【课件】“新高考1卷 第8题 ”-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（北部）

该高中数学课件聚焦指数、对数函数性质及大小比较，以2025年全国I卷第8题为例，通过连等式情境导入，将对数问题转化为指数函数模型，衔接教材反函数概念与存在量词命题，搭建从指对数运算到函数性质应用的学习支架。 其亮点在于创设真情境引发真探究，结合思维导图梳理解题方法，通过数形结合画函数图象、特殊值法分析动态大小关系，体现数学眼光（几何直观、创新意识）与思维（推理能力）。学生能深化对函数增长差异的理解，教师可依此落实教考导向，提升课堂教学效率。

设置真情境，引发真探究 ——思维导向的2025年全国I卷·8题 参赛人：王新伟 许豪杰 孙福祥 所在单位：河南省新乡市第一中学 目 录 试题呈现 1 2 试题分析 4 试题研究 6 教考导向 3 试题解答 5 题目链接 1 试题呈现 （2025年I卷·8）若实数x,y,z 满足，则x,y,z 的大小关系不可能是（ ） A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 2.1 试题初评 本题是一道实数比大小问题，知识内容属于函数部分，可以用代数运算或函数模型解决问题. 题目由条件和结论两部分组成，各有用意.第一句给定数量关系，提供问题情境，第二句以否定句的形式描述具体问题，引人思考.题干陈述给人美的享受，情境很新又似曾相识，容易激发学生的探究欲望，同时缓解考场紧张感，平稳进入做题状态，正常发挥水平. 2.2 知识分析 教育部教育考试院在《2025年高考数学全国卷试题评析》中指出，基本概念和基本原理是构成数学学科知识体系的基石和框架.本题涉及的基本概念和基本原理主要包括指、对数运算，指、对数函数的图象与性质. 课程标准特别要求“知道对数函数与指数函数互为反函数.”人教A版教材在4.4节对数函数的节引言中对此构建了详细的研究路径：4.2节用指数函数模型研究了呈指数变化规律的问题，在引入对数后，还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究. 2.2 知识分析 4.4节的研究不仅达成了课程标准的具体要求，同时也树立了用对数研究指数和用指数研究对数的基本观念，乃至用对数研究对数和用指数研究指数的批判性观念. 题干中均代表真数，在指对数恒等变换中真数同时表示幂.引入得，将对数问题转化为指数问题.必要时可再转化为对数问题：，也可以化为指数问题：. 2.3 转换问题 等价问题1：任意的实数，已知，，，则x,y,z 的大小关系不可能是（ ） 等价问题2：任意的实数，，，则x,y,z 的大小关系不可能是（ ） 2.3 转换问题 认识问题本质为构建解决方法提供便利. 题目本质：存在不同的使得x,y,z 的大小关系有不同的表现形式. 问题解决的过程是改变命题呈现方式的过程.逻辑用语为正确理解数学概念、准确表达数学内容、合理论证数学结论提供便利. 结论：使用存在量词命题可以准确地表达该题的语义. 2.3 转换问题 等价问题3：给定下列四个命题： 已知这四个命题中存在一个假命题，找出假命题. 从命题入手豁然开朗，为解题开辟一片天地. 2.3 转换问题 在此基础上将三个子命题的结论整合成一个结论即可. 本命题可以分解成判断三个子命题的真假，以及同时为真的条件： 2.4 规划解法 如何研究含有一个存在量词命题的真假？ 人教A版教材在1.5节例2的分析中指出，要判定存在量词命题“”是真命题，只需在集合中找到一个元素，使成立即可. 证明是判断命题真假的基本方法，举反例是判断一个命题为假命题的重要方法. 数量关系在比较、运算中产生，本题四个选项，解题过程融为一体.借助举例、求解等代数方式解决问题，也可以借助函数思想完成本题. 令，改变条件的呈现形式 认识条件的意义 特殊值法 特殊值检验比大小 代数转化法 做商比大小 数形结合法 等价转化比大小 , . 分析的取值对的影响 ,, . 分析的取值对,,的影响 , , . 分析的取值对,,的影响 答案为B 2.5 思维导图 3.1 试题解答 3.1 试题解答 综上，答案选B. 3.1 试题解答 3.1 试题解答 综上，答案选B. 3.1 试题解答 【解法三数形结合法】由， 不妨令， 因此，，， 则， , . 3.1 试题解答 由于函数为增函数，因此x,y,z与lnx,lny,lnz具有相同的大小关系. 在同一直角坐标系下画出函数，， 的图象： 可知，随着t的变化会出现 x>y>z（选项A）, y>x>z（选项C）, y>z>x（选项D）, z>y>x（未给定）. 故答案选B. 3.2 试题再评 从命题的角度理解“可能成立”的含义为解题提供了切入点，这是成功解决本题最大的亮点，也是学生茫然无措时未曾涉及的思考点. 