【课件】01“新高考1卷 第19题 “-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（南部）

该高中数学课件聚焦三角函数与导数交汇的最值、恒成立及存在性问题，以2025新高考1卷第19题为例，通过原题呈现搭建学习支架，衔接三角恒等变换、导数应用等基础知识点，逐步过渡到逻辑推理与综合证明，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于提供导数法、均值不等式等七种解题思路，结合物理振动相位类比培养数学眼光，通过试题溯源与推广发展创新意识（数学思维），用符号语言严谨证明存在性问题（数学语言）。学生能提升思维多样性，教师可直接用于课堂例题与素养训练，提高教学效率。

以三角和导数交汇，体全称与特称较量 —2025年新高考1卷第19题 参赛人：魏艳 王凤杰 陈亮 四川省成都七中英才学校 2025年新高考1卷第19题讲解目录 一、原题呈现 二﹑试题解析 三、试题评析 四﹑试题溯源 五﹑推广猜想 六﹑教学思考 一、原题呈现 （2025年新高考Ⅰ卷19题） (1)求函数在区间的最大值； (2)给定和证明:存在 使得 ; (3). 三角函数有关的最值问题及五倍角 全称命题及特称命题 恒成立和能成立问题是高考热门考点，这类问题的切入点一般是分类讨论、参变分离，放缩等。 四基 四能 创新思维 知识 储备 三角函数 导数 逻辑用语 数学 思想 转化与化归 函数与方程 整体思想 分类讨论 数形结合 核心 素养 逻辑推理 直观想象 （1）求函数 在区间 的最大值； 二、试题解析 最值 问题 法一： 求导 法二:用 思路三：最值存在定理 讨论单调性 思路一：利用和差化积 思路二：利用的单调性 思路四：利用两角和差公式化简 思路五：利用三倍角公式化简 思路六：棣莫弗公式＋二项式定理 多元均值 不等式 思路七：琴生不等式 函数 角度 不等式 角度 求导 6 （1）求函数 在区间 的最大值； 解法一：求导 由已知得： 思路1：和差化积 需讨论的正负 难点：观察到与和3的关系，利用和差化积化简 7 因为 ，所以 所以 ，故只需判断的符号即可 由 ，解得 ， 所以当时， ，在 单调递增； 当时， ，在单调递减； 所以 . 确定的单调性 8 思路2：比较的大小 ①当时，0 ，即 ， 单调递增； ，因为 ， 讨论的正负 比较三角函数大小问题 转化为 由两个系数相同、同名三角函数构成 10 思路2：比较的大小 ②当 时，- ，即 ， 单调递减; 所以 ． 数形结合 11 ， 由最值存在定理:连续函数在闭区间 的最值在极值点或者端界处取得。 思路3：最值存在定理 极值点 令 ，得： 则有 或 ， 即： 或 因为 ，所以 或 求的极值点 13 ， 所以函数在区间 的最大值为 ． 取Max{极值,端界函数值} 思路3：最值存在定理 14 思路一 优点：思路常规，容易想到 缺点：需要对和差化积等公式较熟练 思路二 优点：不需要对导数变形化简，对公式依赖度低 缺点：当涉及到更复杂的三角函数组合时，适用性会降低 思路三 优点：思路简洁、普适性强 缺点：对导函数的结构要求较高，对于高次或超越方程无法准确求解 （1）求函数 在区间 的最大值； 二、试题解析 最值 问题 法一： 求导 法二:用 思路三：最值存在定理 讨论单调性 思路一：利用和差化积 思路二：利用的单调性 思路四：利用两角和差公式化简 思路五：利用三倍角公式化简 思路六：棣莫弗公式＋二项式定理 多元均值 不等式 思路七：琴生不等式 函数 角度 不等式 角度 求导 ①从的结构特点出发，对化简变形 ②选择不同工具求解最值 16 思路4：两角和差公式+求导 设当时，． 