精品解析：江苏省南京市金陵中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

10月月考 一、单选题 1. 复数为虚数单位)的共轭复数为，则的虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. -i D. i 【答案】B 【解析】 【分析】先求z，再根据共轭复数写出虚部. 【详解】因为，所以它的共轭复数，其虚部为1. 故选：B. 2. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】 化简得到，根据平移法则得到答案. 【详解】, 要得到的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：A. 3. 椭圆以双曲线的两个焦点为长轴的端点，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程确定焦点坐标及顶点坐标，进而可求解. 【详解】由 可得其焦点坐标为：，顶点坐标 所以椭圆长轴端点坐标：，焦点坐标为， 所以椭圆方程为：， 故选：C 4. 若二项式的展开式中二项式系数和为 64 ，那么该展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式系数和求得，再由二项式展开式的通项得，令，解出，代入即可求解. 【详解】由题意得， ，所以展开式的通项为 令 ，所以展开式中的常数项为． 故选：A. 5. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质：等比数列的片断和成等比数列求解． 【详解】设，则， 因为是等比数列，所以也成等比数列，且公比为， 所以，即， 所以. 故选：B. 6. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对A，当时可判断；对B，当时和两种情况讨论；对C，当时可判断；对D，当，时可判断. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，当时， 当时，，则，故B正确； 对C，当时，，故C错误； 对D，当，时，，故D错误. 故选：B 7. 已知直线与抛物线相切，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立直线与抛物线的方程，得到一个一元二次方程，根据，即可求出答案. 【详解】联立，可得， 因为直线与抛物线相切，所以有，解得． 故选：D． 8. 已知半径为4的球，被两个平面截得圆，记两圆的公共弦为，且，若二面角的大小为，则四面体的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的性质及球的截面的性质，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】设弦的中点为，连接，依题意，可得如下图形， 由圆的性质可知，则即为二面角的平面角， 故， 四面体的体积为 ， 其中 ，当且仅当时取等号， 由球的截面性质，，， 所以四点共圆，则有外接圆直径， 从而， . 故选：C 二、多选题 9. 已知表示向量，表示向量，向量，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 若向量与垂直，则实数t的值为－1 B. 已知点，若三点共线，则实数的值为－2 C. 在方向上的投影向量的模为 D. 若，与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，利用向量垂直的坐标运算，即可求出，从而判断出选项A正确；对于选项B，三点共线转化成共线，再利用向量共线的坐标运算可求出，从而判断出选项的正误；对于选项C，利用投影向量的定义，直接求出在方向上的投影向量，从而求出模长，判断出结果的正误；对于选项D，利用数量积的定义和条件，得到，求出，再去掉共线反向时的取值，得出的范围，从而判断出选项的正误. 【详解】选项A，因为，，所以，又向量与垂直，所以，得到，所以选项A正确； 选项B，因为，，所以，又因为三点共线，所以，得到，所以选项B错误； 选项C，因为在方向上的投影向量为，模长为，所以选项C正确； 选项D，因为，，由，得到，即， 又由，得到，此时，与共线反向， 故，与的夹角为，所以与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是， 选项D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 在单调递减 C. 有且仅有三个零点 D. 有5个实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用奇偶性定义判断A；讨论、并写出对应解析式，应用导数研究单调性判断B；根据及其单调性画出草图，数形结合判断C；由题设有或0或1，结合，，数形结合判断D. 【详解】由函数定义域为，则为奇函数，A正确； 当时，，， 所以，故在，上单调递增； 当时，，， 所以，令，解得， 则当，， 则在，内单调递减，在内单调递增，B错误； 根据函数解析式，易得，结合B分析函数大致图象如下， 结合图象，知有且仅有三个零点，C正确； 若，则或0或1，又，， 结合函数的图象，有1个解，有3个解，有1个解，共有5个解，D正确． 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于D，复合函数判断解的个数问题，需要逐层分析，结合，问题化为或0或1，共有5个解，再应用数形结合判断． 11. 已知点，曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与曲线无交点 B. 曲线上不存在点，使得 C. 若过点的直线与曲线有三个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用分类讨论写出对应的方程，进而画出曲线的大致图象，结合椭圆、双曲线的性质，应用直线与曲线位置关系、韦达定理、点线距离公式等判断各项的正误. 