本题的本质是指数函数（或对数函数）增长速度的差异性.x>y>z和z>y>x价值相同，二者取其一，体现试题的价值追求.题目形式是做排除，特殊值法简单但蕴含深刻的函数思想：赋值时借助指数函数增长特征从小到大取值，体现了思辨性. 3.3 实测反馈 代特殊值绝不是学生天然就会的方法，特别是有思维含量的问题，策略是需要培养的！以道驭术是数学课堂教学的价值追求！ 统计结果百分比 成功解题 连猜带蒙 没有思路 35 47 18 4.1 文献综述 （1）1983年实数比大小首次引入高考，多以熟悉的背景精心设计函数和参数，将函数图象和性质融入其中，考查学生的综合能力； （2）四十多年来比大小问题产生了一系列大的变化，在实践中产生了四种相对明确并且有处理套路的问题类型； （3）2025年考题以其鲜明的特点为比大小问题再添一笔！ 4.2 试题归类 ①围绕指数、对数和三角函数值而展开的比大小问题. 点评：这道题目以当下的眼光看相对简单，如果把改动为，和其他年份的高考题目相比丝毫不逊色. 这一类是高考比大小重点考查的对象，层出不穷. 4.2 试题归类 ②围绕不等式的基本性质而展开的比大小问题. 点评：这类题目围绕不等式的基本性质命题，不等式的基本性质中容易忽视的细节是命题焦点. 这一类是高考喜欢的考查对象，教学导向极好. 4.2 试题归类 ③围绕函数的基本性质而展开的比大小问题. 点评：这类问题以函数性质为依托，虽然形式多样实际考查的还是①这类问题. 这一类也是高考喜欢的考查对象，教学导向极好. 4.2 试题归类 ④围绕函数与导数而展开的比大小问题. 点评：这类问题围绕函数概念展开，从形式出发构造函数关系，借助导数研究函数性质，通过函数不等式比较大小，突出对学生创新性思维的考查. 这类问题是新高考开发的新题型，达到了思想巅峰，但因其不良的教学导向产生再开发限制. 4.3 试题寻根 历年的比大小问题虽有变化，但具有明确的表现形式：静态比大小；本题一共有4种可能的正确关系：动态比大小，对考生的思维能力要求较高. 从思想上，这道题目与2005年江西卷一脉相承： 4.3 试题寻根 历年的比大小问题虽有变化，但具有明确的表现形式：静态比大小；本题一共有4种可能的正确关系：动态比大小，对考生的思维能力要求较高. 从形式上，这道题目与2017年全国I卷如出一辙： 4.4 教材问源 页码 题号 解读 说明 91页 练习2 利用幂函数性质比大小，难度较低，引入思想； 这三组题目是传统意义上的比大小问题，直接借助给定函数模型比较大小关系. 117页 例三 利用指数函数性质比大小，略有难度，巩固思想； 133页 例三 利用对数函数性质比大小，难度适中，再次巩固思想. 160页 习题2 本题组共6小题，问题形式和解决方法比较特别的是（2） （). （2）题可以改编成高考题！ 4.5 习题改造 原题： () 变形：令,，则，, 因此，进一步. 改造：已知，且，则与的大小关系是 . 成题：已知，则与的大小关系是 . 4.6 试题初成 升级：若实数x,y,z 满足，则x,y,z 的大小关系不可能是（ ） A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 观点：本题的理念取自教材，呈现方式为蕴含变量的对数连等式.结构简洁，易于辨认，给考生一种似曾相识的感觉，增强挑战试题的勇气和信心. 4.7 研究心得 结论：思维含量是一个好题目的标志.在深化教育改革、拓展命题形式的过程中，本题善用数学的真善美，深入对知识内涵的解读，在不回避重点问题的基础上，挖掘思维含量，升华命题形式. 本题既回应了高考对基础的要求，又回应了对创新的诉求，体现了“多想少算”的设计理念，有利于高校选拔人才，也对中学教学有很好的引导作用. 这道题目的命题思路值得我们深思. 5 题目链接 【高考题改编1】（单选题）若实数a,b,c 满足，则2a,3b,5c的大小关系不可能是（ ） A.2a>3b>5c B.2a>5c>3b C.3b>2a>5c D.3b>5c>2a 【解析】由， 则 ， 5 题目链接 【高考题改编1】（单选题）若实数a,b,c 满足，则2a,3b,5c的大小关系不可能是（ ） A.2a>3b>5c B.2a>5c>3b C.3b>2a>5c D.3b>5c>2a B 所以. 由【2025年I卷·8】的结论， 答案为B. 5 题目链接 【高考题改编2】（多选题）若实数x,y,z 满足，则x,y,z的大小关系可能是（ ） A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x AB 【解析】令， 则，， . 由于函数为增函数，因此x,y,z与lnx,lny,lnz具有相同的大小关系. 在同一直角坐标系下画出函数，， 的图象： 可知，随着t的变化会出现 x>y>z, x>z>y, z>x>y, z>y>x. 故答案选AB. 