【课件】“新高考1卷 第17题 ”-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（北部）

该高中数学课件聚焦立体几何核心内容，涵盖面面垂直证明、外接球心定位及异面直线所成角计算。课堂导入从线面垂直判定定理切入，通过思维导图梳理“线线垂直→线面垂直→面面垂直”逻辑链，搭建从基础定理到四棱锥综合问题的学习支架。 其亮点是融合多思路解题与可视化工具，如思维导图呈现证明路径，几何法与建系法对比培养数学思维。通过球心定位的垂径定理类比、异面直线角的平移与向量计算，体现数学眼光与语言。助力学生发展空间观念与推理能力，为教师提供分层教学资源。

讲解内容：2025年新高考I卷第17题 参赛人：郭玉平 所在单位：河北省承德市宽城满族自治县第一中学 真题呈现 如图，在四棱锥中，平面，，. （1）证明：平面 平面 ； （2）若，，， 在同一球面上，设该球面的球心为. （）证明：在平面上； （）求直线与直线所成角的余弦值. 真题溯源 （人教A版选择性必修第一册）P49 如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 第（1）问思路分析 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 判定 判定 性质 关键： 平面 或平面 第（1）问思维导图 思路1：得出（或） （或） 思路3：结合，根据二面角的定义证明二面角是直二面角 思路2：得出平面（或平面） 平面 思路1是由线面垂直平面,得到线线垂直，然后得到线面垂直平面，从而得到所要证明的面面垂直平面 平面。 证明1：∵平面,⊂平面， . 又 ，=， 平面. 又 ⊂平面， 平面 平面. 思路2是由线面垂直平面,得到面面垂直平面平面，再得到线面垂直平面 ,从而得到所要证明的面面垂直平面 平面. 证明2：∵平面,⊂平面， . 又 ，平面=，⊂平面， 平面. 又 ⊂平面， 平面 平面. 思路3是从二面角的角度来证明面面垂直的,通过证明是直二面角来证明的。 证明3：∵平面, ⊂平面， . 又 平面=，⊂平面，⊂平面， ∠是二面角的平面角. 又 ， 二面角是直二面角. 平面 平面. 第（2）问第（）思维导图 关键是找到球心O的具体位置 思路1：在平面找到与距离相等的点的集合 再在找与点 距离相等的点 思路2：在平面内找到外接圆的圆心 思路3：找到外接圆的圆心 过点作平面的垂线，它与平面的交点为球心 证明 第（2）问第（）思维导图 关键是找到球心O的具体位置 思路4：建系，设球心,半径为. 则有 思路5：建系，设球心,分别取三棱锥各棱中点，类比圆的垂径定理，得到球的垂径定理. 求得 思路1：先在平面找到与距离相等的点的集合,由于，，且，所以对于直线任意一点，都有,则. 再在平面内，作线段的角平分线，其与的交点为.最后证明===,则点就是球心. 证明1：在平面内，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，则=. ∵，，， . 又 ，， , . . ∵,，. ===. 点就是球心. 点在平面上. 思路2：是由题目要证明的球心在平面内，所以想到找到 的外接圆的圆心，则其一定就是外接球的球心。找外接圆的圆心可利用平面解析几何圆的标准方程或者两条弦的中垂线交点来找到，最后再证明也等于该外接圆的半径就可以完成证明。 证明2：在平面内，分别过线段，的中点作垂直平分线，，相交于点.以点为原点，直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系如图.则,,. ,, 直线：， 直线：. 由 解得 . =. 同理，. 又 ,， . ===. 点就是球心. 点在平面上. 思路3：是直角三角形，其外接圆的圆心为斜边的中点，而直线必垂直于平面，则直线与平面的交点必为球心。怎样做平面的垂线呢，就要联想到立体几何中的阳马模型（如图），参考阳马图中 ∥ 且长度相等，可得出本题中与的关系，从而找到点，再证明= 即可。 证明3：分别取，的中点，，在上点，使得，连接，，. ，. 又 ，， ，. ∵平面,⊂平面 ，，. 又 ，， 又 ，⊂平面, 平面. 又 ，⊂平面， ，. ∵，的中点， . 又 ，⊂平面,平面. ∵，为的中点， 的外接圆的圆心. ==. ,, . == 又 ===. 点就是球心. 点在平面上. 思路4：建系，利用球面上的点到球心的距离都等于球半径，得到四个二次方程联立，解出球心的坐标和球半径，但运算量较大。 证明4：由第（1）问证明过程知，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以,,为 轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.则,, ，,设球心 设球半径为，则有 解得 点点在平面上. 思路5：建系，类比圆的垂径定理，得出球的垂径定理即球心与弦中点的连线垂直弦，得到它们的数量积为0，就将思路4的二次方程组转化为一次方程组，三棱锥有6条线段，就对应有6个数量积为0的等式，但由于一共只有三个未知数，所以只需要三个方程即可，需要注意这三条线段要包含 四个点，即三条弦不能构成三角形，这样做极大地简化了运算。 证明5：与证明4建立相同的空间直角坐标系，分别取分别取，,的中点,,,则，，.设球心则有，，. 解得 点 点在平面上. 第（2）问第（）思维导图 异面直线所成的角 思路1：(几何法)通过平移，形成三角形，求出三边长度，利用余弦定理求出异面直线所成的角. 思路2：建系，分别求出，的坐标，代入求出值. 思路3：不建系，将分解为+，则·=·，再代入求出值. 求出直线与直线所成角的余弦值 思路1：(几何法)主要是利用平移其中一条线，构成三角形，求出三边长，通过余弦定理求解异面直线所成的角。容易想到的是右图这种，过点作∥交于点，连接，由于，使得的长度不容易求出来，也就导致长不易求出，可以用此方法做但运算量极大故而舍弃这种方法，而通过其他的平移来实现易于计算的目的。这里主要给出了四个方向供参考。 方向1：平移，如下图过点作∥，且长度相等，连接，过点作,则的三边长都能容易求出，那么也就能求出来。 解1：过点作∥，且，延长到，使得，连接，，.在平面内，过点作,垂足为.设直线与直线所成角为. ∵，， ==，， . ∵∥，， . . 又 平面， . ∵，,，, . =. . 直线与直线所成角的余弦值为. 方向2：在线段上截取容易求解的部分，如下图中过点作∥交于点，这样的三边长都能容易求出，那么也就能求出来。 解2：在平面内，过点作,垂足为.过点作 则. ∵，， ==， 又 ， , =. 又 ， =. . 直线与直线所成角的余弦值为. 方向3：延长，如下图中过点作∥交于点，连接，，这样的三边长都能容易求出，那么也就能求出来。 解3：在平面内，过点作连接，. ∵,, ,. . . 方向4：平移，是在四棱锥内部，如下图，连接，交于点，过点作∥，连接，利用∥，且，由相似比求出三边长,利用余弦定理求出。 解4：连接，交于点，过点 ，交于点，连接. ∵,=2,, , ∵∥, ,. 又在中，， . . . 直线与直线所成角的余弦值为. 思路2：建系，通过坐标求出. 解5：与第(2)问第()问证明4建系过程相同. . . . 直线与直线所成角的余弦值为. 思路3：不建系，是上一问是几何法解决的，，这里分母的值易知，分子中不好求，可以通过将向量都分解为以点为起点的向量，即，这样就解决了问题。通过坐标求出. 解6：(向量法)∵, , $