又 所以 ①用表示 所以 17 ，则 于是在上递增，在上递减 故在上的最大值为 即 在上的最大值为 ． ②导数法求最大值 18 思路5：三倍角公式展开+多元均值不等式 由三倍角公式 和 可得: 人教B版数学必修3第119页11题出现 化简 于是 20 于是 由均值不等式可得： 次数不同 且不是整数倍 故在区间的最大值为 ， 当且仅当 时取等号成立． 难点：想到先平方，再配凑 利用均值不等式求最大值 “和定积最大” 21 思路6：复数的三角形式（棣莫弗定理）＋二项式定理+多元均值不等式 于是由实部相等得： 由二项式定理可知： 由棣莫弗公式 可知: 23 于是 以下同思路5。 难点：对于棣莫弗定理和二项式定理及其结构特征的掌握 24 “棣莫弗定理”是人教A版数学必修2第91页7.3.1《复数的三角表示》中“探究与发现”，本节是选学内容，所以掌握该定理的学生可能不多，有一定难度。 25 对方式不同； 利用导数、不等式等，不同工具求最值 特点： 计算量大 26 ,当且仅当令时取等号。 由琴生不等式：若 在区间 上是凸函数（即 ），则对 ，都有 ，当且仅当 时，等号成立。对于 是凸函数 需要和为定值 将变形 思路7：琴生不等式 凑6项函数值的均值形式 自变量之和为定值 27 ①对进行变形 ②凑6项函数值的均值 ③使用琴生不等式 28 (2)给定和证明：存在 ，使得； 思路一：直接分析 思路二：补集 解题思路 法二： 分类讨论 思路三：讨论 与 的大小 思路四：讨论 与 的大小 思路五：最值存在定理 思路六：值域+区间关系 思路七：和差化积 法三： 分析法 思路八：不等式放缩 法四： 反证法 思路九：函数单调性 思路十：补集 思路十一：利用整数的简单性质 法一： 抽屉原理 解法一：抽屉原理 思路1 ：直接分析 解:由余弦函数性质得 的解为 ， 因为 为实数,所以总存在 ，使得 ，故存在 ,使得 ， 所以存在 ,使得 ． ①由y=cosx的周期性，只需考虑∈,借助单位圆优弧BC对应的角满足，它的区间长度为. ②任意一个2θ的区间一定与优弧BC有交集，即上式成立. 思路1：直接分析+数形结合 优点：利用周期性简化问题，几何直观性强，逻辑连贯自然，顺着 “简化 - 几何化 - 区间分析” 的思路，符合从特殊到一般、从直观到抽象的认知过程，容易梳理推导脉络。 缺点：依赖几何直观，周期性拓展隐晦，需要思考出：为什么任意2θ区间一定与优弧对应区间有交集？ 思路2：补集 解：设 ，在 内， 对应的是 ， 长度为 . 在 补集 ，每个小段的长度为 ， 由余弦函数的周期性， 可以表示为 . 因为 与 的＂区间长度＂均为 ， 由抽屉原理知， 中至少有点不在 中． ①在内，解出 、，并求出区间长度. ②由＂区间长度＂均为2θ,与抽屉原理知，结论成立 解法二：分类讨论+单调性 思路3：讨论 与 的大小 解：由周期性、奇偶性, 故只讨论, （1）当时,即,令 先利用余弦函数的周期性、奇偶性把上的缩小为. （2）当时,即,由单调性， 所以 令 则. 综上所述,存在,使得证明成立. ①利用三角函数的图像和单调性分析，讨论 与 的大小. 思路4：讨论 与 的大小 解：的周期性、奇偶性，不妨设， （1）当 时，即： 时， 令 ，则成立． （2）当 时, 即:时， 因为 则 因为 在上递减, 所以 所以令则成立． 综上所述，结论成立. 取特值 ①借助数轴分析 与的关系分类讨论. 解：令存在使等价于，在 上 ． （1）若 上存在的极小值点 ，因为，则 ， （2）若 上不存在 的极小值点， 则 在区间 的端点，取到最小值， 即：， 由最值存在定理，连续函数在闭区间 的最值在极值点或者端界处取得. 极值点 取Min{端界函数值} 思路5、最值存在定理 ①分类讨论是否存在极小值点 记则关于是偶函数且是周期为的函数， 故只需证明，当时，（1） ①当时, ，（1)式成立 ②当时：若，则，即 ,（1）式成立． 若 ，则 ， 故 ，所以 （1）式成立 ②对分类讨论 综上所述，取在闭区间上的最小值点，则，证明成立. 