5 题目链接 5 题目链接 【原创题】若锐角x,y,z 满足，则x,2y,3z的大小关系是 . 【答案】x>2y>3z 【解析】因为x,y,z 为锐角，因此 ， 结合，则 ， 所以. 又，因此2y,3z均为锐角. 5 题目链接 此时 , 所以，因此； 又 , 所以，因此； 5 题目链接 又 由于，因此 ， 从而， 所以，因此； 综上. 6 教考导向 《评析》指出，2025年高考数学命题严格遵循课程标准要求命题.考查知识内容的范围、深度、广度以及素养水平要求均与课程标准保持一致. 试卷规避高等数学内容的直接应用，引导学校严格按照课程标准实施教学，上足课时、不赶进度，不超标、不超量，做到应教尽教，把精力放在讲透教材内容上，提升课堂教学效果. 我们认为深刻地理解课程标准是依标教学的前提！日常教学允许百花齐放但不能喧宾夺主. 6 教考导向 《评析》中特别指出本题在题目形式和语言叙述方面均进行了创新，需要考生进行探索和尝试，突出考查学生的探索性思维品质. 我们认为精准理解、洞悉本质是合理开发情境的必要条件. 课堂应成为培育探索精神、提供尝试场所的战略要塞！ 针对要培养的能力，课堂教学必须系统而深入地整体设计任务，实现形式、内容、目标的统一和优化，促进任务功能的落实.改变教学全域势在必行！ 6 教考导向 思想引领行动！上海市教委王月芬博士提出重构课程视域下的作业，指出作业是学生自主学习的过程.浙江省教育厅张丰博士进一步指出，作业已不是传统意义上的课后训练，它已融在学习全过程，成为具有独立意义的学习活动.学习是科学的事情，此刻起必须按科学规律进行！ 我们认为2026年备考包括新授课，要重视2025年命题在2024年的基础上坚持的方向，将改革思想融入教学全过程，纳入学生培养的全时域、全视域！ 6 教考导向 深入研究课程标准与高考评价体系内容，全力实现科学教学； 重视基础年级教学工作，树立全局观念，整体设计课内外学习任务； 关注知识发生发展过程，强化思维训练，培养思维能力； 以数学之道引领成长，强化思想方法，提升核心素养； 合理控制一轮复习难度与速度，筑牢知识根基，构建完备知识框架； 强化思维品质，深入提高解题能力，提升应试能力； 关注改革新动向，洞悉高考变化，关注命题趋势， 全力实现科学备考. 七律·数海探骊 时维荷月，会于汴梁，讲题比赛，论道附中。群贤毕至，俊采星驰，躬逢盛会，遂成此文。 讲题台上论英雄，对数指间妙理融。 等式转换开思路，函数图象破迷宫。 探源教材寻根脉，导向教考立新功。 学子精思勤演练，金榜题名乐无穷。 ①存在实数 ，当 成立时 成立； ②存在实数 ，当 成立时 成立； ③存在实数 ，当 成立时 成立； ④存在实数 ，当 成立时 成立. 选项A:存在实数 ，当 成立时 成立. （i）存在一组实数 ，当 成立时， 也成立. （ii）存在一组实数 ，当 成立时， 也成立. （iii）存在一组实数 ，当 成立时， 也成立. 所以 成立，即选项A可以发生； 【解法一特殊值法】由 ， 不妨令 ， 则 ， ， . 当 时， ， 同时 ， k 1 2 3 4 5 6 x 2 4 8 16 32 62 y 1 3 9 27 81 243 z 0.04 0.2 1 5 25 125 结论 x>y>z x>y>z y>x>z y>x>z y>x>z y>z>x 说明 选项A可以发生 选项C可以发生 选项D可以发生 当 时，列表计算如下： 当 时， ；当 时， ；当 时， . 【解法二代数转化法】由 ，令 ，则 ， ， . 当 时， ，同时 ，所以 成立. 当 时， ， ， ， 则 ， ， 在 均为减函数. k 1 2 3 4 5 6 7 ≥8 f(k) >1 <1 <1 <1 g(k) >1 >1 <1 <1 h(k) >1 >1 >1 <1 结论 x>y>z y>x>z y>z>x z>y>x 说明 选项A可以发生 选项C可以发生 选项D可以发生 未给定 当 时，列表如下： 示例：【1983年全国卷】这三个数之间的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 示例：【2016年全国I卷】若 ，则（ ） A. B. C. D. 示例：【2004年福建卷】定义在 上的偶函数 满足 ，当 时， ，则（ ） A. B. C. D. 示例：【2022年新I卷】设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 已知实数 满足等式 ，下列五个关系式： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ . 其中不可能成立的关系式有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 设 为正数，且 ，则（ ） A. B. C. D. $