的中点，取PB中点E，连接AE，, 过作直线平行AE. 因为 三角形PBC为等腰直角三角形, 所以 为三角形PBC的外心, 试题分析-第（2）问：方法三 因为 BC⊥平面PAB,所以 AE⊥BC, 又因为 AE⊥PB,所以 AE⊥面PBC, 所以 ⊥面PBC 所以 为面PBC过外心的垂线, 因为 ,所以 , 所以 O三角形BCD的外心, 过O作面BCD的垂线，交于O, 所以O为棱锥PBCD外接球球心，且在面ABCD上. (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值. 建立空间直角坐标系 写出直线AC与PO的方向向量 绝对值 异面直线所成角 向量夹角 试题分析-第（3）问 (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值. 试题分析-第（3）问 解：（ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， 所以 . 异面直线夹角余弦值等于向量夹角余弦值的绝对值 一题多解是高中数学解题过程的一种基本现象。 多角度，多思路解决问题有利于学生思维开发。 考试时应选取较好的方法解决问题。 何为好方法？ 一：思路清晰、过程流畅； 二：过程在有逻辑的前提下尽量简洁，计算尽量简单； 三：适合自身思维方式。 小结： 启示： 试题分析 数学学习目标 四基 四能 六核 基础知识、基本技能、 基本思想、基本活动经验 发现问题的能力、提出问题的能力、分析问题的能力、解决问题的能力 数学抽象、逻辑推理、数学建模 直观想象、数学运算、数据分析 试题分析 题源1：人教A版必修第二册171页复习参考题8第13题 二.试题溯源-第（1）问 在平面与平面垂直的问题中，教材中多次出现，此题第一小问与该高考题中第一小问的思路和方法几乎一致，可用“比正”的方式，寻找BC垂直于平面PAC. 13.如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC. （1）求证：平面PAC⊥平面PBC； （2）若AC=BC=PA,M是PB的中点,求AM与平面PBC所成角的正切值 题源2：2011年福建省高考（理）20题 二.试题溯源-第（2）问 该题第二问问题新颖，侧重几何直观、猜想与论证，需要思考球心的寻找方法。最近在2025年1月“八省联考”第19题出现了外接球找球心问题（已将其设为变式），实际在2011年福建省高考题中也有出现，点G与P、B、C、D距离相等实际就是找球心。 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4，CD=,∠CDA=45°. （Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PAD； （Ⅱ）设AB=AP, (i)若直线PB与平面PCD所成角为30°,求线段AB的长; (ii)在线段AD上是否存在一点G,使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由. 题源3：人教A版选择性必修一册38页练习第4题 二.试题溯源-第（3）问 关于夹角问题，常考的有异面直线所成角，直线与平面所成角以及平面与平面夹角和二面角问题，这里需要注意，平面与平面夹角与二面角的区别. 4.如图,三角形ABC和三角形DBC所在平面垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°.求： （1）直线AD与直线BC所成角的大小； （2）直线AD与平面BCD所成角的大小； （3）平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值. 三.拓展变式 结合球体类问题 常规垂直类问题 在平行四边形ABCD中，AB=AC=CD=1,∠ADC=30°，∠DAB=120°，将三角形ACD沿AC翻折至三角形ACP,其中P为动点. （1）设PC⊥AB，三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上. （i）证明：平面PAC⊥平面ABC； （ii）求球O的半径. 拓展变式 （i）证明 平面 拓展变式 （ii）以A为原点，AB，AC分别为轴和正方向建立如图所示空间直角坐标系, 则, 设球心,半径R， 这里使用代数法，也可以使用几何法 拓展变式 则 所以, 解得 , 所以球O的半径为. 四.复习建议 立体几何创新题 核心考点 基础知识 思维导图 错题归因 逻辑断层 计算失误 得分意识 踩点得分 规范答题 回归教材 例题变式 习题解答 1 2 3 垂直帮忙定位置，半径一算就分明。 立体几何有诀窍，垂直关系很重要。 外接球儿找球心，顶点等距是核心。 线线面面找线面，判定比正多思考。 $