思路5：最值存在定理 优点：方法常规，容易想到，把复杂的存在性问题拆解成可逐一分析的子问题。 缺点：几何直观性弱，不如思路1几何方法直观好懂。 思路6：值域+区间关系 解：因为,所以 又因为所以 令在上至少有一个极值点，最多有两个极值点. （1）当在上有一个极值点时, 则 或（2）当在上有两个极值点时，则 ． 综上所述，存在 ，使得成立． ①由区间关系得 ②按照极值点个数分类讨论，确定值域与交集. 思路7：和差化积 解：不妨设，① 由和差化积公式得:= 即证：存在 ②令 . 在整个区间范围内，存在使得 。 ①由和差化积公式展开，问题转化为即证②式，换元后分析简化表达式结构. （1）当时因为所以 ,则命题成立.又因,所以， 因为当时,,所以 （2）当时，因为，所以 ， 当则命题成立.,所以 ． 因为当 时，，所以 ②分析极端情况，达到化简的目的. （3）当时, 所以， 则 ，令 综上所述，原命题成立． a在范围内命题同时a在题成立，又因为需考虑a不在这两个范围内的情况. 解法三:分析法 思路8：不等式放缩 解：要证：存在，有， 即证：，有① 又因为，所以 又因为， 故需证有 ①将问题转化为即证①式，用和差化积公式展开，所以需证②式. 令， 即证： 在上存在零点， 因为 , , 所以,由零点存在性定理知, 在上存在零点， 综上，原命题成立. ②取区间端点值计算 ③零点存在性定理知,存在零点，原命题成立. 思路8：不等式放缩 同上一思路都借助和差化积公式，但是上一思路分类多、对逻辑思维能力要求高，而本思路构造F(y)，用和差化积展开，转化为函数零点问题，方法新颖 、逻辑简洁 、易推导。 思路9：函数单调性 解：假设命题不成立，即任意 ． 由 ，解出 ， 又因为任意 得到 ， 所以 ． ①假设命题不成立. ②解 子集关系. 解法四：反证法 利用反证法证明问题，针对错误的全称命题，只需举出反例。 方式1：所以满足 ，解得 ，故矛盾． 方式2：因为它们区间长度都为 ，当时， 比 的范围大，故矛盾； 方式3：因为 为长度为 的开区间， 为长度为 的闭区间， 由抽屉原理可知，必存在 ，使得 ； 所以假设不成立，则原命题成立，证明成立. ①由不等关系得矛盾. ②取特值，子集关系不成立. ③由抽屉原理、区间长度可知，假设不成立. 思路9：函数单调性 优点：以反证法为核心，三种方式从不同角度推导矛盾，方法灵活多样，把三角函数不等式转化为区间范围、长度对比，将抽象三角问题 “代数区间化”，降低理解难度，体现 “化归思想” 的优势。 缺点：反证思维跳跃大，难上手。矛盾的识别对知识覆盖面要求高。 思路10：补集+抽屉原理 解：由思路2可以表示为区间假设与没有交集，即完全包含在中， 因为是由许多长度为的小区间组成，而的长度为， 所以不可能完全包含在任何一个长度为的小区间内， 因此，该假设不成立，所以必须与有交集， 即：存在 ，使得，证毕． 假设与没有交集,由＂区间长度＂得：假设不成立,所必须与有交集. 思路11：利用整数的简单性质 解:由的解集为 假设对每个与交集都为空集， 则对每个必有或之一成立． 即：对每个 ，都有或 ， 但长度为1的闭区间上必有一整数,所以矛盾,所以假设不成立; 故存在 ，使得, 所以命题成立. ①由思路1得解集. ②假设交集为空集 ③由不等关系得上式，由整数性质得出矛盾. (3). 解法一：分析法 思路1：猜想+反证 解：当时,.令 可知是周期为的偶函数，因此分析的单调性. 由(1)得,在单调递增; 又 由余弦函数的周期性，将缩小到结合第一问的函数结构，当b的最小值. 47 (3). ②利用反证法对猜想进行假设 ①猜想 可以通过举反例的方式证明全称命题为假，即证与第二问结构对比，可找到满足不等式。 猜想：即证当时, . 