【详解】当时，曲线，即； 当时，曲线，即不存在； 当时，曲线，即； 当时，曲线，即，画出图形如图所示： A：一三象限曲线的渐近线方程为，则直线与曲线没有交点，正确； B：满足，即双曲线的下支，与曲线是没有交点的， 所以不存在曲线上的点，使得成立，正确； C：设过点的直线，与曲线有三个交点，显然. 联立； 联立； 直线与曲线有三个不同的交点，则直线斜率的取值范围是，错误； D：设，由点到直线距离公式得：， 所以. 因为点是曲线上在第三象限内的一点，则有， 所以，正确， 故选：ABD 三、填空题 12. 某校元旦文艺汇演中，有八位评委对一舞蹈节目评分，该节目得分依次为，则这组数据的第70百分位数为____________． 【答案】92 【解析】 【分析】利用百分位数的定义规则计算. 【详解】这组数据从小到大排列为， ，所以这组数据的第70百分位数是第6个数据，即92. 故答案为：92 13. 袋中有大小、形状完全相同的 8 个白球、4 个黑球，现从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是 X，且，则 Y 的数学期望______． 【答案】5 【解析】 【分析】先分析出的可能取值，再利用超几何分布求每个取值的概率，再用数学期望公式求出，进而求得. 【详解】X 的可能取值为 0 ，1 ，2 ，3， ，， ，， 则， 所以 ． 故答案为：5. 14. 已知函数是偶函数，且时，，若函数有且只有1个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先看出是的一个零点，从而转化为函数在其他位置不能再有零点，分，，三种情况进行分析，在上采用参变分离的方法，在，上，利用切线斜率与直线斜率比较的方法得到不等式，求出答案，从而最终求出实数的取值范围. 【详解】显然是的一个零点， 故函数不能再有其他零点， ①时，，得，令， 则， ∴在上为增函数，， ∴， ∴函数在上要想没有零点，需要满足； ②当时，， 因为时，， 所以在点处的切线的斜率为， 要想使得函数在上与上没有交点，需要满足， 解得： ③时，因为函数是偶函数，所以当时，，， 所以在点处的切线的斜率为， 此时， 要想使得函数在上与上没有交点， 需要满足，解得：， 综上：. 故答案为：. 【点睛】导函数研究函数零点问题，一般可构造函数，研究其单调性和极值最值情况，结合图象，参变分离等进行求解. 四、解答题 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求B； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理与三角恒等变换以及同角三角函数基本关系求解即可 （2）用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，转化为三角函数值域求解即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理，可得， 又由， 得，即， 进而有，即 可得， 又因为，可得； 【小问2详解】 由题意得，解得， 所以， 所以， . 故的取值范围为 16. 已知数列的前 n 项和为， 且.数列为等比数列， ，． （1）求和的通项公式； （2）设，，求数列的前 n 项和为． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合变形，再构造常数列求出；求出等比数列的公比，进而求出其通项. （2）由（1）求出，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 由，得当时，，即， 则，数列是常数列，而，因此， ；由，得，设等比数列的公比为， 则，即，， 所以和的通项公式分别为，. 【小问2详解】 由（1）得， 所以. 17. 如图，三棱柱中，平面，，，分别为，的中点. （1）求证： 平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明： 连接，，则且为的中点， 又∵为的中点，∴， 又平面，平面， 故平面． （2）. 【解析】 【详解】（1）略； （2）由平面，得，． 以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则，，， ，，． 取平面的一个法向量为， 由，得： ，令，得 同理可得平面的一个法向量为 ∵平面平面，∴ 解得，得，又， 设直线与平面所成角为，则 . 所以，直线与平面所成角的正弦值是． 18. 已知椭圆的右顶点为M，左、右焦点分别为，离心率为为E上任意一点，且． （1）求E的方程． （2）设过点的直线l与E有两个不同的交点A，B（均不与点M重合）．以线段为直径的圆恒过点M，求t的值； （3）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似此．已知椭圆与椭圆相似．若椭圆与椭圆的相似比为，设P为上异于其左、右顶点的一点．当时，过P分别作椭圆的两条切线，切点分别为，设直线的斜率为，证明：为定值； 【答案】（1） （2） （3）证明：对于椭圆，则长轴长为，短轴长为，焦距为， 椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 由相似比可知，，解得，所以椭圆， 设，则直线的方程为，即， 记，则的方程为， 将其代入椭圆的方程，消去，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 将代入上式，整理得， 同理可得， 所以为关于的方程的两根， 所以． 又点在椭圆上，所以，所以， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）由题意易求得，进而可求得椭圆方程； （2）设直线l的方程为，，联立方程组，利用根与系数的关系可求得，，由，可得，求解即可； （3）由题意可得，从而得到椭圆，设，则直线的方程为，进而与椭圆联立方程，并结合判别式得，同理得到，进而得，再根据，即可求得结论. 