反证： 当时, 令 48 为什么取 ，可以从的两项系数分别是5和1出发，将分成 ，对应的三角函数值恰好为相关 即有 此时 与假设矛盾综上： ③找到反例，与假设矛盾，假设不成立，则猜想成立 49 思路1:猜想+反证 优点：以第一、二问作为载体，结合猜想反证的技巧可以简化运算。 缺点：考查考生的逻辑推理能力，观察能力，和构造能力。综合性强、思维难度大，不易想到。 思路2：猜想+消元 由思路1可知只需证明当 时不符合题意， 即证对 ,使得 ． 结合余弦函数周期性，不妨设 ． 当 。令 ，则 又由于的图象与 的图象关于轴对称，若上述结论对成立，则它对也成立，故对任意 ，存在使得 .综上, 的最小值是 ． ①利用第一问进行猜想 ②利用消元将双变量转化为单变量，证明命题成立 ③利用对称性得命题成立 50 思路3：猜想+分类讨论 由思路1可知只需证明当 时不符合题意，由余弦函数周期性和对称性 可设 .当时，令 ，则 当时，令 ，则 当时，令 ， 则 .故对任意 ,存在 使得 .综上的最小值是 ①猜想 ②缩小 ③分类讨论 51 (3). 全称、特称命题特征 反证/消元/分类讨论 直接分析余弦函数周期性、对称性放缩范围 52 解题思路 分析法 思路1：猜想+反证 思路2：猜想+消元 思路3：猜想+分类讨论 (3). 外层命题： 最值求解问题 函数或不等式角度 恒成立、能成立的双逻辑问题 设， 解题思路 53 (3). 54 解题思路 分析法 思路1：猜想+反证 思路2：猜想+消元 思路3：猜想+分类讨论 函数角度 思路4：和差化积+数形结合 思路5：直接分析法 思路6：换元法+辅助角公式 不等式角度 思路7：琴生不等式 解法二：最值存在定理 思路4：和差化积+数形结合 解： ： ①利用和差化积公式将变成乘积形式 ②利用数形结合分析导函数得正负，确定原函数单调性 华罗庚： “数形结合百般好，隔离分家万事休” 55 在上单调递增，在,上单调递减，因此的最大值只可能在处取到. 由， 解得 极值点 极值 ③利用单调性 求极大值 将看成一个整体，利用正余弦函数计算极值点 56 以为例， ，则 又 不可能在中取到最大值 又 时，， 故只能在中取到，即 则 . ④比较极值大小求最大值 ⑤将能成立问题化为最小值求得b最小值 57 思路4：和差化积+数形结合 优点：将导函数变成乘积形式，方便分析单调性和最值，方法直白。 缺点：需要观察函数解析式的共同之处，且对作图能力有一定要求。 思路5：直接分析法 解： ,结合周期性，设 设，即 解得 或 解得, 极值点 ①将恒成立问题，转化为最大值问题 ②通过导函数的零点确定原函数的极值点 58 ④研究极值大小 , , 由于系数更大，取到最大值可能性大，因此先研究.解题时要警惕惯性思维，反思质疑，先想后算 ③求极值 59 ,，当确定以后，结合周期性，会把单位圆分成以下6个区域，结合对称性考虑，从单位圆结合余弦函数的单调性可以看出的最大值点在①号区域即k=0. 60 . ⑤比较极值大小得最大值 ⑥将能成立问题化为最小值问题 61 思路4：和差化积+数形结合 优点：将导函数变成乘积形式，方便分析单调性和最值，方法直白。 缺点：需要观察函数解析式的共同之处，且对作图能力有一定要求。 思路5:直接分析法 优点：思路常规，容易想到 缺点：驻点多、计算量大 公式 解：由五倍角公式 +- 令-,令 ， 则 + ①利用五倍角公式将化成同角函数 ②利用换元法+导数工具求 的最大值 令解得 为复角，因此将化为，将两个函数之和 （1）式 （2）式 转化为 62 ∴, ∴ 令 所以. ∴= ∴，则 由于可以任取全体实数，所以无论为何值 总能找到使得（3）式的最大值为 ③利用辅助角公式化成同名函数求最值 ④将能成立问题化为最小值求得b最小值 （3）式 63 思路4：和差化积+数形结合 优点：将导函数变成乘积形式，方便分析单调性和最值，方法直白。 缺点：需要观察函数解析式的共同之处，且对作图能力有一定要求。 思路5:直接分析法 优点：思路常规，容易想到 缺点：驻点多、计算量大 思路6：换元法+辅助角公式       (3). 数形结合/换元 三角函数 导数 64 解题思路 分析法 思路1：猜想+反证 思路2：猜想+消元 思路3：猜想+分类讨论 函数角度 思路4：和差化积+数形结合 思路5：直接分析法 思路6：换元法+辅助角公式 不等式角度 思路7：琴生不等式 解法四：琴生不等式 考虑的周期性和对称性，只需要分析在 上的最值.在 上，是上凸函数 由琴生不等式： ∴= ∴ = 当 ，因此因此 ①利用琴生不等式消去，得到 ②利用范围求范围 65 三、试题评析 1.试题结构 66 第一问 导数/不等式思想 第二问 放缩/整体/反证思想 第三问 解题思路 “多想少算” 三、试题评析 2.考察内容 67 知识 1.三角函数的周期性和对称性 2.函数及其求导与极值 3.常用逻辑用语 4.不等式的证明与应用 5.三角函数的图象 能力 1.数形结合能力、逻辑推理能力 2.假设与猜想能力 3.分类讨论 四、试题溯源 2.试题命题猜测 1.试题来源猜测 有网友发现本题第一问是2019年之前越南的考题. 图1是19题原函数 在直角坐标系下的图像, 令得到极坐标方程为.利用计算机软件绘制极坐标系下得图像是心形（图2）. 68 改变系数， 得到的极坐标系图像如下， 当系数为奇数时，图像更简单, 但系数为5时，图像形状特殊. 培养人人爱数学、学数学、用数学的积极态度，让学生领略数学之美，让学生感受数学，体会提升思维 的快乐之旅. 69 试题来源于如何让两个波叠加后振幅最小的一类问题，教材必修一第五章（250页）提到声音中也含正弦函数.当振幅相同时可以计算合成后的振动，但相位相同时可以产生振动的最值. 的看作可调节相位参数，若不调节 的相位叠加可能相互抵消，调节实现相位协同。以物理类比，当两个振动相位差为周期倍数时，振动同步，此时达到共振，产生振幅最值。即令让 的相位重合产生最值.即回到问题（1）的情境。本题从数学与物理角度出发，将特殊问题一般化，再将一般问题特殊化求解，以三角和导数交汇，体全称与特称较量。 70 71 3.问题的一般化分析： 19题的一般化： （1）设函数 ，求的单调性； （2）给定设为实数,证明:存在 ,使得 （3）设若存在使得对 恒成立,求 的最小值. 问题3中的最小值在 =0时能取到.不过对一般的a和b，想求出的最大值并非容易，其导数的零点也不好求，只有当a=k时，可以直接去比较同名三角函数稍微简单点，由于希望考生使用比较同名三角函数的方法而不是用cosx来表示coskx的方法，结合零点最好的特殊情况是k=5. 72 第（1）问推广研究： 推广1 给定正整数 ，求在R上的最大值． 推广2 给定正整数 ，求在R上的最小值． 五、推广猜想 第（3）问推广研究： 思路一：问题一般化 推广1： 给定正整数 ．若存在实数使得对 都有求的最小值． 73 思路二：调整参数个数 推广2： 给定正整数 ．若存在实数 使得对 都有，求的最小值． 思路三：调整函数类型 推广3： 给定正整数 ．若存在实数使得对 都有，求的最小值． 74 思路四：调整函数类型和参数个数 例如：1、若存在实数使得对一切实数 都有，求t的最小值． 2、若存在实数使得对都有 ，求的最小值． 3、若存在实数使得对 都有，求的最小值。 75 六、教学思考 要求学生记忆公式，理解公式的推导过程，能熟练进行公式的正向、逆向运用以及变形应用 在日常教学中，打破知识板块间的壁垒，提升学生综合运用知识的能力 多尝试不同变形思路，从不同角度思考问题的习惯 增加复杂运算的训练，规范学生运算步骤，培养他们细心、耐心的运算习惯，提高运算的准确性和速度 限时训练，模拟考试场景，提高时间分配能力，培养学生冷静思考、分析问题的心理素质，避免因紧张而思维卡顿 76 强化基础知识教学 培养知识融合思维 鼓励一题多解与思路探索 提升运算与化简能力 加强限时训练与心理辅导 $