【小问1详解】 椭圆的半焦距为， 因为为E上任意一点，且，所以，解得， 又因为椭圆的离心率为，所以，所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设直线l的方程为，， 由，消去，得， 所以， ，，所以， ， 因为以线段为直径的圆恒过点， 所以，即， 所以， 即，即， 解得或（舍去），满足，所以； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，讨论函数的单调性． （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，增区间为；减区间为；； 当时，增区间为； 当时，增区间为；减区间为； 当时，增区间为；减区间为． （3） 【解析】 【分析】（1）求在处的切线斜率以及点坐标，写出切线方程即可； （2）计算，分类讨论法讨论取不同值时的正负，得出函数的单调性； （3）计算的两个极值点，由韦达定理结合可解出两个极值点的范围，构造函数计算的最小值，从而求出k的取值范围. 【小问1详解】 因为，∴切线斜率为， 又，切点为，所以切线方程为； 【小问2详解】 ∵＝， 当时，增区间为；减区间为； ①当，即时，，增区间为． ②当，即时，， 令得，或；令得，． 所以当时，增区间为；减区间为； ③当，即时，令得，或； 令得，． 所以，增区间为；减区间为； 综上，当时，增区间为；减区间为；； 当时，增区间为； 当时，增区间为；减区间为； 当时，增区间为；减区间为． 【小问3详解】 函数， 所以，由，得， 依题意方程有两不相等的正实根， ∴， ∴，又，则，解得或， 因为且，所以， ∴， 构造函数， ， ∴F（x）在上单调递减； 当时，， 所以． 【点睛】关键点点睛：含有参数的函数计算极值点时，常借助于韦达定理，由韦达定理表示两根与参数的关系，可减少变量，也可消参，代入所求从而减少变量构造函数，以达到可计算的目的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10月月考 一、单选题 1. 复数为虚数单位)的共轭复数为，则的虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. -i D. i 2. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 3. 椭圆以双曲线的两个焦点为长轴的端点，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若二项式的展开式中二项式系数和为 64 ，那么该展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 15 D. 20 5. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与抛物线相切，则（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知半径为4的球，被两个平面截得圆，记两圆的公共弦为，且，若二面角的大小为，则四面体的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知表示向量，表示向量，向量，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 若向量与垂直，则实数t的值为－1 B. 已知点，若三点共线，则实数的值为－2 C. 在方向上的投影向量的模为 D. 若，与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 在单调递减 C. 有且仅有三个零点 D. 有5个实数解 11. 已知点，曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与曲线无交点 B. 曲线上不存在点，使得 C. 若过点的直线与曲线有三个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，则 三、填空题 12. 某校元旦文艺汇演中，有八位评委对一舞蹈节目评分，该节目得分依次为，则这组数据的第70百分位数为____________． 13. 袋中有大小、形状完全相同的 8 个白球、4 个黑球，现从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是 X，且，则 Y 的数学期望______． 14. 已知函数是偶函数，且时，，若函数有且只有1个零点，则实数的取值范围是__________． 四、解答题 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求B； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 16. 已知数列的前 n 项和为， 且.数列为等比数列， ，． （1）求和的通项公式； （2）设，，求数列的前 n 项和为． 17. 如图，三棱柱中，平面，，，分别为，的中点. （1）求证： 平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的右顶点为M，左、右焦点分别为，离心率为为E上任意一点，且． （1）求E的方程． （2）设过点的直线l与E有两个不同的交点A，B（均不与点M重合）．以线段为直径的圆恒过点M，求t的值； （3）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似此．已知椭圆与椭圆相似．若椭圆与椭圆的相似比为，设P为上异于其左、右顶点的一点．当时，过P分别作椭圆的两条切线，切点分别为，设直线的斜率为，证明：为定值； 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，讨论函数的单调性． （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $